第二章《不等式与不等式组》提升卷—北师大版八（下）单元分层测
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2024八下·福田期中）已知，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，
故此选项不符合题意；
B、∵，
∴，
故此选项不符合题意；
C、∵，
∴，
故此选项不符合题意；
D、∵，
∴，
∴，
故此选项不符合题意；
故选：C.
【分析】
本题考查了不等式的性质，熟记不等式的性质是解题的关键.不等式性质1：不等式两边同加上（或减去）一个数，不等号的方向不变；不等式性质2：不等式两边同乘以（或除以）一个正数，不等号的方向不变；不等式性质3：不等式两边同乘以（或除以）一个负数，不等号的方向改变.
对于选项A：根据不等式性质1可知：不等式两边同时减去6，不等号方向不变，应得到x＜y，与已知条件矛盾，故错误；
对于选项B：根据不等式的性质3可知：不等式两边同时乘以-2，不等号方向改变，应得到-2x＜-2y，与选项矛盾，故错误；
对于选项C：根据不等式的性质2可知：不等式两边同时乘以5，不等号方向不变，得到x＞y，与已知条件相同，故正确；
对于选项D：根据不等式的性质1：两边同时减去2可得：-3x＞-3y，然后两边同时除以-3，不等号改变方向，即x＜y，与已知条件x＞y矛盾，故错误；
由此判断出答案.
2．（2025八下·兴宁期中）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】一元一次不等式的概念
【解析】【解答】解：∵是关于x的一元一次不等式，
∴，且，
∴m≠-4且m=±4
∴．
故答案为：B．
【分析】
本题考查一元一次不等式的定义，熟知一元一次不等式的定义是解题关键.
一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义可得m+4≠0，且，由此解得m的值，即可得出答案．
3．（2023八下·南山期中）不等式组的所有整数解的和为9，则整数a的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由6x+3＞3（x+a）得：x＞a-1，
由得x≤4，
∵所有整数解的和为9，∴整数解为4、3、2或4、3、2、1、0、-1，
∴1≤a-1＜2或-2≤a-1＜-1，解得2≤a＜3或-1≤a＜0，
符合条件的整数a的值为2和-1，故答案为：B．
【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求解即可。
4．（2023八下·佛山期末）不等式组的解集是关于的不等式解集的一部分，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解得：
∵
解得：
∵不等式组的解集为不等式解集的一部分，
∴
解得：
故答案为：A.
【分析】分别解出不等式组和不等式的解集，最后根据题干：不等式组的解集为不等式解集的一部分，据此即可求出m的取值范围.
5．（2025八下·兴宁期中）某小区便利店负责人上午买回来30千克黄瓜，价格为每千克元，下午他又买回来20千克黄瓜，价格为每千克元，后来他以每千克元的价格卖完后，发现自己赔了钱，其原因是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的解及解集；不等式的性质
【解析】【解答】解：由题意得：他买黄瓜每斤平均价是：，
他以每千克元的价格卖完后，发现自己赔了钱，
则，
解得：，
故答案为：A．
【分析】
本题考查列不等式及解不等式，准确找到等量关系列出不等式是解题关键．根据数量、单价、总价三者之间的关系：“总价=单价×数量”分别计算出买黄瓜的总成本和卖黄瓜的总收入，再根据 “赔了钱” 这一条件列出不等式，进而解出出x与y的关系，由此可得出答案．
6．（2025八下·福田期末） 某企业要购进两款机器狗共5只.如图所示，已知 Cyber Dog 2 单价是 1.3 万元/只，Unitree Go 2 单价是 1 万元/只，且该企业购进两款机器狗的总费用不超过 6.2 万元，则 Cyber Dog 2 最多可以购进（ ）
A．1 只 B．2 只 C．3 只 D．4 只
【答案】D
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设购进 只，则购进 只，
总费用： ，
化简得： ， ， ，
所以最多购进只.
故答案为： .
【分析】设未知数表示两款机器狗的数量，根据“总费用不超过万元”列不等式，求解得出数量的最大值.
7．（2025八下·深圳期中）某商场促销，小鱼将促销信息告诉了妈妈，小鱼妈妈假设某一商品的定价为元，并列出不等式为，那么小鱼告诉妈妈的信息是（ ）
A．买两件等值的商品可减200元，再打两折，最后不到1900元
B．买两件等值的商品可打两折，再减200元，最后不到1900元
C．买两件等值的商品可减200元，再打八折，最后不到1900元
D．买两件等值的商品可打八折，再减200元，最后不到1900元
【答案】C
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】
解： 不等式0.8×(2x 200)<1900可分解为：
1、 计算两件商品总价：2x；
2、减去200元：2x 200；
3、再乘以0.8（即打八折）：0.8×(2x 200)；
4、 最终结果不到1900元。
故答案为：C.
【分析】 根据小鱼妈妈列出的不等式0.8×(2x 200)<1900， 分析不等式中的运算顺序，确定是买两件先减200元再打八折，即可求解.
8．（2025八下·潮南月考）一次函数与的图象如图所示，下列说法：①；②，是直线上不重合的两点．则；③；④；⑤当时，．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③④ C．①④⑤ D．③④⑤
【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵一次函数过一，二，四象限，
∴、，
∴，故①符合题意；
∵，
∴y随x增大而减小，
∵，是直线上不重合的两点，
当，则，则；当，则，则，故②不符合题意；
当、、，
结合函数图象可得：，故③符合题意；
由函数图象可得，两函数的交点的横坐标为3，
∴当时，，即，故④符合题意；
由函数图象可得：当时，，故⑤不符合题意；
综上，①③④正确．
故选：B．
【分析】本题主要对一次函数的图象与性质、利用两直线的交点坐标确定不等式的解集等知识点进行考查．因为一次函数过一、二、四象限，g过一、三、四象限，所以可得到、，、所以有，故①符合题意；因为，所以y的值随x的值增大而减小，所以有时，，故②不符合题意；当时，、，结合函数图象可知在图像之上，所以，因此，故③符合题意；时两图像相交，所以时，即，故④符合题意；根据图象可知：当时，所以，故⑤不符合题意，故正确项有①③④
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2025八下·惠来期末） 已知正整数x满足，求代数式的值是 .
【答案】-6
【知识点】不等式的解及解集；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴x＜2，
∵x是正整数，
∴x=1，
∴，
故答案为： -6.
【分析】先求出不等式的解集为x＜2，再求出x=1，最后代入计算求解即可.
10．（2025八下·深圳期中）一个运算程序，若需要经过2次运算才能输出结果，则x的取值范围为 .
【答案】9≤x<12
【知识点】解一元一次不等式组；列一元一次不等式组；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：由题意可得：
第一次运算结果为：(x-3)×2<18
第二次运算结果为[(x-3)×2-3]×2≥18
∵需要经过2次运算才能输出结果
∴
解得：9≤x<12
故答案为：9≤x<12
【分析】根据程序框图建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
11．（2025八下·普宁月考）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，则关于x的不等式组的解集为 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线与直线交于点，
∴，
解得，
∴直线与直线交于点，
又∵，
∴根据图像得：，
故答案为：．
【分析】将点A坐标代入直线解析式可得，当图象在图象上方，且都在x轴上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
12．（2025八下·深圳期中）新定义：对于实数，表示运算：ab-c，如=2×3-4=6-4=2，若值大于1，x的取值范围是 ；
【答案】x＜1
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意可得：
=-2x-(-3)>1
解得：x＜1
故答案为：x＜1
【分析】根据新定义建立不等式，解不等式即可求出答案.
13．（2024八下·深圳期中）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件：
①阅读过《水浒传》的人数等于阅读过《西游记》的人数的整数倍
②阅读过《水浒传》的人数是阅读过《三国演义》的人数的1.5倍
③阅读过《三国演义》的人数多于阅读过《西游记》的人数的1.5倍
若阅读过《西游记》的人数为4，则阅读过《水浒传》的人数的最小值为 .
【答案】12
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设阅读过《水浒传》的人数等于阅读过《西游记》的人数的k倍，k为正整数，则阅读过《水浒传》的人数为4k；
∵阅读过《水浒传》的人数是阅读过《三国演义》的人数的1.5倍，
∴阅读过《三国演义》的人数是.
∵阅读过《三国演义》的人数多于阅读过《西游记》的人数的1.5倍，
∴.
解得：k>2.25
∵k最小为3，
∴阅读过《水浒传》的人数为最小为4×3=12.
故答案为：12.
【分析】设阅读过《水浒传》的人数为4k，则阅读过《三国演义》的人数为，根据“且阅读过《三国演义》的人数多于阅读过《西游记》的人数的1 .5倍”，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出k>2.25，结合k为正整数，可得出k的最小值，再将其代入4k中，即可求出结论.
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．（2024八下·连平期中）解不等式（组）
（1）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来
（2）解不等式组，并写出不等式组的整数解
【答案】（1）解：去括号得；
移项得：
合并同类项得：
将该不等式的解集在数轴上表示为：
（2）解：解不等式①得：
解不等式②得：
∴原不等式组的解集为
∴该不等式组的整数解：，0，1，2
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】
（1）先去括号，再移项，然后合并同类项，得出，然后再在数轴上表示出来，即可作答；
（2）分别算出每个不等式的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”可得出不等式组的解集，再找出符合条件的整数即可作答．
15．（2025八下·福田期末）下面是小明解不等式，的过程，请认真阅读并完成相应的任务.
解：不等式①，去分母，得， （第一步）
移项，合并同类项，得， （第二步）
系数化为1，得， （第三步）
解不等式②，得， （第四步）|
所以原不等式组无解. （第五步）
根据以上材料，解答下列问题：
（1） 第一步去分母的依据是 .
（2） 在解答过程中，从第 步开始出错，错误原因是 .
（3） 解不等式组：
【答案】（1）不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号方向不变
（2）三；原因：①违背了不等式基本性质3：或②不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号方向未改变：或③不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号方向应该改变.
（3）解： 由①得，
由②得，
∴ 原不等式组的解集是，
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】（1）解：有定义得：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号方向不变；
（2）解：由题意得：第三步错误，原因：①违背了不等式基本性质3：或②不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号方向未改变：或③不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号方向应该改变.
故答案为：三；①违背了不等式基本性质3：或②不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号方向未改变：或③不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号方向应该改变.
【分析】（1）理解不等式变形中去分母的依据，即正数乘除不改变不等号方向.
（2）识别系数化为1时，除以负数需变向的易错点，判断错误步骤及原因.
（3）正确求解每个不等式，注意除以负数时不等号方向改变，再取解集的交集，关键是熟练运用不等式基本性质解不等式.
16．（2024八下·三水月考）如图，已知一次函数的图象与一次函数的图象交于点．
（1）求a、k的值；
（2）根据图象，填空：
①不等式的解集为______；
②不等式组的解集为______；
（3）结合图形，当时，求一次函数函数值y的取值范围．
【答案】（1）解：把代入，
可得：，
∴A点坐标为，
将代入，
可得，
解得：.
（2）①；②
（3）解：把代入得，
把代入得，
∴根据图象可知：当时，一次函数函数值y的取值范围为：．
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】（2）解：①根据图象可知：不等式的解集为；故答案为：；
②根据解析（1）可知，，，
把代入得：，
解得：，
∴一次函数与x轴的交点坐标为，
把代入得：，
解得：，
∴一次函数与x轴的交点坐标为，
根据图象可知：不等式的解集为：，
不等式的解集为：，
∴不等式组的解集为：．
故答案为：．
【分析】（1）将点A的坐标代入求出a的值，再将点A的坐标代入求出k的值即可；
（2）①结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则分析求解即可；
②结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则分析求解即可；
（3）结合函数图象分析求解即可.
17．（2025八下·三水期中）我们把符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为，如．
（1）求不等式的解集．
（2）若关于的不等式的解集与（1）中的不等式解集相同，求的值．
【答案】（1）解：由题意得，，
，
，
解得：，
不等式的解集为．
（2）解：由题意得，，
，
，
解得：，
关于的不等式的解集与（1）中的不等式解集相同，
，
解得：，
的值为．
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）根据新定义求出，再求出，最后计算求解即可；
（2）根据新定义得到，求出不等式的解集为，再求出，最后计算求解即可。
（1）解：由题意得，，
，
，
解得：，
不等式的解集为．
（2）解：由题意得，，
，
，
解得：，
关于的不等式的解集与（1）中的不等式解集相同，
，
解得：，
的值为．
18．（2024八下·罗湖期中）阅读理解题：
原理：对于任意两个实数a、b，
若，则a和b同号，即：或；若，则a和b异号，即：或．
（1）分析：对不等式来说，把和看成两个数a和b，所以按照上述原理可知：（Ⅰ）或（Ⅱ），
所以不等式的求解就转化为求解不等式组（Ⅰ）和（Ⅱ），请你按照此种方法求出不等式的解集；
（2）应用：解不等式．
【答案】（1）解：①或②，
解不等式组①，得，解不等式组②，得，
综上，原不等式得解集为或；
（2）解：∵，即，
∴则③或④，
解不等式组③，得：或，不存在，舍去，
解不等式组④，得：，
综上，原不等式得解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）根据同号得正：不等式 可以转化为：或，分别解两个不等式组即可；
（2）先将的左边进行因式分解，得到：，再转化为：或，分别解两个不等式组即可.
19．（2025八下·深圳期中）春节期间引发观影热潮的《哪吒2》堪称中国动画产业厚积薄发的典范之作.这部现象级影片的成功不仅标志着国产动画电影的突破性成就，更向世界有力证明：植根于中华文化沃土的精彩故事，同样具有打动全球观众的艺术魅力、为了抓住商机，某商店决定购进“哪吒”A、B两种手办进行销售，已知购进3个A型手办与购进4个B型手办的价格相同；若购进A型手办3件，B型手办2件，需要90元
（1）求A、B型手办进价分别是每件多少元
（2）该商店决定购进两种手办共60件，计划进货费用不超过1040元，且购进A型手办的数量不少于B型手办的，有几种进货方案？请你写出具体方案。
（3）在第(2)问的条件下，若每件A型手办的售价为50元，每件B型手办的售价为35元.当两种手办全部销售完时，求销售的最大利润及最大利润的进货方案。
【答案】（1）解：设A型手办进价为x元， B型手办进价为y元
由题意可得：，解得：
∴A型手办进价为20元， B型手办进价为15元
（2）解：设购进A型手办a件，则B型手办为(60-a)件
由题意可得：
解得：
∴共有3种方案
A型26件，B型34件
A型27件，B型33件
A型28件，B型32件
（3）解：由题意可得：
利润函数为10a+1200
当a=28时，利润最大为1480元
∴最大利润为1490元，对应的进货方案为购进A型28件，B型32件
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设A型手办进价为x元， B型手办进价为y元，根据题意建立方程组，解方程即可求出答案.
（2）设购进A型手办a件，则B型手办为(60-a)件，根据题意建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
（3）根据题意求出利润函数，结合一次函数的性质即可求出答案.
20．（2025八下·罗湖期末） 【综合与实践】
深圳某条东西方向的道路共有五车道，早晚高峰期间经常拥堵，数学兴趣小组的同学就此问题开展研究性学习活动.
【信息一】通过实地考察，兴趣小组的同学对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行数据的收集统计和分析，整理得到下列表格，发现时间和交通量的变化规律符合一次函数特征，并由此得到与x的函数关系式及与x的函数关系式
时间x 7时 10时 14时 17时 20时
自西向东交通量（辆/分钟） 93 78 a 43 28
自东向西交通量（辆/分钟） 42 48 56 62 68
【信息二】兴趣小组的同学希望根据两个不同方向的拥堵情况来合理设置中间“可变车道”的方向. 通过查阅资料发现：若单位时间内双向交通总量设为，当车流量较大的方向的交通量时，道路非常拥堵，需要通过把“可变车道”的行车方向与交通量较大的方向变为相同，去改善交通状况.
【解决问题】
（1）已知与x之间的函数关系式为，表格中= ；
（2）求与x之间的函数系式（不写自变量的取值范围）；
（3）请你通过计算判断该路段从7时至20时在比较拥堵时如何设置“可变车道”的方向以缓解交通拥堵？（即在什么时间段把“可变车道”设为哪个方向的车道）
【答案】（1）58
（2）解：设
将，和，代入
得，
解得，
（3）解：
①当时，即
解得，
②当时，即
解得，
时到时，可变车道方向设为自西向东；
19时到20时，可变车道方向设为自东向西.
【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1）当x＝14时，a＝﹣5×14+128＝58，
故答案为：58
【分析】（1）根据题意将x的值代入一次函数解析式，进而即可求解；
（2）根据题意运用待定系数法即可得到y2与x的函数关系式；
（3）根据题意得到，进而分类讨论：①当时，②当时，分别求出x的取值即可。
1 / 1第二章《不等式与不等式组》提升卷—北师大版八（下）单元分层测
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2024八下·福田期中）已知，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·兴宁期中）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2023八下·南山期中）不等式组的所有整数解的和为9，则整数a的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2023八下·佛山期末）不等式组的解集是关于的不等式解集的一部分，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025八下·兴宁期中）某小区便利店负责人上午买回来30千克黄瓜，价格为每千克元，下午他又买回来20千克黄瓜，价格为每千克元，后来他以每千克元的价格卖完后，发现自己赔了钱，其原因是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025八下·福田期末） 某企业要购进两款机器狗共5只.如图所示，已知 Cyber Dog 2 单价是 1.3 万元/只，Unitree Go 2 单价是 1 万元/只，且该企业购进两款机器狗的总费用不超过 6.2 万元，则 Cyber Dog 2 最多可以购进（ ）
A．1 只 B．2 只 C．3 只 D．4 只
7．（2025八下·深圳期中）某商场促销，小鱼将促销信息告诉了妈妈，小鱼妈妈假设某一商品的定价为元，并列出不等式为，那么小鱼告诉妈妈的信息是（ ）
A．买两件等值的商品可减200元，再打两折，最后不到1900元
B．买两件等值的商品可打两折，再减200元，最后不到1900元
C．买两件等值的商品可减200元，再打八折，最后不到1900元
D．买两件等值的商品可打八折，再减200元，最后不到1900元
8．（2025八下·潮南月考）一次函数与的图象如图所示，下列说法：①；②，是直线上不重合的两点．则；③；④；⑤当时，．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③④ C．①④⑤ D．③④⑤
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2025八下·惠来期末） 已知正整数x满足，求代数式的值是 .
10．（2025八下·深圳期中）一个运算程序，若需要经过2次运算才能输出结果，则x的取值范围为 .
11．（2025八下·普宁月考）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，则关于x的不等式组的解集为 ．
12．（2025八下·深圳期中）新定义：对于实数，表示运算：ab-c，如=2×3-4=6-4=2，若值大于1，x的取值范围是 ；
13．（2024八下·深圳期中）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件：
①阅读过《水浒传》的人数等于阅读过《西游记》的人数的整数倍
②阅读过《水浒传》的人数是阅读过《三国演义》的人数的1.5倍
③阅读过《三国演义》的人数多于阅读过《西游记》的人数的1.5倍
若阅读过《西游记》的人数为4，则阅读过《水浒传》的人数的最小值为 .
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．（2024八下·连平期中）解不等式（组）
（1）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来
（2）解不等式组，并写出不等式组的整数解
15．（2025八下·福田期末）下面是小明解不等式，的过程，请认真阅读并完成相应的任务.
解：不等式①，去分母，得， （第一步）
移项，合并同类项，得， （第二步）
系数化为1，得， （第三步）
解不等式②，得， （第四步）|
所以原不等式组无解. （第五步）
根据以上材料，解答下列问题：
（1） 第一步去分母的依据是 .
（2） 在解答过程中，从第 步开始出错，错误原因是 .
（3） 解不等式组：
16．（2024八下·三水月考）如图，已知一次函数的图象与一次函数的图象交于点．
（1）求a、k的值；
（2）根据图象，填空：
①不等式的解集为______；
②不等式组的解集为______；
（3）结合图形，当时，求一次函数函数值y的取值范围．
17．（2025八下·三水期中）我们把符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为，如．
（1）求不等式的解集．
（2）若关于的不等式的解集与（1）中的不等式解集相同，求的值．
18．（2024八下·罗湖期中）阅读理解题：
原理：对于任意两个实数a、b，
若，则a和b同号，即：或；若，则a和b异号，即：或．
（1）分析：对不等式来说，把和看成两个数a和b，所以按照上述原理可知：（Ⅰ）或（Ⅱ），
所以不等式的求解就转化为求解不等式组（Ⅰ）和（Ⅱ），请你按照此种方法求出不等式的解集；
（2）应用：解不等式．
19．（2025八下·深圳期中）春节期间引发观影热潮的《哪吒2》堪称中国动画产业厚积薄发的典范之作.这部现象级影片的成功不仅标志着国产动画电影的突破性成就，更向世界有力证明：植根于中华文化沃土的精彩故事，同样具有打动全球观众的艺术魅力、为了抓住商机，某商店决定购进“哪吒”A、B两种手办进行销售，已知购进3个A型手办与购进4个B型手办的价格相同；若购进A型手办3件，B型手办2件，需要90元
（1）求A、B型手办进价分别是每件多少元
（2）该商店决定购进两种手办共60件，计划进货费用不超过1040元，且购进A型手办的数量不少于B型手办的，有几种进货方案？请你写出具体方案。
（3）在第(2)问的条件下，若每件A型手办的售价为50元，每件B型手办的售价为35元.当两种手办全部销售完时，求销售的最大利润及最大利润的进货方案。
20．（2025八下·罗湖期末） 【综合与实践】
深圳某条东西方向的道路共有五车道，早晚高峰期间经常拥堵，数学兴趣小组的同学就此问题开展研究性学习活动.
【信息一】通过实地考察，兴趣小组的同学对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行数据的收集统计和分析，整理得到下列表格，发现时间和交通量的变化规律符合一次函数特征，并由此得到与x的函数关系式及与x的函数关系式
时间x 7时 10时 14时 17时 20时
自西向东交通量（辆/分钟） 93 78 a 43 28
自东向西交通量（辆/分钟） 42 48 56 62 68
【信息二】兴趣小组的同学希望根据两个不同方向的拥堵情况来合理设置中间“可变车道”的方向. 通过查阅资料发现：若单位时间内双向交通总量设为，当车流量较大的方向的交通量时，道路非常拥堵，需要通过把“可变车道”的行车方向与交通量较大的方向变为相同，去改善交通状况.
【解决问题】
（1）已知与x之间的函数关系式为，表格中= ；
（2）求与x之间的函数系式（不写自变量的取值范围）；
（3）请你通过计算判断该路段从7时至20时在比较拥堵时如何设置“可变车道”的方向以缓解交通拥堵？（即在什么时间段把“可变车道”设为哪个方向的车道）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，
故此选项不符合题意；
B、∵，
∴，
故此选项不符合题意；
C、∵，
∴，
故此选项不符合题意；
D、∵，
∴，
∴，
故此选项不符合题意；
故选：C.
【分析】
本题考查了不等式的性质，熟记不等式的性质是解题的关键.不等式性质1：不等式两边同加上（或减去）一个数，不等号的方向不变；不等式性质2：不等式两边同乘以（或除以）一个正数，不等号的方向不变；不等式性质3：不等式两边同乘以（或除以）一个负数，不等号的方向改变.
对于选项A：根据不等式性质1可知：不等式两边同时减去6，不等号方向不变，应得到x＜y，与已知条件矛盾，故错误；
对于选项B：根据不等式的性质3可知：不等式两边同时乘以-2，不等号方向改变，应得到-2x＜-2y，与选项矛盾，故错误；
对于选项C：根据不等式的性质2可知：不等式两边同时乘以5，不等号方向不变，得到x＞y，与已知条件相同，故正确；
对于选项D：根据不等式的性质1：两边同时减去2可得：-3x＞-3y，然后两边同时除以-3，不等号改变方向，即x＜y，与已知条件x＞y矛盾，故错误；
由此判断出答案.
2．【答案】B
【知识点】一元一次不等式的概念
【解析】【解答】解：∵是关于x的一元一次不等式，
∴，且，
∴m≠-4且m=±4
∴．
故答案为：B．
【分析】
本题考查一元一次不等式的定义，熟知一元一次不等式的定义是解题关键.
一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义可得m+4≠0，且，由此解得m的值，即可得出答案．
3．【答案】B
【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由6x+3＞3（x+a）得：x＞a-1，
由得x≤4，
∵所有整数解的和为9，∴整数解为4、3、2或4、3、2、1、0、-1，
∴1≤a-1＜2或-2≤a-1＜-1，解得2≤a＜3或-1≤a＜0，
符合条件的整数a的值为2和-1，故答案为：B．
【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求解即可。
4．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解得：
∵
解得：
∵不等式组的解集为不等式解集的一部分，
∴
解得：
故答案为：A.
【分析】分别解出不等式组和不等式的解集，最后根据题干：不等式组的解集为不等式解集的一部分，据此即可求出m的取值范围.
5．【答案】A
【知识点】不等式的解及解集；不等式的性质
【解析】【解答】解：由题意得：他买黄瓜每斤平均价是：，
他以每千克元的价格卖完后，发现自己赔了钱，
则，
解得：，
故答案为：A．
【分析】
本题考查列不等式及解不等式，准确找到等量关系列出不等式是解题关键．根据数量、单价、总价三者之间的关系：“总价=单价×数量”分别计算出买黄瓜的总成本和卖黄瓜的总收入，再根据 “赔了钱” 这一条件列出不等式，进而解出出x与y的关系，由此可得出答案．
6．【答案】D
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设购进 只，则购进 只，
总费用： ，
化简得： ， ， ，
所以最多购进只.
故答案为： .
【分析】设未知数表示两款机器狗的数量，根据“总费用不超过万元”列不等式，求解得出数量的最大值.
7．【答案】C
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】
解： 不等式0.8×(2x 200)<1900可分解为：
1、 计算两件商品总价：2x；
2、减去200元：2x 200；
3、再乘以0.8（即打八折）：0.8×(2x 200)；
4、 最终结果不到1900元。
故答案为：C.
【分析】 根据小鱼妈妈列出的不等式0.8×(2x 200)<1900， 分析不等式中的运算顺序，确定是买两件先减200元再打八折，即可求解.
8．【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵一次函数过一，二，四象限，
∴、，
∴，故①符合题意；
∵，
∴y随x增大而减小，
∵，是直线上不重合的两点，
当，则，则；当，则，则，故②不符合题意；
当、、，
结合函数图象可得：，故③符合题意；
由函数图象可得，两函数的交点的横坐标为3，
∴当时，，即，故④符合题意；
由函数图象可得：当时，，故⑤不符合题意；
综上，①③④正确．
故选：B．
【分析】本题主要对一次函数的图象与性质、利用两直线的交点坐标确定不等式的解集等知识点进行考查．因为一次函数过一、二、四象限，g过一、三、四象限，所以可得到、，、所以有，故①符合题意；因为，所以y的值随x的值增大而减小，所以有时，，故②不符合题意；当时，、，结合函数图象可知在图像之上，所以，因此，故③符合题意；时两图像相交，所以时，即，故④符合题意；根据图象可知：当时，所以，故⑤不符合题意，故正确项有①③④
9．【答案】-6
【知识点】不等式的解及解集；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴x＜2，
∵x是正整数，
∴x=1，
∴，
故答案为： -6.
【分析】先求出不等式的解集为x＜2，再求出x=1，最后代入计算求解即可.
10．【答案】9≤x<12
【知识点】解一元一次不等式组；列一元一次不等式组；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：由题意可得：
第一次运算结果为：(x-3)×2<18
第二次运算结果为[(x-3)×2-3]×2≥18
∵需要经过2次运算才能输出结果
∴
解得：9≤x<12
故答案为：9≤x<12
【分析】根据程序框图建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线与直线交于点，
∴，
解得，
∴直线与直线交于点，
又∵，
∴根据图像得：，
故答案为：．
【分析】将点A坐标代入直线解析式可得，当图象在图象上方，且都在x轴上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
12．【答案】x＜1
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意可得：
=-2x-(-3)>1
解得：x＜1
故答案为：x＜1
【分析】根据新定义建立不等式，解不等式即可求出答案.
13．【答案】12
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设阅读过《水浒传》的人数等于阅读过《西游记》的人数的k倍，k为正整数，则阅读过《水浒传》的人数为4k；
∵阅读过《水浒传》的人数是阅读过《三国演义》的人数的1.5倍，
∴阅读过《三国演义》的人数是.
∵阅读过《三国演义》的人数多于阅读过《西游记》的人数的1.5倍，
∴.
解得：k>2.25
∵k最小为3，
∴阅读过《水浒传》的人数为最小为4×3=12.
故答案为：12.
【分析】设阅读过《水浒传》的人数为4k，则阅读过《三国演义》的人数为，根据“且阅读过《三国演义》的人数多于阅读过《西游记》的人数的1 .5倍”，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出k>2.25，结合k为正整数，可得出k的最小值，再将其代入4k中，即可求出结论.
14．【答案】（1）解：去括号得；
移项得：
合并同类项得：
将该不等式的解集在数轴上表示为：
（2）解：解不等式①得：
解不等式②得：
∴原不等式组的解集为
∴该不等式组的整数解：，0，1，2
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】
（1）先去括号，再移项，然后合并同类项，得出，然后再在数轴上表示出来，即可作答；
（2）分别算出每个不等式的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”可得出不等式组的解集，再找出符合条件的整数即可作答．
15．【答案】（1）不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号方向不变
（2）三；原因：①违背了不等式基本性质3：或②不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号方向未改变：或③不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号方向应该改变.
（3）解： 由①得，
由②得，
∴ 原不等式组的解集是，
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】（1）解：有定义得：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号方向不变；
（2）解：由题意得：第三步错误，原因：①违背了不等式基本性质3：或②不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号方向未改变：或③不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号方向应该改变.
故答案为：三；①违背了不等式基本性质3：或②不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号方向未改变：或③不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号方向应该改变.
【分析】（1）理解不等式变形中去分母的依据，即正数乘除不改变不等号方向.
（2）识别系数化为1时，除以负数需变向的易错点，判断错误步骤及原因.
（3）正确求解每个不等式，注意除以负数时不等号方向改变，再取解集的交集，关键是熟练运用不等式基本性质解不等式.
16．【答案】（1）解：把代入，
可得：，
∴A点坐标为，
将代入，
可得，
解得：.
（2）①；②
（3）解：把代入得，
把代入得，
∴根据图象可知：当时，一次函数函数值y的取值范围为：．
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】（2）解：①根据图象可知：不等式的解集为；故答案为：；
②根据解析（1）可知，，，
把代入得：，
解得：，
∴一次函数与x轴的交点坐标为，
把代入得：，
解得：，
∴一次函数与x轴的交点坐标为，
根据图象可知：不等式的解集为：，
不等式的解集为：，
∴不等式组的解集为：．
故答案为：．
【分析】（1）将点A的坐标代入求出a的值，再将点A的坐标代入求出k的值即可；
（2）①结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则分析求解即可；
②结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则分析求解即可；
（3）结合函数图象分析求解即可.
17．【答案】（1）解：由题意得，，
，
，
解得：，
不等式的解集为．
（2）解：由题意得，，
，
，
解得：，
关于的不等式的解集与（1）中的不等式解集相同，
，
解得：，
的值为．
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）根据新定义求出，再求出，最后计算求解即可；
（2）根据新定义得到，求出不等式的解集为，再求出，最后计算求解即可。
（1）解：由题意得，，
，
，
解得：，
不等式的解集为．
（2）解：由题意得，，
，
，
解得：，
关于的不等式的解集与（1）中的不等式解集相同，
，
解得：，
的值为．
18．【答案】（1）解：①或②，
解不等式组①，得，解不等式组②，得，
综上，原不等式得解集为或；
（2）解：∵，即，
∴则③或④，
解不等式组③，得：或，不存在，舍去，
解不等式组④，得：，
综上，原不等式得解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）根据同号得正：不等式 可以转化为：或，分别解两个不等式组即可；
（2）先将的左边进行因式分解，得到：，再转化为：或，分别解两个不等式组即可.
19．【答案】（1）解：设A型手办进价为x元， B型手办进价为y元
由题意可得：，解得：
∴A型手办进价为20元， B型手办进价为15元
（2）解：设购进A型手办a件，则B型手办为(60-a)件
由题意可得：
解得：
∴共有3种方案
A型26件，B型34件
A型27件，B型33件
A型28件，B型32件
（3）解：由题意可得：
利润函数为10a+1200
当a=28时，利润最大为1480元
∴最大利润为1490元，对应的进货方案为购进A型28件，B型32件
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设A型手办进价为x元， B型手办进价为y元，根据题意建立方程组，解方程即可求出答案.
（2）设购进A型手办a件，则B型手办为(60-a)件，根据题意建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
（3）根据题意求出利润函数，结合一次函数的性质即可求出答案.
20．【答案】（1）58
（2）解：设
将，和，代入
得，
解得，
（3）解：
①当时，即
解得，
②当时，即
解得，
时到时，可变车道方向设为自西向东；
19时到20时，可变车道方向设为自东向西.
【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1）当x＝14时，a＝﹣5×14+128＝58，
故答案为：58
【分析】（1）根据题意将x的值代入一次函数解析式，进而即可求解；
（2）根据题意运用待定系数法即可得到y2与x的函数关系式；
（3）根据题意得到，进而分类讨论：①当时，②当时，分别求出x的取值即可。
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