2025-2026,学年度高三年级上学期综合素质评价四
数学学科
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1.如图，全集U={1,2,3,4,5,6),A={L,2,3},B={2,4,5},图中阴影部分所表示的集合为(
A.{1,2,4
B.{4,5}
C.{1,5
D.{3,4.5}
2.函数y=4sin3x+3cos3x的最小正周期是(
)
A.6π
B.2π
C.
2π
3.设a,b,ceR,且a>b>0,则(
A.ac>be
B.ac2>bc2
b a
C.++c2>2
D.a-ca b
2π
4已知OM上2，O丽N3,且OM,ON的夹角为兮，则在O示上的投影向量为
A.20N
B.
20
C.-ON
3
D.40
3
5,若c≠0，a+b+c≠0，且a+也.b+9=a+S=k,则直线-y+k=0必不过(
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
6.已知Mx)=e+e，n(x)=e-e.设函数f(x)=m(n(x),若实数a满足不等式
∫(3a+20)+∫(-2a2)<0,则a的取值范围为(
)
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数学学科
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7.数列{a,}是等比数列，则对于“对于任意的n∈N，a2>a,”是“{a}是递增数列”的
)条件。
A.充分必要
B.充分不必要
C.必要不充分
D.既不充分也不必要
&已知球O是正三棱维P-ABC的外接球，MB=5,PA=5,花-号丽，过点E作球0的裁面，
若截面面积为
π，则直线OE与该截面所成的角为(··)
16
A.
D.
6
2
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A民GD中，M,N分别为棱CD,CC的中点，
则下列结论正确的是(
D
M
C
A
A.直线AM与平面AADD,所成角的正弦值为
B.点D到平面BMN的距离为2
C.直线AM与BN所成角的正切值是2
D.平面BMN截正方体所得的截面面积为
9
页
(共3页)
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3亿人都在用的扫描Ap即
10.已知直线1：mx-y+1+3m=0,圆C:(x+2}2+y2=9,则（
A.m∈R,I与C相交
B.3m∈R,使得圆心C到1的距离
3-3
C.当圆C截1所得的弦长为4√互时，m的值为0
D.当圆C上有4个点到I的距离为2时，m∈(-o,0)
11.从数列{a}中选取第k项，第k+1项，…，第k+m-1项(k∈N,m≥2)，并按原顺序构成的
新数列称为数列{an}的“(k,m)连续子列”.已知数列{a}中，a1=0,a2=1,对∈N,数
列a)的2k列莲续子列是公比为
二的等比数列.则下列判断正确的是()
A.a4=4
B.a5=6
C.azn=n2+n-2
)nEN)
D.分，2i+3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，
12.将复数1+√5：在复平面上所对应的向量O丽绕原点按顺时针方向旋转得到向量O风，那
么ON对应的复数是
2
13。己知函数f八)=(-e-号”+x只有一个极值点。则实数a的取值范围是_
14.己知底面半径为√5的圆锥其轴截面面积为S,过圆锥项点的截面面积最大值为S。,若
S,:S。=√3：2，则该圆锥的侧面积为
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第
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3亿人都在用的扫描App参考答案
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. B 2. C. 3. C. 4. D 5. D 6. D. 7. C． 8. C.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. ABD. 10. ACD. 11. ABD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
1
12. 3 i 13. a 0或 a . 14.2 2 3π
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤．
15. （1）因数列 an 是等差数列，则 S3 3a2 15，得 a2 5，
又 a2a3 40，所以 a3 8，所以等差数列 an 的公差 d = a3 - a2 = 3，
则 an a2 n 2 d 3n 1，
1 b 1 1 1 b *因
2 1 22 2 23
b3 n bn n n N ，2
1 b 1 b 1 b 1则当 n 2时， 1 2 2 3 3 n 1 bn 1 n 1，2 2 2 2
1 n
两式作差得 n bn 1 n 2 ，即bn 2 n 2 ，2
1
令 n 1，得 b n1 1，则b1 2，满足上式，则bn 2 n N* ，2
综上，数列 an 的通项公式为 an 3n 1 n N* ，
n
数列 bn 的通项公式为bn 2 n N* .
（2）由（1）可得， a50 149，且b1 2,b2 4,b3 8,b4 16,b5 32,b6 64,b7 128,b8 256 ，
经验证数列 an 前 50项中与数列 bn 的公共项共有 4项，分别为 2,8,32,128，
从而数列 an 中去掉的是 2,8,32,128这 4项，
所以T50 S54 2 8 32 128 2 54
54 53
3 170 4231.
2
16. （1）如图：假设G是△PBC的垂心，则： BG PC，
又因为 AG 平面 PBC ， PC 平面 PBC ，
所以 AG PC，又 AG BG G, AG,BG 平面 ABG，
所以 PC 平面 ABG， AB 平面 ABG，
所以 PC AB，又因为 PA 底面 ABC，
所以 PA AB，又 PA PC P,PA,PC 平面 PAC ，
所以 AB 平面 PAC ，所以 AB AC，与底面 ABC是正三角形矛盾，
所以G不是△PBC的垂心.
（2）因为 AG 平面 PBC ，
所以 ABG为所求的 AB与平面 PBC 所成角大小，
取 BC中点 F ，连结 AF,PF，
不妨设 AB 2,GF t ，则： AF 3,PG 2t,PF 3t，
因为 AG 平面 PBC ，所以： AG PF ，
又因为 PA 底面 ABC，所以 PA AF ，
所以在三角形 PAF中，有 AF 2 GF PF 3t2，
所以 t 1，所以 AG 2，又 AB 2，
所以 ABG ，
4
所以 AB与平面 PBC 所成角大小为 .
4
cosB b cosB sin B
17. （1）由 cos A B 2a c 及正弦定理得： ，cosC 2sin A sinC
整理得 2sin AcosB sinC cosB cosC sin B sin B C sin A，
因为 A 0,π π，所以 sin A 0，所以 cosB 1 ，又 B 0, π ，所以B .
2 3
π
（2）由 B 及b c 4可知VABC 为等边三角形，∴ a 4，∴D为边 BC的中点，∴ BD DC 2
3
EDF BDE π π又因为 ， ，所以 .
3 6 2
BED 2π DE BD DE
3
在 BDE中， ，由正弦定理可得， ，即 sin 2π
.
3 sin B sin BED 3
DF CD
在VCDF中， CFD 3，由正弦定理可得， ，即
sinC sin CFD DF
.
sin
S 1 DE DF sin π 3 3 3 3
所以 2 3 4sin 2π sin 4 3
cos 1 sin sin
3 2 2
3 3 3 3 3 3
π π
3 1 2 3sin 2 1 cos2
4 cos sin sin 2sin
， ,
2 1
2 2 6
6 2
π π 2 π π , 5π π 1 π 因为 ，所以 ，所以 sin6 2 6 6 6
2 ,1 ，所以 2sin 2 6 2 6
1 2,3 .
3 3 3 3
所以 S 3, ，故S的取值范围为 3,
2 2
18. （1）如图，连接 BD， AD，因为 AB DE 且 AB//DE， AE DE，
故四边形 ABDE为矩形，
因为DE 1， AE 3，由勾股定理得 AD 2，且 EAD BDA 30 ，
BC 2 CD2 BD2 1
又 BD 3BC 3CD，由余弦定理得 cos BCD ，
2BC CD 2
所以 BCD 120 ， CBD CDB 30 ，所以 ADC ADE 60 ，
连接CE交 AD于点O，
则等腰三角形CDE中，OD为角平分线，也是垂线，所以 AD CE .
折叠之后有 AD OP， AD OC，OP OC O，OP,OC 平面 POC，
所以 AD 平面 POC，又 PC 平面 POC，所以 AD PC .
（2）（i）因为平面 PAD 平面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCD AD，OP AD，OP 平面 PAD，
所以OP 平面 ABCD，又OC,OD 平面 ABCD，故OP OC,OP OD，
又OC OD，所以OC,OD,OP两两垂直，
以点O为坐标原点，OC,OD,OP所在直线分别为 x, y, z轴建立空间直角坐标系，
1
由于OP OC 3 ，OD ，OA
3
，
2 2 2
3 3 3 3 1 P 0,0, ， A 0, ,0 ， B , 1,0 ，C ,0,0 ，D 0, ,0 AP
3 3
， 0, , ，
2 2 2 2 2 2 2
AB 3 , 1 ,0 PC 3 3 ,0, PD 0, 1 , 3 2 2
， ， ，
2 2 2 2
n AP 3y 3z 1
0
2 2
设平面 PAB的一个法向量为n1 x, y, z ，则 ，
3x y
n1 AB 0
2 2
取 x 1，则 n1 1, 3,3 ，
3a 3c
n2 PC 0
n PCD 2 2设平面 的一个法向量为 2 a,b,c ，则 ，
n PD b 3c 2 0
2 2
取 a 1，则 n2 1, 3,1 ，
π
设平面 PAB与平面 PCD
所成角为 , 0, ， 2
n1 n2
cos cos n ,n 1 65 1 2 ，
n1 n 13 5 652
所以平面 PAB与平面 PCD 65所成角的余弦值为 .
65
（ii）设平面 ADM 交直线 PB于点 N ，连接OM ，DM ，MN ， AN，
因为 BC //AD， BC 平面 ADM ， AD 平面 ADM ，所以 BC//平面 ADM ，
BC 平面 PBC ，平面 PBC 平面 ADM MN ，所以BC //MN //AD，
设 PM PC， 0,1 ，则由 PMN ∽ PCB得MN BC ， AD 2，
由（1）知 AD 平面 POC，OM 平面 POC，所以 AD OM ，
在平面 POC内过点 P作 PQ OM 于点Q，则 PQ 平面 POC，所以 AD PQ，
因为 AD OM O， AD,OM 平面 ADM ，所以 PQ⊥平面 ADM ，
因为平面 ADM 将四棱锥 P ABCD分成的含有点 P的部分为四棱锥 P ADMN，
设梯形 ADMN的面积为S，
V 1 PQ S 1 PQ 2 OM 2 PQ OM 2 故 1 S ，3 3 2 3 2 3 △POM
2
S S 1
3 3 2
因为 PM PC，所以 △POM △POC ，所以V ，2 2 1 8 8
设梯形 ABCD的面积为 S1，
P ABCD V 1 PO S 1 3 2 1 3 3四棱锥 的体积为 1 ，3 3 2 2 2 8
2 8 3
由题意，V1 V ，整理得 5 2 5 12 0，8 8 17 25
0,1 = 2因为 ，所以 ，
5
3 3 3 3
所以M 到平面 ABCD的距离 d 1 PO .
5 2 10
1
19. （1）当 a 1时， f x x lnx， x 0
x
1 1 1 1
则 f x 1 2 ，即 f 1 1 1， 切线的斜率为1，x x 1 1
又 f 1 1 1 ln1 0， 切点为 1,0 ，
故 f x 在点 1, f 1 处的切线方程为 y 0 1 x 1 ，即 x y 1 0 .
2
（2）（i）函数 f x 1 x a ln x 1 a x ax 1，则 f x 1 2 ，x x x x2
2
a 0 f x x ax 1①当 时， 0，
x2
\ f (x)在 0, 单调递增，此时 f x 有 1个零点，不满足题意，舍掉.
2
2
0 a 2 2 x
a
1 a
②当 时， ，
f x x ax 1 2
2 4
2 0x x
\ f (x)在 0, 单调递增，此时 f x 有 1个零点，不满足题意，舍掉.
2 2
③当 a 2时，令 f x 0，即 x2 ax 1 0，解得 x a a 4 a a 4 或 ，1 x2 2 2
令 f x 0，得 x1 x x2 ；令 f x 0，得0 x x1或 x x2 ，
\ f (x)在 x1, x2 单调递减，在 0, x1 和 x2 , 单调递增，
x1x2 1， x1 x2 a 0， 0 x1 1 x2 ，又 f 1 0，
f x1 f 1 0，当 x 0时， f x ， f x 在 0, x1 上恰有一个零点，
f x2 f 1 0，当 x 时， f x ， f x 在 x2 , 上恰有一个零点，
又 f x 在 x1, x2 上只有一个零点1，故函数 f x 有三个零点，
综上所述，实数 a的取值范围为 2, .
f 1 1（ii） x a ln
1 1
x a ln x f x ，且 f 1 0，
x x x x
由以上可知 x1 x2 x3，则 x2 1，
x 0, a a
2 4 a a2 4
且 1 ， x3 , ，
2 2
f x 0 f 1 ，则 0， x1x3 1，
x
1 x 2
又 f x3 x3 a ln x3 0，即 a
1
3
x ，3 x3 ln x3
而
2 2 2 x 1 2
x 2x x 1 x
2a 2 x 2 3 1
ln x3 x3 1 2 x3 1 3 x3 1
1 2 3 3 = ln x 2 ，x3 x3 ln x3 x
3
3 ln x3 x3 ln x3 x3 1
2
令 h x ln x 2 x 1 x 1 ， x 1 h x
1 4
，则 0，
x 1 x x 1 2 x x 1 2
x 1
故 h x 在 1, 上为增函数， h x ln x 2 x 1 h 1 0，
2
x3 1， ln x3 2
x
3
1 0 x 1 ， 3 0，
x3 1 x3 ln x3
故 x1 2x2 x3 2a .
