重庆市2026届高三上学期12月第四次质量检测数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 重庆市2026届高三上学期12月第四次质量检测数学试题（含答案） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 76.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-11 00:00:00 | ||
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文档简介
重庆市高 2026 届高三第四次质量检测
数学试题
命审单位:重庆南开中学
注意事项:
1．本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 在复平面内,复数 对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
3. 已知平面向量 ,若 ,则
A. 2 B. C. 3 D. 5
4. 已知圆 经过原点和点 ，并且圆心在直线 上，则圆 的方程为
A. B.
C. D.
5. 已知 ,则
A. B. C. D.
6. 已知三条不同的直线 和两个不同的平面 满足: ,则直线 与直线 异面的一个充分不必要条件为
A. 与 不相交 B. 且 C. 且 D.
7. 已知函数 ,若 ,且 在 上有最大值,则 的最小值为
A. 1 B. 4 C. 7 D. 11
8. 在平面直角坐标系 中,若对任意的点 ,都存在点 且 ,使得 且 ,则
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分.
9. 若实数 满足 且 ,则
A. B.
C. D.
10. 过直线 上一动点 作圆 的两条切线,切点分别为 ,记 的垂心为 ,则
A. 四边形 为菱形 B. 的最小值为
C. 在圆 上 D. 到直线 距离的最小值为 2
11. 在三棱锥 中, ,且点 在平面 上的射影位于 内部,记二面角 ,
的大小分别为 ,则
A. B.
C. D.
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 样本数据62,75,81,73,90,68,85,78的上四分位数为_____.
13. 在正三棱柱 中， ，则在该正三棱柱内可放入的最大球的体积为_____.
14. 函数 在区间 内存在零点，且该零点不是 的极值点，则实数 的取值范
围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)在 中，角 的对边分别为 .
(1)证明: ；
(2)若 ，求 .
16. (15 分)已知椭圆 的左顶点为 ，且离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 的直线 交 于不同的两点 (异于点 )，记直线 的斜率分别为 ， 求 .
17. (15 分)
已知函数 .
(1)若函数 在定义域内单调递增，求 的取值范围；
(2)若过点 可作曲线 的两条切线 ，记直线 的斜率分别为 ，求 的取值范围.
18. (17 分)如图所示,在长方体 中,点 分别是直线 上的动点.
(1)若 ， 分别为线段 ， 的中点，证明: 平面 ；
(2)若 ，且二面角 的余弦值为 .
① 求 ；
②若直线 与平面 所成角为 ，求线段 长度的最小值.
19. (17 分)
某奶茶店推出“积点兑换”活动,顾客每次消费后可随机获得 1 个、 2 个或 3 个积点,对应概率分别为 ,(每次消费所获积点数相互独立,各次消费所获积点累积计算). 记顾客初始积点数 ,第 次消费后的积点数为 ,规定: 当积点达到或超过 5 (即 ) 时,自动兑换一杯免费奶茶,兑换后积点数重置为 .
(1)求 、 的值,并计算 的数学期望 ；
(2)设 ，请用 表示 ;
(3)记 为第 次消费后的积点数 的数学期望,证明: .
重庆市高 2026 届高三第四次质量检测
数学试题参考答案与评分细则
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
选项 B C B A D C C A A C A B D A B D
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12.83
13.
14.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
解: (1) 由余弦定理得 ,即 ,
由正弦定理得 ,即 ; 6 分
(2)由(1)知 ，即 ，
即 ,又 ,联立解得 ,
. 13 分
16. (15 分)
解:(1)由题知 ，故 ，故椭圆 的方程为 ； 4 分
(2)由题知可设直线 的方程为 ,与 的方程联立得 ，
,
设 ,则 ,
. 15 分
17. (15 分)
解: ,由题知 即 对 恒成立,
令 ,则 ,
在 上单调递增,在 上单调递减, 7 分
(2)设切点为 ，则切线方程为 ， 代入点 得 ,设切线 的切点分别为 ,则 是关于 的方程 的两个不等正实根,故 且 ,
,
故 的取值范围为 . 15 分
18. (17 分)
解: (1) 证明: 以 为坐标原点, 为 轴正方向, 为 轴正方向, 为 轴正方向如图所示建立空间直角坐标系.
令 ,
则 ,
,显然平面 的一个法向量为 ,
又 平面 平面 . 4 分
(2)
令平面 的法向量
令平面 的法向量
由题, 或
二面角 的平面角为锐角, ,即 . 9 分
② 设
,平面 的法向量
,当且仅当 时取等.
的最小值为 ,当 时取等. 17 分
19. (17 分)
解: (1) “ ” 只能是第一次和第二次均获得 3 个积点,故 ;
“ ” 只能是第一次获得 1 个积点、第二次获得 2 个积点,或者第一次获得 2 个积点、第二次获得 1 个积点,故 ; 同理可得:
,
所以 . 6 分
(2)由题意可知: ，即第 次积点为0，由 的取值只能为 0,1,2,3,4,
且第 次只能获得 1 个、 2 个或 3 个积点,故 “ ” 只能是 、第 次获得 3 个积点， 或者 、第 次获得 2 个积点,或者 、第 次获得 1 个积点,
即 ,
所以 . 10 分
(3)由(2)同理可得: ，
,且 ,
又 ,所以 ,
数学试题
命审单位:重庆南开中学
注意事项:
1．本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 在复平面内,复数 对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
3. 已知平面向量 ,若 ,则
A. 2 B. C. 3 D. 5
4. 已知圆 经过原点和点 ，并且圆心在直线 上，则圆 的方程为
A. B.
C. D.
5. 已知 ,则
A. B. C. D.
6. 已知三条不同的直线 和两个不同的平面 满足: ,则直线 与直线 异面的一个充分不必要条件为
A. 与 不相交 B. 且 C. 且 D.
7. 已知函数 ,若 ,且 在 上有最大值,则 的最小值为
A. 1 B. 4 C. 7 D. 11
8. 在平面直角坐标系 中,若对任意的点 ,都存在点 且 ,使得 且 ,则
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分.
9. 若实数 满足 且 ,则
A. B.
C. D.
10. 过直线 上一动点 作圆 的两条切线,切点分别为 ,记 的垂心为 ,则
A. 四边形 为菱形 B. 的最小值为
C. 在圆 上 D. 到直线 距离的最小值为 2
11. 在三棱锥 中, ,且点 在平面 上的射影位于 内部,记二面角 ,
的大小分别为 ,则
A. B.
C. D.
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 样本数据62,75,81,73,90,68,85,78的上四分位数为_____.
13. 在正三棱柱 中， ，则在该正三棱柱内可放入的最大球的体积为_____.
14. 函数 在区间 内存在零点，且该零点不是 的极值点，则实数 的取值范
围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)在 中，角 的对边分别为 .
(1)证明: ；
(2)若 ，求 .
16. (15 分)已知椭圆 的左顶点为 ，且离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 的直线 交 于不同的两点 (异于点 )，记直线 的斜率分别为 ， 求 .
17. (15 分)
已知函数 .
(1)若函数 在定义域内单调递增，求 的取值范围；
(2)若过点 可作曲线 的两条切线 ，记直线 的斜率分别为 ，求 的取值范围.
18. (17 分)如图所示,在长方体 中,点 分别是直线 上的动点.
(1)若 ， 分别为线段 ， 的中点，证明: 平面 ；
(2)若 ，且二面角 的余弦值为 .
① 求 ；
②若直线 与平面 所成角为 ，求线段 长度的最小值.
19. (17 分)
某奶茶店推出“积点兑换”活动,顾客每次消费后可随机获得 1 个、 2 个或 3 个积点,对应概率分别为 ,(每次消费所获积点数相互独立,各次消费所获积点累积计算). 记顾客初始积点数 ,第 次消费后的积点数为 ,规定: 当积点达到或超过 5 (即 ) 时,自动兑换一杯免费奶茶,兑换后积点数重置为 .
(1)求 、 的值,并计算 的数学期望 ；
(2)设 ，请用 表示 ;
(3)记 为第 次消费后的积点数 的数学期望,证明: .
重庆市高 2026 届高三第四次质量检测
数学试题参考答案与评分细则
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
选项 B C B A D C C A A C A B D A B D
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12.83
13.
14.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
解: (1) 由余弦定理得 ,即 ,
由正弦定理得 ,即 ; 6 分
(2)由(1)知 ，即 ，
即 ,又 ,联立解得 ,
. 13 分
16. (15 分)
解:(1)由题知 ，故 ，故椭圆 的方程为 ； 4 分
(2)由题知可设直线 的方程为 ,与 的方程联立得 ，
,
设 ,则 ,
. 15 分
17. (15 分)
解: ,由题知 即 对 恒成立,
令 ,则 ,
在 上单调递增,在 上单调递减, 7 分
(2)设切点为 ，则切线方程为 ， 代入点 得 ,设切线 的切点分别为 ,则 是关于 的方程 的两个不等正实根,故 且 ,
,
故 的取值范围为 . 15 分
18. (17 分)
解: (1) 证明: 以 为坐标原点, 为 轴正方向, 为 轴正方向, 为 轴正方向如图所示建立空间直角坐标系.
令 ,
则 ,
,显然平面 的一个法向量为 ,
又 平面 平面 . 4 分
(2)
令平面 的法向量
令平面 的法向量
由题, 或
二面角 的平面角为锐角, ,即 . 9 分
② 设
,平面 的法向量
,当且仅当 时取等.
的最小值为 ,当 时取等. 17 分
19. (17 分)
解: (1) “ ” 只能是第一次和第二次均获得 3 个积点,故 ;
“ ” 只能是第一次获得 1 个积点、第二次获得 2 个积点,或者第一次获得 2 个积点、第二次获得 1 个积点,故 ; 同理可得:
,
所以 . 6 分
(2)由题意可知: ，即第 次积点为0，由 的取值只能为 0,1,2,3,4,
且第 次只能获得 1 个、 2 个或 3 个积点,故 “ ” 只能是 、第 次获得 3 个积点， 或者 、第 次获得 2 个积点,或者 、第 次获得 1 个积点,
即 ,
所以 . 10 分
(3)由(2)同理可得: ，
,且 ,
又 ,所以 ,
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