第一章《三角形的证明》基础卷—北师大版数学八（下）单元分层测
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2023八上·太和期中）在中，，，（ ）
A． B． C． D．
2．（2019八上·南丹期中）如图，在△ABC中，E为AC边上一点，若∠1＝20°，∠C＝60°，则∠AEB等于（ ）
A．90° B．80° C．60° D．50°
3．（2021八上·五华期末）已知等腰三角形有两条边的长分别是2，5，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．12 B．9 C．12或9 D．7
4．（2025八上·嘉兴期末）如图，在等边中，，，交于点F，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八上·官渡期中）三角尺画角平分线：在已知的的两边上，分别取，再分别过点作的垂线，交点为．则可通过得到平分．可判定的方法是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025八上·温州月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝15°，作AC的中垂线L交BC于点D，连接AD，若AB＝2，则BD的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
7．（2025八上·绍兴月考）△ABC的三条边分别为a、b、c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是 ( )
A．∠C=∠A-∠B
B．
C．∠A： ∠B： ∠C=3： 4： 5
D．
8．（2025八上·杭州月考）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC=3，OD=6，则△POD的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于60°”时，应假设 ．
10．（2025八上·广州期中）如图，一棵树（树干与地面垂直）受强风影响，在离地面4m处折断，倒下后的树顶与地面成30°角，则这棵树原来的高度是 m.
11．（2025八上·瑞安期中）已知命题“有两个角互余的三角形是直角三角形”。这个命题的逆命题是 .
12．（2025八上·长沙期中）如图，在 Rt△ABC中， ，根据图中尺规作图的痕迹，可得 °.
13．（2024八上·大连月考）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．（2025八上·杭州期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F.
（1）求证：△ADF是等腰三角形；
（2）若∠F=30°，BD=4，EC=6，求AC的长.
15．（2025八上·长沙期中）如图，在 中，
（1）求证： 为直角三角形；
（2）若 的平分线CE交AB于点E， 于点D， 求 的度数.
16．（2025八上·杭州月考）如图，在 中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于M，交AC于N.
（1）若 求 的度数.
（2）连接NB，若 的周长是14cm. 求BC的长.
17．（2025八上·南湖期中）如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．
（1）若，求点到的距离；
（2）直接写出线段、、存在的数量关系．
18．（2025八上·遵义期末）如图，物流超市在街道和之间，某物流公司计划修建一个物流中转站，请按以下要求在图中作出物流中转站的具体位置（不写作法，保留作图痕迹）．
（1）若中转站修在街道上，且到物流超市的距离相等，请在图中作出中转站的具体位置．
（2）若中转站到物流超市的距离相等，且到街道和的距离也相等，请在图中作出中转站的具体位置．
19．（2025八上·义乌月考）勾股定理的验证方法有很多，其中主要用的是等面积法（也称“算两次），即用整体计算面积和分割计算面积的两种方法列出等式，然后化简，即可验证勾股定理，如图.
（1）要表示图中直角梯形的面积，用整体计算面积得 ，用分割计算面积得 .
（2）请尝试验证勾股定理。
20．（2025八上·通渭期中）阅读与思考
下面是森森同学写的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务.
×年×月×日 星期四 数学推理真有趣 今天数学课上学习了一个“二推一模型”，意思就是平行线、角平分线和等腰三角形，这三个条件只要已知其中的任意两个，就能推导出第三个. 第一种情况：已知：如图，AB∥CD，CE是∠ACD的平分线. 求证：△ACE是等腰三角形. 证明：∵AB∥CD，∴∠AEC=∠ECD. ∵CE是∠ACD的平分线，∴∠ACE=∠ECD， ∴∠AEC=∠ACE，∴AC=AE(依据)，∴△ACE是等腰三角形. 第二种情况：…… 第三种情况：……
（1）上述证明过程中，依据是 ；
（2）请你参照日记中的第一种情况，写出其余两种情况的已知和求证，并选择其中一种进行证明.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：在中，，，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据三角形的内角和定理计算即可；
2．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：由三角形的外角性质可知，∠AEB＝∠1+∠C＝80°，
故答案为：B.
【分析】根据三角形的外角性质计算，得到答案.
3．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况：
当腰为2时，2+2＜5，所以不能构成三角形；
当腰为5时，5+2＞5，所以能构成三角形，周长是：5+5+2=12．
故答案为：A．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形三边的关系求解即可。
4．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；等腰三角形的性质-三线合一；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=∠BAC=30°，
由图可知，∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°-30°=60°，
故答案为：A.
【分析】根据等边三角形的性质可知∠BAC=60°，AB=AC，再根据等腰三角形三线合一可知∠CAD=∠BAC=30°，最后由直角三角形两锐角互余即可得出答案．
5．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故选：D．
【分析】
由作图过程可知∠PMO=∠PNO=90°，所以△OMP和△ONP是直角三角形。又已知OM=ON，且OP是两个直角三角形的公共斜边。在两个直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等，符合“HL”（斜边 - 直角边）全等判定定理。
6．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵直线垂直平分，
．
．
．
，
．
．
故选：C．
【分析】根据垂直平分线的性质求出DA=DC，然后根据三角形的外角和等边对等角求出AD长，然后根据勾股定理解答即可.
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：∵ 三角形内角和为，
选项A：，
代入，
得，
∴，，能判断直角三角形；
选项B：，即，
∴ 符合勾股定理逆定理，能判断直角三角形；
选项C：设，，，
则，解得，
∴，，，无直角，不能判断直角三角形；
选项D：，，，
∵，，
∴，符合勾股定理逆定理，能判断直角三角形．
故选：C．
【分析】选项A通过角关系推出直角，选项B通过边关系推出直角，选项D通过勾股定理逆定理推出直角，选项C通过比例计算角无直角，由此判断选项即可．
8．【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意，过点P作 垂足为E，
∵OP平分且
故选： B.
【分析】过点P作 于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PC=3，即可解答.
9．【答案】每一个内角都大于60°
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：根据反证法可知：每一个内角都大于60°．
故答案为：每一个内角都大于60°．
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可.
10．【答案】12
【知识点】含30°角的直角三角形；风吹树折模型
【解析】【解答】解：由题意得，，，
，
，即这棵树原来的高度是12m，
故答案为：
【分析】先根据题意得到，，，进而根据含30°角的直角三角形的性质得到，从而即可求解。
11．【答案】直角三角形两锐角互余
【知识点】逆命题；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：“有两个角互余的三角形是直角三角形”的逆命题“直角三角形的两个锐角互余”.
故答案为：直角三角形的两个锐角互余 .
【分析】把原命题的题设和结论交换位置得到逆命题即可.
12．【答案】50
【知识点】尺规作图-垂直平分线；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：由尺规作图痕迹可得BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∵∠C=50°，
∴∠CBD=90°-∠C=40°，
∵∠ABC=90°，
∴ 90°-∠CBD=50°.
故答案为：50.
【分析】由尺规作图痕迹可得BD⊥AC，进而求出∠BDC=90°，再根据直角三角形的两个锐角互余，可得∠CBD的度数，最后根据角的和差即可得出答案.
13．【答案】
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定；角平分线的判定
【解析】【解答】解：过作于，
由题意得：，，，
平分，
，
∵，
，
，
，
、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，
，
的长度是．
故答案为：．
【分析】
首先过点P作PN⊥OB于点N，因为两把直尺完全相同，所以由直尺的性质可知，从直尺顶点M到OA的距离PM和从点P到OB的距离PN相等（即PM = PN）。又因为PM⊥OA，根据角平分线的判定定理（到角两边距离相等的点在角的平分线上），可以得出OP平分∠AOB，即∠COP = ∠NOP。然后由于PC和OB是由直尺放置形成的平行关系（PC∥OB），根据两直线平行，内错角相等的性质，可知∠CPO和∠NOP相等。再结合上一步得到的∠COP = ∠NOP，从而推出∠COP = ∠CPO，进而根据等腰三角形等角对等边的性质，可知OC和PC这两条边相等，即OC = PC。最后根据已知点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，那么PC的长度就等于P点的刻度读数减去C点的刻度读数，进而得到OC的长度。
14．【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵FE⊥BC，
∴∠F+∠C=90°，∠B+∠BDE=90°，
∴∠F=∠BDE，
∵∠BDE=∠FDA，
∴∠F=∠FDA，
∴AF=AD，
∴△ADF是等腰三角形
（2）解：∵DE⊥BC，
∴∠DEB=90°，
∵∠F=30°，
∴∠BDE=30°，∠B=60°，
∵BD=4，
∴，
∵AB=AC，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=BE+EC=8
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)由等腰三角形的性质知B=C，由互余关系知∠F=∠BDE，即得∠F=∠FDA，知△ADF为等腰三角形；
(2)由含30°角的直角三角形的性质知BE的长，由等边三角形的性质可得AC的长.
15．【答案】（1）证明：∵在△ABC中，∠ACD＝∠B，∠BCD＝∠A，
且∠A＋∠B＋∠ACD＋∠BCD＝180°，
∴2(∠ACD＋∠BCD)＝180°，
∴∠ACD＋∠BCD＝90°，
∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝90°，
∴△ACB为直角三角形.
（2）解：∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵在Rt△DBC中，∠BCD＝90°－∠B＝90°－ 60°＝30°，
又∵CE平分∠ACB，且由(1)得：∠ACB＝90°，
∴∠ECB＝∠ACB＝45°，
∴∠DCE＝∠ECB－∠BCD＝45°－30°＝15°.
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余；直角三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和可得∠A＋∠B＋∠ACD＋∠BCD＝180°，进而得出∠ACD＋∠BCD＝90°，即可得证；
（2）先求出∠BCD的度数，再根据CE平分∠ACB，∠ACB＝90°求出∠ECB的度数，最后根据角的和差即可得出答案.
16．【答案】（1）解：∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB=70°
∴∠BAC=180°-2×70°=40°
∵MN是AB的垂直平分线
∴∠AMN=90°
∴∠MNA=180°-∠AMN-∠A=50°
（2）解：∵MN是AB的垂直平分线
∴AN=BN
∴△NBC的周长=BN+NC+BC=AN+NC+BC=AC+BC
∵AB=AC=8cm，△NBC的周长=14cm
∴BC=14-8=6cm
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】(1)根据AB=AC，可得∠ACB=∠ABC=70°，再运用三角形内角和定理求得∠BAC=180°-2×70°=40°，再运用三角形内角和定理进行相关计算即可得到结果；
(2)根据线段垂直平分线的性质定理，得AN=BN，进行相关计算即可得到结果.
17．【答案】（1）解：过点P作于E，如图所示：
∵，，
∴，
∵和分别平分和，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即点P到的距离是4．
（2）解：
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】（2）解：，理由如下：
由（1）可得，
又∵，
∴，
∴，
同理可得，
∴．
【分析】（1）过点P作于E，由平行线的性质推出PD⊥CD，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，，则，又，进而求出；
（2）利用“HL”证明，得到，同理可得，然后根据线段的和差、等量代换即可得到结论．
（1）解：过点P作于E，如图所示：
∵，，
∴，
∵和分别平分和，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即点P到的距离是4．
（2）解：；
证明：由（1）可得，
又∵，
∴，
∴，
同理可得，
∴．
18．【答案】（1）解：如图所示，中转站即为所求．
（2）解：如图所示，中转站即为所求．
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】(1)本题考察线段垂直平分线的尺规作图及应用，解题的依据是“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”。要找到街道n上到A、B距离相等的点，需作线段AB的垂直平分线，该垂直平分线与街道n的交点，即为满足条件的中转站P。
(2)本题考察角平分线和线段垂直平分线的综合作图，解题需结合两个条件：到A、B距离相等的点在AB的垂直平分线上，到街道m和n距离相等的点在∠mOn的角平分线上；因此作∠mOn的角平分线，与AB的垂直平分线的交点，即为同时满足两个条件的中转站Q。
（1）解：如图所示，中转站即为所求．
（2）解：如图所示，中转站即为所求．
19．【答案】（1）；
（2）证明：∵直角梯形ABCD的面积为
也可以表示为三个直角三角形的面积和，即
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】(1)用整体计算面积：直角梯形ABCD的面积 用分割计算面积：三个直角三角形的面积
故答案为：；；
【分析】(1)分别用两种方法“整体计算”和“分割计算”表示直角梯形ABCD的面积；
(2)两种方法表示出的直角梯形ABCD的面积相等，列出等式，整理后证明出 即可.
20．【答案】（1）等角对等边
（2）第二种情况：已知：如题图，△ACE是等腰三角形，
AC=AE，CE是∠ACD的平分线.
求证：AB//CD.
第三种情况：已知，如题图，△ACE是等腰三角形
AC=AE，AB//CD.
求证：CE是∠ACD的平分线
选择第二种情况，证明如下：
∵△ACE是等腰三角形，AC=AE，
∴∠AEC=∠ACE，
∵CE是∠ACD的平分线，
∴ACE=∠ECD，∠AEC=∠ECD，
∴AB//CD，
选择第三种情况，证明如下：
∵AB//CD，
∴∠AEC=∠ECD，
∵△ACE是等腰三角形，AC=AE，
∴∠AEC=∠ACE，
∴∠ACE=∠ECD，
∴CE是∠ACD的平分线，
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】
解：（1）在证明中，由∠AEC=∠ACE推出AC=AE，依据是等角对等边（在一个三角形中，相等的角所对的边也相等）。
故答案为：等角对等边，
【分析】（1）根据等腰三角形的判定定理，由角的关系推出边的关系的依据是等角对等边；
（2）首先明确“二推一模型”的三种组合，第一种是已知平行线和角平分线，求证等腰三角形；则另外两种情况为：
第二种情况：已知△ACE是等腰三角形，CE是∠ACD的平分线，求证AB∥CD；
第三种情况：已知△ACE是等腰三角形，AB∥CD，求证CE是∠ACD的平分线；
确定另外两种情况的已知和求证，再利用平行线性质、角平分线定义、等腰三角形性质或判定进行证明。
1 / 1第一章《三角形的证明》基础卷—北师大版数学八（下）单元分层测
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2023八上·太和期中）在中，，，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：在中，，，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据三角形的内角和定理计算即可；
2．（2019八上·南丹期中）如图，在△ABC中，E为AC边上一点，若∠1＝20°，∠C＝60°，则∠AEB等于（ ）
A．90° B．80° C．60° D．50°
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：由三角形的外角性质可知，∠AEB＝∠1+∠C＝80°，
故答案为：B.
【分析】根据三角形的外角性质计算，得到答案.
3．（2021八上·五华期末）已知等腰三角形有两条边的长分别是2，5，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．12 B．9 C．12或9 D．7
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况：
当腰为2时，2+2＜5，所以不能构成三角形；
当腰为5时，5+2＞5，所以能构成三角形，周长是：5+5+2=12．
故答案为：A．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形三边的关系求解即可。
4．（2025八上·嘉兴期末）如图，在等边中，，，交于点F，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；等腰三角形的性质-三线合一；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=∠BAC=30°，
由图可知，∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°-30°=60°，
故答案为：A.
【分析】根据等边三角形的性质可知∠BAC=60°，AB=AC，再根据等腰三角形三线合一可知∠CAD=∠BAC=30°，最后由直角三角形两锐角互余即可得出答案．
5．（2024八上·官渡期中）三角尺画角平分线：在已知的的两边上，分别取，再分别过点作的垂线，交点为．则可通过得到平分．可判定的方法是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故选：D．
【分析】
由作图过程可知∠PMO=∠PNO=90°，所以△OMP和△ONP是直角三角形。又已知OM=ON，且OP是两个直角三角形的公共斜边。在两个直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等，符合“HL”（斜边 - 直角边）全等判定定理。
6．（2025八上·温州月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝15°，作AC的中垂线L交BC于点D，连接AD，若AB＝2，则BD的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵直线垂直平分，
．
．
．
，
．
．
故选：C．
【分析】根据垂直平分线的性质求出DA=DC，然后根据三角形的外角和等边对等角求出AD长，然后根据勾股定理解答即可.
7．（2025八上·绍兴月考）△ABC的三条边分别为a、b、c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是 ( )
A．∠C=∠A-∠B
B．
C．∠A： ∠B： ∠C=3： 4： 5
D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：∵ 三角形内角和为，
选项A：，
代入，
得，
∴，，能判断直角三角形；
选项B：，即，
∴ 符合勾股定理逆定理，能判断直角三角形；
选项C：设，，，
则，解得，
∴，，，无直角，不能判断直角三角形；
选项D：，，，
∵，，
∴，符合勾股定理逆定理，能判断直角三角形．
故选：C．
【分析】选项A通过角关系推出直角，选项B通过边关系推出直角，选项D通过勾股定理逆定理推出直角，选项C通过比例计算角无直角，由此判断选项即可．
8．（2025八上·杭州月考）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC=3，OD=6，则△POD的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意，过点P作 垂足为E，
∵OP平分且
故选： B.
【分析】过点P作 于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PC=3，即可解答.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于60°”时，应假设 ．
【答案】每一个内角都大于60°
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：根据反证法可知：每一个内角都大于60°．
故答案为：每一个内角都大于60°．
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可.
10．（2025八上·广州期中）如图，一棵树（树干与地面垂直）受强风影响，在离地面4m处折断，倒下后的树顶与地面成30°角，则这棵树原来的高度是 m.
【答案】12
【知识点】含30°角的直角三角形；风吹树折模型
【解析】【解答】解：由题意得，，，
，
，即这棵树原来的高度是12m，
故答案为：
【分析】先根据题意得到，，，进而根据含30°角的直角三角形的性质得到，从而即可求解。
11．（2025八上·瑞安期中）已知命题“有两个角互余的三角形是直角三角形”。这个命题的逆命题是 .
【答案】直角三角形两锐角互余
【知识点】逆命题；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：“有两个角互余的三角形是直角三角形”的逆命题“直角三角形的两个锐角互余”.
故答案为：直角三角形的两个锐角互余 .
【分析】把原命题的题设和结论交换位置得到逆命题即可.
12．（2025八上·长沙期中）如图，在 Rt△ABC中， ，根据图中尺规作图的痕迹，可得 °.
【答案】50
【知识点】尺规作图-垂直平分线；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：由尺规作图痕迹可得BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∵∠C=50°，
∴∠CBD=90°-∠C=40°，
∵∠ABC=90°，
∴ 90°-∠CBD=50°.
故答案为：50.
【分析】由尺规作图痕迹可得BD⊥AC，进而求出∠BDC=90°，再根据直角三角形的两个锐角互余，可得∠CBD的度数，最后根据角的和差即可得出答案.
13．（2024八上·大连月考）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定；角平分线的判定
【解析】【解答】解：过作于，
由题意得：，，，
平分，
，
∵，
，
，
，
、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，
，
的长度是．
故答案为：．
【分析】
首先过点P作PN⊥OB于点N，因为两把直尺完全相同，所以由直尺的性质可知，从直尺顶点M到OA的距离PM和从点P到OB的距离PN相等（即PM = PN）。又因为PM⊥OA，根据角平分线的判定定理（到角两边距离相等的点在角的平分线上），可以得出OP平分∠AOB，即∠COP = ∠NOP。然后由于PC和OB是由直尺放置形成的平行关系（PC∥OB），根据两直线平行，内错角相等的性质，可知∠CPO和∠NOP相等。再结合上一步得到的∠COP = ∠NOP，从而推出∠COP = ∠CPO，进而根据等腰三角形等角对等边的性质，可知OC和PC这两条边相等，即OC = PC。最后根据已知点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，那么PC的长度就等于P点的刻度读数减去C点的刻度读数，进而得到OC的长度。
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．（2025八上·杭州期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F.
（1）求证：△ADF是等腰三角形；
（2）若∠F=30°，BD=4，EC=6，求AC的长.
【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵FE⊥BC，
∴∠F+∠C=90°，∠B+∠BDE=90°，
∴∠F=∠BDE，
∵∠BDE=∠FDA，
∴∠F=∠FDA，
∴AF=AD，
∴△ADF是等腰三角形
（2）解：∵DE⊥BC，
∴∠DEB=90°，
∵∠F=30°，
∴∠BDE=30°，∠B=60°，
∵BD=4，
∴，
∵AB=AC，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=BE+EC=8
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)由等腰三角形的性质知B=C，由互余关系知∠F=∠BDE，即得∠F=∠FDA，知△ADF为等腰三角形；
(2)由含30°角的直角三角形的性质知BE的长，由等边三角形的性质可得AC的长.
15．（2025八上·长沙期中）如图，在 中，
（1）求证： 为直角三角形；
（2）若 的平分线CE交AB于点E， 于点D， 求 的度数.
【答案】（1）证明：∵在△ABC中，∠ACD＝∠B，∠BCD＝∠A，
且∠A＋∠B＋∠ACD＋∠BCD＝180°，
∴2(∠ACD＋∠BCD)＝180°，
∴∠ACD＋∠BCD＝90°，
∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝90°，
∴△ACB为直角三角形.
（2）解：∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵在Rt△DBC中，∠BCD＝90°－∠B＝90°－ 60°＝30°，
又∵CE平分∠ACB，且由(1)得：∠ACB＝90°，
∴∠ECB＝∠ACB＝45°，
∴∠DCE＝∠ECB－∠BCD＝45°－30°＝15°.
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余；直角三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和可得∠A＋∠B＋∠ACD＋∠BCD＝180°，进而得出∠ACD＋∠BCD＝90°，即可得证；
（2）先求出∠BCD的度数，再根据CE平分∠ACB，∠ACB＝90°求出∠ECB的度数，最后根据角的和差即可得出答案.
16．（2025八上·杭州月考）如图，在 中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于M，交AC于N.
（1）若 求 的度数.
（2）连接NB，若 的周长是14cm. 求BC的长.
【答案】（1）解：∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB=70°
∴∠BAC=180°-2×70°=40°
∵MN是AB的垂直平分线
∴∠AMN=90°
∴∠MNA=180°-∠AMN-∠A=50°
（2）解：∵MN是AB的垂直平分线
∴AN=BN
∴△NBC的周长=BN+NC+BC=AN+NC+BC=AC+BC
∵AB=AC=8cm，△NBC的周长=14cm
∴BC=14-8=6cm
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】(1)根据AB=AC，可得∠ACB=∠ABC=70°，再运用三角形内角和定理求得∠BAC=180°-2×70°=40°，再运用三角形内角和定理进行相关计算即可得到结果；
(2)根据线段垂直平分线的性质定理，得AN=BN，进行相关计算即可得到结果.
17．（2025八上·南湖期中）如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．
（1）若，求点到的距离；
（2）直接写出线段、、存在的数量关系．
【答案】（1）解：过点P作于E，如图所示：
∵，，
∴，
∵和分别平分和，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即点P到的距离是4．
（2）解：
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】（2）解：，理由如下：
由（1）可得，
又∵，
∴，
∴，
同理可得，
∴．
【分析】（1）过点P作于E，由平行线的性质推出PD⊥CD，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，，则，又，进而求出；
（2）利用“HL”证明，得到，同理可得，然后根据线段的和差、等量代换即可得到结论．
（1）解：过点P作于E，如图所示：
∵，，
∴，
∵和分别平分和，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即点P到的距离是4．
（2）解：；
证明：由（1）可得，
又∵，
∴，
∴，
同理可得，
∴．
18．（2025八上·遵义期末）如图，物流超市在街道和之间，某物流公司计划修建一个物流中转站，请按以下要求在图中作出物流中转站的具体位置（不写作法，保留作图痕迹）．
（1）若中转站修在街道上，且到物流超市的距离相等，请在图中作出中转站的具体位置．
（2）若中转站到物流超市的距离相等，且到街道和的距离也相等，请在图中作出中转站的具体位置．
【答案】（1）解：如图所示，中转站即为所求．
（2）解：如图所示，中转站即为所求．
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】(1)本题考察线段垂直平分线的尺规作图及应用，解题的依据是“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”。要找到街道n上到A、B距离相等的点，需作线段AB的垂直平分线，该垂直平分线与街道n的交点，即为满足条件的中转站P。
(2)本题考察角平分线和线段垂直平分线的综合作图，解题需结合两个条件：到A、B距离相等的点在AB的垂直平分线上，到街道m和n距离相等的点在∠mOn的角平分线上；因此作∠mOn的角平分线，与AB的垂直平分线的交点，即为同时满足两个条件的中转站Q。
（1）解：如图所示，中转站即为所求．
（2）解：如图所示，中转站即为所求．
19．（2025八上·义乌月考）勾股定理的验证方法有很多，其中主要用的是等面积法（也称“算两次），即用整体计算面积和分割计算面积的两种方法列出等式，然后化简，即可验证勾股定理，如图.
（1）要表示图中直角梯形的面积，用整体计算面积得 ，用分割计算面积得 .
（2）请尝试验证勾股定理。
【答案】（1）；
（2）证明：∵直角梯形ABCD的面积为
也可以表示为三个直角三角形的面积和，即
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】(1)用整体计算面积：直角梯形ABCD的面积 用分割计算面积：三个直角三角形的面积
故答案为：；；
【分析】(1)分别用两种方法“整体计算”和“分割计算”表示直角梯形ABCD的面积；
(2)两种方法表示出的直角梯形ABCD的面积相等，列出等式，整理后证明出 即可.
20．（2025八上·通渭期中）阅读与思考
下面是森森同学写的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务.
×年×月×日 星期四 数学推理真有趣 今天数学课上学习了一个“二推一模型”，意思就是平行线、角平分线和等腰三角形，这三个条件只要已知其中的任意两个，就能推导出第三个. 第一种情况：已知：如图，AB∥CD，CE是∠ACD的平分线. 求证：△ACE是等腰三角形. 证明：∵AB∥CD，∴∠AEC=∠ECD. ∵CE是∠ACD的平分线，∴∠ACE=∠ECD， ∴∠AEC=∠ACE，∴AC=AE(依据)，∴△ACE是等腰三角形. 第二种情况：…… 第三种情况：……
（1）上述证明过程中，依据是 ；
（2）请你参照日记中的第一种情况，写出其余两种情况的已知和求证，并选择其中一种进行证明.
【答案】（1）等角对等边
（2）第二种情况：已知：如题图，△ACE是等腰三角形，
AC=AE，CE是∠ACD的平分线.
求证：AB//CD.
第三种情况：已知，如题图，△ACE是等腰三角形
AC=AE，AB//CD.
求证：CE是∠ACD的平分线
选择第二种情况，证明如下：
∵△ACE是等腰三角形，AC=AE，
∴∠AEC=∠ACE，
∵CE是∠ACD的平分线，
∴ACE=∠ECD，∠AEC=∠ECD，
∴AB//CD，
选择第三种情况，证明如下：
∵AB//CD，
∴∠AEC=∠ECD，
∵△ACE是等腰三角形，AC=AE，
∴∠AEC=∠ACE，
∴∠ACE=∠ECD，
∴CE是∠ACD的平分线，
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】
解：（1）在证明中，由∠AEC=∠ACE推出AC=AE，依据是等角对等边（在一个三角形中，相等的角所对的边也相等）。
故答案为：等角对等边，
【分析】（1）根据等腰三角形的判定定理，由角的关系推出边的关系的依据是等角对等边；
（2）首先明确“二推一模型”的三种组合，第一种是已知平行线和角平分线，求证等腰三角形；则另外两种情况为：
第二种情况：已知△ACE是等腰三角形，CE是∠ACD的平分线，求证AB∥CD；
第三种情况：已知△ACE是等腰三角形，AB∥CD，求证CE是∠ACD的平分线；
确定另外两种情况的已知和求证，再利用平行线性质、角平分线定义、等腰三角形性质或判定进行证明。
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