【精品解析】第一章《三角形的证明》培优卷—北师大版数学八（下）单元分层测

第一章《三角形的证明》培优卷—北师大版数学八（下）单元分层测
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2025八上·奉化期末）下列尺规作图中，一定能得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【解答】解：A．根据尺规作图，可知作一条线段等于已知线段，，故选项不符合题意；
B．根据尺规作图，可知作已知角的角平分线，得不到，故选项不符合题意；
C．根据尺规作图，可知作一个角等于已知角，可得，即，故选项符合题意；
D．根据尺规作图，可知作已知线段的垂直平分线，可得，得不到，故选项不符合题意．
故选：C．
【分析】
由于BC＝BD+CD，若AD+BD＝BC，则有AD＝CD，即点D在线段AC的垂直平分线，故应利用基本尺规作图作线段AC的垂直平分线即可．
2．（2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：1.1 等腰三角形 课时3）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设（　　）
A．有一个锐角小于45° B．每一个锐角都小于45°
C．有一个锐角大于45° D．每一个锐角都大于45°
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设每一个锐角都大于45°．
故选D．
【分析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．
3．（2025八上·温州月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于点E，点F在边AC上，连接DF，DF＝DB，若AB＝8，AF＝5，则BE的长为（　　）
A．3 B．2.5 C．2 D．1.5
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵是的平分线，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】由角平分线的性质定理可得，证明，得出，证明，得出，再由，，计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
4．老师布置了任务：过直线 AB 上一点 C 作 AB 的垂线.在没有直角尺的情况下，嘉嘉和淇淇给出了如下两种方案，下列判断正确的是 （　　）
方案Ⅰ： 如图.①利用一把有刻度的直尺在 AB 上量出CD=30cm.②分别以 D，C为圆心，以50 cm 和 40 cm 为半径画弧交于点 E.③作直线 CE，CE 即为 AB的垂线 方案Ⅱ： 如图，取一根笔直的木棒，在木棒上标出M，N两点.①使点 M 与点 C 重合，点N对应的位置标记为点Q.②保持点 N 不动，将木棒绕点 N 旋转，使点 M 落在AB 上的 R 点处. ③将 RQ延长，在延长线上截取线段QS=MN，得到点S.④作直线 SC，SC 即为 AB 的垂线
A．Ⅰ可行，Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行，Ⅱ可行
C．Ⅰ，Ⅱ都不可行 D．Ⅰ，Ⅱ都可行
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：方案Ⅰ：连接DE.因为 所以 是直角三角形，且 所以 ，故方案Ⅰ可行.方案Ⅱ：由作图得Q 是SR的中点，且CQ=QR，所以CQ=QR=QS，所以∠QRM=∠QMR，∠QSM = ∠QMS. 因 为 ∠QRM + ∠QSM +∠RMS = 180°， ∠RMS = ∠QMR + ∠QMS，所以∠RMS= 90°， 所以 ∠ACS = 90°， 所以CS⊥AB，故方案Ⅱ也可行，
故选 D.
【分析】利用勾股定理的逆定理，直角三角形的判定方法一 一判断即可.
5．（2023八上·龙胜各族期末）如图，点E、F是的边上的两点，线段的垂直平分线交于D，的垂直平分线恰好经过E点，连接、，若，则的度数为（　　）
A．α B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵线段的垂直平分线交于，的垂直平分线恰好经过点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选D．
【分析】根据垂直平分线性质可得，咋根据等边对等角可得，根据三角形外角性质可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
6．（2025八上·嘉兴期末）如图，已知，，垂直平分，垂足为D，点F在上，且，连接，．下面四个结论中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：①∵DE垂直平分AC，垂足为D，
∴AD=CD，
∵在Rt△ADE中，AE＞AD，
∴AE＞CD，
∵DF=DC，
∴AE＞DF，故①错误，
②∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
若，则，
但已知条件中没有说明，故②错误；
假设，则，
∵，
∴，即，
但 已知条件中没有说明，故③错误；
∵
∴，
即，故④正确，
故答案为：D．
【分析】根据垂直平分线的性质和直角三角形斜边大于直角边即可判断A，由垂直平分线的性质和三角形的内角和定理可推出，假设结论成立，即可判断B，假设结论成立，可推出，即可判断C；根据垂直平分线的性质及直角三角形两锐角互余，即可判断D．
7．如图，在△ABC中，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，BE，CD相交于点P，则下列结论中，不一定成立的是（　　）
A．∠BAP=∠CAP
B．△ABP与△ACP的面积比等于边AB与AC之比
C．BC=AP+AC
D．若∠BAC=60°，则∠BPC=120°
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；角平分线的判定；角平分线的概念；补角
【解析】【解答】解：过点P作PM⊥AB于点M，作PN⊥AC于点N，作PH⊥BC于点H
∵BE平分∠ABC，PM⊥AB，PN⊥AC
∴PM=PN
∵CD平分∠ACB，PN⊥AC，PH⊥BC
∴PN=PH
∴PM=PN
∵PM⊥AB，PN⊥AC
∴AP平分∠BAC
∴∠BAP=∠CAP，A选项正确，不符合题意
∴，B选项正确，不符合题意
∵∠BAC=60°
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=120°
∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB
∴
∴
∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=120°，D选项正确，不符合题意
根据题意无法证明C选项
故答案为：C
【分析】过点P作PM⊥AB于点M，作PN⊥AC于点N，作PH⊥BC于点H，根据角平分线性质可得PM=PN，PN=PH，则PM=PN，根据角平分线判定定理及定义可判断A选项；根据三角形面积可判断B选项；根据补角可得∠ABC+∠ACB=120°，再根据角平分线定义可得，再根据角之间的关系可判断D选项.
8．（2025八上·桥西期末）如图，，分别平分的内角，外角，，过点D作于M，于．以下结论：①；②；③和都是等腰三角形；④．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：平分，
，
，，
，
∴，故①正确；
，
，
不一定等于，
不一定等于，故②错误；
，
在中，，
平分的外角，
，
∵，
，
，
，
是等腰三角形，
，
∵，
，
平分，，
，
是等腰三角形，故③正确；
过D作于H，
于M，于N，，，分别平分的内角，外角，，
，，
，，
∴，，
，故④正确；
故选：C．
【分析】
根据角平分线的定义得到∠EAC=2∠EAD，根据三角形的外角性质可得∠EAC=∠ABC+∠ACB=2∠ABC，进而求得∠EAD=∠ABC，然后根据同位角相等，两直线平行，可得AD∥BC，故①正确；根据三角形的内角和定律可得：∠BAC=180° ∠EAD ∠DAC=180° 2∠DAC，
∠ADC=180° ∠DAC ∠ACD，进而得到∠DAC不一定等于∠ACD，于是得到∠BAC不一定等于∠ADC，故②错误；根据角平分线的定义得到∠ACD=∠DCF，根据平行线的性质得到∠ADC=∠DCF，
进而得出∠ACD=∠ADC，根据等角对等边，可得AD=AC，推出△ACD是等腰三角形，根据平行线的性质得到∠ADB=∠DBC，根据等角对等边，可得AB=AD，得到△ABD是等腰三角形．故③正确．过D作
DH⊥AC于H，根据角平分线的性质得到DM=DH=DN，∠DMA=∠DHA=∠DHC=∠DNC=90 ° ，根据全等三角形的判定定理得到，，于是得到．故④正确．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2025八上·增城期末）如图，和分别为的两个外角的平分线，过点D作分别交和的延长线于点E和F给出以下结论：①；②；③平分；④，其中正确的是　 　．
【答案】②③④
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定；角平分线的判定
【解析】【解答】∵和分别为的两个外角的平分线，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵
∴
∴，故①错误；
∵和分别为的两个外角的平分线，
∴点D到线的距离相等
∴点D在的角平分线上，即平分，故③正确；
∴
∴
∵
∴
∴
∴，故④正确，
综上所述，其中正确的是②③④．
故答案为：②③④．
【分析】根据角平分线的概念和等角对等边即可判断②；由，即可判断①；根据三角形内角的平分线和另外两个内角的外角平分线交于一点即可判断③；根据角平分线的概念和三角形外角的性质求解即可判断④．
10．（2025八上·叙永期末）如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，沿线段，运动，且它们的速度都为．当点到达点时，两点停止运动．设点的运动时间为．当　 　时，是直角三角形．
【答案】或
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵点的运动时间为，
∴，，
∵是边长为的等边三角形，
∴，
当时，
∴，
∴，得，
解得：；
当时，
∴，
∴，得，
解得：；
∴当第秒或第秒时，为直角三角形，
故答案为：或．
【分析】分和两种情况，根据直角三角形的性质求解即可．
11．（2025八上·萧山期末）如图，，点边上，，，点是边上的点，若使点构成等腰三角形的点恰好有三个，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
当时，
∴点构成等腰三角形的点恰好有四个；
当时，如图，
∴点构成等腰三角形的点恰好有一个；
当时，如图，
∴点构成等腰三角形的点恰好有三个；
当时，如图，
∴点构成等腰三角形的点恰好有两个；
当时，如图，
∴点构成等腰三角形的点只有一个，
综上所述： 若使点构成等腰三角形的点恰好有三个，则的取值范围是．
故答案为：．
【分析】根据图形找出临界位置进行讨论即可得出答案.
12．（2024八上·武义期末）我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”图，后人称其为“赵爽弦图”由图变化得到图，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，若，则的值为　 　．
【答案】24
【知识点】勾股定理的证明；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设每个全等的直角三角形的面积为S，则根据图形可得：
故答案为：24.
【分析】根据已知图形的面积分割即 正方形的面积等于正方形的面积加上正方形的面积再加上8个全等三角形的面积列出关系式，再根据正方形的面积等于正方形的面积加上4个全等三角形的面积，列出等式，然后再变换进行求解即可.
13．（2024八上·花都期末）如图，直线m是线段的垂直平分线，点C是直线m上位于上方的一动点，连接和，以为直角边，点C为直角顶点，在直线m的左侧作等腰直角三角形，过点D作，交直线于点E，交直线于点F，连接，与直线m交于点G，连接．则在点C运动的过程中，以下结论：①，②，③直线垂直平分线段，④，⑤中，正确的是　 　（请填入正确的序号）．
【答案】①③⑤
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵直线m是的垂直平分线，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，故①正确，符合题意；
∵在中，，则，
又∵
∴，故②不正确，不符合题意；
过点D作于点N，如下图：
则，
∴
∴
又∵
∴
∴
由题意可得：
∴
，延长交于点，过C作，如下图：
则，
∴是等腰直角三角形，
∴，即，
又∵
∴，
∴，
设直线m交于点O，则，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴垂直平分线段，故③正确，符合题意；
∵，
∴不全等于，故④错误，不符合题意；
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故⑤正确，符合题意；
综上，①③⑤正确，
故答案为：①③⑤．
【分析】根据垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质可判定①；根据等腰直角三角形，直角三角形边的关系可判定②；如图所示，延长交于点，过C作，则，可证，得到，则有，再证，则，，可判定③；由，可得不全等于，可判定④；根据，得到为等腰直角三角形，则，由是等腰直角三角形，得到，由因为，所以得到，可判定⑤；由此即可求解．
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．（2025八下·龙湖期中）2025年1月1日，汕头市区春节烟火晚会精彩呈现，吸引了近万名市民共同感受“粤东之城，蛇年呈祥”的美好图景．如图，东海岸道路上有A、B两个出口，相距250米，在公路北面不远处的C地是烟火晚会烟花燃放处，已知C与A的距离为150米，与B的距离为200米，在烟花燃放过程中，为了安全起见，燃放点C周围半径130米范围内不得进入．
（1）烟花燃放点C距离公路的垂直距离为多少米？
（2）烟花燃放过程中，按照安全要求，A、B之间的公路是否需要暂时封锁？若需要封锁，请说明理由，并求出需要封锁的公路长．
【答案】（1）（1）解：由题意得米，米，米，
如图，过C作，
，
，
是直角三角形，且，
，
，
解得：（米），
答：烟花燃放点C距离公路的垂直距离为120米
（2）（2）解：按照安全要求，之间的公路需要暂时封锁，理由如下：
如图，由（1）可知，，
公路上存在两点E、F到的距离为130米，公路上之间到燃放点C的距离匀小于130米，
按照安全要求，A、B之间的公路段需要暂时封锁，
以点C为圆心，以130米为半径画弧，交于点E、F连接、，
，，
，
在中，，
，
即需要封锁的公路长为100米．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理；勾股定理的实际应用-（台风、噪音、触礁、爆破）影响范围问题
【解析】【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质及三角形的面积，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键；
（1）过C作，由勾股定理得逆定理得是直角三角形，所以，利用等面积法求解即可.
（2）过C作，以点C为圆心，以130米为半径画弧，交于点E、F连接、，因为，所以判断有危险，在Rt△CDF中，根据勾股定理求出，进而求出即可．
（1）解：由题意得米，米，米，
如图，过C作，
，
，
是直角三角形，且，
，
，
解得：（米），
答：烟花燃放点C距离公路的垂直距离为120米；
（2）解：按照安全要求，之间的公路需要暂时封锁，理由如下：
如图，由（1）可知，，
公路上存在两点E、F到的距离为130米，公路上之间到燃放点C的距离匀小于130米，
按照安全要求，A、B之间的公路段需要暂时封锁，
以点C为圆心，以130米为半径画弧，交于点E、F连接、，
，，
，
在中，，
，
即需要封锁的公路长为100米．
15．（2025八上·东莞月考）【阅读】例题：在等腰三角形中，若，求的度数.
点点同学在思考时是这样分析的：，都可能是顶角或底角，因此需要进行分类.他认为画“树状图”可以帮我们不重复，不遗漏地分类（如图），据此可求出的度数.
【解答】
由以上思路，可得的度数为__________；
【应用】
将一个边长为5，12，13的直角三角形拼上一个三角形后可以拼成一个等腰三角形，图2就是其中的一种拼法.请你利用备用图画出三种可能的情形，使得拼成的等腰三角形腰长为13.
（注意：请对所拼成图形中的线段长度标注数据）
【答案】[解答]或或；
[应用]如下图任选其三即可.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解： [解答]当∠A为顶角时，∠B为底角等于，
当∠A为底角时，∠B若也为底角则∠B=∠A=80°，∠B为顶角，则，
故∠B为或或；
【分析】[解答]根据等腰三角形性质，结合三角形内角和定理即可求出答案.
[应用]拼的三角形与边长为5的直角边重合和边长为12的直角边重合两种情况去拼，每种情况都有两种拼法.
16．（2024八下·越秀期中）如图1，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上．
（1）说明：；
（2）猜想之间的数量关系；并说明理由．
（3）如图2，若，点是的中点，求的长．
【答案】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形，，，∴，
∵，
∴
（2）解：，理由如下：如图1，连接，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，，即
（3）解：由勾股定理得，，由（2）可知，，，
∴，
解得，，或（舍去），
∴，，
如图2，过作于，
∴，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
∴的长为．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由于△ABC是等腰直角三角形，故∠A=∠ABC=45°。同理，△DCE也是等腰直角三角形，因此∠CDE=45°。由于∠CDB是△CDB的外角，根据外角定理，∠CDB=∠A+∠ACD=∠CDE+∠EDB。由于∠A=∠CDE=45°，进而可以得出结论；
（2）如图1，连接BE，因为∠ACD=∠BCE（已证），AC=BC（等腰直角三角形的两腰相等），CD=CE（等腰直角三角形的两腰相等），所以△ACD≌△BCE（SAS定理）。这意味着AD=BE。由于∠ACD=∠BCE，且∠A=∠CBE=45°，所以∠DBE=∠ABC+∠CBE=90°。因此，△DBE是直角三角形，根据勾股定理，BE2+DB2=DE2。因为AD=BE，所以AD2+DB2=DE2；
（3）由勾股定理得，，由（2）可知，，，则，解得，，或（舍去），，，如图2，过作于，则，，由，可得，由勾股定理得，，计算求解即可．
17．（2025八上·广州期中）已知在中，，点D是边AB上一点，．
（1）如图1，设，请用含的式子表示和；
（2）如图2，过点B作，垂足为点E，与相交于点F．
①试说明的理由；
②如果是等腰三角形，求的度数．
【答案】（1）解：∵在中，，
∴，
∴
；
（2）解：①∵，∴，
∴，
设，则，
由（1）可得，
∴，
∴；
②∵是的一个外角，
∴，
分三种情况：
当时，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当时，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当时，
∴，
∵，
∴不存在，
综上所述：如果是等腰三角形，的度数为或．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据 和 可得，再根据，可得，即可求解；
（2）①由可得，得到，设，则，由（1）可得，再根据三角形内角和定理可得，即可解答；
②由三角形外角的性质可得，根据是等腰三角形分三种情况：；；；利用等腰三角形的性质，求解即可．
（1）解：∵在中，，
∴，
∴
；
（2）解：①∵，
∴，
∴，
设，则，
由（1）可得，
∴，
∴；
②∵是的一个外角，
∴，
分三种情况：
当时，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当时，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当时，
∴，
∵，
∴不存在，
综上所述：如果是等腰三角形，的度数为或．
18．（2024八下·深圳期中）在中，，，点D为外一点，连接，连接交于点G，且满足．
（1）如图1，点H为线段上一点，若，证明：是等腰三角形；
（2）如图2，若，，求的长；
（3）如图3，点F为线段上一点，连接，过点C作交的延长线于点E，若，．求证：．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形.
（2）解：如图，过点A作于点E，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；

（3）证明：如图所示，在上取一点H，使得，连接，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
又，
∴
∵，
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
同理，
∵，
∴，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得AG=AH，即可证出是等腰三角形；
（2）过点A作于点E，先求出，再利用线段的和差求出，最后利用勾股定理求出AG的长即可；
（3）在上取一点H，使得，连接，先证出是等腰直角三角形，可得，再利用线段的和差求出，最后利用等量代换可得．
（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：如图，过点A作于点E，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：如图所示，在上取一点H，使得，连接，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
又，
∴
∵，
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
同理，
∵，
∴，
．
19．（2025八上·禅城期末）项目式学习
项目问题 证明三角形内角和是
项目目的 通过深入探索并论证三角形内角和定理，从小学的实验验证，逐步迈向初中的严谨论证，体验数学的严谨性和逻辑性．
问题提出 如图1，通过裁剪，将三角形纸片的三个角拼成一个平角，从而验证猜想；然而实验会存在误差，不符合数学证明的严谨性．因此不禁要问：是否可以通过逻辑推理来证明三角形内角和定理呢？
思路启迪 从逻辑推理的角度思考：有什么方法（知识点）使角可以“移动”，组成一个平角呢？
思考·尝试 请过三角形的顶点添加辅助线，使角“移动”到合适位置，便于证明三角形内角和定理，要求如下： 1．用两种不同的方法（后续论证方法不同）对图2、图3添加辅助线； 2．用简短、专业的数学语言对添加辅助线的操作进行描述．
逻辑论证 在上述图形中，选择其中一种方法，完成三角形内角和定理的证明．
触类旁通 小华同学通过思考，发现在边上任意取一点（如图4），添加合适的辅助线，也能证明“三角形内角和定理”．
（1）完成“思考·尝试”中的操作与描述；
（2）写出“逻辑论证”中的证明过程；
（3）写出“触类旁通”中的证明过程．
【答案】（1）解： 图2、图3添加辅助线如下：
添加辅助线的操作进行描述如下：
图2：延长至点，过作．
图3：过点作.
（2）证明：选择图2，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴内角和为.
（3）证明：如图4，
过点作交于，过点作交于点，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴
∵，
∴
∴内角和为．
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）根据题目情境，把三个内角转换在一起即可完成作图，然后根据作图描述即可.
（2）选择图2，根据平行线性质得，，再根据平角定义得，等量代换即可得内角和为.
（3）过点作交于，过点作交于点，根据平行线性质得，，，，再根据平角定义得，等量代换得内角和为．
（1）1．解：
2．图2：延长至点，过作．
图3：过点作．
（2）选择图2，证明过程如下：
∵，
∴，，
又∵，
∴，
即内角和为；
选择图3，证明过程如下：
∵，
∴，，
又∵，
∴，
即内角和为；
（3）证明：过点作交于点，过点作交于点，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴
∵，
∴
即内角和为．
20．（2025八上·鄞州月考）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分 求证：DA=DC.
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题.
方法1：在 BC上截取，BM=BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长BA 到点N，使得.BN=BC，连接 DN，得到全等三角形，进而解决问题.
（1）结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明；
（2）问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接AC，当 时，探究线段AB，BC，BD 之间的数量关系，并说明理由.
（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，. ，过点D作 垂足为点E，请写出线段AB、CE、BC之间的数量关系.
【答案】（1）证明（方法1）：∵BD平分
∴
在与中，
∴
∴DA=DM，
∵，
∴
∴DC=DM=DA
（2）解：BD=BA+BC。理由如下：
在BD上截取BE=BA，连接AE。
易证与为等边三角形
∵
∴
在与中，
∴
∴BC=EC
∵BD=BE+EC
∴BD=BA+BC
（3）解：BC-AB=2EC。理由如下：
过点D作的延长线于点F。
∵
∴
在与中，
∴
∴AF=EC，DF=DE
在与中，
∴
∴BF=BE
∴BA+AF=BC-EC
∵AF=EC
∴BC-AB=2EC
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)利用SAS判定易证，等量代换可证，故DC=DM=DA；
(2)截长补短，将BD分为BE，DE两段，其中BE=BA，然后利用SAS判定证明，从容得到BC=EC，故而可证明BD=BA+BC；
(3)首先等量代换得到，利用AAS判定证明，可知AF=EC，DF=DE，再利用HL判定证明，得到BF=BE，最后等量代换得出BC-AB=2EC。
1 / 1第一章《三角形的证明》培优卷—北师大版数学八（下）单元分层测
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2025八上·奉化期末）下列尺规作图中，一定能得到的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：1.1 等腰三角形 课时3）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设（　　）
A．有一个锐角小于45° B．每一个锐角都小于45°
C．有一个锐角大于45° D．每一个锐角都大于45°
3．（2025八上·温州月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于点E，点F在边AC上，连接DF，DF＝DB，若AB＝8，AF＝5，则BE的长为（　　）
A．3 B．2.5 C．2 D．1.5
4．老师布置了任务：过直线 AB 上一点 C 作 AB 的垂线.在没有直角尺的情况下，嘉嘉和淇淇给出了如下两种方案，下列判断正确的是 （　　）
方案Ⅰ： 如图.①利用一把有刻度的直尺在 AB 上量出CD=30cm.②分别以 D，C为圆心，以50 cm 和 40 cm 为半径画弧交于点 E.③作直线 CE，CE 即为 AB的垂线 方案Ⅱ： 如图，取一根笔直的木棒，在木棒上标出M，N两点.①使点 M 与点 C 重合，点N对应的位置标记为点Q.②保持点 N 不动，将木棒绕点 N 旋转，使点 M 落在AB 上的 R 点处. ③将 RQ延长，在延长线上截取线段QS=MN，得到点S.④作直线 SC，SC 即为 AB 的垂线
A．Ⅰ可行，Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行，Ⅱ可行
C．Ⅰ，Ⅱ都不可行 D．Ⅰ，Ⅱ都可行
5．（2023八上·龙胜各族期末）如图，点E、F是的边上的两点，线段的垂直平分线交于D，的垂直平分线恰好经过E点，连接、，若，则的度数为（　　）
A．α B． C． D．
6．（2025八上·嘉兴期末）如图，已知，，垂直平分，垂足为D，点F在上，且，连接，．下面四个结论中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在△ABC中，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，BE，CD相交于点P，则下列结论中，不一定成立的是（　　）
A．∠BAP=∠CAP
B．△ABP与△ACP的面积比等于边AB与AC之比
C．BC=AP+AC
D．若∠BAC=60°，则∠BPC=120°
8．（2025八上·桥西期末）如图，，分别平分的内角，外角，，过点D作于M，于．以下结论：①；②；③和都是等腰三角形；④．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2025八上·增城期末）如图，和分别为的两个外角的平分线，过点D作分别交和的延长线于点E和F给出以下结论：①；②；③平分；④，其中正确的是　 　．
10．（2025八上·叙永期末）如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，沿线段，运动，且它们的速度都为．当点到达点时，两点停止运动．设点的运动时间为．当　 　时，是直角三角形．
11．（2025八上·萧山期末）如图，，点边上，，，点是边上的点，若使点构成等腰三角形的点恰好有三个，则的取值范围是　 　．
12．（2024八上·武义期末）我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”图，后人称其为“赵爽弦图”由图变化得到图，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，若，则的值为　 　．
13．（2024八上·花都期末）如图，直线m是线段的垂直平分线，点C是直线m上位于上方的一动点，连接和，以为直角边，点C为直角顶点，在直线m的左侧作等腰直角三角形，过点D作，交直线于点E，交直线于点F，连接，与直线m交于点G，连接．则在点C运动的过程中，以下结论：①，②，③直线垂直平分线段，④，⑤中，正确的是　 　（请填入正确的序号）．
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．（2025八下·龙湖期中）2025年1月1日，汕头市区春节烟火晚会精彩呈现，吸引了近万名市民共同感受“粤东之城，蛇年呈祥”的美好图景．如图，东海岸道路上有A、B两个出口，相距250米，在公路北面不远处的C地是烟火晚会烟花燃放处，已知C与A的距离为150米，与B的距离为200米，在烟花燃放过程中，为了安全起见，燃放点C周围半径130米范围内不得进入．
（1）烟花燃放点C距离公路的垂直距离为多少米？
（2）烟花燃放过程中，按照安全要求，A、B之间的公路是否需要暂时封锁？若需要封锁，请说明理由，并求出需要封锁的公路长．
15．（2025八上·东莞月考）【阅读】例题：在等腰三角形中，若，求的度数.
点点同学在思考时是这样分析的：，都可能是顶角或底角，因此需要进行分类.他认为画“树状图”可以帮我们不重复，不遗漏地分类（如图），据此可求出的度数.
【解答】
由以上思路，可得的度数为__________；
【应用】
将一个边长为5，12，13的直角三角形拼上一个三角形后可以拼成一个等腰三角形，图2就是其中的一种拼法.请你利用备用图画出三种可能的情形，使得拼成的等腰三角形腰长为13.
（注意：请对所拼成图形中的线段长度标注数据）
16．（2024八下·越秀期中）如图1，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上．
（1）说明：；
（2）猜想之间的数量关系；并说明理由．
（3）如图2，若，点是的中点，求的长．
17．（2025八上·广州期中）已知在中，，点D是边AB上一点，．
（1）如图1，设，请用含的式子表示和；
（2）如图2，过点B作，垂足为点E，与相交于点F．
①试说明的理由；
②如果是等腰三角形，求的度数．
18．（2024八下·深圳期中）在中，，，点D为外一点，连接，连接交于点G，且满足．
（1）如图1，点H为线段上一点，若，证明：是等腰三角形；
（2）如图2，若，，求的长；
（3）如图3，点F为线段上一点，连接，过点C作交的延长线于点E，若，．求证：．
19．（2025八上·禅城期末）项目式学习
项目问题 证明三角形内角和是
项目目的 通过深入探索并论证三角形内角和定理，从小学的实验验证，逐步迈向初中的严谨论证，体验数学的严谨性和逻辑性．
问题提出 如图1，通过裁剪，将三角形纸片的三个角拼成一个平角，从而验证猜想；然而实验会存在误差，不符合数学证明的严谨性．因此不禁要问：是否可以通过逻辑推理来证明三角形内角和定理呢？
思路启迪 从逻辑推理的角度思考：有什么方法（知识点）使角可以“移动”，组成一个平角呢？
思考·尝试 请过三角形的顶点添加辅助线，使角“移动”到合适位置，便于证明三角形内角和定理，要求如下： 1．用两种不同的方法（后续论证方法不同）对图2、图3添加辅助线； 2．用简短、专业的数学语言对添加辅助线的操作进行描述．
逻辑论证 在上述图形中，选择其中一种方法，完成三角形内角和定理的证明．
触类旁通 小华同学通过思考，发现在边上任意取一点（如图4），添加合适的辅助线，也能证明“三角形内角和定理”．
（1）完成“思考·尝试”中的操作与描述；
（2）写出“逻辑论证”中的证明过程；
（3）写出“触类旁通”中的证明过程．
20．（2025八上·鄞州月考）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分 求证：DA=DC.
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题.
方法1：在 BC上截取，BM=BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长BA 到点N，使得.BN=BC，连接 DN，得到全等三角形，进而解决问题.
（1）结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明；
（2）问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接AC，当 时，探究线段AB，BC，BD 之间的数量关系，并说明理由.
（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，. ，过点D作 垂足为点E，请写出线段AB、CE、BC之间的数量关系.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【解答】解：A．根据尺规作图，可知作一条线段等于已知线段，，故选项不符合题意；
B．根据尺规作图，可知作已知角的角平分线，得不到，故选项不符合题意；
C．根据尺规作图，可知作一个角等于已知角，可得，即，故选项符合题意；
D．根据尺规作图，可知作已知线段的垂直平分线，可得，得不到，故选项不符合题意．
故选：C．
【分析】
由于BC＝BD+CD，若AD+BD＝BC，则有AD＝CD，即点D在线段AC的垂直平分线，故应利用基本尺规作图作线段AC的垂直平分线即可．
2．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设每一个锐角都大于45°．
故选D．
【分析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．
3．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵是的平分线，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】由角平分线的性质定理可得，证明，得出，证明，得出，再由，，计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
4．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：方案Ⅰ：连接DE.因为 所以 是直角三角形，且 所以 ，故方案Ⅰ可行.方案Ⅱ：由作图得Q 是SR的中点，且CQ=QR，所以CQ=QR=QS，所以∠QRM=∠QMR，∠QSM = ∠QMS. 因 为 ∠QRM + ∠QSM +∠RMS = 180°， ∠RMS = ∠QMR + ∠QMS，所以∠RMS= 90°， 所以 ∠ACS = 90°， 所以CS⊥AB，故方案Ⅱ也可行，
故选 D.
【分析】利用勾股定理的逆定理，直角三角形的判定方法一 一判断即可.
5．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵线段的垂直平分线交于，的垂直平分线恰好经过点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选D．
【分析】根据垂直平分线性质可得，咋根据等边对等角可得，根据三角形外角性质可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：①∵DE垂直平分AC，垂足为D，
∴AD=CD，
∵在Rt△ADE中，AE＞AD，
∴AE＞CD，
∵DF=DC，
∴AE＞DF，故①错误，
②∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
若，则，
但已知条件中没有说明，故②错误；
假设，则，
∵，
∴，即，
但 已知条件中没有说明，故③错误；
∵
∴，
即，故④正确，
故答案为：D．
【分析】根据垂直平分线的性质和直角三角形斜边大于直角边即可判断A，由垂直平分线的性质和三角形的内角和定理可推出，假设结论成立，即可判断B，假设结论成立，可推出，即可判断C；根据垂直平分线的性质及直角三角形两锐角互余，即可判断D．
7．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；角平分线的判定；角平分线的概念；补角
【解析】【解答】解：过点P作PM⊥AB于点M，作PN⊥AC于点N，作PH⊥BC于点H
∵BE平分∠ABC，PM⊥AB，PN⊥AC
∴PM=PN
∵CD平分∠ACB，PN⊥AC，PH⊥BC
∴PN=PH
∴PM=PN
∵PM⊥AB，PN⊥AC
∴AP平分∠BAC
∴∠BAP=∠CAP，A选项正确，不符合题意
∴，B选项正确，不符合题意
∵∠BAC=60°
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=120°
∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB
∴
∴
∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=120°，D选项正确，不符合题意
根据题意无法证明C选项
故答案为：C
【分析】过点P作PM⊥AB于点M，作PN⊥AC于点N，作PH⊥BC于点H，根据角平分线性质可得PM=PN，PN=PH，则PM=PN，根据角平分线判定定理及定义可判断A选项；根据三角形面积可判断B选项；根据补角可得∠ABC+∠ACB=120°，再根据角平分线定义可得，再根据角之间的关系可判断D选项.
8．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：平分，
，
，，
，
∴，故①正确；
，
，
不一定等于，
不一定等于，故②错误；
，
在中，，
平分的外角，
，
∵，
，
，
，
是等腰三角形，
，
∵，
，
平分，，
，
是等腰三角形，故③正确；
过D作于H，
于M，于N，，，分别平分的内角，外角，，
，，
，，
∴，，
，故④正确；
故选：C．
【分析】
根据角平分线的定义得到∠EAC=2∠EAD，根据三角形的外角性质可得∠EAC=∠ABC+∠ACB=2∠ABC，进而求得∠EAD=∠ABC，然后根据同位角相等，两直线平行，可得AD∥BC，故①正确；根据三角形的内角和定律可得：∠BAC=180° ∠EAD ∠DAC=180° 2∠DAC，
∠ADC=180° ∠DAC ∠ACD，进而得到∠DAC不一定等于∠ACD，于是得到∠BAC不一定等于∠ADC，故②错误；根据角平分线的定义得到∠ACD=∠DCF，根据平行线的性质得到∠ADC=∠DCF，
进而得出∠ACD=∠ADC，根据等角对等边，可得AD=AC，推出△ACD是等腰三角形，根据平行线的性质得到∠ADB=∠DBC，根据等角对等边，可得AB=AD，得到△ABD是等腰三角形．故③正确．过D作
DH⊥AC于H，根据角平分线的性质得到DM=DH=DN，∠DMA=∠DHA=∠DHC=∠DNC=90 ° ，根据全等三角形的判定定理得到，，于是得到．故④正确．
9．【答案】②③④
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定；角平分线的判定
【解析】【解答】∵和分别为的两个外角的平分线，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵
∴
∴，故①错误；
∵和分别为的两个外角的平分线，
∴点D到线的距离相等
∴点D在的角平分线上，即平分，故③正确；
∴
∴
∵
∴
∴
∴，故④正确，
综上所述，其中正确的是②③④．
故答案为：②③④．
【分析】根据角平分线的概念和等角对等边即可判断②；由，即可判断①；根据三角形内角的平分线和另外两个内角的外角平分线交于一点即可判断③；根据角平分线的概念和三角形外角的性质求解即可判断④．
10．【答案】或
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵点的运动时间为，
∴，，
∵是边长为的等边三角形，
∴，
当时，
∴，
∴，得，
解得：；
当时，
∴，
∴，得，
解得：；
∴当第秒或第秒时，为直角三角形，
故答案为：或．
【分析】分和两种情况，根据直角三角形的性质求解即可．
11．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
当时，
∴点构成等腰三角形的点恰好有四个；
当时，如图，
∴点构成等腰三角形的点恰好有一个；
当时，如图，
∴点构成等腰三角形的点恰好有三个；
当时，如图，
∴点构成等腰三角形的点恰好有两个；
当时，如图，
∴点构成等腰三角形的点只有一个，
综上所述： 若使点构成等腰三角形的点恰好有三个，则的取值范围是．
故答案为：．
【分析】根据图形找出临界位置进行讨论即可得出答案.
12．【答案】24
【知识点】勾股定理的证明；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设每个全等的直角三角形的面积为S，则根据图形可得：
故答案为：24.
【分析】根据已知图形的面积分割即 正方形的面积等于正方形的面积加上正方形的面积再加上8个全等三角形的面积列出关系式，再根据正方形的面积等于正方形的面积加上4个全等三角形的面积，列出等式，然后再变换进行求解即可.
13．【答案】①③⑤
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵直线m是的垂直平分线，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，故①正确，符合题意；
∵在中，，则，
又∵
∴，故②不正确，不符合题意；
过点D作于点N，如下图：
则，
∴
∴
又∵
∴
∴
由题意可得：
∴
，延长交于点，过C作，如下图：
则，
∴是等腰直角三角形，
∴，即，
又∵
∴，
∴，
设直线m交于点O，则，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴垂直平分线段，故③正确，符合题意；
∵，
∴不全等于，故④错误，不符合题意；
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故⑤正确，符合题意；
综上，①③⑤正确，
故答案为：①③⑤．
【分析】根据垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质可判定①；根据等腰直角三角形，直角三角形边的关系可判定②；如图所示，延长交于点，过C作，则，可证，得到，则有，再证，则，，可判定③；由，可得不全等于，可判定④；根据，得到为等腰直角三角形，则，由是等腰直角三角形，得到，由因为，所以得到，可判定⑤；由此即可求解．
14．【答案】（1）（1）解：由题意得米，米，米，
如图，过C作，
，
，
是直角三角形，且，
，
，
解得：（米），
答：烟花燃放点C距离公路的垂直距离为120米
（2）（2）解：按照安全要求，之间的公路需要暂时封锁，理由如下：
如图，由（1）可知，，
公路上存在两点E、F到的距离为130米，公路上之间到燃放点C的距离匀小于130米，
按照安全要求，A、B之间的公路段需要暂时封锁，
以点C为圆心，以130米为半径画弧，交于点E、F连接、，
，，
，
在中，，
，
即需要封锁的公路长为100米．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理；勾股定理的实际应用-（台风、噪音、触礁、爆破）影响范围问题
【解析】【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质及三角形的面积，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键；
（1）过C作，由勾股定理得逆定理得是直角三角形，所以，利用等面积法求解即可.
（2）过C作，以点C为圆心，以130米为半径画弧，交于点E、F连接、，因为，所以判断有危险，在Rt△CDF中，根据勾股定理求出，进而求出即可．
（1）解：由题意得米，米，米，
如图，过C作，
，
，
是直角三角形，且，
，
，
解得：（米），
答：烟花燃放点C距离公路的垂直距离为120米；
（2）解：按照安全要求，之间的公路需要暂时封锁，理由如下：
如图，由（1）可知，，
公路上存在两点E、F到的距离为130米，公路上之间到燃放点C的距离匀小于130米，
按照安全要求，A、B之间的公路段需要暂时封锁，
以点C为圆心，以130米为半径画弧，交于点E、F连接、，
，，
，
在中，，
，
即需要封锁的公路长为100米．
15．【答案】[解答]或或；
[应用]如下图任选其三即可.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解： [解答]当∠A为顶角时，∠B为底角等于，
当∠A为底角时，∠B若也为底角则∠B=∠A=80°，∠B为顶角，则，
故∠B为或或；
【分析】[解答]根据等腰三角形性质，结合三角形内角和定理即可求出答案.
[应用]拼的三角形与边长为5的直角边重合和边长为12的直角边重合两种情况去拼，每种情况都有两种拼法.
16．【答案】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形，，，∴，
∵，
∴
（2）解：，理由如下：如图1，连接，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，，即
（3）解：由勾股定理得，，由（2）可知，，，
∴，
解得，，或（舍去），
∴，，
如图2，过作于，
∴，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
∴的长为．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由于△ABC是等腰直角三角形，故∠A=∠ABC=45°。同理，△DCE也是等腰直角三角形，因此∠CDE=45°。由于∠CDB是△CDB的外角，根据外角定理，∠CDB=∠A+∠ACD=∠CDE+∠EDB。由于∠A=∠CDE=45°，进而可以得出结论；
（2）如图1，连接BE，因为∠ACD=∠BCE（已证），AC=BC（等腰直角三角形的两腰相等），CD=CE（等腰直角三角形的两腰相等），所以△ACD≌△BCE（SAS定理）。这意味着AD=BE。由于∠ACD=∠BCE，且∠A=∠CBE=45°，所以∠DBE=∠ABC+∠CBE=90°。因此，△DBE是直角三角形，根据勾股定理，BE2+DB2=DE2。因为AD=BE，所以AD2+DB2=DE2；
（3）由勾股定理得，，由（2）可知，，，则，解得，，或（舍去），，，如图2，过作于，则，，由，可得，由勾股定理得，，计算求解即可．
17．【答案】（1）解：∵在中，，
∴，
∴
；
（2）解：①∵，∴，
∴，
设，则，
由（1）可得，
∴，
∴；
②∵是的一个外角，
∴，
分三种情况：
当时，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当时，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当时，
∴，
∵，
∴不存在，
综上所述：如果是等腰三角形，的度数为或．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据 和 可得，再根据，可得，即可求解；
（2）①由可得，得到，设，则，由（1）可得，再根据三角形内角和定理可得，即可解答；
②由三角形外角的性质可得，根据是等腰三角形分三种情况：；；；利用等腰三角形的性质，求解即可．
（1）解：∵在中，，
∴，
∴
；
（2）解：①∵，
∴，
∴，
设，则，
由（1）可得，
∴，
∴；
②∵是的一个外角，
∴，
分三种情况：
当时，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当时，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当时，
∴，
∵，
∴不存在，
综上所述：如果是等腰三角形，的度数为或．
18．【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形.
（2）解：如图，过点A作于点E，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；

（3）证明：如图所示，在上取一点H，使得，连接，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
又，
∴
∵，
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
同理，
∵，
∴，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得AG=AH，即可证出是等腰三角形；
（2）过点A作于点E，先求出，再利用线段的和差求出，最后利用勾股定理求出AG的长即可；
（3）在上取一点H，使得，连接，先证出是等腰直角三角形，可得，再利用线段的和差求出，最后利用等量代换可得．
（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：如图，过点A作于点E，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：如图所示，在上取一点H，使得，连接，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
又，
∴
∵，
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
同理，
∵，
∴，
．
19．【答案】（1）解： 图2、图3添加辅助线如下：
添加辅助线的操作进行描述如下：
图2：延长至点，过作．
图3：过点作.
（2）证明：选择图2，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴内角和为.
（3）证明：如图4，
过点作交于，过点作交于点，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴
∵，
∴
∴内角和为．
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）根据题目情境，把三个内角转换在一起即可完成作图，然后根据作图描述即可.
（2）选择图2，根据平行线性质得，，再根据平角定义得，等量代换即可得内角和为.
（3）过点作交于，过点作交于点，根据平行线性质得，，，，再根据平角定义得，等量代换得内角和为．
（1）1．解：
2．图2：延长至点，过作．
图3：过点作．
（2）选择图2，证明过程如下：
∵，
∴，，
又∵，
∴，
即内角和为；
选择图3，证明过程如下：
∵，
∴，，
又∵，
∴，
即内角和为；
（3）证明：过点作交于点，过点作交于点，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴
∵，
∴
即内角和为．
20．【答案】（1）证明（方法1）：∵BD平分
∴
在与中，
∴
∴DA=DM，
∵，
∴
∴DC=DM=DA
（2）解：BD=BA+BC。理由如下：
在BD上截取BE=BA，连接AE。
易证与为等边三角形
∵
∴
在与中，
∴
∴BC=EC
∵BD=BE+EC
∴BD=BA+BC
（3）解：BC-AB=2EC。理由如下：
过点D作的延长线于点F。
∵
∴
在与中，
∴
∴AF=EC，DF=DE
在与中，
∴
∴BF=BE
∴BA+AF=BC-EC
∵AF=EC
∴BC-AB=2EC
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)利用SAS判定易证，等量代换可证，故DC=DM=DA；
(2)截长补短，将BD分为BE，DE两段，其中BE=BA，然后利用SAS判定证明，从容得到BC=EC，故而可证明BD=BA+BC；
(3)首先等量代换得到，利用AAS判定证明，可知AF=EC，DF=DE，再利用HL判定证明，得到BF=BE，最后等量代换得出BC-AB=2EC。
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