22.3
圆的对称性
基础能力训练★回归教材
注重基础
1.在同圆或等圆中,如果,则AB和CD的关系是(
)
A.AB>CD
B.AB=CD
C.ABD.AB=2CD
2.过⊙O内一点M的最长的弦长为10
cm,最短的弦长为8
cm,那么OM的长为(
)
A.3
cm
B.6
cm
C.cm
D.9
cm
3.(河北)如图22－3－8所示,已知⊙O的半径为5,点O到弦AB的距离为3,则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有(
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.如图22－3－9,两个同心圆,角所对的的关系是(
)
5.如图22－3－10,在同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D,若AB=2CD,圆心到AB的距离,那么大圆与小圆的半径之比是(
)
A.3：2
B.,：2
C.
D.5：4
6.如图22－3－11,,OB,OC分别交AC,BD于点E,F,则下列结论不正确的是(
)
A.AC=BD
B.OE⊥AC,OF⊥BD
C.△OEF为等腰三角形
D.△OEF为等边三角形
7.如图22－3－12,在直径为52
cm的圆柱形油槽内装入一些油后,油的最大深度为16
cm,那么油面宽度AB是______cm.
8.如图22－3－13,在⊙O中,弦AB⊥CD,垂足为E,AE=5
cm,BE=13
cm,则圆心O到弦CD的距离为______.
9.如图22－3－14,AD是⊙O的直径,AB=AC,∠BAC=120°,根据以上条件写出三个正确的结论(OA=OB=OC=OD除外)：
(1)___________________;
(2)___________________;
(3)___________________.
10.如图22－3－15所示,P是⊙O的弦AB的中点,PC⊥OA,垂足为C求证：PA·PB=AC·OA.
11.如图22－3－16所示的⊙O中,两条弦AB、CD相交于点P,M、N分别是AB、CD的中点,PM=PN.求证：AB=CD.
12.如图22－3－17,在⊙O中,AB、AC为互相垂直且相等的两条弦,OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D、E.若AC=2
cm.求⊙O的半径.
综合创新训练★登高望远
课外拓展
◆创新应用
13.如图22－3－18,矩形ABCD与⊙O交于点A、B、F、E.DE=1
cm,EF=3
cm,则AB=______cm.
14.如图22－3－19,已知AB是⊙O的直径,CD是弦且CD⊥AB,BC=6,AC=8,则sin∠ABD的值是(
)
A.
B.
C.
D.
15.如图22－3－20所示,圆弧形桥拱的跨度AB=12
m.拱高CD=4
m,则桥拱的半径为(
)
A.3.5
m
B.6.5
m
C.9
m
D.13
m
16.如图22－3－21,点A是半圆上的一个三等分点,点B是的中点,点P是直径MN上的一个动点,⊙O的半径为1,则AP+BP的最小值为(
)
A.1
B.
C.
D.
17.已知：⊙O的直径为14
cm,弦AB=10
cm.点P为AB上一点,OP=5
cm,则AP的长为____cm.
◆开放探索
18.如图22－3－22,不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点,AB是⊙O的直径,AE⊥l于E,BF⊥l于F.
(1)请你分别在三个圆中补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形.
(2)请你观察(1)中所画图形,写出一个各图都具有的两条线段相等的结论.(不再标注其他字母,找结论的过程中,所作辅助线不能出现在结论中,不写推理过程)
(3)请你选择(1)中的一个图形,并证明(2)所得的结论.
19.世界上因为有了圆的图案,万物才显得富有生机,以下来自生活中的图形都有圆,如图22－3－23.
图①②③的三个图形看上去多么美丽与和谐,这正是因为圆具有轴对称性和中心对称性.
(1)请问①②③三个图形中是轴对称图形的有______,是中心对称图形的有______.
(用①②③这三个图形的代号填空)
(2)请在图④⑤的两个圆内,按要求分别画出与上面图案不重复的图案.(用尺规画准确些,美观些)
图④：是轴对称图形,但不是中心对称图形.
图⑤：既是轴对称图形,又是中心对称图形.
参考答案
1答案：B
2答案：A
3答案：C
4答案：D
5答案：C
6答案：D
7答案：48
8答案：4cm
9答案：(1)
(2)∠BAD=∠CAD=60°
(3)AD⊥BC
10答案：证明：联结OP，
∵P是AB的中点，
∴OP⊥AB，
∴∠OPA=∠PCA=90°.
又∵∠A=∠A，
∴△PAC∽△OAP，
∴.
又∵PA=PB，
∴,
∴PA·PB=AC·OA.
11答案：证明：联结OM、ON，
∵M、N分别是AB、CD的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥CD，
∵PM=PN
∴∠PMN=∠PNM，
∴∠OMN=∠ONM，
∴OM=ON，
∴AB=CD.
12答案：解析：联结OA，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
又∵AB⊥AC，
∴四边形AEOD是矩形.
∵AB=AC，
∴AD=AE.
∴矩形AEOD是正方形，
∵AC=2，
∴AE=1，
∴OA=.
13答案：5
14答案：D
解析：sin∠ABD=sin∠ABC=.
15答案：B
16答案：C
解析：如图，找出点B关于MN的对称点B′，联结AB'交MN于P，则AP+PB=AB′最小
∵B为的中点.
∴.
∴∠NOB′=30°，∴∠AOB′=90°，∴AB′=.
17答案：4或6
18答案：解析：(1)如图①②③.
(2)DF=CE或DE=CF.
(3)证明图①情况
证明：如图④，过点O作OM⊥EF于M，
则CM=DM.
∵AE⊥EF，BF⊥EF，OM⊥EF，
∴AE∥OM∥BF，
又∵OA=OB，
∴EM=FM，
∴EC=DF.
19答案：(1)①②③
①②③22.3
圆的对称性
自主学习
主干知识
←提前预习
勤于归纳→
认真阅读教材,成下列各题
1.是轴对称图形,有______条对称轴,其中对称轴是______.
答案：无数
任意一条直径所在的直线
2.既是______图形,又是______图形,并且对称中心是______.
答案：轴对称
中心对称
圆心
3.圆上任意两点间的部分叫做______,联结圆上任意两点的线段叫做______,经过圆心的弦叫做______,顶点在圆心上的角叫做______,从圆心到弦的距离叫做______.
答案：弧
弦
直径
圆心角
弦心距
4.如图22－3－1,在⊙O中,CD为直径,AB为弦,如果CD⊥AB于点E那么我们可以得出______,______,______.
答案：EA=EB
5.如图22－3－1,在⊙O中,AB为弦且不是直径,CD为直径且平分AB,那么我们可以得出______,______,______.
答案：CD⊥AB
6.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(
)
①等边三角形
②矩形
③菱形
④正方形
⑤圆
⑥等腰三角形
A.①②③
B④⑤⑥
C②③④⑤
D.②④⑥
答案：C
点击思维
←温故知新
查漏补缺→
1.垂径定理及其推论中的条件和结论往往不易记清楚,但也不必死记硬背,你有很好的方法吗
答案：可结合图形记忆.如图，AB是直径，AB⊥CD(CD不是直径)，CE=DE，五个元素中，其中任意两个成立，则其余各元素一定成立.
2.如图22－3－2,已知AB上CD,AB为⊙O的直径.思考OC,OE,CD,AE这四条线段的数量关系.
答案：，
OC=OA=OE+AE
3.一般地,我们要想证明弦相等,可以转化为证明哪些量相等即可
答案：可证弦心距相等，弧相等，圆心角相等.
