河北衡水中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题（含答案）

2025－2026学年度高三年级上学期综合素质评价四
数学学科
主命题人：
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 如图，全集，，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）．
A B. C. D.
2. 函数的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
3. 设,且,则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，，且，的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5. 若，且，则直线必不过（ ）.
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6. 已知，．设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 数列是等比数列，则对于“对于任意的，”是“是递增数列”的（ ）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 不充分也不必要
8. 已知球是正三棱锥的外接球，，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线与平面所成角正弦值为
B. 点到平面的距离为2
C. 直线与所成角的正切值是2
D. 平面截正方体所得的截面面积为
10. 已知直线，圆，则（ ）
A. ，与相交
B. ，使得圆心到距离为
C. 当圆截所得的弦长为时，的值为
D. 当圆上有个点到的距离为时，
11. 从数列中选取第项、第项、、第项，并按原顺序构成新数列称为数列的“连续子列”．已知数列中，，，对，数列的“连续子列”是公比为的等比数列．则下列判断正确的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 将复数在复平面上所对应的向量绕原点按顺时针方向旋转得到向量，那么对应的复数是_________.
13. 已知函数只有一个极值点，则实数的取值范围为________.
14. 已知底面半径为的圆锥其轴截面面积为，过圆锥顶点的截面面积最大值为，若，则该圆锥的侧面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 等差数列的前n项和为，数列满足
（1）求数列和的通项公式；
（2）若从数列中依次剔除与数列的公共项，剩下的项组成新的数列，求数列的前50项和．
16. 如图，三棱锥中，底面是正三角形，底面，平面，垂足为．
（1）是否可能是的垂心，请说明理由
（2）若恰是的重心，求直线与平面所成角的大小．
17. 在中，角，，对边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若点为边的中点，点，分别在边，上，，.设，的面积为，求的取值范围.
18. 如图1，在平面五边形中，，，，，将三角形沿着向上翻折至三角形，得到四棱锥，如图2所示.
（1）求证：；
（2）若平面平面，
（i）求平面与平面所成角的余弦值；
（ii）点在线段上，设平面将四棱锥分为两个多面体，其中点所在的多面体体积为，另一个多面体体积为，若，求点到平面的距离.
19. 已知函数
（1）当时，求在点处的切线方程；
（2）若有3个零点，，，且.
（i）求实数的取值范围；
（ii）比较与的大小，并证明你的结论.
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. B 2. C. 3. C. 4. D 5. D 6. D. 7. C． 8. C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. ABD. 10. ACD. 11. ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.
13. 或.
14.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤．
15. （1）因数列是等差数列，则，得，
又，所以，所以等差数列的公差，
则，
因，
则当时，，
两式作差得，即，
令，得，则，满足上式，则，
综上，数列的通项公式为，
数列的通项公式为.
（2）由（1）可得，，且，
经验证数列前50项中与数列的公共项共有4项，分别为，
从而数列中去掉的是这4项，
所以.
16. （1）如图：假设是的垂心，则：，
又因为平面，平面，
所以，又平面，
所以平面，平面，
所以，又因为底面，
所以，又平面，
所以平面，所以，与底面是正三角形矛盾，
所以不是的垂心.
（2）因为平面，
所以为所求的与平面所成角大小，
取中点，连结，
不妨设，则：，
因为平面，所以：，
又因为底面，所以，
所以在三角形中，有，
所以，所以，又，
所以，
所以与平面所成角大小为.
17. （1）由及正弦定理得：，
整理得，
因，所以，所以，又，所以.
（2）由及可知为等边三角形，∴，∴为边的中点，∴
又因为，，所以.
在中，，由正弦定理可得，，即.
在中，，由正弦定理可得，，即.
所以
，
因为，所以，所以，所以.
所以，故的取值范围为
18. （1）如图，连接，，因为且，，
故四边形为矩形，
因为，，由勾股定理得，且，
又，由余弦定理得，
所以，，所以，
连接交于点，
则等腰三角形中，为角平分线，也是垂线，所以.
折叠之后有，，，平面，
所以平面，又平面，所以.
（2）（i）因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，又平面，故，
又，所以两两垂直，
以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
由于，，，
，，，，，，，，，
设平面的一个法向量为，则，
取，则，
设平面的一个法向量为，则，
取，则，
设平面与平面所成角为，
，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
（ii）设平面交直线于点，连接，，，，
因为，平面，平面，所以平面，
平面，平面平面，所以，
设，，则由∽得，，
由（1）知平面，平面，所以，
在平面内过点作于点，则平面，所以，
因为，平面，所以⊥平面，
因为平面将四棱锥分成的含有点的部分为四棱锥，
设梯形的面积为，
故，
因为，所以，所以，
设梯形的面积为，
四棱锥的体积为，
由题意，，整理得，
因为，所以，
所以到平面的距离.
19. （1）当时，，
则，即，切线的斜率为，
又，切点为，
故在点处的切线方程为，即.
（2）（i）函数，则，
①当时，，
在单调递增，此时有1个零点，不满足题意，舍掉.
②当时，，
在单调递增，此时有1个零点，不满足题意，舍掉.
③当时，令，即，解得或，
令，得；令，得或，
在单调递减，在和单调递增，
，，，又，
，当时，，在上恰有一个零点，
，当时，，在上恰有一个零点，
又在上只有一个零点，故函数有三个零点，
综上所述，实数的取值范围为.
（ii），且，
由以上可知，则，
且，，
，则，，
又，即，
而=，
令，，则，
故在上为增函数，，
，，，
故.