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同步探究学案
课题 19.1 二次根式及其性质（第1课时） 单元 第十九章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．根据算术平方根的意义了解二次根式的定义． 2．通过探索二次根式有意义的条件，知道为什么被开方数（式）必须是非负的，加深对二次根式定义的理解．
重点 从算术平方根的意义出发理解二次根式的定义．
难点 二次根式有意义的条件．
探究过程
导入新课 【引入思考】 广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听收看到广播电视节目的区域就越广．那么，广播电视塔高h(单位：km)增加到一定的倍数，广播电视节目信号的传播半径r(单位：km)是否也会增加到相应的倍数呢？ 广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听收看到广播电视节目的区域就越广．那么，广播电视塔高h(单位：km)增加到一定的倍数，广播电视节目信号的传播半径r(单位：km)是否也会增加到相应的倍数呢？ 解决上面的问题需要二次根式的有关知识．本章我们将在已学的算术平方根的基础上，类比整式、分式，学习二次根式的概念、性质和运算法则．通过本章的学习，为后面的勾股定理、一元二次方程等内容的学习打下基础。
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助算术平方根，研究二次根式。 思考1：用含有根号的式子填空，看一看写出的结果有什么共同特征： （1）一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为________m． （2）一个大正方形的面积是一个边长为a的正方形与另一个边长为1的正方形的面积之和，则大正方形的边长为________． （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下时离地面的高度h(单位：m)的关系近似为h=5t2 ．如果用含有h的式子表示t，那么t为________． 想一想：你发现这些结果有哪些共同特征？ 归纳：一般地，我们把形如的式子叫作二次根式． 问题：在二次根式中，为什么a不能是负数？ 阅读：回顾我们学过的式子，如 5，a，a＋b，－ab，，－x3， (a≥0)，它们都是用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式．二次根式也是_________． 例1：下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 归纳：判断一个式子是二次根式的条件 （1）含有_________； （2）被开方数（或式子）是_________. 例2：当x满足什么条件时，在实数范围内有意义？ 思考2：当 x 是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？呢？ 归纳：使代数式有意义的字母取值范围的条件 （1）二次根式型：．被开方数______ （2）分式型：．分母______ （3）零指数幂型：a0＝1．底数______
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列式子中，属于二次根式的是（ ） A． B． C． D． 2．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 3．当x取何值时，下列二次根式有意义？ (1) (2) (3) 选做题： 4．若在实数范围内有意义，则的（ ） A．最大值是 B．最小值是 C．最大值是 D．最小值是 【综合拓展类练习】 5．已知，求，的值及的平方根．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列各式中，是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 2．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为 ． 3．求使下列各式有意义的字母x的取值范围： (1)； (2)； (3)． 选做题： 4．若、都是实数，且，求的平方根． 【综合拓展类作业】 5．已知二次根式，回答下列问题： (1)当为何值时，该二次根式有意义？ (2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值．
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第十九章 二次根式
19.1 二次根式及其性质
（第1课时）
1．根据算术平方根的意义了解二次根式的定义．
2．通过探索二次根式有意义的条件，知道为什么被开方数（式）必须是非负的，加深对二次根式定义的理解．
广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听收看到广播电视节目的区域就越广．那么，广播电视塔高h(单位：km)增加到一定的倍数，广播电视节目信号的传播半径r(单位：km)是否也会增加到相应的倍数呢？
实际上，广播电视塔高h与广播电视节目信号的传播半径r之间存在近似关系，其中R是地球半径，R≈6400 km。如果两个广播电视塔的高分别是h1km，h2km，那么它们的传播半径之比是，与以往学过的整式和分式不同，这个式子中含有根号，如何化简这个式子呢？
解决上面的问题需要二次根式的有关知识．本章我们将在已学的算术平方根的基础上，类比整式、分式，学习二次根式的概念、性质和运算法则．通过本章的学习，为后面的勾股定理、一元二次方程等内容的学习打下基础。
思考1：用含有根号的式子填空，看一看写出的结果有什么共同特征：
（1）一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为________m．
（2）一个大正方形的面积是一个边长为a的正方形与另一个边长为1的正方形的面积之和，则大正方形的边长为________．
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下时离地面的高度h(单位：m)的关系近似为h=5t2 ．如果用含有h的式子表示t，那么t为________．
想一想：你发现这些结果有哪些共同特征？
它们表示一些正数的算术平方根．
一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫作二次根式．
在二次根式中，为什么a不能是负数？
我们知道，一个正数有两个平方根；0 的平方根为 0；在实数范围内，负数没有平方根．因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或 0．
回顾我们学过的式子，如 5，a，a＋b，－ab，，－x3， (a≥0)，它们都是用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式．
二次根式也是代数式．
例1：下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
解：A．的被开方数为，不是二次根式，故本选项不符合题意；B．的根指数是3，不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意；C．若，无意义，不是二次根式，故本选项不符合题意；D．是二次根式，故本选项符合题意．
故选：D．
D
判断一个式子是二次根式的条件
（1）含有二次根号；
（2）被开方数（或式子）是非负数.
例2：当x满足什么条件时，在实数范围内有意义？
解：由x-2≥0，得
x≥2.
当x≥2时，在实数范围内有意义．
思考2：当 x 是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？呢？
解：根据二次根式的定义可知，满足是二次根式的条件是a≥0．
因此当 x≥0 时，在实数范围内有意义．
因为 x2≥0，所以 x 可以为任意实数．
要使 x3≥0，必须满足 x≥0．
使代数式有意义的字母取值范围的条件
（1）二次根式型： ．被开方数≥0
（2）分式型： ．分母≠0
（3）零指数幂型：a0＝1．底数≠0
【知识技能类练习】必做题：
1．下列式子中，属于二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
C
【知识技能类练习】必做题：
2．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
【知识技能类练习】必做题：
3．当x取何值时，下列二次根式有意义？
(1) (2) (3)
解：（1）要使有意义，则，解得，
即当时，有意义；
（2）要使有意义，分母，且被开方数，
∴，解得．
即当时，有意义；
【知识技能类练习】必做题：
3．当x取何值时，下列二次根式有意义？
(1) (2) (3)
解：（3）因为，所以，
即无论x取何实数，都大于0，
所以对任意实数x都有意义．
即当x为任意实数时，有意义．
【知识技能类练习】选做题：
4．若在实数范围内有意义，则的（ ）
A．最大值是 B．最小值是
C．最大值是 D．最小值是
A
【综合拓展类练习】
5．已知，求，的值及的平方根．
解：根据二次根式的被开方数非负，可得：
解得：．
将代入原式，得：
解得：．
．
∵的平方根是，
∴的平方根是．
二次根式
二次根式有意义的条件
二次根式的定义
【知识技能类作业】必做题：
1．下列各式中，是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
B
【知识技能类作业】必做题：
2．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为 ．
且
【知识技能类作业】必做题：
3．求使下列各式有意义的字母x的取值范围：
(1)； (2)； (3)．
解：（1）∵
∴
∴；
（2）∵
∴，
∴；
（3）∵
∴，
∴．
【知识技能类作业】选做题：
4．若、都是实数，且，求的平方根．
解：由题意可知，，，
，
，
，
的平方根是．
【综合拓展类作业】
5．已知二次根式，回答下列问题：
(1)当为何值时，该二次根式有意义？
(2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值．
解：（1）要使该二次根式有意义，需满足，
解得：，
∴当时，该二次根式有意义．
（2）当时，则，
令时，则，
解得：．中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第一课时《19.1 二次根式及其性质（第1课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课内容是“二次根式及其性质”的第一课时，属于初中数学“数与式”板块的重要内容．是学生已学的算术平方根、平方根概念及乘方与开方互为逆运算的知识为基础，通过广播电视塔信号传播半径的实际问题引入，搭建起从有理数运算到无理式运算的桥梁．二次根式的概念是后续学习性质、运算法则的逻辑起点，其双重非负性等核心要点不仅完善了“式”的知识体系，更为后续勾股定理、一元二次方程等内容的学习提供必要支撑，在整个初中代数知识结构中起到承上启下的关键作用．
学习者分析 学生已具备实数概念、算术平方根运算等基础，且正处于从形象思维向抽象思维过渡的阶段，具备一定的观察归纳和逻辑推理能力．但本节课是学生首次系统接触二次根式，对于“被开方数非负”这一隐含条件的理解容易忽视，且容易混淆二次根式与已学的整式、分式概念．同时，学生对抽象概念的理解仍需借助具体实例，部分学生在将实际问题转化为数学表达式时可能存在困难，需要通过具象化情境和分层练习帮助其突破认知障碍．
教学目标 1．根据算术平方根的意义了解二次根式的定义． 2．通过探索二次根式有意义的条件，知道为什么被开方数（式）必须是非负的，加深对二次根式定义的理解．
教学重点 从算术平方根的意义出发理解二次根式的定义．
教学难点 二次根式有意义的条件．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．根据算术平方根的意义了解二次根式的定义． 2．通过探索二次根式有意义的条件，知道为什么被开方数（式）必须是非负的，加深对二次根式定义的理解．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 情境：广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听收看到广播电视节目的区域就越广．那么，广播电视塔高h(单位：km)增加到一定的倍数，广播电视节目信号的传播半径r(单位：km)是否也会增加到相应的倍数呢？ 广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听收看到广播电视节目的区域就越广．那么，广播电视塔高h(单位：km)增加到一定的倍数，广播电视节目信号的传播半径r(单位：km)是否也会增加到相应的倍数呢？ 导言：解决上面的问题需要二次根式的有关知识．本章我们将在已学的算术平方根的基础上，类比整式、分式，学习二次根式的概念、性质和运算法则．通过本章的学习，为后面的勾股定理、一元二次方程等内容的学习打下基础。学生活动2： 学生认真听讲并积极思考活动意图说明： 通过情境的引入，为学习二次根式做好准备环节三：新知讲解教师活动3： 思考1：用含有根号的式子填空，看一看写出的结果有什么共同特征： （1）一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为________m． 答案： （2）一个大正方形的面积是一个边长为a的正方形与另一个边长为1的正方形的面积之和，则大正方形的边长为________． 答案： （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下时离地面的高度h(单位：m)的关系近似为h=5t2 ．如果用含有h的式子表示t，那么t为________． 答案： 想一想：你发现这些结果有哪些共同特征？ 预设：它们表示一些正数的算术平方根． 归纳：一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫作二次根式． 追问：在二次根式中，为什么a不能是负数？ 讲解1：我们知道，一个正数有两个平方根；0 的平方根为 0；在实数范围内，负数没有平方根．因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或 0． 讲解2：回顾我们学过的式子，如 5，a，a＋b，－ab，，－x3， (a≥0)，它们都是用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式． 指出：二次根式也是代数式． 例1：下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 答案：D 解：A．的被开方数为，不是二次根式，故本选项不符合题意；B．的根指数是3，不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意；C．若，无意义，不是二次根式，故本选项不符合题意；D．是二次根式，故本选项符合题意． 故选：D． 归纳：判断一个式子是二次根式的条件 （1）含有二次根号； （2）被开方数（或式子）是非负数. 例2：当x满足什么条件时，在实数范围内有意义？ 解：由x-2≥0，得 x≥2. 当x≥2时，在实数范围内有意义． 思考2：当 x 是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？呢？ 解：根据二次根式的定义可知，满足是二次根式的条件是a≥0． 因此当 x≥0 时，在实数范围内有意义． 因为 x2≥0，所以 x 可以为任意实数． 要使 x3≥0，必须满足 x≥0． 归纳：使代数式有意义的字母取值范围的条件 （1）二次根式型： ．被开方数≥0 （2）分式型： ．分母≠0 （3）零指数幂型：a0＝1．底数≠0学生活动3： 独立完成算术平方根意义填空，小组讨论结果由来及对应的例题，最后班内汇报后听老师的点评与讲解活动意图说明： 借助具体实例帮助学生理解二次根式的定义及有意义的条件，并通过例题夯实知识应用能力.环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：19.1 二次根式及其性质（第1课时）一、二次根式的定义 二、二次根式有意义的条件教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列式子中，属于二次根式的是（ ） A． B． C． D． 答案：C 2．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 答案： 3．当x取何值时，下列二次根式有意义？ (1) (2) (3) 解：（1）要使有意义，则，解得， 即当时，有意义； （2）要使有意义，分母，且被开方数， ∴，解得． 即当时，有意义； （3）因为，所以， 即无论x取何实数，都大于0，所以对任意实数x都有意义． 即当x为任意实数时，有意义． 选做题： 4．若在实数范围内有意义，则的（ ） A．最大值是 B．最小值是 C．最大值是 D．最小值是 答案：A 【综合拓展类练习】 5．已知，求，的值及的平方根． 解：根据二次根式的被开方数非负，可得： 解得：． 将代入原式，得： 解得：． ． ∵的平方根是， ∴的平方根是．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列各式中，是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 答案：B 2．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为 ． 答案：且 3．求使下列各式有意义的字母x的取值范围： (1)； (2)； (3)． 解：（1）∵ ∴ ∴； （2）∵ ∴， ∴； （3）∵ ∴， ∴． 选做题： 4．若、都是实数，且，求的平方根． 解：由题意可知，，， ， ， ， 的平方根是． 【综合拓展类作业】 5．已知二次根式，回答下列问题： (1)当为何值时，该二次根式有意义？ (2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 解：（1）要使该二次根式有意义，需满足， 解得：， ∴当时，该二次根式有意义． （2）当时，则， 令时，则， 解得：．
教学反思 本课通过实际情境导入有效激发了学生兴趣，但在教学中对学生的认知起点把握不够精准，部分基础薄弱学生对“被开方数非负”的推导过程理解不透彻．课堂上探究环节的时间分配不足，学生自主归纳概念的机会较少，多依赖教师引导，不利于抽象思维培养．后续教学中，应增加具象化实例的辨析练习，设计分层任务让不同层次学生参与探究；同时加强课后反馈，针对学生易混淆的概念和性质设计专项巩固题，帮助学生夯实基础，提升知识应用能力．
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