八年级数学人教版上册第16章《整式的乘法》期末单元复习题（含答案）

第16章《整式的乘法》期末单元复习题
题型1 幂的运算
重难点一 幂的运算
1．计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
2．解答下列问题：
(1)若，求的值；
(2)已知为正整数，且，求的值；
3．（1）已知，求的值．
（2）已知，求的值．
4．观察下列式子回答问题．
(1)已知：，求的值；
(2)已知：，求的值；
(3)已知：，，求的值．
重难点二 利用幂的运算比较大小
5．若，比较a、b、c的大小（　　）
A．abc B．bac C．cab D．cba
6．已知，试比较a，b，c的大小，用“”将它们连接起来： ．
7．阅读下列两则材料，解决问题：
材料一：比较和的大小．
解：，且，
，即．
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小．
材料二：比较和的大小．
解：，且，
，即．
小结：底数相同且大于1的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小．
【方法运用】
(1)比较、、的大小；
(2)比较、、的大小；
(3)已知，，，，比较、的大小；
(4)比较与的大小．
重难点三 通过已知幂，求字母之间存在的关系式
8．若（a，b是常数），则a，b满足的关系式是 ．
9．规定：若实数x，y，z满足，则记作．若记，，，则a，b，c三者之间的关系式是 ．
10．已知，，，现给出3个数，，之间的三个关系式：
①；
②；
③．
其中正确的关系式是 （填序号）．
11．已知：，，
(1)求代数式的值；
(2)试求a、b、c所满足的数量关系式．
重难点四 已知两个幂的值求代数式的值
12．实数a，b，c满足，，，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
13．实数ab，c满足，，，则代数式的值为（ ）
A．2023 B．2024 C．4048 D．4049
14．已知满足，则代数式的值为 ．
15．已知 ，则代数式 ．
题型2 整式的乘法
重难点一 整式的乘除混合运算
16．计算：
(1)； (2)；
(3)．
17．计算：
(1)； (2)；
(3)．
18．计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
19．计算：
(1) (2)
简便运算：
(3) (4)
重难点二 化简问题
20．先化简，再求值：， 其中a、b满足．
21．先化简，再求值：，已知满足．
22．先化简，再求值：
(1)，其中．
(2)其中，．
重难点三 根据单项式/多项式与多项式相乘不含某项求参数
23．要使中不含有的四次项，则等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
24．若恒成立，则 ．
25．已知：化简的结果中不含项和项．
(1)求的值；
(2)式子是否是完全平方式？如果是，请将其分解因式；如果不是，说明理由．
26．已知关于的代数式的中不含项与项．
(1)求，的值；
(2)求代数式的值．
27．若的积中不含x项与项．
(1)求p，q的值；
(2)比较的大小；
(3)是否是完全平方式？如果是，请将其分解因式；如果不是，请说明理由．
重难点四 与整式乘法有关的无关型问题
28．定义，如．
(1)若，求x的值；
(2)若的值与x无关，求值．
29．【感悟方法】
数学研究的对象包括生活中的变量及变量之间的关系，有些运算结果由每个变量的值来确定，也有些运算结果与某个变量无关，但这个无关的变量有时也有它的意义．
已知代数式的值与字母x的取值无关，其中a，b是常数，求a，b的值．求解过程如下：
解：原式
，
代数式的值与字母x的取值无关，
，，
解得，，；
【迁移运用】
请用上面的解题方法解决下面的问题：
某自行车专卖店计划购进甲、乙两种品牌的自行车．已知甲品牌的进价为 1000 元/辆，乙品牌的进价为1200元/辆．该商店决定购进两种品牌的自行车共30辆，有多种进货方案．销售一辆甲品牌的自行车利润率为50%，乙品牌的售价为每辆2000元．为鼓励顾客多消费，商店决定每售出一辆乙品牌的自行车，返还顾客现金a元，甲品牌的自行车售价不变．设商店购进甲品牌的自行车x辆，要使不同进货方案所购进的自行车全部售出后，商店最终获利相同，求a的值．
30．已知代数式的值与x的取值无关．
(1)求a，b的值；
(2)当为何值时有最小值？并求出最小值．
重难点五 与整式乘法有关的错解问题
31．（）已知，，且的值与无关，求的值；
（）某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是多少？
32．甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是．
(1)求的值；
(2)若整式中的的符号不抄错，第二个多项式中的系数没抄漏，请计算这道题的正确结果．
33．甲、乙二人共同计算一道整式乘法：，由于甲抄错为，得到的结果为；而乙抄错为，得到的结果为．
(1)你能否知道式子中的a，b的值各是多少？
(2)请你计算出这道整式乘法的正确答案．
34．已知，均为整式，小马在计算时，误把“”抄成了“”这样，他计算的正确结果为．
(1)求的正确结果；
(2)当时，求的值．
重难点六 整式混合运算的应用
35．某同学用长为、宽为的小长方形（如图）若干个拼成不同的大长方形，如图、图和图是拼成的不完整的长方形，已知砖块中间无缝隙．根据图示回答下列问题：
(1)图中的空白面积为______；（用含，的代数式表示）
(2)求图中的空白面积；（用含，的代数式表示）
(3)若图和图中的空白面积分别为，，求图中的小长方形面积．
36．如图1，现有两张长为a，宽为b的长方形纸片，将它们按图2，图3两种方式放置在正方形中，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖的部分用阴影表示，图2中阴影部分面积记为，图3中阴影部分面积记为，图2和图3中两张长方形纸片重叠部分面积分别记为和．
(1)当正方形的边长为x时，________，_______．（用含a，b，x的代数式表示，不用化简）；
(2)若图1中长方形纸片的面积为40，周长为26，求①的值；②的值；
(3)请判断的值与的值是否有关？并说明理由
37．如图①，在边长为的大正方形纸片中，剪掉边长的小正方形，得到图②，把图②阴影部分剪下，按照图③拼成一个长方形纸片．
(1)用a，b的式子表示拼成的图③这个长方形纸片的长和宽；
(2)把图③这个长方形纸片的面积加上后，就和另一个新的长方形面积相等．已知这个新长方形的长为，求这一新长方形的宽．
38．有一电脑程序如图，能处理整式的相关计算，若输入整式，整式后，屏幕上自动呈现整式，但由于屏幕大小有限，只显示了整式的一部分：．
(1)求程序自动呈现的整式；
(2)在（1）的条件下，琪琪发现：若取某个正整数时，整式的值大于5，求满足条件的的最小值．
39．阅读与理解
下面是小明同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
2024年×月×日 星期日 多项式除以多项式 我们学习过多项式乘多项式，根据法则，可知，那么再根据除法是乘法的逆运算，可得，这就是多项式除以多项式．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，可仿照用竖式计算（如图）． 因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算．
(1)任务一：材料中，由整数的竖式除法到多项式除以多项式的竖式除法，主要运用的数学思想是______．（单选）
A．数形结合思想 B．类比思想 C．分类讨论思想 D．公理化思想
(2)任务二：仿照例子的做法用竖式除法计算______．
(3)任务三：若的商为整式，则______．
40．甲、乙两个长方形，其边长如图所示，其面面积分别为，．
(1)比较与的大小．
(2)若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，设该正方形的面积为，试探圥：与的差是否为为定值？若为定值，请求出该值；如果不是，请说明理由．
重难点七 与整式乘法有关的新定义问题
41．对于整数a，b定义运算：（其中m，n为常数），如．
(1)若，，求的值；
(2)若， ，求的值
42．对于任意有理数a，b，c，d，我们定义：．例如．
(1)计算：________；
(2)按这个规定请你计算：当时，求的值．
43．定义，如．已知(n为常数)， ．
(1)若，求x的值；
(2)若A的代数式中不含x的一次项，且，求的值；
(3)若A中的n满足，且，求的值．
44．定义新运算：．
例如：，．
(1)计算；计算；
(2)已知，，说明：的值与m无关；
(3)已知，记，，试比较M，N的大小．
重难点八 整体代入法
45．阅读下列文字，并解决问题．
已知，求的值．
分析：考虑到满足的的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入．
解：原式
请你用上述方法解决问题：已知，
(1)求的值．
(2)求的值．
46．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在代数式的化简与求值问题中应用极为广泛，例如：已知，在求多项式的值时，我们常常将多项式写成的形式，再将代入即可得到．请同学们尝试利用“整体思想”解决下列问题：
(1)已知，求代数式的值；
(2)已知，求代数式的值；
(3)若关于x的多项式化简后的结果中项的系数为1，若，，求代数式的最小值．
47．先化简，再求值：，其中．[提示：可以将看做一个整体]
48．请阅读以下材料：
[材料]若，，试比较，的大小．
解：设，那么，．
因为，
所以．
我们把这种方法叫做换元法．
请仿照例题比较下列两数大小：，．
题型3 乘法公式
重难点一 利用乘法公式进行计算
49．若，则的值为 ．
50．发现：，，，，，，，，依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是 ．
51．计算 ．
52．若是一个完全平方式，则 ．
53．若，则的值为 ．
重难点二 对完全平方式变形求值
54．若，则 ．
55．若，，，，则 ．
56．已知，试求下列各式的值：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
57．已知．
求：
(1)的值；
(2)的值．
58．已知，．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值；
(4)求的值．
重难点三 配方法的应用
59．阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题．
例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？
∴当时，代数式有最小值．
【直接应用】
（1）仿照上述例子解决问题：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值；
【拓展应用】
（2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成．
①请用含x的代数式表示矩形鸡场的面积；
②当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？
60．将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在求代数式的最值问题时有广泛的应用．
例如：求多项式的最大值．
解：．
，
，
当时，多项式有最大值，最大值为4．
根据上述材料，解答下列问题．
(1)求多项式的最大值．
(2)比较多项式与多项式的大小，并说明理由．
(3)求多项式的最小值．
61．已知．
(1)若，请求出x的值；
(2)请比较A与B的大小，并说明理由．
重难点四 乘法公式在几何图形中的应用
62．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）．
(1)上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个）
A．
B．
C．
(2)若，求的值；
(3)计算：．
63．在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，比如：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如：，我们称12，20，28这三个数为“智慧数”．
(1)36______“智慧数”（填“是”或“不是”）；
(2)设两个连续偶数是和（其中n取正整数），由这两个连续偶数构造的“智慧数”是4的倍数吗？为什么？
(3)如图，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数，……按此规律拼接到正方形，其边长为100，求阴影部分的面积．
64．如图1，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2所示．
(1)通过观察，图1阴影部分的面积是 ，图2中阴影部分的面积是 ，可以得到的乘法公式是 ；（用含a，b的等式表示）
(2)应用上述乘法公式解答下列问题：
①计算：；
②若，，求的值．
65．（1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）公式①：； 公式②：；公式③： 公式④：．图1对应公式 ，图3对应公式 ．
（2）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？
①已知，，求的值；
②已知，求的值．
（3）如图5，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，若，正方形和正方形面积和为，直接写出阴影部分的面积 ．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是90°）
66．观察图形，解决问题：
(1)如图①所示，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积：
方法一：______，方法二：______；结合以上两种方法可以得到数学公式______；
(2)当时，求的值；
(3)如图②所示，两个正方形，的边长分别为m，n．若，，求图中阴影部分的面积．
67．【知识生成】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
（1）观察图②，请你写出、、之间的等量关系是______；
（2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若，，求的值；
【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式；
（3）根据图③，写出一个代数恒等式：_________；
（4）已知，，利用上面的规律求的值．
68．阅读下列材料，完成后面的任务．
我们知道，完全平方公式有：；．在解题过程中，根据题意，若将公式进行变形，则可以达到快速求解的目的，其变形主要有下列几种情形：
①；②．根据上述公式的变形，可以迅速地解决相关问题．
例如：若，求的值．
解：．
任务：
(1)若，则______；
(2)若，求的值；
(3)如图，是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形．设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积．
重难点五 利用乘法公式进行简便计算
69．用乘法公式进行简便运算：
(1)； (2)．
70．用完全平方公式进行简便计算
(1) (2)
71．简便计算：．
72．简便运算
(1)； (2)；
(3)； (4)．
参考答案
题型1 幂的运算
重难点一 幂的运算
1．（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式；
（4）解：原式．
2．（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：
．
3．解：（1）
，
把代入得：原式．
（2）∵，
∴，
∴
．
4．（1）解：
∴，解得．
（2）解：
∵
∴
（3）解：
重难点二 利用幂的运算比较大小
5．B
解：，
∵，
∴bac，
故选B．
6．
解： ，
，
，
，
故答案为：．
7．（1）解：∵，，，
∵，
∴，
即；
（2）∵，，，
∵，
∴，
即；
（3）∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（4）∵，，
又∵，
∴．
重难点三 通过已知幂，求字母之间存在的关系式
8．
解：，
，
且，
．
故答案为：．
9．
解：由定义可知：，
，
，
，
，
故答案为：．
10．①③
解：，，
，，
，，，
故其中正确的关系式是①③，
故答案为：①③．
11．（1）解：∵，，
∴；
（2）∵，，，
∴，
∴，
∴．
重难点四 已知两个幂的值求代数式的值
12．D
解：∵，，，
∴，
∴，即，
∵，
∴，即，
∴
，
故选：D．
13．D
解：∵，，
∴，
∴，
则，
∵，
∴，
则，
∴
．
故选：D．
14．6
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴
；
故答案为：
15．1
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1．
题型2 整式的乘法
重难点一 整式的乘除混合运算
16．（1）解：
；
（2）
；
（3）
．
17．（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式．
18．（1）解：
（2）
（3）
（4）
19．（1）解：，
，
，
；
（2），
，
，
，
；
（3），
，
，
；
（4），
，
，
，
．
重难点二 化简问题
20．解：
，
∵
∴且
∴，，
∴原式．
21．解：原式
．
，
，
，即，
故原式．
22．（1）解：
，
当时，原式；
（2）解：
，
当，时，原式．
重难点三 根据单项式/多项式与多项式相乘不含某项求参数
23．B
原式
中不含有的四次项，
，
解得：．
故本题选：B．
24．-4
解： ，
恒成立，
，，，
，，，
所以．
故答案为：-4．
25．（1）解：原式
，
∵化简的结果中不含项和项，
∴，，
解得，；
（2）解：式子不是完全平方式，理由如下：
由（）得，，，
∴，
∴式子不是完全平方式．
26．（1）解：
，
不含项与项，
，
解得：；
（2）解：．
27．（1）
∵多项式中不含x项与项，
∴
∴；
（2），，，
∴；
（3）是完全平方式，
∵．
重难点四 与整式乘法有关的无关型问题
28．（1）解：根据题意得，
整理得，
；
（2）解：
∵值与x无关，
∴
解得，
∴．
29．解：设甲品牌的自行车购进x辆，则乙品牌自行车购进辆，此时获 得的总利润为：
，
要使不同进货方案所购进的自行车全部售出后，商店最终获利相同，即商店获得的利润与 x 无关
，
，
a的值为300．
30．（1）解：
，
此代数式的值与的取值无关，
∴
，．
（2）解：，，
，
由于，，
故当，时，
即时，
此代数式有最小值为．
重难点五 与整式乘法有关的错解问题
31．解：（）∵，，
∴
，
∵的值与无关，
∴，
∴；
（）这个多项式为，
∴正确的计算结果是．
32．（1）解：甲抄错了的符号的计算结果为：，
故：对应的系数相等，，；
乙漏抄了第二个多项式中的系数，计算结果为：．
故对应的系数相等，，，
，
解得：，
；
（2）解：由（1）可知，，
正确的计算结果：
．
33．（1）根据题意可知，甲抄错为，得到的结果为，
那么，
可得
乙抄错为，得到的结果为，
可知
可得，
解关于的方程组，可得，；
（2）正确的式子：
34．（1）解：
,
∵，
，
∴,
∴
；
（2）当时，
．
重难点六 整式混合运算的应用
35．（1）解：由图可知小长方形的面积为，
由图可知，正方形的边长为，
正方形的面积为，
空白部分的面积为；
（2）解：由图可知，长方形的长为，宽为，
长方形的面积为，
图中共有个小长方形，
图4中的空白面积为：；
（3）解：图中的空白面积为：，
，
图中的空白面积为：，
，
解得：，
图中的小长方形的面积为．
36．（1）解：当正方形的边长为x时，
图2中阴影部分的面积：；
图2中阴影部分的面积：；
故答案为：，．
（2）解：∵图1中长方形纸片的面积为40，周长为26，
∴，即，
①，
∴．
②
．
（3）解：，理由如下：
当正方形的边长为x时，
由图2中两张长方形纸片重叠部分面积：，
由图3中两张长方形纸片重叠部分面积：，
∴
，
∵，
∴．
37．（1）解：长方形的长为：，
长方形的宽为：；
（2）解：另一个长方形的宽：
．
38．（1）解：由题意可得：
程序自动呈现的整式为．
（2）解：
，
整式的值大于5，
，解得，
为正整数，
的最小值为1．
39．（1）解：根据整数的竖式除法到多项式除以多项式的竖式除法，是类比思想，
故选：B，
（2）解：
故答案为：；
（3）解：
∵商为整式，余数为0，
∴，
，
故答案为：2．
40．（1）解：根据长方形的面积公式可得：，，
∴
，
故；
（2）解：正方形的周长为：，
正方形的边长为：，
，
，
故与的差是定值，定值为10．
重难点七 与整式乘法有关的新定义问题
41．（1）解：∵，且，
∴
，
故答案为：3
（2）解：∵， ，，
∴，
整理得，
∴，
即，
∴，
把代入，
∴，
∴
．
42．（1）解：．
故答案为：．
（2）解：
．
43．（1）解：
∵，
∴，
∴；
（2）解：
∵A的代数式中不含x的一次项，
∴，
∵，
∴，
∴时， ．
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
44．（1）解：，
；
（2）∵，，
∴，，
∴①，②，
①＋②×2得，，
∴的值与m无关；
（3），，
∴，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
即．
重难点八 整体代入法
45．（1）解：；
（2）解：
，
，
，
，
．
46．（1）∵，
∴，
∴
（2）∵
∴
∴
∴原式
（3）解：
；
依题意，系数为1
∴
∴
∵，，，
∴原式
∴最小值为．
47．解：
当时，
原式．
48．】解：令，，
∴，，
∵，
∴．
题型3 乘法公式
重难点一 利用乘法公式进行计算
49．7或
解：∵，
用平方差公式展开，得．
移项合并同类项，得．
开平方，得．
∴，或．
故答案为：7或．
50．6
解：，，，，，，，，
观察上面运算结果发现：当4的指数是奇数时，运算结果的个位数字是4；当4的指数是偶数时，运算结果的个位数字是6；
...
．
由规律可得的个位数字是6，
∴的结果的个位数字是6．
故答案为：6．
51．
解：
．
故答案为：．
52．
解：∵是一个完全平方式，
∴，
∴．
故答案为：．
53．35
解：∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为： ．
重难点二 对完全平方式变形求值
54．1
解：∵，，
由得，
∴
故答案为：1．
55．
，，
，
，，
，
，，
，
故答案为：．
56． 7
解：（1）∵，
∴，
，
即；
（2），
则，
，
；
（3），
，
，
则．
故答案为：（1）7；（2）；（3）．
57．（1）解：∵，
∴，
，
，
答：的值为；
（2）∵，
∴
，
∴．
58．（1）解：∵，，
∴．
（2）解：．
（3）解：由（2）得，则．
（4）解：∵，
∴．
重难点三 配方法的应用
59．解：（1），
，
，
当时，代数式有最小值1．
（2）①由题意可得：鸡场的长为，
则鸡场的面积：．
②，
∵，
∴，
当时，围成的矩形鸡场的面积最大．最大面积是．
∵，，
∴最大面积是符合题意．
60．（1）解：，
∵，
∴，
∴当时，多项式有最大值，最大值是；
（2）解：，理由如下，
，
∵，
∴，即，
∴；
（3）解：
，
∵，
∴，
∴多项式的最小值为．
61．（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
答：x的值为；
（2）解：，理由如下：∵
，
又对于任意的x部有，
∴．
∴．
重难点四 乘法公式在几何图形中的应用
62．（1）解：图①的剩余面积为，图②拼接得到的图形面积为
因此有，，
故选：A；
（2）解：，，
；
（3）解：原式，
，
，
．
63．（1）解：∵，
∴36是“智慧数”；
故答案为：是；
（2）解：由这两个连续偶数构造的“智慧数”是4的倍数．
理由如下：
，
而是4的倍数，
∴由和（其中取正整数）这两个连续偶数构造的“智慧数”是4的倍数；
（3） ．
．
64．（1）解：图1阴影部分的面积是，
图2中阴影部分的面积是，
可以得到的乘法公式是；
故答案为：；；；
（2）解：①
；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
65．解：（1）图1，“整体”上看，是长为，宽为的长方形，因此面积为，从“部分”上看三个长方形的面积和为，
∴，故图1对应公式①；
图2，“整体”上看，是长为，宽为的长方形，因此面积为，从“部分”上看四个长方形的面积和为，
∴，故图2对应公式②；
图3，“整体”上看，是边长为的正方形，因此面积为，从“部分”上看四个部分的面积和为，
∴，故图3对应公式④；
图4，“整体”上看，是边长为的正方形，因此面积为，从“部分”上看四个部分的面积和为，
∴，即，故图4对应公式③；
故答案为：①；④；
（2）①把两边平方得：，
∴，
∵，
∴，
解得：；
②把两边平方得：，
∴，即，
∴ ；
（3）设，，则有，，
把两边平方得：，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：．
66．（1）解：方法一：阴影部分正方形的边长为：，
∴正方形的面积为：；
方法二：如图：
阴影部分的面积大正方形的面积；
故答案为：，，；
（2）解：令，
则，，
则，
∴，
解得，
∴；
（3）解：∵，
，
，
，
，
，
或（不符合题意，舍去），
．
67．解：（1）用两种方法表示出个长方形的面积：即大正方形面积减中间小正方形面积等于个长方形面积，可得：；
故答案为：；
（2）由题（1）知：，
∵，，
；
（3）根据题意得：；
故答案为：；
（4）由（3）可知，
把，代入得：
．
68．（1）解：∵，
∴，
故答案为：12．
（2）解：，
．
，
，
．
（3）解：设，则．
根据题意可知，
，
，
阴影部分的面积为．
重难点五 利用乘法公式进行简便计算
69．（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
70．（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
71．解：
72．（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
．