第一章《三角形的证明》提升卷—北师大版数学八（下）单元分层测
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2025八上·广州期中）现要在一块三角形草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（ ）．
A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点
2．（2025八上·龙岗期中）△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a2+b2＝c2 B．a＝5，b＝12，c＝13
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A＝∠B+∠C
3．（2024八下·宝安期中）下列说法，错误的是（ ）
A．三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等
B．有两个角都是的三角形是等边三角形
C．三角形的三边分别为a、b、c，若满足，那么该三角形是直角三角形
D．用反证法证明“三角形的三个内角中最多有一个直角”应假设“三角形的三个内角中没有直角”
4．（2025八上·清远期末）如图是嘉禾同学在珠海航展上观察到的带底座的无人机简易模型，其中，，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025八上·东莞期末）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为P，边与另外一把直尺边缘的交点为C，点C，P在这把直尺上的刻度读数分别是2，5，则的长度是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2025八上·珠海期中）如图，，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（ ）
A．64 B．32 C．16 D．6
7．（2025八上·潮南期末）如图，平分，且，为延长线上的一点，，过作，垂足为．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
8．（2025八下·深圳期中）如图，在Rt中，为AB的中点，为线段AD上一点，过点的线段FG交CD的延长线于点，交AC于点，且．分别延长交于点，若EH平分，HD平分交EG于点，则下列说法：①；②；③；④，正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2025八上·广州期中）亮亮最近学习尺规作图，他在中练习作图，痕迹如下图所示，若，，请问的度数为 ．
10．（2024八下·顺德期中）如图，，，垂足分别为、，，与交于点．写出由上述条件得到的两个不同类的结论 ．
11．（2024八上·广州期中）点到的三边，，的距离相等，则点的位置在 ．
12．（2025八下·深圳期中）在中，，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点：再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则的长为 ．
13．（2025八上·深圳开学考）如图，等边三角形ABC中，AD 是BC边上的中线，点E为AD上的一动点，连接BE，在BE的右侧作等边△BEF，连接DF.若BD=m，AD=n， 则BF+DF的最小值为 (用含有m或n的式子表示).
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．（2024八下·宝安月考）作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）
如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路（点M，N表示大学，，表示公路），现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你确定仓库P修建的位置．
15．（2024八下·桂林期中）阅读材料，并完成相应任务．
2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，不但因为这个定理重要、基本，还因为这个定理贴近人们的生活实际，所以很多人都探讨、研究它的证明，新的证法不断出现，下面的图形是传说中毕达哥拉斯的证明图形：
证明：①在图1中，∵，
个直角三角形的面积+两个正方形的面积，
▲ ▲ ▲ ，
②在图2中，
∵，
个直角三角形面积小正方形的面积，
▲ ▲ ．
∴ ▲ ▲ ，
整理得：，
∴ ▲ ．
任务：
（1）将材料中的空缺部分补充完整；
（2）如图3，在中，，，，，求的长．
16．（2023八上·五华期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线上两点 A，B的距离分别为和，又，飞机中心周围以内可以受到洒水影响．
（1）着火点C 受洒水影响吗？为什么？
（2）若飞机的速度为，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？
17．（2025八下·中山期末）定义：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若a2+ab=c2，则称△ABC为“类直角三角形”，请根据以上定义解决下列问题：
（1）如图1，△ABC为等边三角形，请判断该三角形是否为“类直角三角形”，并说明理由；
（2）如图2，等腰三角形△ABC为“类直角三角形”，其中AC=BC，AB>AC，请
求出∠B的大小。
18．（2025八下·榕城月考）问题情境
在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．
特例探究
如图1，当DM＝DN时，
（1）∠MDB＝ 度；
（2）MN与BM，NC之间的数量关系为 ；
归纳证明
（3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明．
拓展应用
（4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为 ．
19．（2024八下·保定期中）综合与实践：
【问题情景】
综合与实践课上，王老师让同学们以“共顶点的等腰三角形的旋转”为主题开展数学探究活动．
【实践操作】
王老师让同学们先画出两个等边和，将绕点A旋转到某一位置，要求同学们观察图形，提出问题并加以解决．
（1）如图①，“慎思组”的同学们连接BE、CD，BE与CD的数量关系是 ；与的数量关系是 ；的度数是 度。
（2）如图②，得知“慎思组”的结论后，“博学组”的同学们又连接BD，他们认为，如果，且，就可以求出BD的长，请写出求解过程．
（3） 【类比探究】如图③，“智慧组”的同学们画出了两个等腰直角三角形和曾，其中；且点E恰好落在DE上，那么CD、CE和BC的数量关系是 ．
20．（2024八下·三水期中）如图1，点分别是边长为的等边的边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为．
（1）连接交于点，则在运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数；
（2）点在运动过程中，设运动时间为，当为何值时，为直角三角形？
（3）如图2，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为，在运动的过程中，的大小变化吗？若变化请说明理由：若不变，请求出它的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：的三边的垂直平分线交于一点，且这一交点到三角形三个顶点的距离相等．
故选：C．
【分析】根据线段垂直平分线的性质即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的两锐角互余；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：Ａ、根据a2+b2＝c2，可判断△ABC是直角三角形，故Ａ错误.
Ｂ、根据a2+b2＝52+122＝c2＝132可判断△ABC是直角三角形，故Ｂ错误.
Ｃ、根据∠A：∠B：∠C＝3：4：5，设∠A＝3x，∠B=4x，∠C＝5x，则：
∠A+∠B+∠C＝3x+4x+5x=解得：x=，
∴∠A＝，∠B=，∠C＝，
∴△ABC不是直角三角形，故Ｃ正确.
D、∵∠A＝∠B+∠C，
∴∠A+∠B+∠C＝2∠A＝
∴∠A，
∴可判断△ABC是直角三角形，故Ｄ错误.
故答案为：Ｃ.
【分析】Ａ、根据a2+b2＝c2，可判断△ABC是直角三角形.B、根据a＝5，b＝12，c＝13得a2+b2＝c2可判断△ABC是直角三角形.C、根据∠A：∠B：∠C＝3：4：5，设设∠A＝3x，∠B=4x，∠C＝5x，求出x可得∠A、∠B、∠C的度数即可判断△ABC不是直角三角形， D、∠A＝∠B+∠C结合三角形内角和定理得∠A，可判断△ABC是直角三角形，即可得答案.
3．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定；勾股定理的逆定理；反证法
【解析】【解答】解：A、三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等，说法正确，∴A不符合题意；
B、有两个角都是的三角形是等边三角形，说法正确，∴B不符合题意；
C、三角形的三边分别为a、b、c，若满足，那么该三角形是直角三角形，说法正确，∴C不符合题意；
D、用反证法证明“三角形的三个内角中最多有一个直角”应假设“三角形的内角中至少有两个角是直角”，原说法错误，∴D符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用等边三角形的判定方法、垂直平分线的性质、勾股定理的逆定理和反证法的证明方法逐项分析判断即可.
4．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：延长交于K，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
故选：C．
【分析】本题考查三角形外角性质在角度计算中的应用，解题关键是通过作辅助线构建可利用外角性质的图形。首先延长交于点，根据三角形外角性质，在中，；在中，，由此可推导出。将已知的和代入该关系式，即可求出的度数。
5．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：过P作于N，
由题意得：，
，
平分，
，
，
，
，
，
、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，
，
的长度是
故答案为：B．
【分析】首先根据角平分线的判定可得出OP平分∠AOB，进而根据角平分线的定义和平行线的性质即可得出OC=CP=5-2=3(cm）。
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵为等边三角形，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴的边长为2，
同理：的边长为4，的边长为8，的边长为16．
故选：C．
【分析】根据等边三角形性质可得，根据补角可得，根据三角形内角和定理可得，则，根据等角对等边可得的边长为2，同理即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，①正确；
∴，
∵、，，
∴，即②正确；
∵，，
∴
∴
∴
∵，和不垂直
∴，即不成立，故③错误；
如图：过D作交的延长线于点F，
∵平分，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，④正确．
综上，正确的有①②④．
故选：C．
【分析】本题考查角平分线的性质和三角形面积的分割计算。解题时首先过点O作于E，于F，于D，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可得；然后将的面积拆分为、和的面积之和，根据三角形面积公式，分别表示出三个小三角形的面积：，，；由于，提取公因式，可得；已知的面积是12，周长（即）是8，代入公式即可解出OD的长度，也就是点O到BC的距离。
8．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】
解：
②：已知AC=BC，∠ACB=90°，D为AB中点，故CD⊥AB且CD=AD=BD。由EG=AE，EC公共边，得△AEC≌△GEC（SAS），故CA=CG，∠A=∠CGE=45°，从而DE=DG，②正确；
①：由△EDC≌△GDB（SAS），得∠CED=∠BGD；结合HD平分∠CHG，通过外角性质∠CED=∠HDE+∠DHE；∠BGD=∠HDG+∠DHG可得∠HDG=∠HDE，进而∠GDH=∠EDH=45°，故①正确；
③：△EDC为等腰直角三角形，故ED=·MD，而EF=ED（由△EFC≌△EDC），因此EF=·MD≠2MD，故③错误；
④：CG=CD+DG=AD+ED，而AD=BD=CD，故CG=CD+DG=AD+ED=AE+ED+ED（因AD=AE+ED），即CG=2DE+AE，故④正确；
综上可知，正确的是： ①②④ ；
故答案为：B.
【分析】 首先，通过已知条件中的等腰直角三角形性质和全等三角形判定，证明△AEC≌△GEC，进而推出CG=AC及DE=DG，验证②的正确性；接着，通过全等三角形△EDC≌△GDB，结合角平分线性质，得出∠GDH=45°，验证①的正确性；然后，通过等腰直角三角形性质和全等三角形△EFC≌△EDC，发现EF=ED，从而判断③错误；最后，利用线段关系推导CG=2DE+AE，验证④的正确性；即可解答.
9．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图方法可得垂直平分，平分，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据作图方法可得，垂直平分，平分，得到，即，根据三角形内角和定理可得，，得到，再根据平分即可求解．
10．【答案】PM=PN，∠PON=∠POM（答案不唯一）．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如PM=PN，∠PON=∠POM，∠OPN=∠OPM，BN=AM，OA=OB．从中选择边和角不同的结论即可．
∵AN⊥OB，BM⊥OA，
∴在Rt△OPM与Rt△OPN中
，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），
∴∠PON=∠POM，PN=PM，∠OPN=∠OPM，
在△APM与△PBN中
，
∴△APM≌△PBN（ASA），
∴BN=AM，
∵OA=AM+OM，OB=BN+ON，
∴OA=OB．
故答案为：PM=PN，∠PON=∠POM（答案不唯一）．
【分析】利用全等三角形的判定方法和性质分析求解即可.
11．【答案】的平分线和的平分线的交点上
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：点到，的距离相等，
平分，
点到，的距离相等，
平分，
点的位置在的平分线和的平分线的交点上．
故答案为：的平分线和的平分线的交点上．
【分析】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断求解即可.
12．【答案】4
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；尺规作图-作角的平分线；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】
解：由题意得：AD平分∠BAC
∴∠CAD=∠BAD
∵∠B=∠CAD
∴∠B=∠CAD=∠BAD
∴∠BAC=2∠B
∵∠C=90°
∴∠BAC+∠B=90°
2∠B+∠B=90°
∴∠B=30°
∴∠CAD=30°
∴AD=2CD
∵∠B=∠BAD
∴AD=BD
∴BD=2CD
∵BC=6
∴CD+BD=6
∴CD+2CD=6
∴CD=2
∴BD=4
故答案为：4.
【分析】
本题考查角平分线的定义，直角三角形的性质，角平分线的尺规作图，熟知角平分线的尺规作图和直角三角形的性质是解题关键.
根据角平分线的定义可知：∠CAD=∠BAD，结合∠B=∠CAD，等量代换得：∠BAD=∠D，即：∠BAC=2∠B，根据直角三角形两锐角互余可得：∠BAC+∠B=90°，代入数据可得：∠B=30°，根据直角三角形的性质：直角三角形中30°所对的直角边=斜边的一半可得：AD=2CD，再根据等腰三角形的判定：等边对等角可得：AD=BD，即BD=2CD，再根据线段的和差运算可知：CD+BD=6，代入数据可解得：BD=4，由此可得出答案.
13．【答案】或n
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接CF，
∵△ABC、△BEF是等边三角形，
∴∠ABC=∠EBF=60°，AB=BC，BE=BF，
"∵∠ABE +∠EBD=60°，∠CBF+∠EBD=60°，
∴∠ABE=∠CBF，
∴△ABE≌△CBF (SAS)；
∵AD是BC边上的中线，
∴∠BCF=∠BAD=30°，AF⊥BC，BD=CD=m，
∴∠CBF=∠BCF，
如图，作点D关于CF的对称点G，连接CG、DG，则DF=FG，
.当B、F、G三点共线，BF +DF的最小值为BG.
∴∠GCF=∠BCF=30°，
∴∠BCG =60°，∠CBF =30°．
∴∠BGC = 180°－30°—60°= 90°，
∴CG=BC=m
∴BG===n，
∴BF + DF的最小值为或n.
故答案为：或n.
【分析】根据SAS可证得△ABE≌△CBF，进而根据三线合一的性质可得出∠BCF=∠BAD=30°，AF⊥BC，BD=CD=m，进而得出∠CBF=∠BCF，作点D关于CF的对称点G，再根据轴对称的性质可得出当B、F、G三点共线，BF +DF的最小值为BG.根据含30°锐角的直角三角形的性质得出CG=BC=m，再根据勾股定理即可得出BG===n。
14．【答案】解：如图点P即为所求．
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质，到点M、N得距离相等的点一定在线段MN的垂直平分线上；根据角平分线的性质定理，到OA、OB距离相等的点一定在OA与OB夹角的角平分线上，故利用尺规作图法，作出线段MN的垂直平分线与∠AOB或∠AOB邻补角的角平分线，两线的交点就是仓库P修建的位置.
15．【答案】（1）证明：①在图1中，∵，
个直角三角形的面积两个正方形的面积，
，
②在图2中，
∵，
个直角三角形的面积小正方形的面积，
．
∴
整理得：
∴．
故答案为：，，，，，，，；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
在中，．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；勾股定理的证明
【解析】【分析】（1）①观察图1，可表示出大正方形的面积，再根据个直角三角形的面积两个正方形的面积，可得答案；②在图2中，个直角三角形的面积小正方形的面积=（a+b）2，据此可证得结论.
（2）利用垂直的定义可证得∠ADC=∠BDC=90°，可求出∠ACD的度数，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AD的长，利用勾股定理求出CD的长；再证明BD=CD，可得到BD的长，然后利用勾股定理求出BC的长.
16．【答案】（1）解：着火点C受洒水影响，理由如下，
如图，过点C作，垂足为D，
∵，，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
所以，
∵，
∴着火点C受洒水影响．
（2）解：能，理由如下：
如图，以点C为圆心，为半径作圆，交于点E，F．
则，
在中，
，
∵CE=CF，CD⊥AB，
∴，
∴，
∵，
∴着火点C能被扑灭．
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】（1）过点C作，垂足为D，先用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，进而利用等面积法建立方程求得CD长度，将CD的长度与260进行比较即可求得结论；
（2）以点C为圆心，260m为半径作圆，交AB于点E，F， 首先利用勾股定理求得ED=100，再根据等腰三角形的三线合一得出EF=2ED=200，根据路程、速度、时间三者关系求出飞行时间，再与灭火时间比较，即可得出结论.
（1）着火点C受洒水影响，理由如下，
如图，过点C作，垂足为D，
∵，，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
所以，
∵，
∴着火点C受洒水影响．
（2）如图，以点C为圆心，为半径作圆，交于点E，F．
则，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴着火点C能被扑灭．
17．【答案】（1）解：等边三角形不是“类直角三角形”，理由如下：
设等边三角形的三边长分别为a，b，c，则a=b=c
∴a2+ab=c2+c2=2c2+c2，
∴等边三角形不是“类直角三角形”.
（2）解：等腰三角形是“类直角三角形”，，，
，且.
.
是直角三角形，且.
又，
是等腰直角三角形.
的度数为.
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）通过计算，根据“类直角三角形”的定义，即可判断得出结论；
（2）首先根据“类直角三角形”的定义，得出，进而得出。即可判断三角形ABC是等腰直角三角形，即可得出的度数为.
18．【答案】（1）30；（2）MN＝BM+NC；
（3）解：猜想：MN＝BM+NC，证明如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD＝CD，∠BDC＝120°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∴∠MBD＝∠NCD＝90°．
∴∠MBD＝∠ECD＝90°，
又∵BD＝CD，BM＝CE，
∴△DBM≌△DCE（SAS），
∴DM＝DE，∠MDB＝∠EDC，
∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，
∴∠MDB+∠NDC＝60°，
∴∠EDN＝∠NDC+∠EDC＝∠MDB+∠NDC＝60°，
∴∠EDN＝∠MDN，
又∵DN＝DN，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN＝EN＝EC+NC＝BM+NC；
（4）
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵DM＝DN，∠MDN＝60°，
∴△MDN是等边三角形，
∴MN＝DM＝DN，
∵∠BDC＝120°，BD＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠DBM＝∠DCN＝90°，
∵BD＝CD，DM＝DN，
∴Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），
∴∠MDB＝∠NDC＝30°，
故答案为：30；
（2）由（1）得：DM＝2BM，DM＝MN，Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），
∴BM＝CN，
∴DM＝MN＝2BM＝BM+NC，
即MN＝BM+NC；
（4）解：由（1）（2）得：MN＝BM+NC，
∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+BM+NC+AN＝AB+AC＝2AB，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC的周长＝3AB，
∴△AMN的周长与△ABC的周长的比为＝，
故答案为：．
【分析】（1）根据等边三角形判定定理可得△MDN是等边三角形，则MN＝DM＝DN，根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠DBC＝∠DCB＝30°，再根据等边三角形性质可得∠ABC＝∠ACB＝60°，再根据全等三角形判定定理可得Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），则∠MDB＝∠NDC＝30°，即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得BM＝CN，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）根据等边三角形性质可得∠ABC＝∠ACB＝60°，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠DBC＝∠DCB＝30°，再根据全等三角形判定定理可得△DBM≌△DCE（SAS），则DM＝DE，∠MDB＝∠EDC，根据补角可得∠MDB+∠NDC＝60°，再根据角之间的关系可得∠EDN＝∠MDN，再根据全等三角形判定定理可得△MDN≌△EDN（SAS），则MN＝EN＝EC+NC＝BM+NC，即可求出答案.
（4）根据三角形周长可得△AMN的周长＝2AB，再根据等边三角形性质可得AB＝BC＝AC，则△ABC的周长＝3AB，即可求出答案.
19．【答案】（1）BE=CD；∠ADC=∠AEB；60
（2）证明：由（1）可知，
在等边中，由可得
则
在中，
由勾股定理可得：
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：（1）如图1，
与均为等边三角形
，，
又，
，
在与中，
，
，
，，
又∵，
∴．
故答案为：，，；
（2）由（1）可知，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
在中，由勾股定理可得；
（3）．理由如下：
如图③，连接，
，，；
，，
在与中，
，
，
，，
，
，
．
【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．
（1）利用等边三角形的性质先证明，利用全等三角形的性质可推出，，根据，利用角的运算可求出；
（2）由（1），，利用等边三角形性质可推出，，利用角的运算可求出，利用勾股定理即可求出；
（3））连接， 先证明，利用全等三角形的性质可证明，，利用角的运算可求出，根据勾股定理得到，据此可推出．
20．【答案】（1）解：在P、Q运动的过程中，∠CMQ=60°，度数始终不变，理由如下：
为等边三角形，
，，
点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，
，
在和中
，
，
，
在P、Q运动的过程中，∠CMQ=60°，度数始终不变；
（2）解：运动时间为，则，
，
当时，
，
，
，解得，
当时，
，
，
，解得，
当为或 时，为直角三角形；
（3）解：在P、Q运动的过程中，∠CMQ=120°，度数始终不变，理由如下：
在等边三角形中，，，
，且，
在和中
，
，
又，
，
在P、Q运动的过程中，∠CMQ=120°，度数始终不变．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）在P、Q运动的过程中，∠CMQ=60°，度数始终不变，理由如下：求出AP=BQ，用SAS证明△APC≌△BQA，可得∠BAQ=∠ACP，然后根据三角形外角的性质求出∠CMQ=60°即可；
（2）分别表示出BP和BQ，然后分∠PQB=90°和∠BPQ=90°两种情况，分别利用含30°直角三角形的性质得到关于的方程，进而可求得的值；
（3）用SAS证明△PBC≌△QCA，得∠BPC=∠MQC，然后结合对顶角相等及三角形内角和定理得∠CMQ=∠PBC=120°.
1 / 1第一章《三角形的证明》提升卷—北师大版数学八（下）单元分层测
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2025八上·广州期中）现要在一块三角形草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（ ）．
A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：的三边的垂直平分线交于一点，且这一交点到三角形三个顶点的距离相等．
故选：C．
【分析】根据线段垂直平分线的性质即可求出答案.
2．（2025八上·龙岗期中）△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a2+b2＝c2 B．a＝5，b＝12，c＝13
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A＝∠B+∠C
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的两锐角互余；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：Ａ、根据a2+b2＝c2，可判断△ABC是直角三角形，故Ａ错误.
Ｂ、根据a2+b2＝52+122＝c2＝132可判断△ABC是直角三角形，故Ｂ错误.
Ｃ、根据∠A：∠B：∠C＝3：4：5，设∠A＝3x，∠B=4x，∠C＝5x，则：
∠A+∠B+∠C＝3x+4x+5x=解得：x=，
∴∠A＝，∠B=，∠C＝，
∴△ABC不是直角三角形，故Ｃ正确.
D、∵∠A＝∠B+∠C，
∴∠A+∠B+∠C＝2∠A＝
∴∠A，
∴可判断△ABC是直角三角形，故Ｄ错误.
故答案为：Ｃ.
【分析】Ａ、根据a2+b2＝c2，可判断△ABC是直角三角形.B、根据a＝5，b＝12，c＝13得a2+b2＝c2可判断△ABC是直角三角形.C、根据∠A：∠B：∠C＝3：4：5，设设∠A＝3x，∠B=4x，∠C＝5x，求出x可得∠A、∠B、∠C的度数即可判断△ABC不是直角三角形， D、∠A＝∠B+∠C结合三角形内角和定理得∠A，可判断△ABC是直角三角形，即可得答案.
3．（2024八下·宝安期中）下列说法，错误的是（ ）
A．三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等
B．有两个角都是的三角形是等边三角形
C．三角形的三边分别为a、b、c，若满足，那么该三角形是直角三角形
D．用反证法证明“三角形的三个内角中最多有一个直角”应假设“三角形的三个内角中没有直角”
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定；勾股定理的逆定理；反证法
【解析】【解答】解：A、三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等，说法正确，∴A不符合题意；
B、有两个角都是的三角形是等边三角形，说法正确，∴B不符合题意；
C、三角形的三边分别为a、b、c，若满足，那么该三角形是直角三角形，说法正确，∴C不符合题意；
D、用反证法证明“三角形的三个内角中最多有一个直角”应假设“三角形的内角中至少有两个角是直角”，原说法错误，∴D符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用等边三角形的判定方法、垂直平分线的性质、勾股定理的逆定理和反证法的证明方法逐项分析判断即可.
4．（2025八上·清远期末）如图是嘉禾同学在珠海航展上观察到的带底座的无人机简易模型，其中，，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：延长交于K，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
故选：C．
【分析】本题考查三角形外角性质在角度计算中的应用，解题关键是通过作辅助线构建可利用外角性质的图形。首先延长交于点，根据三角形外角性质，在中，；在中，，由此可推导出。将已知的和代入该关系式，即可求出的度数。
5．（2025八上·东莞期末）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为P，边与另外一把直尺边缘的交点为C，点C，P在这把直尺上的刻度读数分别是2，5，则的长度是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：过P作于N，
由题意得：，
，
平分，
，
，
，
，
，
、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，
，
的长度是
故答案为：B．
【分析】首先根据角平分线的判定可得出OP平分∠AOB，进而根据角平分线的定义和平行线的性质即可得出OC=CP=5-2=3(cm）。
6．（2025八上·珠海期中）如图，，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（ ）
A．64 B．32 C．16 D．6
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵为等边三角形，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴的边长为2，
同理：的边长为4，的边长为8，的边长为16．
故选：C．
【分析】根据等边三角形性质可得，根据补角可得，根据三角形内角和定理可得，则，根据等角对等边可得的边长为2，同理即可求出答案.
7．（2025八上·潮南期末）如图，平分，且，为延长线上的一点，，过作，垂足为．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，①正确；
∴，
∵、，，
∴，即②正确；
∵，，
∴
∴
∴
∵，和不垂直
∴，即不成立，故③错误；
如图：过D作交的延长线于点F，
∵平分，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，④正确．
综上，正确的有①②④．
故选：C．
【分析】本题考查角平分线的性质和三角形面积的分割计算。解题时首先过点O作于E，于F，于D，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可得；然后将的面积拆分为、和的面积之和，根据三角形面积公式，分别表示出三个小三角形的面积：，，；由于，提取公因式，可得；已知的面积是12，周长（即）是8，代入公式即可解出OD的长度，也就是点O到BC的距离。
8．（2025八下·深圳期中）如图，在Rt中，为AB的中点，为线段AD上一点，过点的线段FG交CD的延长线于点，交AC于点，且．分别延长交于点，若EH平分，HD平分交EG于点，则下列说法：①；②；③；④，正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】
解：
②：已知AC=BC，∠ACB=90°，D为AB中点，故CD⊥AB且CD=AD=BD。由EG=AE，EC公共边，得△AEC≌△GEC（SAS），故CA=CG，∠A=∠CGE=45°，从而DE=DG，②正确；
①：由△EDC≌△GDB（SAS），得∠CED=∠BGD；结合HD平分∠CHG，通过外角性质∠CED=∠HDE+∠DHE；∠BGD=∠HDG+∠DHG可得∠HDG=∠HDE，进而∠GDH=∠EDH=45°，故①正确；
③：△EDC为等腰直角三角形，故ED=·MD，而EF=ED（由△EFC≌△EDC），因此EF=·MD≠2MD，故③错误；
④：CG=CD+DG=AD+ED，而AD=BD=CD，故CG=CD+DG=AD+ED=AE+ED+ED（因AD=AE+ED），即CG=2DE+AE，故④正确；
综上可知，正确的是： ①②④ ；
故答案为：B.
【分析】 首先，通过已知条件中的等腰直角三角形性质和全等三角形判定，证明△AEC≌△GEC，进而推出CG=AC及DE=DG，验证②的正确性；接着，通过全等三角形△EDC≌△GDB，结合角平分线性质，得出∠GDH=45°，验证①的正确性；然后，通过等腰直角三角形性质和全等三角形△EFC≌△EDC，发现EF=ED，从而判断③错误；最后，利用线段关系推导CG=2DE+AE，验证④的正确性；即可解答.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2025八上·广州期中）亮亮最近学习尺规作图，他在中练习作图，痕迹如下图所示，若，，请问的度数为 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图方法可得垂直平分，平分，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据作图方法可得，垂直平分，平分，得到，即，根据三角形内角和定理可得，，得到，再根据平分即可求解．
10．（2024八下·顺德期中）如图，，，垂足分别为、，，与交于点．写出由上述条件得到的两个不同类的结论 ．
【答案】PM=PN，∠PON=∠POM（答案不唯一）．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如PM=PN，∠PON=∠POM，∠OPN=∠OPM，BN=AM，OA=OB．从中选择边和角不同的结论即可．
∵AN⊥OB，BM⊥OA，
∴在Rt△OPM与Rt△OPN中
，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），
∴∠PON=∠POM，PN=PM，∠OPN=∠OPM，
在△APM与△PBN中
，
∴△APM≌△PBN（ASA），
∴BN=AM，
∵OA=AM+OM，OB=BN+ON，
∴OA=OB．
故答案为：PM=PN，∠PON=∠POM（答案不唯一）．
【分析】利用全等三角形的判定方法和性质分析求解即可.
11．（2024八上·广州期中）点到的三边，，的距离相等，则点的位置在 ．
【答案】的平分线和的平分线的交点上
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：点到，的距离相等，
平分，
点到，的距离相等，
平分，
点的位置在的平分线和的平分线的交点上．
故答案为：的平分线和的平分线的交点上．
【分析】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断求解即可.
12．（2025八下·深圳期中）在中，，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点：再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则的长为 ．
【答案】4
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；尺规作图-作角的平分线；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】
解：由题意得：AD平分∠BAC
∴∠CAD=∠BAD
∵∠B=∠CAD
∴∠B=∠CAD=∠BAD
∴∠BAC=2∠B
∵∠C=90°
∴∠BAC+∠B=90°
2∠B+∠B=90°
∴∠B=30°
∴∠CAD=30°
∴AD=2CD
∵∠B=∠BAD
∴AD=BD
∴BD=2CD
∵BC=6
∴CD+BD=6
∴CD+2CD=6
∴CD=2
∴BD=4
故答案为：4.
【分析】
本题考查角平分线的定义，直角三角形的性质，角平分线的尺规作图，熟知角平分线的尺规作图和直角三角形的性质是解题关键.
根据角平分线的定义可知：∠CAD=∠BAD，结合∠B=∠CAD，等量代换得：∠BAD=∠D，即：∠BAC=2∠B，根据直角三角形两锐角互余可得：∠BAC+∠B=90°，代入数据可得：∠B=30°，根据直角三角形的性质：直角三角形中30°所对的直角边=斜边的一半可得：AD=2CD，再根据等腰三角形的判定：等边对等角可得：AD=BD，即BD=2CD，再根据线段的和差运算可知：CD+BD=6，代入数据可解得：BD=4，由此可得出答案.
13．（2025八上·深圳开学考）如图，等边三角形ABC中，AD 是BC边上的中线，点E为AD上的一动点，连接BE，在BE的右侧作等边△BEF，连接DF.若BD=m，AD=n， 则BF+DF的最小值为 (用含有m或n的式子表示).
【答案】或n
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接CF，
∵△ABC、△BEF是等边三角形，
∴∠ABC=∠EBF=60°，AB=BC，BE=BF，
"∵∠ABE +∠EBD=60°，∠CBF+∠EBD=60°，
∴∠ABE=∠CBF，
∴△ABE≌△CBF (SAS)；
∵AD是BC边上的中线，
∴∠BCF=∠BAD=30°，AF⊥BC，BD=CD=m，
∴∠CBF=∠BCF，
如图，作点D关于CF的对称点G，连接CG、DG，则DF=FG，
.当B、F、G三点共线，BF +DF的最小值为BG.
∴∠GCF=∠BCF=30°，
∴∠BCG =60°，∠CBF =30°．
∴∠BGC = 180°－30°—60°= 90°，
∴CG=BC=m
∴BG===n，
∴BF + DF的最小值为或n.
故答案为：或n.
【分析】根据SAS可证得△ABE≌△CBF，进而根据三线合一的性质可得出∠BCF=∠BAD=30°，AF⊥BC，BD=CD=m，进而得出∠CBF=∠BCF，作点D关于CF的对称点G，再根据轴对称的性质可得出当B、F、G三点共线，BF +DF的最小值为BG.根据含30°锐角的直角三角形的性质得出CG=BC=m，再根据勾股定理即可得出BG===n。
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．（2024八下·宝安月考）作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）
如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路（点M，N表示大学，，表示公路），现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你确定仓库P修建的位置．
【答案】解：如图点P即为所求．
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质，到点M、N得距离相等的点一定在线段MN的垂直平分线上；根据角平分线的性质定理，到OA、OB距离相等的点一定在OA与OB夹角的角平分线上，故利用尺规作图法，作出线段MN的垂直平分线与∠AOB或∠AOB邻补角的角平分线，两线的交点就是仓库P修建的位置.
15．（2024八下·桂林期中）阅读材料，并完成相应任务．
2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，不但因为这个定理重要、基本，还因为这个定理贴近人们的生活实际，所以很多人都探讨、研究它的证明，新的证法不断出现，下面的图形是传说中毕达哥拉斯的证明图形：
证明：①在图1中，∵，
个直角三角形的面积+两个正方形的面积，
▲ ▲ ▲ ，
②在图2中，
∵，
个直角三角形面积小正方形的面积，
▲ ▲ ．
∴ ▲ ▲ ，
整理得：，
∴ ▲ ．
任务：
（1）将材料中的空缺部分补充完整；
（2）如图3，在中，，，，，求的长．
【答案】（1）证明：①在图1中，∵，
个直角三角形的面积两个正方形的面积，
，
②在图2中，
∵，
个直角三角形的面积小正方形的面积，
．
∴
整理得：
∴．
故答案为：，，，，，，，；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
在中，．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；勾股定理的证明
【解析】【分析】（1）①观察图1，可表示出大正方形的面积，再根据个直角三角形的面积两个正方形的面积，可得答案；②在图2中，个直角三角形的面积小正方形的面积=（a+b）2，据此可证得结论.
（2）利用垂直的定义可证得∠ADC=∠BDC=90°，可求出∠ACD的度数，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AD的长，利用勾股定理求出CD的长；再证明BD=CD，可得到BD的长，然后利用勾股定理求出BC的长.
16．（2023八上·五华期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线上两点 A，B的距离分别为和，又，飞机中心周围以内可以受到洒水影响．
（1）着火点C 受洒水影响吗？为什么？
（2）若飞机的速度为，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？
【答案】（1）解：着火点C受洒水影响，理由如下，
如图，过点C作，垂足为D，
∵，，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
所以，
∵，
∴着火点C受洒水影响．
（2）解：能，理由如下：
如图，以点C为圆心，为半径作圆，交于点E，F．
则，
在中，
，
∵CE=CF，CD⊥AB，
∴，
∴，
∵，
∴着火点C能被扑灭．
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】（1）过点C作，垂足为D，先用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，进而利用等面积法建立方程求得CD长度，将CD的长度与260进行比较即可求得结论；
（2）以点C为圆心，260m为半径作圆，交AB于点E，F， 首先利用勾股定理求得ED=100，再根据等腰三角形的三线合一得出EF=2ED=200，根据路程、速度、时间三者关系求出飞行时间，再与灭火时间比较，即可得出结论.
（1）着火点C受洒水影响，理由如下，
如图，过点C作，垂足为D，
∵，，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
所以，
∵，
∴着火点C受洒水影响．
（2）如图，以点C为圆心，为半径作圆，交于点E，F．
则，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴着火点C能被扑灭．
17．（2025八下·中山期末）定义：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若a2+ab=c2，则称△ABC为“类直角三角形”，请根据以上定义解决下列问题：
（1）如图1，△ABC为等边三角形，请判断该三角形是否为“类直角三角形”，并说明理由；
（2）如图2，等腰三角形△ABC为“类直角三角形”，其中AC=BC，AB>AC，请
求出∠B的大小。
【答案】（1）解：等边三角形不是“类直角三角形”，理由如下：
设等边三角形的三边长分别为a，b，c，则a=b=c
∴a2+ab=c2+c2=2c2+c2，
∴等边三角形不是“类直角三角形”.
（2）解：等腰三角形是“类直角三角形”，，，
，且.
.
是直角三角形，且.
又，
是等腰直角三角形.
的度数为.
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）通过计算，根据“类直角三角形”的定义，即可判断得出结论；
（2）首先根据“类直角三角形”的定义，得出，进而得出。即可判断三角形ABC是等腰直角三角形，即可得出的度数为.
18．（2025八下·榕城月考）问题情境
在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．
特例探究
如图1，当DM＝DN时，
（1）∠MDB＝ 度；
（2）MN与BM，NC之间的数量关系为 ；
归纳证明
（3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明．
拓展应用
（4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为 ．
【答案】（1）30；（2）MN＝BM+NC；
（3）解：猜想：MN＝BM+NC，证明如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD＝CD，∠BDC＝120°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∴∠MBD＝∠NCD＝90°．
∴∠MBD＝∠ECD＝90°，
又∵BD＝CD，BM＝CE，
∴△DBM≌△DCE（SAS），
∴DM＝DE，∠MDB＝∠EDC，
∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，
∴∠MDB+∠NDC＝60°，
∴∠EDN＝∠NDC+∠EDC＝∠MDB+∠NDC＝60°，
∴∠EDN＝∠MDN，
又∵DN＝DN，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN＝EN＝EC+NC＝BM+NC；
（4）
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵DM＝DN，∠MDN＝60°，
∴△MDN是等边三角形，
∴MN＝DM＝DN，
∵∠BDC＝120°，BD＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠DBM＝∠DCN＝90°，
∵BD＝CD，DM＝DN，
∴Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），
∴∠MDB＝∠NDC＝30°，
故答案为：30；
（2）由（1）得：DM＝2BM，DM＝MN，Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），
∴BM＝CN，
∴DM＝MN＝2BM＝BM+NC，
即MN＝BM+NC；
（4）解：由（1）（2）得：MN＝BM+NC，
∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+BM+NC+AN＝AB+AC＝2AB，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC的周长＝3AB，
∴△AMN的周长与△ABC的周长的比为＝，
故答案为：．
【分析】（1）根据等边三角形判定定理可得△MDN是等边三角形，则MN＝DM＝DN，根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠DBC＝∠DCB＝30°，再根据等边三角形性质可得∠ABC＝∠ACB＝60°，再根据全等三角形判定定理可得Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），则∠MDB＝∠NDC＝30°，即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得BM＝CN，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）根据等边三角形性质可得∠ABC＝∠ACB＝60°，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠DBC＝∠DCB＝30°，再根据全等三角形判定定理可得△DBM≌△DCE（SAS），则DM＝DE，∠MDB＝∠EDC，根据补角可得∠MDB+∠NDC＝60°，再根据角之间的关系可得∠EDN＝∠MDN，再根据全等三角形判定定理可得△MDN≌△EDN（SAS），则MN＝EN＝EC+NC＝BM+NC，即可求出答案.
（4）根据三角形周长可得△AMN的周长＝2AB，再根据等边三角形性质可得AB＝BC＝AC，则△ABC的周长＝3AB，即可求出答案.
19．（2024八下·保定期中）综合与实践：
【问题情景】
综合与实践课上，王老师让同学们以“共顶点的等腰三角形的旋转”为主题开展数学探究活动．
【实践操作】
王老师让同学们先画出两个等边和，将绕点A旋转到某一位置，要求同学们观察图形，提出问题并加以解决．
（1）如图①，“慎思组”的同学们连接BE、CD，BE与CD的数量关系是 ；与的数量关系是 ；的度数是 度。
（2）如图②，得知“慎思组”的结论后，“博学组”的同学们又连接BD，他们认为，如果，且，就可以求出BD的长，请写出求解过程．
（3） 【类比探究】如图③，“智慧组”的同学们画出了两个等腰直角三角形和曾，其中；且点E恰好落在DE上，那么CD、CE和BC的数量关系是 ．
【答案】（1）BE=CD；∠ADC=∠AEB；60
（2）证明：由（1）可知，
在等边中，由可得
则
在中，
由勾股定理可得：
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：（1）如图1，
与均为等边三角形
，，
又，
，
在与中，
，
，
，，
又∵，
∴．
故答案为：，，；
（2）由（1）可知，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
在中，由勾股定理可得；
（3）．理由如下：
如图③，连接，
，，；
，，
在与中，
，
，
，，
，
，
．
【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．
（1）利用等边三角形的性质先证明，利用全等三角形的性质可推出，，根据，利用角的运算可求出；
（2）由（1），，利用等边三角形性质可推出，，利用角的运算可求出，利用勾股定理即可求出；
（3））连接， 先证明，利用全等三角形的性质可证明，，利用角的运算可求出，根据勾股定理得到，据此可推出．
20．（2024八下·三水期中）如图1，点分别是边长为的等边的边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为．
（1）连接交于点，则在运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数；
（2）点在运动过程中，设运动时间为，当为何值时，为直角三角形？
（3）如图2，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为，在运动的过程中，的大小变化吗？若变化请说明理由：若不变，请求出它的度数．
【答案】（1）解：在P、Q运动的过程中，∠CMQ=60°，度数始终不变，理由如下：
为等边三角形，
，，
点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，
，
在和中
，
，
，
在P、Q运动的过程中，∠CMQ=60°，度数始终不变；
（2）解：运动时间为，则，
，
当时，
，
，
，解得，
当时，
，
，
，解得，
当为或 时，为直角三角形；
（3）解：在P、Q运动的过程中，∠CMQ=120°，度数始终不变，理由如下：
在等边三角形中，，，
，且，
在和中
，
，
又，
，
在P、Q运动的过程中，∠CMQ=120°，度数始终不变．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）在P、Q运动的过程中，∠CMQ=60°，度数始终不变，理由如下：求出AP=BQ，用SAS证明△APC≌△BQA，可得∠BAQ=∠ACP，然后根据三角形外角的性质求出∠CMQ=60°即可；
（2）分别表示出BP和BQ，然后分∠PQB=90°和∠BPQ=90°两种情况，分别利用含30°直角三角形的性质得到关于的方程，进而可求得的值；
（3）用SAS证明△PBC≌△QCA，得∠BPC=∠MQC，然后结合对顶角相等及三角形内角和定理得∠CMQ=∠PBC=120°.
1 / 1
