22.2
过三点的圆
基础能力训练★回归教材
注重基础
1.三角形的外心的性质是(
)
A.到各边的距离相等
B.到各顶点的距离相等
C.不可能在三角形的一条边上
D.一定在三角形的内部
2.下列图形中一定有外接圆的是(
)
A.任意三角形
B.任意四边形
C.任意五边形
D.任意六边形
3.某同学手工制作,把一个边长为12
cm的正三角形贴到一个圆形纸片上,使三角形的顶点恰好都在圆上,那么这个圆的半径为(
)
A.cm
B.cm
C.cm
D.cm
4.在△ABC中,AB=8
cm,AC=15
cm,BC=17
cm,则此三角形的外心是______的中点,外接圆的半径为______.
5.若AB=8
cm,则经过A、B两点的最小圆的半径是______.
6.在Rt△ABC中,已知直角边的长分别为6
cm和8
cm,那么Rt△ABC的外接圆的面积是_____.
7.如图22－2－3,梯形ABCD内接于⊙O,AB∥CD,AB为直径,DO平分∠ADC,则∠DAO的度数是______.
8.如图22－2－4,已知∠AOB和点M,求作一圆,使它经过点O和M,且圆心在∠AOB边上.
9.如图22－2－5,这是一块残缺的圆铁片,请你找出它所在的圆的圆心,并把这个圆画完整.(不写作法,保留作图痕迹)
10.在半径为5的圆中有一内接等腰三角形,等腰三角形的底边长为8,求等腰三角形的周长.
综合创新训练★登高望远
课外拓展
◆创新应用
11.已知a,b,c是△ABC的三边长,其中∠C=90°,两直角边a,b是方程x2－7x+12=0的两根,求△ABC外接圆的面积.
12.已知直线l:y=x+4和点A(0,4),B(－4,0),设点C为直线l上一点,试判断A,B,C三点是否在同一个圆上.
13.(2008·广西)△ABC中,AB=AC=10,BC=12,求△ABC外接圆的直径.
◆探究题
14.你认为过不在同一直线上的四个点满足什么条件时,一定能作一个圆 在你学过的特殊四边形中,哪几种四边形一定有外接圆
参考答案
1答案：B
2答案：A
3答案：D
解析：由题意画图可知：
AD⊥BC，
BO平分∠ABC，
∴在Rt△OBD中，∠OBD=30°，OB=r，
BD=BC=6，
∴.
4答案：BC
cm
解析：由于172=289，82+152=289,所以△ABC为直角三角形，所以外心在斜边的中点处，外接圆的半径为斜边的一半.
5答案：4
cm
解析：过A、B两点的圆有无数个，但最小圆的圆心在AB的中点处，所以半径为=4cm.
6答案：cm2
解析：Rt△ABC中，外接圆的半径为斜边长的一半.
7答案：60°
解析：△AOD为等边三角形.
8答案：解析：联结OM，作OM的中垂线，与OA、OB分别交于C、D点，则C或D即是圆心，CO或DO的长就是半径(图略).
9答案：解析：在残缺的圆上，任意连两条弦，分别作它们的中垂线，则中垂线的交点即为圆心(图略).
10答案：解析：由已知画图(如图所示)，联结AO并延长交BC于点D，联结OB、OC.
∵AB=AC，
∴A在BC的中垂线上.
∵OB=OC，
∴O在BC的中垂线上，
∴AO即为BC的中垂线，
∴AD⊥BC且BD=DC，
∴在Rt△BOD中，BO=5，
BD=BC=4，∴OD=3.
∴在Rt△ABD中，BD=4，
AD=AO+OD=5+3=8.
∴，
∴等腰△ABC的周长为.
11答案：解析：∵x2－7x+12=0的两根为3，4.
∴或
∴当a=3，b=4时，c=5；
当a=4，b=3时，c=5，
又∵∠C=90°,
∴外接圆的半径为斜边的一半，
∴△ABC外接圆的面积为.
12答案：解析：由点A(0，4)，B(－4，0)的坐标适合直线l的解析式：y=x+4.
又∵点C也在直线l上，
∴A，B，C三点在同一直线l上，
∴A，B，C三点不在同一个圆上.
13答案：解析：如图所示，作AD⊥BC于点D，与AC的垂直平分线相交于点P，点P即为△ABC的外心，联结PB，∵AB=AC=10，BC=12，∴BD=DC=BC=6.在Rt△ABD中，.设△ABC外接圆的半径为r，则AP=BP=r，PD=8－r.在Rt△BPD中，，即，解得.
∴△ABC外接圆的直径为.
14答案：解析：如图，联结AB、AC，分别作AB、AC的中垂线m，n交于点O，则AO=BO=CO，联结CD，作CD的中垂线l，若l经过点O，则OC=OD，可以确定一个圆，若l不经过点O，则A、B、C、D四点不在同一个圆上.在我们学过的特殊四边形中，矩形、正方形对角线的交点到四个顶点的距离相等，所以它们有外接圆.等腰梯形两底和两腰的中垂线交于一点，所以等腰梯形有外接圆.22.2
过三点的圆
自主学习
主干知识
←提前预习
勤于归纳→
认真阅读教材,完成下列各题
1.过平面上一点A可以作______个圆,圆心的位置可以是______；过平面上两个点A,B可以作______一个圆,这些圆的圆心在______.
答案：无数
点A外的任意一点
无数
AB的垂直平分线上
2.在平面内过在同一直线上的三个点有______个圆,过不在同一直线上的三个点有且只有_____个圆.
答案：0
1
3.过三角形的三个顶点可以作______个圆,此圆称为三角形的_____,圆心称为三角形的_____,三角形称为这个圆的______.
答案：1
外接圆
外心
内接三角形
4.三角形的外心是______的交点,锐角三角形的外心位置在______,直角三角形的外心位置在______,钝角三角形的外心置在______,等腰三角形的外心位置在______.
答案：三边中垂线
锐角三角形内
直角三角形的斜边中点处
钝角三角形外
底边的高所在直线上
5.反证法的一般步骤：①__________.②__________.③__________.
答案：①假设命题的结论不成立
②从假设出发，经过推理论证，得出和公理、定义、定理或题设相矛盾的结论
③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的正确性
点击思维
←温故知新
查漏补缺→
1.在理解定理“不在同一直线上的三个点确定一个圆”时,应注意哪些方面
答案：①三点不在同一直线上，②“确定”即为“有且只有”.
2.试着作函观察,在锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中,三角形的外心的位置有何特点
答案：
由图形可知，锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边中点处，钝角三角形的外心在三角形外部.
