第二章《不等式与不等式组》培优卷—北师大版八（下）单元分层测
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1． 甲从一鱼摊上买了3条鱼，平均每条a元，又从另一摊上买了2条鱼，平均每条b元，后来他又以每条 元的价格把鱼全部卖给了乙，结果赔了钱，原因是( )
A．a>b B．a【答案】A
【知识点】不等式的性质的实际应用
【解析】【解答】解：买进一共花了((3a+2b)元，
一共卖了： (元)
利润： (2.5a+2.5b)-(3a+2b)
=2.5a+2.5b-3a-2b
=0.5b-0.5a(元)
结果发现赔了钱，说明利润小于0；
0.5b-0.5a<0
则，a>b.
故选： A.
【分析】可根据题意算出买进和卖出鱼所花钱的总数，买进一共花了(3a+2b)元，一共卖了 元，前者大于后者，即可推导出a>b；据此解答即可.
2．（2025八上·拱墅开学考）设实数，，满足条件，且．设，，，则，，之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数的大小比较；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，，，
∵实数，，满足条件，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由题意，先化简，根据不等式的基本性质比较大小即可判断求解．
3．（2025八上·义乌期中）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：ab=ab-2a.如：15=1×5-2×1=3，则不等式3x≥x-2的解集为是（ ）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＞-2 D．x≥-2
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解： 由题意3x =3x-6，于是3x-6 ≥x-2 得3x-x ≥6-2，2x ≥4，得x ≥2.
故答案：B.
【分析】由新定义运算知3x =3x-6，代入不等式并求解不等式即得解集.
4．（2023八下·潼南期末）定义一种新运算：，例如：，，给出下列说法：
①；
②若，则或4；
③的解集为或；
④若函数的图象与直线（m为常数）只有1个交点，则．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；一次函数的图象；解含括号的一元一次方程；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，故①正确；
当即时，，
解得符合题意；
当即时，，
解得与矛盾，不合题意，故②错误；
当即时，，
解得，
∴不等式的解集是；
当即时，，
解得，
∴不等式的解集是；
综上，不等式的解集为或，故③正确；
当即时，，
当即时，
函数图象如下，当函数图象与直线（m为常数）只有1个交点，则．
所以④正确；
正确的结论有①③④，共三个，
故选C．
【分析】①根据新定义且-4＞-5， 对直接列式计算，再判断即可；②分情况讨论：当和当，结合新定义分别解答，再判断即可；③ 分情况讨论：当和当，结合新定义分别建立不等式并解之，再判断即可；分两种情况：当和当时，利用新定义分别求出y值，再结合图象判断即可．
5．（2024八下·南海期中）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数，交轴于，交轴于，已知，下列说法正确的是（ ）
A．的解集是 B．的解集是
C．的解集是 D．
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：A、由图可知一次函数与交点的横坐标为，一次函数与轴交点的横坐标为，当时，，选项正确，符合题意；
B、由图可知一次函数与交点的横坐标为，则时，，一次函数与交点的横坐标为，当时，，从而得到的解集是，选项错误，不符合题意；
C、由图可知一次函数与交点的横坐标为，则时，；直线与直线平行，根据与轴交点的横坐标为，则根据对称性得到与轴交点的横坐标为，从而得到的解集是，选项错误，不符合题意；
D、由一次函数图像可知；由交轴于，交轴于，已知，可知，，，且，则，选项错误，不符合题意；
故选：A．
【分析】
根据题中条件及函数图象，数形结合，逐项验证即可得到答案，
6．（2024八下·菏泽期中）对于任意实数、，定义一种运算：@，如：@，请根据以上定义解决问题：若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围为是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：x≥-，
∴不等式组的解集是：-≤x＜2，
∵不等式组有2个整数解，
∴-1＜-≤0，
解得：3≤m＜5．
故答案为：A．
【分析】先根据已知新运算变形，再求出不等式组的解，根据已知得出关于m的不等式组，求出m的范围即可。
7．（2024八下·深圳期中）用甲乙两种原料配制成某种饮料，已知每千克的这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如表所示：现配制这种饮料10kg，要求至少含有4200单位的维生素C，且购买原料的费用不超过72元．设所需甲种原料x（kg），则可列不等式组为（ ）
原料 甲 乙
维生素 600单位 100单位
原料价格 8元 4元
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】列一元一次不等式组
【解析】【解答】解：设所需甲种原料的质量为xkg，则需乙种原料（10-x）kg，
根据题意，得：；
故答案为：C.
【分析】所需甲种原料x（kg），则需乙种原料（10-x）kg，根据xkg甲原料所含维生素+（10-x）kg乙原料所含维生素≥4200单位；购买甲原料所花的费用+购买乙原料所花的费用≤72，列出不等式组即可求解.
8．数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用[x]表示不大于x的最大整数，如：[π]=3，[2]=2，[-2.1]=-3.给出如下结论：①[-x]=-x；②若[x]=n，则x的取值范围是 n≤xA．①② B．②③ C．①③ D．③④
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】解：因为[x]表示不大于x的最大整数，
所以当x=2.5时，[-2.5]=-3≠-2.5，故①不一定正确.
若[x]=n，则x的取值范围是n≤x当-1当x=0时，[1+x]+[1 -x]=1+1=2；
当0故③是正确的.
由题意，得0≤x-[x]<1，
由4x-2[x]+5=0，
得
则x-
所以
所以-3.5当-3.5方程变形为4x-2×(-4)+5=0，
解得x=-3.25；
当-3≤x≤-2.5时，
方程变形为4x-2×(-3)+5=0，
解得x=-2.75，
所以-3.25 与-2.75 都是方程4x-2[x]+5=0的解，
故④是错误的.
故答案为： B.
【分析】根据题意列不等式，解不等式求出解集判断解答即可.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2024八上·杭州期中）若不等式的解的解是，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】已知不等式的解（集）求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的不等式（m 1）x＜m 1的解集为x＞1，即两边同除以（m 1）时要变号，
∴m 1＜0，则m＜1；
故答案为：.
【分析】根据不等式的基本性质求解即可．
10．若关于x的不等式（3a-2）x<2的解集为则a的取值范围是 。
【答案】a＜.
【知识点】解一元一次不等式；已知不等式的解（集）求参数
【解析】【解答】解： ∵关于x的不等式（3a-2）x<2的解集为
∴3a-2＜0，
∴a＜.
故答案为：a＜.
【分析】根据关于x的不等式（3a-2）x<2的解集为 可得出3a-2＜0，再解不等式，即可得出a的取值范围。
11．（2023八上·古南开学考） 若整数使得关于，的二元一次方程组的解为整数，且关于的不等式组有且只有个整数解，则符合条件的所有的和为 ．
【答案】34
【知识点】二元一次方程组的解；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】
∵的不等式组有且只有个整数解，
解得：
则
解得13＜m≤19
∵关于，的二元一次方程组的解为整数
解得
∴ 满足条件的m的值是：15，19
则符合条件的所有的和为 34.
故答案为：34.
【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的特殊解。根据不等式组的解集和要求，得出m的取值范围，根据二元一次方程的解和要求，共同得出符合条件的m的值即可。
12． 假期学校组织360名师生外出旅游，某客车出租公司有两种大客车可供选择：甲种客车每辆车有40个座，租金400元；乙种客车每辆车有50个座，租金480元.则租用该公司客车最少需用租金 元.
【答案】3520
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】由题意可知 若只租甲种客车需要36040=9辆，若只租乙种客车需要8辆。
设甲种客车x辆，则乙种客车（8-x）辆，
根据题意得 40x+50(8-x)360
解得：x4
设客车的租金w=400x+480(8-x)
即w=-80x+3840
w随x得增大而减小，则当x=4时，w最小
故当x=4时，w=-80x4+3840=3520
故答案为：3520
【分析】由题意可知 若只租甲种客车需要36040=9辆，正好坐满但是租金贵，若只租乙种客车需要8辆，但有一辆客车不能坐满。因而两种客车共租8辆，载客量要大于等于360。设甲种客车x辆，则乙种客车（8-x）辆，根据题意得 40x+50(8-x)360解得：x4设客车的租金w=400x+480(8-x)
即w=-80x+3840，w随x得增大而减小，则当x=4时，w最小，故当x=4时，w=-80x4+3840=3520。
13．（2024八上·北京市月考）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（）的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：．
根据题意得：，
解得：，
车速的取值范围是．
故答案为：．
【分析】
本题考查了一元一次不等式组的应用，根据路程、速度、时间三者之间的关系：路程速度时间，结合小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出车速的取值范围，即可得出答案．
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．（2024八下·电白期中）解不等式组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原不等式组可化为，
解不等式①，得x＜15．
解不等式②，得x＞2．
则不等式组的解集为2＜x＜15．
（2）解：
解不等式①，得x＜﹣1，
解不等式②，得x≥1．
在同一数轴上表示不等式①②的解集，如图：
则原不等式组无解．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】(1)两不等号连接三个代数式，可直接拆分成两个不等式即不等式组进行求解；
(2)①式直接先去分母进行求解，而②式先去括号再移项求解.
15．老王和小张在同一家公司工作。老王每月的工资比小张高，但不到他的两倍。新一年开始时，公司给他们同时加薪10%，问：加薪后老王的工资仍不到小张的两倍吗 如果每人各加薪500元呢 请说明理由。
【答案】解：1.加薪10%后，老王的工资仍不到小张的两倍。
理由：设小张原工资为x元，老王原工资为y元，则x因为y<2x
∴1.1y<2×1.1x（不等式的性质2），
故结论成立。
2.加薪500元后，老王的工资仍不到小张的两倍。
理由：加薪后，小张工资为x+500，老王工资为y+500。
因为y<2x，
可得y+500<2x+500，
而2x+500<2(x+500)，
故y+500<2（x+500），
故结论成立
【知识点】不等式的性质的实际应用
【解析】【分析】本题主要考查不等式关系在实际问题中的应用，以及比例变化与固定值变化对不等式的影响。
16．（2025八上·海宁期中）已知关于 a、b的方程组 中，a为负数，b为非正数.
（1）求m的取值范围；
（2）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x<2m+1的解集为x>1.
【答案】（1）解：
(①+②)÷2得：a=m-3③，
将③代入②得：-3+m+b=-7-m
解得：b=-2m-4
∴方程组的解为
∵a为负数，b为非正数
∴
解得：-2≤m<3
∴m的取值范围为-2≤m<3
（2）解：∵2mx +x<2m+1
∴(2m+1)x<2m+1
∵不等式2mx+x<2m+1的解集为x>1
∴2m+2<0
∴
∵-2≤m<3
∴-2≤m<-2
∴m=-1或m=-2
∴当m为-2或-1时，不等式2mx+x<2m+1的解集为x>1.
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式；一元一次不等式的含参问题
【解析】【分析】(1)由方程组的解及a为负数，b为非正数，列出关于m的一元一次不等式组；
(2)由不等式 2mx+x<2m+1的解集为x>1及-2≤m<3，确定m的取值范围.
17．（2025八下·高州月考）阅读下列材料：
解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法：
解：，，又，，．
又，①
不等式①三者同加2，得．即②
得，．
问题：
（1）已知，且，，求的取值范围；
（2）一家具生产企业，生产学生用的课桌椅，一张桌子的售价比一把椅子高50元，若一张桌子的售价不低于120元，一把椅子的售价不超过90元，求出售一套桌椅（一张桌子一把椅子）定价的范围（定价用w表示）．
【答案】（1）解：∵x-y=3，∴y=x-3，又∵y<1，∴x-3<1，∴x<4.
又∵x > 2，
.∴2同理得：-1由①+②得：2-1∴1（2）解：设每张椅子的价格为x元，则每张桌子的价格为(x+50)元，
由已知可知：
解得70≤x≤ 90，
得：140≤2x≤180，
190 ≤ 2x+50≤230，
∴w=2x+50，
得190≤w≤230，
答：出售一套桌椅(一张桌子+一把椅子)定价的范围190≤w≤230.
【知识点】一元一次不等式组的应用；不等式的性质的实际应用；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据阅读材料所给的解题过程，直接套用方法与步骤解答即可；
(2)设每张椅子的价格为x元，则每张桌子的价格为(x+50)元，由已知可知70≤x≤90，再求出 w = 2x+50的范围即可；
18．（2024八下·龙岗期中）深圳百合外国语学校八年级某数学学习小组在研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系课题时，对函数的图象和性质做了探究．下面是该学习小组的探究过程，请补充完整：
（1）列表：表格是y与x的几组对应值，请将表格补充完整：
x －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …
y a －1 0 1 2 b 2 1 0 …
表格中a的值为 ，b的值为 ．
（2）如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象：
（3）请观察函数的图象，回答下列问题：
①不等式的解集为 ；
②若，为该函数图象上不同的两点，则m＝ ；
③定义，例如，，则函数的最大值为 ．
【答案】（1），3
（2）解：函数图象如下：
（3）①或；②；③
【知识点】函数自变量的取值范围；函数的图象；一次函数与不等式（组）的关系；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】
解：（1）当x=-4时，，
当x=1时，，
故答案为：，3；
（3）①由(2)图象可知：当或时，，即，
∴不等式的解集为：或，
故答案为：或；
②∵点A（m，n）点B（6，n）为该函数图象上的两个点
∴将点A点B坐标代入函数解析式得：当，时，，
当x=m，y=-2时，
解得：或，
∵点A和点B是函数图象上两个不同的点
∴m=6需舍去
∴
故答案为：；
③设函数，
在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象如下：
当时，有，
解得：或3，
由图知：当时，，
∴
此时，的最大值是，
∴的最大值是，
当时，，
∴，
此时，的最大值是，
∴的最大值是，
当时，，
∴
此时，的最大值是，
∴的最大值是，
综上可得，的最大值是
故答案为：．
【分析】
本题主要考查了新定义、一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，函数图象点的坐标的求法、函数图象的画法以及看函数图象，熟练掌握函数图象点的坐标的求法、函数图象的画法以及看函数图象是解决本题关键．
（1）根据表格中的数据把和x=1分别代入函数表达式：，计算即可得到答案；
（2）根据（1）中的表格数据，在图像上描出表中以各对对应值为坐标的部分点，然后连线即可得到函数图象，即可得出答案；
（3）①不等式，意味着函数，通过观察所画的函数图象，找到y值在x轴下方对应的x的取值范围即可得出答案；
②根据这两个点坐标在函数图象上，分别将这两个点的坐标代入函数表达式计算即可得到m，n的值，即可得出答案；
③根据题意：设函数，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象根据函数图象和性质解决，即可得出答案．
（1），
，
故答案为：，3；
（2）函数图象如下：
（3）①观察图象可得，当或时，，即，
∴不等式的解集为：或，
故答案为：或；
②把，代入，得，
当时，有，
解得：或，
∴
故答案为：；
③设，，
在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象如下：
当时，有，
解得：或3，
当时，，
∴
此时，的最大值是，
∴的最大值是，
当时，，
∴，
此时，的最大值是，
∴的最大值是，
当时，，
∴
此时，的最大值是，
∴的最大值是，
综上可得，的最大值是
故答案为：．
19．（2025八上·深圳期中）某雪糕生产厂家有一批雪糕需要装入某种规格的包装盒投入市场．这种包装盒可以通过两种方案获得．方案一：从包装盒厂直接购买，每个包装盒元；方案二：从机械厂租赁机器自己加工制作，但需要一次性投入机器安装等费用10000元，每加工一个包装盒还需支付一定的成本费（总费用包括投入机器安装等费用和成本费）．设需要该种规格的包装盒个，方案一、二的总费用分别为元，元，且，关于的函数图象分别对应直线，，如图所示．
（1）求a的值及关于x的函数解析式；
（2）求关于x的函数解析式；
（3）假设你是该雪糕生产厂家的决策者，你认为如何选择方案更省钱？并说明理由．
【答案】（1）解：根据图象得：a＝8000÷2000＝4；
∴关于x的函数解析式为＝4x。
（2）解：根据题意，设关于x的函数解析式为＝kx+10000，
将点（2000，14000）代入得：2000k+10000＝14000，
解得k＝2，
∴＝2x+10000。
（3）解：令4x＝2x+10000，解得x＝5000，
∴当x＝5000时，＝，方案一，方案二的总费用一样多；
令4x＜2x+10000，
解得x＜5000，
∴当0≤x＜5000时，＜，选择方案一更省钱；
令4x＞2x+10000，
解得x＞5000，
∴当x＞5000时，＞，选择方案二更省钱；
综上所述，当0≤x＜5000时，＜，选择方案一更省钱；
当x＝5000时，＝，方案一，方案二的总费用一样多；
当x＞5000时，＞，选择方案二更省钱．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）根据图象可以看出，l1过原点，因此计算可以直接求出a的值；然后即可写出关于x的函数解析式；
（2）结合条件“ 需要一次性投入机器安装等费用10000元 ”，即可假设出关于x的函数解析式为＝kx+10000，然后用待定系数法将（2000，14000）代入求出k的值，即可得出答案；
（3）分3种情况，即4x＝2x+10000，4x＜2x+10000，4x＞2x+10000，此时即可确定x的三个取值范围，最后计算比较即可得出答案。
（1）解：根据图象得：a＝8000÷2000＝4；
∴关于x的函数解析式为＝4x；
（2）根据题意，设关于x的函数解析式为＝kx+10000，
将点（2000，14000）代入得：
2000k+10000＝14000，
解得k＝2，
∴＝2x+10000；
（3）令4x＝2x+10000，
解得x＝5000，
∴当x＝5000时，＝，方案一，方案二的总费用一样多；
令4x＜2x+10000，
解得x＜5000，
∴当0≤x＜5000时，＜，选择方案一更省钱；
令4x＞2x+10000，
解得x＞5000，
∴当x＞5000时，＞，选择方案二更省钱；
综上所述，当0≤x＜5000时，＜，选择方案一更省钱；当x＝5000时，＝，方案一，方案二的总费用一样多；当x＞5000时，＞，选择方案二更省钱．
20．（2025八上·海曙期中）宁波地铁为倡导低碳出行推出碳币累计功能，根据用户使用“宁波地铁 go”小程序购票乘车消费金额和每日签到可获取碳币并累计，将低碳行为数字化.累计规则如下：
①使用“宁波地铁 go”小程序购票时，享受票价的9折优惠，按实付消费金额1：10比例进行碳币累计.例如，当票价为2元时，实付金额为1.8元，累计增加18碳币.
②每日可在“宁波地铁 go”小程序签到一次，每次签到可累计增加10碳币.
③用户可以用碳币在“宁波地铁 go”小程序上兑换各项权益.
为响应低碳出行的号召，小李爸爸决定使用“宁波地铁 go”小程序购票乘坐地铁出行，每日上、下班各1次，如表所示有两种出行方式可供选择.
单程出行方式 总碳排放量/g
方式一 地铁8站(票价4元)+电动车骑行4km 1040
方式二 地铁9站(票价5元)+电动车骑行3km 1080
注：假设地铁每站碳排放量一样.
结合上述信息，回答下列问题：
（1）若小李爸爸连续五天都选择方式一上、下班，并且每日签到，则这五天共累计增加多少碳币
（2）求乘坐地铁每站的碳排放量和骑电动车每千米的碳排放量；
（3）为尽可能多地兑换各项权益，小李爸爸每月需要累计增加不低于1830碳币.他每月工作20天，在总碳排放量不超过42.2千克的前提下，请设计一种出行方案，确定一个月内方式一和方式二分别出行的次数，并说明理由.(每月按30天计，单程只选择一种出行方式，不考虑非工作日的出行方式)
【答案】（1）解：根据题意得： 5
=(72+10)×5
=82×5
=410(碳币) .
答：这五天共累计增加410碳币；
（2）解：设乘坐地铁每站的碳排放量为 xg，骑电动车每千米的碳排放量为 yg，
根据题意得：
解得：
答：乘坐地铁每站的碳排放量为100g，骑电动车每千米的碳排放量为60g；
（3）解：一个月中选择25次方式一出行，15次方式二出行 (答案不唯一)，理由如下：
设一个月中选择m次方式一出行，则选择((20×2-m)次方式二出行，
根据题意得： ，
解得：25≤m≤30，
∵m为整数，
∴m可以为25， 26， 27， 28， 29， 30，
∴一个月中选择25次方式一出行，15次方式二出行(答案不唯一).
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】(1)利用这五天共累计增加碳币的数量=(选择方式一单程出行累计增加碳币数：×2+每次签到可累计增加碳币数)×5，即可求出结论；
(2)设乘坐地铁每站的碳排放量为 xg，骑电动车每千米的碳排放量为 yg，根据采用方式一、方式二单程出行的总碳排放量，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(3)设一个月中选择m次方式一出行，则选择(20×2-m)次方式二出行，根据“总碳排放量不超过42.2千克，且每月需要累计增加不低于1830碳币”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出结论.
1 / 1第二章《不等式与不等式组》培优卷—北师大版八（下）单元分层测
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1． 甲从一鱼摊上买了3条鱼，平均每条a元，又从另一摊上买了2条鱼，平均每条b元，后来他又以每条 元的价格把鱼全部卖给了乙，结果赔了钱，原因是( )
A．a>b B．a2．（2025八上·拱墅开学考）设实数，，满足条件，且．设，，，则，，之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025八上·义乌期中）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：ab=ab-2a.如：15=1×5-2×1=3，则不等式3x≥x-2的解集为是（ ）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＞-2 D．x≥-2
4．（2023八下·潼南期末）定义一种新运算：，例如：，，给出下列说法：
①；
②若，则或4；
③的解集为或；
④若函数的图象与直线（m为常数）只有1个交点，则．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2024八下·南海期中）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数，交轴于，交轴于，已知，下列说法正确的是（ ）
A．的解集是 B．的解集是
C．的解集是 D．
6．（2024八下·菏泽期中）对于任意实数、，定义一种运算：@，如：@，请根据以上定义解决问题：若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围为是( )
A． B． C． D．
7．（2024八下·深圳期中）用甲乙两种原料配制成某种饮料，已知每千克的这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如表所示：现配制这种饮料10kg，要求至少含有4200单位的维生素C，且购买原料的费用不超过72元．设所需甲种原料x（kg），则可列不等式组为（ ）
原料 甲 乙
维生素 600单位 100单位
原料价格 8元 4元
A．
B．
C．
D．
8．数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用[x]表示不大于x的最大整数，如：[π]=3，[2]=2，[-2.1]=-3.给出如下结论：①[-x]=-x；②若[x]=n，则x的取值范围是 n≤xA．①② B．②③ C．①③ D．③④
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2024八上·杭州期中）若不等式的解的解是，则的取值范围是 .
10．若关于x的不等式（3a-2）x<2的解集为则a的取值范围是 。
11．（2023八上·古南开学考） 若整数使得关于，的二元一次方程组的解为整数，且关于的不等式组有且只有个整数解，则符合条件的所有的和为 ．
12． 假期学校组织360名师生外出旅游，某客车出租公司有两种大客车可供选择：甲种客车每辆车有40个座，租金400元；乙种客车每辆车有50个座，租金480元.则租用该公司客车最少需用租金 元.
13．（2024八上·北京市月考）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（）的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．（2024八下·电白期中）解不等式组：
（1）
（2）
15．老王和小张在同一家公司工作。老王每月的工资比小张高，但不到他的两倍。新一年开始时，公司给他们同时加薪10%，问：加薪后老王的工资仍不到小张的两倍吗 如果每人各加薪500元呢 请说明理由。
16．（2025八上·海宁期中）已知关于 a、b的方程组 中，a为负数，b为非正数.
（1）求m的取值范围；
（2）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x<2m+1的解集为x>1.
17．（2025八下·高州月考）阅读下列材料：
解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法：
解：，，又，，．
又，①
不等式①三者同加2，得．即②
得，．
问题：
（1）已知，且，，求的取值范围；
（2）一家具生产企业，生产学生用的课桌椅，一张桌子的售价比一把椅子高50元，若一张桌子的售价不低于120元，一把椅子的售价不超过90元，求出售一套桌椅（一张桌子一把椅子）定价的范围（定价用w表示）．
18．（2024八下·龙岗期中）深圳百合外国语学校八年级某数学学习小组在研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系课题时，对函数的图象和性质做了探究．下面是该学习小组的探究过程，请补充完整：
（1）列表：表格是y与x的几组对应值，请将表格补充完整：
x －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …
y a －1 0 1 2 b 2 1 0 …
表格中a的值为 ，b的值为 ．
（2）如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象：
（3）请观察函数的图象，回答下列问题：
①不等式的解集为 ；
②若，为该函数图象上不同的两点，则m＝ ；
③定义，例如，，则函数的最大值为 ．
19．（2025八上·深圳期中）某雪糕生产厂家有一批雪糕需要装入某种规格的包装盒投入市场．这种包装盒可以通过两种方案获得．方案一：从包装盒厂直接购买，每个包装盒元；方案二：从机械厂租赁机器自己加工制作，但需要一次性投入机器安装等费用10000元，每加工一个包装盒还需支付一定的成本费（总费用包括投入机器安装等费用和成本费）．设需要该种规格的包装盒个，方案一、二的总费用分别为元，元，且，关于的函数图象分别对应直线，，如图所示．
（1）求a的值及关于x的函数解析式；
（2）求关于x的函数解析式；
（3）假设你是该雪糕生产厂家的决策者，你认为如何选择方案更省钱？并说明理由．
20．（2025八上·海曙期中）宁波地铁为倡导低碳出行推出碳币累计功能，根据用户使用“宁波地铁 go”小程序购票乘车消费金额和每日签到可获取碳币并累计，将低碳行为数字化.累计规则如下：
①使用“宁波地铁 go”小程序购票时，享受票价的9折优惠，按实付消费金额1：10比例进行碳币累计.例如，当票价为2元时，实付金额为1.8元，累计增加18碳币.
②每日可在“宁波地铁 go”小程序签到一次，每次签到可累计增加10碳币.
③用户可以用碳币在“宁波地铁 go”小程序上兑换各项权益.
为响应低碳出行的号召，小李爸爸决定使用“宁波地铁 go”小程序购票乘坐地铁出行，每日上、下班各1次，如表所示有两种出行方式可供选择.
单程出行方式 总碳排放量/g
方式一 地铁8站(票价4元)+电动车骑行4km 1040
方式二 地铁9站(票价5元)+电动车骑行3km 1080
注：假设地铁每站碳排放量一样.
结合上述信息，回答下列问题：
（1）若小李爸爸连续五天都选择方式一上、下班，并且每日签到，则这五天共累计增加多少碳币
（2）求乘坐地铁每站的碳排放量和骑电动车每千米的碳排放量；
（3）为尽可能多地兑换各项权益，小李爸爸每月需要累计增加不低于1830碳币.他每月工作20天，在总碳排放量不超过42.2千克的前提下，请设计一种出行方案，确定一个月内方式一和方式二分别出行的次数，并说明理由.(每月按30天计，单程只选择一种出行方式，不考虑非工作日的出行方式)
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】不等式的性质的实际应用
【解析】【解答】解：买进一共花了((3a+2b)元，
一共卖了： (元)
利润： (2.5a+2.5b)-(3a+2b)
=2.5a+2.5b-3a-2b
=0.5b-0.5a(元)
结果发现赔了钱，说明利润小于0；
0.5b-0.5a<0
则，a>b.
故选： A.
【分析】可根据题意算出买进和卖出鱼所花钱的总数，买进一共花了(3a+2b)元，一共卖了 元，前者大于后者，即可推导出a>b；据此解答即可.
2．【答案】D
【知识点】实数的大小比较；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，，，
∵实数，，满足条件，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由题意，先化简，根据不等式的基本性质比较大小即可判断求解．
3．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解： 由题意3x =3x-6，于是3x-6 ≥x-2 得3x-x ≥6-2，2x ≥4，得x ≥2.
故答案：B.
【分析】由新定义运算知3x =3x-6，代入不等式并求解不等式即得解集.
4．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；一次函数的图象；解含括号的一元一次方程；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，故①正确；
当即时，，
解得符合题意；
当即时，，
解得与矛盾，不合题意，故②错误；
当即时，，
解得，
∴不等式的解集是；
当即时，，
解得，
∴不等式的解集是；
综上，不等式的解集为或，故③正确；
当即时，，
当即时，
函数图象如下，当函数图象与直线（m为常数）只有1个交点，则．
所以④正确；
正确的结论有①③④，共三个，
故选C．
【分析】①根据新定义且-4＞-5， 对直接列式计算，再判断即可；②分情况讨论：当和当，结合新定义分别解答，再判断即可；③ 分情况讨论：当和当，结合新定义分别建立不等式并解之，再判断即可；分两种情况：当和当时，利用新定义分别求出y值，再结合图象判断即可．
5．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：A、由图可知一次函数与交点的横坐标为，一次函数与轴交点的横坐标为，当时，，选项正确，符合题意；
B、由图可知一次函数与交点的横坐标为，则时，，一次函数与交点的横坐标为，当时，，从而得到的解集是，选项错误，不符合题意；
C、由图可知一次函数与交点的横坐标为，则时，；直线与直线平行，根据与轴交点的横坐标为，则根据对称性得到与轴交点的横坐标为，从而得到的解集是，选项错误，不符合题意；
D、由一次函数图像可知；由交轴于，交轴于，已知，可知，，，且，则，选项错误，不符合题意；
故选：A．
【分析】
根据题中条件及函数图象，数形结合，逐项验证即可得到答案，
6．【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：x≥-，
∴不等式组的解集是：-≤x＜2，
∵不等式组有2个整数解，
∴-1＜-≤0，
解得：3≤m＜5．
故答案为：A．
【分析】先根据已知新运算变形，再求出不等式组的解，根据已知得出关于m的不等式组，求出m的范围即可。
7．【答案】C
【知识点】列一元一次不等式组
【解析】【解答】解：设所需甲种原料的质量为xkg，则需乙种原料（10-x）kg，
根据题意，得：；
故答案为：C.
【分析】所需甲种原料x（kg），则需乙种原料（10-x）kg，根据xkg甲原料所含维生素+（10-x）kg乙原料所含维生素≥4200单位；购买甲原料所花的费用+购买乙原料所花的费用≤72，列出不等式组即可求解.
8．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】解：因为[x]表示不大于x的最大整数，
所以当x=2.5时，[-2.5]=-3≠-2.5，故①不一定正确.
若[x]=n，则x的取值范围是n≤x当-1当x=0时，[1+x]+[1 -x]=1+1=2；
当0故③是正确的.
由题意，得0≤x-[x]<1，
由4x-2[x]+5=0，
得
则x-
所以
所以-3.5当-3.5方程变形为4x-2×(-4)+5=0，
解得x=-3.25；
当-3≤x≤-2.5时，
方程变形为4x-2×(-3)+5=0，
解得x=-2.75，
所以-3.25 与-2.75 都是方程4x-2[x]+5=0的解，
故④是错误的.
故答案为： B.
【分析】根据题意列不等式，解不等式求出解集判断解答即可.
9．【答案】
【知识点】已知不等式的解（集）求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的不等式（m 1）x＜m 1的解集为x＞1，即两边同除以（m 1）时要变号，
∴m 1＜0，则m＜1；
故答案为：.
【分析】根据不等式的基本性质求解即可．
10．【答案】a＜.
【知识点】解一元一次不等式；已知不等式的解（集）求参数
【解析】【解答】解： ∵关于x的不等式（3a-2）x<2的解集为
∴3a-2＜0，
∴a＜.
故答案为：a＜.
【分析】根据关于x的不等式（3a-2）x<2的解集为 可得出3a-2＜0，再解不等式，即可得出a的取值范围。
11．【答案】34
【知识点】二元一次方程组的解；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】
∵的不等式组有且只有个整数解，
解得：
则
解得13＜m≤19
∵关于，的二元一次方程组的解为整数
解得
∴ 满足条件的m的值是：15，19
则符合条件的所有的和为 34.
故答案为：34.
【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的特殊解。根据不等式组的解集和要求，得出m的取值范围，根据二元一次方程的解和要求，共同得出符合条件的m的值即可。
12．【答案】3520
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】由题意可知 若只租甲种客车需要36040=9辆，若只租乙种客车需要8辆。
设甲种客车x辆，则乙种客车（8-x）辆，
根据题意得 40x+50(8-x)360
解得：x4
设客车的租金w=400x+480(8-x)
即w=-80x+3840
w随x得增大而减小，则当x=4时，w最小
故当x=4时，w=-80x4+3840=3520
故答案为：3520
【分析】由题意可知 若只租甲种客车需要36040=9辆，正好坐满但是租金贵，若只租乙种客车需要8辆，但有一辆客车不能坐满。因而两种客车共租8辆，载客量要大于等于360。设甲种客车x辆，则乙种客车（8-x）辆，根据题意得 40x+50(8-x)360解得：x4设客车的租金w=400x+480(8-x)
即w=-80x+3840，w随x得增大而减小，则当x=4时，w最小，故当x=4时，w=-80x4+3840=3520。
13．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：．
根据题意得：，
解得：，
车速的取值范围是．
故答案为：．
【分析】
本题考查了一元一次不等式组的应用，根据路程、速度、时间三者之间的关系：路程速度时间，结合小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出车速的取值范围，即可得出答案．
14．【答案】（1）解：原不等式组可化为，
解不等式①，得x＜15．
解不等式②，得x＞2．
则不等式组的解集为2＜x＜15．
（2）解：
解不等式①，得x＜﹣1，
解不等式②，得x≥1．
在同一数轴上表示不等式①②的解集，如图：
则原不等式组无解．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】(1)两不等号连接三个代数式，可直接拆分成两个不等式即不等式组进行求解；
(2)①式直接先去分母进行求解，而②式先去括号再移项求解.
15．【答案】解：1.加薪10%后，老王的工资仍不到小张的两倍。
理由：设小张原工资为x元，老王原工资为y元，则x因为y<2x
∴1.1y<2×1.1x（不等式的性质2），
故结论成立。
2.加薪500元后，老王的工资仍不到小张的两倍。
理由：加薪后，小张工资为x+500，老王工资为y+500。
因为y<2x，
可得y+500<2x+500，
而2x+500<2(x+500)，
故y+500<2（x+500），
故结论成立
【知识点】不等式的性质的实际应用
【解析】【分析】本题主要考查不等式关系在实际问题中的应用，以及比例变化与固定值变化对不等式的影响。
16．【答案】（1）解：
(①+②)÷2得：a=m-3③，
将③代入②得：-3+m+b=-7-m
解得：b=-2m-4
∴方程组的解为
∵a为负数，b为非正数
∴
解得：-2≤m<3
∴m的取值范围为-2≤m<3
（2）解：∵2mx +x<2m+1
∴(2m+1)x<2m+1
∵不等式2mx+x<2m+1的解集为x>1
∴2m+2<0
∴
∵-2≤m<3
∴-2≤m<-2
∴m=-1或m=-2
∴当m为-2或-1时，不等式2mx+x<2m+1的解集为x>1.
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式；一元一次不等式的含参问题
【解析】【分析】(1)由方程组的解及a为负数，b为非正数，列出关于m的一元一次不等式组；
(2)由不等式 2mx+x<2m+1的解集为x>1及-2≤m<3，确定m的取值范围.
17．【答案】（1）解：∵x-y=3，∴y=x-3，又∵y<1，∴x-3<1，∴x<4.
又∵x > 2，
.∴2同理得：-1由①+②得：2-1∴1（2）解：设每张椅子的价格为x元，则每张桌子的价格为(x+50)元，
由已知可知：
解得70≤x≤ 90，
得：140≤2x≤180，
190 ≤ 2x+50≤230，
∴w=2x+50，
得190≤w≤230，
答：出售一套桌椅(一张桌子+一把椅子)定价的范围190≤w≤230.
【知识点】一元一次不等式组的应用；不等式的性质的实际应用；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据阅读材料所给的解题过程，直接套用方法与步骤解答即可；
(2)设每张椅子的价格为x元，则每张桌子的价格为(x+50)元，由已知可知70≤x≤90，再求出 w = 2x+50的范围即可；
18．【答案】（1），3
（2）解：函数图象如下：
（3）①或；②；③
【知识点】函数自变量的取值范围；函数的图象；一次函数与不等式（组）的关系；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】
解：（1）当x=-4时，，
当x=1时，，
故答案为：，3；
（3）①由(2)图象可知：当或时，，即，
∴不等式的解集为：或，
故答案为：或；
②∵点A（m，n）点B（6，n）为该函数图象上的两个点
∴将点A点B坐标代入函数解析式得：当，时，，
当x=m，y=-2时，
解得：或，
∵点A和点B是函数图象上两个不同的点
∴m=6需舍去
∴
故答案为：；
③设函数，
在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象如下：
当时，有，
解得：或3，
由图知：当时，，
∴
此时，的最大值是，
∴的最大值是，
当时，，
∴，
此时，的最大值是，
∴的最大值是，
当时，，
∴
此时，的最大值是，
∴的最大值是，
综上可得，的最大值是
故答案为：．
【分析】
本题主要考查了新定义、一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，函数图象点的坐标的求法、函数图象的画法以及看函数图象，熟练掌握函数图象点的坐标的求法、函数图象的画法以及看函数图象是解决本题关键．
（1）根据表格中的数据把和x=1分别代入函数表达式：，计算即可得到答案；
（2）根据（1）中的表格数据，在图像上描出表中以各对对应值为坐标的部分点，然后连线即可得到函数图象，即可得出答案；
（3）①不等式，意味着函数，通过观察所画的函数图象，找到y值在x轴下方对应的x的取值范围即可得出答案；
②根据这两个点坐标在函数图象上，分别将这两个点的坐标代入函数表达式计算即可得到m，n的值，即可得出答案；
③根据题意：设函数，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象根据函数图象和性质解决，即可得出答案．
（1），
，
故答案为：，3；
（2）函数图象如下：
（3）①观察图象可得，当或时，，即，
∴不等式的解集为：或，
故答案为：或；
②把，代入，得，
当时，有，
解得：或，
∴
故答案为：；
③设，，
在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象如下：
当时，有，
解得：或3，
当时，，
∴
此时，的最大值是，
∴的最大值是，
当时，，
∴，
此时，的最大值是，
∴的最大值是，
当时，，
∴
此时，的最大值是，
∴的最大值是，
综上可得，的最大值是
故答案为：．
19．【答案】（1）解：根据图象得：a＝8000÷2000＝4；
∴关于x的函数解析式为＝4x。
（2）解：根据题意，设关于x的函数解析式为＝kx+10000，
将点（2000，14000）代入得：2000k+10000＝14000，
解得k＝2，
∴＝2x+10000。
（3）解：令4x＝2x+10000，解得x＝5000，
∴当x＝5000时，＝，方案一，方案二的总费用一样多；
令4x＜2x+10000，
解得x＜5000，
∴当0≤x＜5000时，＜，选择方案一更省钱；
令4x＞2x+10000，
解得x＞5000，
∴当x＞5000时，＞，选择方案二更省钱；
综上所述，当0≤x＜5000时，＜，选择方案一更省钱；
当x＝5000时，＝，方案一，方案二的总费用一样多；
当x＞5000时，＞，选择方案二更省钱．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）根据图象可以看出，l1过原点，因此计算可以直接求出a的值；然后即可写出关于x的函数解析式；
（2）结合条件“ 需要一次性投入机器安装等费用10000元 ”，即可假设出关于x的函数解析式为＝kx+10000，然后用待定系数法将（2000，14000）代入求出k的值，即可得出答案；
（3）分3种情况，即4x＝2x+10000，4x＜2x+10000，4x＞2x+10000，此时即可确定x的三个取值范围，最后计算比较即可得出答案。
（1）解：根据图象得：a＝8000÷2000＝4；
∴关于x的函数解析式为＝4x；
（2）根据题意，设关于x的函数解析式为＝kx+10000，
将点（2000，14000）代入得：
2000k+10000＝14000，
解得k＝2，
∴＝2x+10000；
（3）令4x＝2x+10000，
解得x＝5000，
∴当x＝5000时，＝，方案一，方案二的总费用一样多；
令4x＜2x+10000，
解得x＜5000，
∴当0≤x＜5000时，＜，选择方案一更省钱；
令4x＞2x+10000，
解得x＞5000，
∴当x＞5000时，＞，选择方案二更省钱；
综上所述，当0≤x＜5000时，＜，选择方案一更省钱；当x＝5000时，＝，方案一，方案二的总费用一样多；当x＞5000时，＞，选择方案二更省钱．
20．【答案】（1）解：根据题意得： 5
=(72+10)×5
=82×5
=410(碳币) .
答：这五天共累计增加410碳币；
（2）解：设乘坐地铁每站的碳排放量为 xg，骑电动车每千米的碳排放量为 yg，
根据题意得：
解得：
答：乘坐地铁每站的碳排放量为100g，骑电动车每千米的碳排放量为60g；
（3）解：一个月中选择25次方式一出行，15次方式二出行 (答案不唯一)，理由如下：
设一个月中选择m次方式一出行，则选择((20×2-m)次方式二出行，
根据题意得： ，
解得：25≤m≤30，
∵m为整数，
∴m可以为25， 26， 27， 28， 29， 30，
∴一个月中选择25次方式一出行，15次方式二出行(答案不唯一).
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】(1)利用这五天共累计增加碳币的数量=(选择方式一单程出行累计增加碳币数：×2+每次签到可累计增加碳币数)×5，即可求出结论；
(2)设乘坐地铁每站的碳排放量为 xg，骑电动车每千米的碳排放量为 yg，根据采用方式一、方式二单程出行的总碳排放量，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(3)设一个月中选择m次方式一出行，则选择(20×2-m)次方式二出行，根据“总碳排放量不超过42.2千克，且每月需要累计增加不低于1830碳币”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出结论.
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