北京市西城区重点中学2016年10月高一数学人教B版 第三章 基本初等函数 指数与对数函数教学的教学与思考（含例题及讲解）

指数与对数函数教学的教学与思考
指数函数与对数函数（B）
一、课时安排
第一课时：回顾学习根式、分数指数幂的概念；利用分数指数的运算性质进行指数的运算；
第二课时：学习对数的概念，能够进行对数式与指数式互化；掌握对数的运算性质；掌握好积、商、幂、方根的对数运算法则，能根据公式法则进行数、式、方程的正确运算及变形，进一步培养学生合理的运算能力。
第三课时：研究指数函数、对数函数的概念、图象，并由图象总结性质；
第四课时：初步应用指数函数、对数函数的性质解决同一函数值和不同函数值的大小比较问题；
第五课时：通过研究反函数与复合函数的问题，巩固指数函数、对数函数的性质。
第六课时：熟练应用指数函数、对数函数的性质，解决简单的指数、对数方程及指数、对数不等式的相关问题。
二、本周教学目标
1．理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质。
2．理解对数的概念，掌握对数的运算性质。
3．学习并掌握指数函数和对数函数的概念、图象和性质。
4．能够运用指数函数、对数函数的性质解决一些简单的问题。
三、知识重点和教学策略
1．指数函数和对数函数互为反函数，对其图象和性质的认识可相互结合起来，对于含有字母参数的函数问题以及复合函数，注意底数a的影响，分类讨论和数形结合思想的运用，还要注意不可忽视定义域。
2．作为指数函数、对数函数的性质和图象的应用，在解决简单指数、对数方程根的相关问题时，要注意同底法、换元法的应用，并主动运用函数与图象的密切联系，由图形的直观性帮助寻找解题突破口，同时合理运用命题间的等价转化使问题明白易懂、获得解决。
四、能力要求
指数与对数主要作为研究指数函数与对数函数的工具使用，并且与其它知识点的联系也越来越密切，应给予足够的重视并熟练掌握；指数函数、对数函数是重点，既考查定义与图象及主要性质，又在数学思想方法上考查分类讨论的方法及字母运算能力。
五、教学过程
温故知新，引入课题
复习初中整数指数幂的运算性质；
引入根式的概念；
我们知道，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根；
（一）指数
引入根式的概念；
如果一个数的n次方等于a，那么这个数叫做a的n次方根；
当n是奇数时，
当n是偶数时，
分数指数幂
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义；
例1．（1）把下列根式用指数形式表示出来，并化简
=，
（2）当时，
（3）已知，求的值；
（）
（4）计算：答案：
说明：式子中既有分数指数幂，又有根式，则可先把根式化成分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算；
（5）计算：
（6）已知，求的值
（二）对数
背景（实际问题）一片树林中现有木材30000米3，如果每年增加5%，经过x年，树林中有木材y米3，写出x、y间的函数关系式：，经过6年木材的总量是多少？要经过多少年，木材可以增加到40000米3。
假设2015年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长7%那么经过多少年国民生产总值是2015年时的2倍？
一般地，如果的b次幂等于N，就是，那么，数b就叫做以a为底N的对数，记作：。a—底数，N—真数，—对数式。
对数的定义：。
说明：
，且
；
对数的性质：
（1）负数和零没有对数；
（2）1的对数是零；
（3）底数的对数等于1；
例2．求。
对数公式：
1.
恒等式
;
2.
换底公式：
推论：,
例3.
求的值
例4.
计算：并比较。
对数运算法则
（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；
（2）两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数；
（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；
（4）正数的正的方根的对数等于被开方数的对数除以根指数。
例5.
表示下列各式
例6.（1）计算：
（2）已知：
（3）试求：的值。（对换5与2，再试一试）
（4）
（5）若方程的两根是a，b，求ab的值。
例7.
计算（1）
（答案：）
（2）；
（答案：14）
（3）
（答案：-7）
（4）求函数的定义域、值域和单调区间。
（三）．指数函数与对数函数：


注意：指数函数、对数函数底数变化与图象分布规律。
（1）
①
②
③
④
则：0＜b＜a＜1＜d＜c
又即：x∈(0,+∞)时，
（底大幂大）
x∈(－∞,0)时，
（2）
①
②
③
④
则有：0＜b＜a＜1＜d＜c
又即：x∈(1,+∞)时，
（底大对数小）
x∈(0,1)时，
2.建议由特殊函数
的图象：
（首先，有意识的引导学生充分利用函数的单调性描点法作出
的图象，
再由函数图象的对称性作出
的图象）
例8．（1）已知0＜a＜1，，则
(
)
A．1＜n＜m
B.
1＜m＜n
C.m＜n＜1
D.
n＜m＜1
解析：选A。
由对数函数图象的分布及函数的单调性
（如图）可知1＜n＜m
（2）利用函数性质比较下列各组值的大小：
；
；
　其中01.
解析：∵
，
∴
由指数函数函数y=ax图象的分布
（如图）知，
，则，
又由函数y=3x，当x>0时，y>1知
30.2>1.
而log32和log54均小于1且大于0。
∵
，
∴log32综上有，log32又由0,
故只需比较同号两数的大小。
∵ab>1且a,b>0,
∴,
而，
∴，
又
，
∴，
综上有。
例9．（1）函数y＝lnx－1(x＞0)的反函数为
(
)
A.
y＝ex＋1(x∈R)
B.
y＝ex－1(x∈R)
C.
y＝ex＋1(x＞1)
D.
y＝ex－1(x＞1)
解析：选A。
由x＞0知lnx∈R，即y∈R，所以反函数的定义域是x∈R，否定C、D。再反解原式显然是A
（2）设，则的定义域为
（
）
A.
B.
C.
D.
解析：选B。
由得，f（x）的定义域为－2＜x＜2。故，
解得。故的定义域为。
例10．设f(x)在定义域A上是单调递减函数，又
F(x)=af(x)(a>0)，当
f(x)>0时，F(x)>1.
求证：（1）f(x)<0时，F(x)<1;
（2）F(x)在定义域A上是减函数。
分析：此题是复合函数，应用定义证明单调性时，注意逻辑的严谨。
另（2）也可以用求商比较法
证明：（1）由f(x)>0时，F(x)=af(x)>1,
则当f(x)<0时，有－f(x)>0,
∴
a－f(x)>1
即
，
∴
0即
F(x)<1.
（2）任取x1,x2∈A且x1　　由于f(x)是A上的减函数，
∴
f(x1)>f(x2)，即f(x2)－f(x1)<0
而……(
)
∵a>0,
x1∈A，恒有
又由f(x2)－f(x1)<0时，,得(
)<0，
∴
F(x2)∴F(x)是定义域A上的减函数。
例11．设a>0，是奇函数。
（1）试确定a的值；
（2）试判断f(x)的反函数f－1(x)的单调性，并证明；
（3）设（n∈N
）试比较f－1(n)与g(n)的大小。
分析：本题综合练习指数函数，对数函数的性质，部分分式法的变形技巧及引用数形结合思想直观解题，渗透数学归纳法逻辑解题的紧迫性和必要性、与推理能力等。
解析：（1）∵f(x)为奇函数，
∴f(x)+f(－x)=0
即对定义域内x均成立，
解得a=1，即
。
（2）由
得
，
∴
，
∴，
∴f－1(x)在定义域内为增函数，
当任取定义域内x1,x2且x1因
得，
则，
∴f－1(x1)（3），
作图，观察比较
n=1,2时，f－1(1)f－1(2)n≥3时，恒有
f－1(n)>g(n).
例12．设（其中a为实数），
如果f(x)当x∈(－∞,1]时有意义，求a的取值范围.
分析：本题培养学生化规与转化的解题思想，将函数的定义域、不等式恒成立、和函数的值域、最值互相转化。
解析：函数f(x)有意义，须且只需1+2x+3x·a>0,
即……(
)，
设，x∈(－∞,1]，任取x1,x2∈(－∞,1]且x1则
∵
函数是R上的减函数，且x1∴
,
∴g(x2)－g(x1)>0,
即g(x)在(－∞,1]是增函数，
故[g(x)]max=g(1)=－1。
所以，欲使(
)对x∈(－∞,1]恒成立，必须a>g(1)即a>－1。
例13．已知函数
g(x)=2lg(x+1).
（1）求f(x)－g(x)的定义域。
（2）若方程f(x)=g(x)有且仅有一个实数根，求实数k的取值范围。
分析：本题培养学生利用函数图象解题，考查函数与方程的思想，数形结合的思想及分类讨论的思想。
解析：（1）f(x)－g(x)有意义，须且只需，
∴
k>0时，定义域为(0,+∞)，
k<0时，定义域为(－1,0)
（2）f(x)=g(x)
即，
则在定义域范围内仅有一个解。
令(y1>0)，
(y2>0)
当k>0时，x>0如图所示，
由方程得
x2+(2－k)x+1=0，　　令Δ=(2－k)2－4=0，解得k=4或k=0(舍)，
当k<0时，－1（－1(－1仅有一个交点。
综上
k<0或k=4时，方程f(x)=g(x)有且仅有一个解。
例14．（北大2016自主招生T12）是一个定义在实轴上的函数，满足，。则等于
(A)0
(B)
(C)
(D)前三个答案都不对
解析：
，选C
例15．（清华2016自主招生T2）曲线与
（A）在点处相交
（B）在点处相交
（C）存在互相平行的切线
（D）有两个交点
解析：曲线与的图形如下图所示：
对于选项A，点是曲线的点，也是的点，选项A正确。
对于选项B，点不是上的点，错误。
对于选项C，存在互相平行的切线，从图中可以看出正确。
对于选项D，有两个交点，正确。
答案：ACD