第16章《二次根式》基础卷—沪科版数学八（下）分层单元测
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.
1．下列各式中，不属于二次根式的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：A选项，被开方数15>0，故是二次根式；
B选项，3<π，被开方数3-π<0，故不是二次根式；
C选项，a2≥0，被开方数a2+2>0，故是二次根式；
D选项，被开方数>0，故是二次根式.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式定义作出判断即可（（a≥0））.
2．（2025八上·深圳期中）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】
解： ∵二次根式在有意义
∴
∴
故答案为：A
【分析】根据二次根式有意义的条件是：被开方数大于0，列式为，解不等式即可解答.
3．（2025八上·五华期末）下列各式中，正确的是( )
A．＝±3 B．＝－3 C．＝3 D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A选项 ，故A错误；
B选项-9在根号里没有意义，故B错误；
C选项 ，故C错误；
D选项，故D正确.
故选D.
【分析】本题考查二次根式的定义与化简规则，解题时需结合二次根式的核心性质逐一判断选项。首先明确二次根式的被开方数必须是非负数，因此B选项中根号内的-9无意义，可直接排除；再根据算术平方根的定义，算术平方根是一个非负的平方根，所以表示9的算术平方根，结果应为3，而非，故A选项错误；对于带负号的根号，应先求出9的算术平方根3，再取其相反数，结果为-3，因此C选项错误；最后，表示9的两个平方根，即3和-3，所以结果为，D选项正确。
4．（2025八上·南海月考）已知实数x，y满足，下列选项正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：已知 ，其中绝对值|x-3|≥0，算术平方根≥0。由于两者之和为0，故每个部分均需为0。
即：|x-3|=0，=0，
解得：x=3，y=-2。
故选：C
【分析】根据非负数之和为零的条件（非负数之和为零则每个非负数均为零），可分别求出x和y的值，从而确定正确选项。
5．（2025八上·贵港期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.
6．（2025八上·五华期末）下列二次根式中，不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式；同类二次根式；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A．，能与合并，不符合题意；
B．，不能与合并，符合题意；
C．，能与合并，不符合题意；
D．，能与合并，不符合题意；
故选：B．
【分析】根据同类二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.
7．（2025八上·紫金期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、与不能合并，故A选项不符合题意；
B、，故B选项不符合题意；
C、，故C选项不符合题意；
D、，故D选项符合题意；
故选：D．
【分析】本题综合考察二次根式的加减、乘除运算，算术平方根以及立方根的定义和计算规则。对于选项A， 和 不是同类二次根式，同类二次根式需被开方数相同，二者无法直接合并，所以A运算错误；选项B中， 表示16的算术平方根，算术平方根是一个非负的平方根，因此结果只能是4，而非 ，B错误；选项C依据二次根式乘法法则，，所以 ，并非6，C错误；选项D中，因为 ，根据立方根的定义，正数的立方根是正数，所以 ，D运算正确。
8．（2025八上·宝安月考）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（ ）．
A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮
【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
（小明解答正确），
（小丽解答错误），
（小红解答错误），
（小亮解答正确）；
小丽和小红解答错误，
故选：B．
【分析】根据二次根式的四则运算规则，逐步求解即可．
9．（2025八下·南沙月考）已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分母有理化；二次根式的加减法；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：
，
∵，，
∴原式，
故选：．
【分析】
二次根式的加法运算，先分别分母有理化，再通分化原式为，然后把，代入求值即可．
10．（2020八下·射阳期中）已知 ， ，则a与b的关系为（ ）.
A．a=b B．ab=1 C．a=－b D．ab=－1
【答案】A
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：因为b= ，所以a=b，
故答案为：A.
【分析】利用分母有理化，可求出b=+1，然后与a比较即可.
11．（2024八上·上海市月考）在下列式子中等号能成立的式子共有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：①，不成立，故不符合题意；
②，不成立，故不符合题意；
③，不成立，故不符合题意；
④与不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意；
⑤是最简二次根式，不能化简，不成立，故不符合题意；
∴成立的个数为0，
故选：A．
【分析】利用二次根式的性质，二次根式的加减分别计算，再判断即可．
12． 如图，手扶电梯（扶梯）AB 的坡比（AC：BC）为1： .已知 BC的长为12 m，则小明乘坐扶梯从 B 处到A 处上升的高度AC 为（ ）
A．6m B．6 C．12m D．
【答案】C
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，得 AC=BC÷=12÷=12(m).
故选C.
【分析】根据坡比的定义代入数据计算即可.
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.只要求填出最后结果.
13．（2023八上·昌平期中）已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 .
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：由数轴图示可知：a＜0 ＜b ，a-b＜0 ，∴＋=b+b-a=2b-a .
故答案为：2b-a.
【分析】根据数轴上a，b对应的点的位置进行化简即可.
14．（2024八下·荔湾期末）已知，，则 ．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
故答案为：．
【分析】先将代数式变形为，再将，代入计算即可.
15．小荣在中的“”内填入运算符号“×”得到的结果为，小德在中的“”内填入运算符号“ ”得到的结果为，则的值为 .
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：据题意得：，
n=，
∴mn=3×=.
故填：.
【分析】根据题意，将“×”“ ”代入中的“”，化简得到m、n的值，最后求出mn的值.
16．（2024八下·沙河口月考）据研究，高空抛物下落的时间（单位：s）和高度（单位：m）近似满足公式：，从60m高空抛物到落地的时间为 s.
【答案】
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：当h=60时， ，
故答案为：.
【分析】将h=60和g=10代入公式，结合二次根式的性质计算即可.
三、解答题：本大题共7小题，共68分.
17．（2025八上·桥西期末）计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据= （a≥0，b≥0）将二次根式化为最简二次根式，然后再合并同类二次根式（同类二次根式是指被开方数相同的二次根式），从而得到最终结果；
（2）利用完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2和平方差公式(a+b)(a b)=a2 b2进行展开计算，然后再合并同类二次根式（同类二次根式是指被开方数相同的二次根式），从而得到最终结果。
（1）解：
（2）解：
18．（2025八上·龙岗期中）下面是小雷同学在做数学作业时的解答过程，老师批改时发现解答过程有错误：
解：原式①
②
③
任务一：小雷同学的解答过程是从第 ▲ 步开始出现错误的（写步骤序号）；
任务二：请你写出正确的解答过程。
【答案】解：①；
原式
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：任务一： =小雷同学的第 ① 步错误.
故答案为： ①
【分析】是完全平方式计算为，所以小雷同学的第 ① 步错误；
二次根式的混合运算先相乘，运用完全平方式计算，再合并同类二次根式计算结果.
19．（2023八上·零陵期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中a、b、m、n均为整数），则有．∴，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b的值；
（2）试着把化成一个完全平方式；
【答案】（1）解：（1）∵，
∴，
∴，；
（2）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）先把等号右边的完全平方式展开并合并同类项，再等号左右对应相等即可；
（2）完全平方公式的特点是两数的平方和加上或减去这两数乘积的2倍，因此可把7拆成2与的平方和，则原式恰好可以转化成2与的完全平方和公式．
20．（2024八下·沙河口月考）观察下列等式：
①；
②；
③；
…
解答下列问题：
（1）写一个无理数，使它与的积为有理数，你写出的无理数是 ；
（2）利用你观察到的规律，化简；
（3）计算：.
【答案】（1）
（2）解：；
（3）解：原式
.
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解： （1）由题意可得：，结果为有理数，
故答案为：；
【分析】（1）根据平方差公式即可求解；
（2）根据平方差公式，将分子和分母都乘以，即可求解；
（3）根据平方差公式将分母有理化，再根据二次根式的混合运算计算即可.
21．（2025八下·义乌月考）如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台，其面积为平方米，长为米．
（1）求这个舞台的宽；（结果化简为最简二次根式）
（2）为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为米的装饰带（图中阴影部分），求装饰后矩形舞台的总面积．
【答案】（1）解：这个舞台的宽为（米）
答：这个舞台的宽为米.
（2）解：装饰后矩形舞台的总面积为：
（平方米）．
答：舞台装饰后的面积是平方米．
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【分析】（1）利用二次根式的除法求得这个舞台的宽；
（2）利用二次根式的混合运算求得舞台装饰后的面积.
（1）解：这个舞台的宽为（米）
答：这个舞台的宽为米；
（2）解：装饰后矩形舞台的总面积为
（平方米）．
答：舞台装饰后的面积是平方米．
22．（2025八下·嘉兴期末） 形如与（a、b为正有理数）的两个代数式，它们的积不含有根号，我们称这两个代数式互为有理化因式.
例如：因为，所以与互为有理化因式.
（1） 判断与是不是有理化因式，并说明理由；
（2） 请直接写出的有理化因式；
（3） 请比较与的大小.
【答案】（1）解： 是；因为，
所以与是有理化因式
（2）解：(2) 或
（3）解：因为，
而
所以
【知识点】实数的大小比较；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）判断与的乘积是否为有理数即可；
（2）由定义，利用平方差公式进行去分母，得有理化因式为或；
（3）将两式与各自的有理化因式相乘，得到相同的结果1，易知，则可比较得到结果.
23．（2024八上·房山期中）
（1）如图1，把两个边长都为1的正方形，通过剪切，拼接得到了一个面积为2的正方形，则正方形的边长为
（2）类比以上探究思路，解决如下问题：
如图2，正方形的对角线EG长为3，通过画图写出正方形的边长．
【答案】解：如图，∵正方形是由四个腰长为的等腰直角三角形拼接而成的，∴正方形的面积为：，∴正方形的边长为：，∴ 正方形的边长为.
（1）
（2）解：如图，
∵正方形是由四个腰长为的等腰直角三角形拼接而成的，
∴正方形的面积为：，
∴正方形的边长为：，
∴ 正方形的边长为.
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：（1）∵正方形是由四个腰长为1的等腰直角三角形拼接而成的，
∴正方形的面积为，
∴正方形的边长为，
故答案为：.
【分析】（1）根据正方形是由四个腰长为1的等腰直角三角形拼接而成的求出正方形的面积为，进而根据正方形面积计算公式可求出正方形的边长为.
（2）仿照（1）可得正方形是 由四个腰长为的等腰直角三角形拼接而成的，则可求出正方形的面积为，进而求出其边长为．
1 / 1第16章《二次根式》基础卷—沪科版数学八（下）分层单元测
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.
1．下列各式中，不属于二次根式的是 （ ）
A． B． C． D．
2．（2025八上·深圳期中）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025八上·五华期末）下列各式中，正确的是( )
A．＝±3 B．＝－3 C．＝3 D．
4．（2025八上·南海月考）已知实数x，y满足，下列选项正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．（2025八上·贵港期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025八上·五华期末）下列二次根式中，不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025八上·紫金期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025八上·宝安月考）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（ ）．
A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮
9．（2025八下·南沙月考）已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2020八下·射阳期中）已知 ， ，则a与b的关系为（ ）.
A．a=b B．ab=1 C．a=－b D．ab=－1
11．（2024八上·上海市月考）在下列式子中等号能成立的式子共有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
12． 如图，手扶电梯（扶梯）AB 的坡比（AC：BC）为1： .已知 BC的长为12 m，则小明乘坐扶梯从 B 处到A 处上升的高度AC 为（ ）
A．6m B．6 C．12m D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.只要求填出最后结果.
13．（2023八上·昌平期中）已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 .
14．（2024八下·荔湾期末）已知，，则 ．
15．小荣在中的“”内填入运算符号“×”得到的结果为，小德在中的“”内填入运算符号“ ”得到的结果为，则的值为 .
16．（2024八下·沙河口月考）据研究，高空抛物下落的时间（单位：s）和高度（单位：m）近似满足公式：，从60m高空抛物到落地的时间为 s.
三、解答题：本大题共7小题，共68分.
17．（2025八上·桥西期末）计算：
（1）；
（2）
18．（2025八上·龙岗期中）下面是小雷同学在做数学作业时的解答过程，老师批改时发现解答过程有错误：
解：原式①
②
③
任务一：小雷同学的解答过程是从第 ▲ 步开始出现错误的（写步骤序号）；
任务二：请你写出正确的解答过程。
19．（2023八上·零陵期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中a、b、m、n均为整数），则有．∴，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b的值；
（2）试着把化成一个完全平方式；
20．（2024八下·沙河口月考）观察下列等式：
①；
②；
③；
…
解答下列问题：
（1）写一个无理数，使它与的积为有理数，你写出的无理数是 ；
（2）利用你观察到的规律，化简；
（3）计算：.
21．（2025八下·义乌月考）如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台，其面积为平方米，长为米．
（1）求这个舞台的宽；（结果化简为最简二次根式）
（2）为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为米的装饰带（图中阴影部分），求装饰后矩形舞台的总面积．
22．（2025八下·嘉兴期末） 形如与（a、b为正有理数）的两个代数式，它们的积不含有根号，我们称这两个代数式互为有理化因式.
例如：因为，所以与互为有理化因式.
（1） 判断与是不是有理化因式，并说明理由；
（2） 请直接写出的有理化因式；
（3） 请比较与的大小.
23．（2024八上·房山期中）
（1）如图1，把两个边长都为1的正方形，通过剪切，拼接得到了一个面积为2的正方形，则正方形的边长为
（2）类比以上探究思路，解决如下问题：
如图2，正方形的对角线EG长为3，通过画图写出正方形的边长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：A选项，被开方数15>0，故是二次根式；
B选项，3<π，被开方数3-π<0，故不是二次根式；
C选项，a2≥0，被开方数a2+2>0，故是二次根式；
D选项，被开方数>0，故是二次根式.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式定义作出判断即可（（a≥0））.
2．【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】
解： ∵二次根式在有意义
∴
∴
故答案为：A
【分析】根据二次根式有意义的条件是：被开方数大于0，列式为，解不等式即可解答.
3．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A选项 ，故A错误；
B选项-9在根号里没有意义，故B错误；
C选项 ，故C错误；
D选项，故D正确.
故选D.
【分析】本题考查二次根式的定义与化简规则，解题时需结合二次根式的核心性质逐一判断选项。首先明确二次根式的被开方数必须是非负数，因此B选项中根号内的-9无意义，可直接排除；再根据算术平方根的定义，算术平方根是一个非负的平方根，所以表示9的算术平方根，结果应为3，而非，故A选项错误；对于带负号的根号，应先求出9的算术平方根3，再取其相反数，结果为-3，因此C选项错误；最后，表示9的两个平方根，即3和-3，所以结果为，D选项正确。
4．【答案】C
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：已知 ，其中绝对值|x-3|≥0，算术平方根≥0。由于两者之和为0，故每个部分均需为0。
即：|x-3|=0，=0，
解得：x=3，y=-2。
故选：C
【分析】根据非负数之和为零的条件（非负数之和为零则每个非负数均为零），可分别求出x和y的值，从而确定正确选项。
5．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】最简二次根式；同类二次根式；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A．，能与合并，不符合题意；
B．，不能与合并，符合题意；
C．，能与合并，不符合题意；
D．，能与合并，不符合题意；
故选：B．
【分析】根据同类二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、与不能合并，故A选项不符合题意；
B、，故B选项不符合题意；
C、，故C选项不符合题意；
D、，故D选项符合题意；
故选：D．
【分析】本题综合考察二次根式的加减、乘除运算，算术平方根以及立方根的定义和计算规则。对于选项A， 和 不是同类二次根式，同类二次根式需被开方数相同，二者无法直接合并，所以A运算错误；选项B中， 表示16的算术平方根，算术平方根是一个非负的平方根，因此结果只能是4，而非 ，B错误；选项C依据二次根式乘法法则，，所以 ，并非6，C错误；选项D中，因为 ，根据立方根的定义，正数的立方根是正数，所以 ，D运算正确。
8．【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
（小明解答正确），
（小丽解答错误），
（小红解答错误），
（小亮解答正确）；
小丽和小红解答错误，
故选：B．
【分析】根据二次根式的四则运算规则，逐步求解即可．
9．【答案】A
【知识点】分母有理化；二次根式的加减法；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：
，
∵，，
∴原式，
故选：．
【分析】
二次根式的加法运算，先分别分母有理化，再通分化原式为，然后把，代入求值即可．
10．【答案】A
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：因为b= ，所以a=b，
故答案为：A.
【分析】利用分母有理化，可求出b=+1，然后与a比较即可.
11．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：①，不成立，故不符合题意；
②，不成立，故不符合题意；
③，不成立，故不符合题意；
④与不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意；
⑤是最简二次根式，不能化简，不成立，故不符合题意；
∴成立的个数为0，
故选：A．
【分析】利用二次根式的性质，二次根式的加减分别计算，再判断即可．
12．【答案】C
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，得 AC=BC÷=12÷=12(m).
故选C.
【分析】根据坡比的定义代入数据计算即可.
13．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：由数轴图示可知：a＜0 ＜b ，a-b＜0 ，∴＋=b+b-a=2b-a .
故答案为：2b-a.
【分析】根据数轴上a，b对应的点的位置进行化简即可.
14．【答案】
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
故答案为：．
【分析】先将代数式变形为，再将，代入计算即可.
15．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：据题意得：，
n=，
∴mn=3×=.
故填：.
【分析】根据题意，将“×”“ ”代入中的“”，化简得到m、n的值，最后求出mn的值.
16．【答案】
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：当h=60时， ，
故答案为：.
【分析】将h=60和g=10代入公式，结合二次根式的性质计算即可.
17．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据= （a≥0，b≥0）将二次根式化为最简二次根式，然后再合并同类二次根式（同类二次根式是指被开方数相同的二次根式），从而得到最终结果；
（2）利用完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2和平方差公式(a+b)(a b)=a2 b2进行展开计算，然后再合并同类二次根式（同类二次根式是指被开方数相同的二次根式），从而得到最终结果。
（1）解：
（2）解：
18．【答案】解：①；
原式
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：任务一： =小雷同学的第 ① 步错误.
故答案为： ①
【分析】是完全平方式计算为，所以小雷同学的第 ① 步错误；
二次根式的混合运算先相乘，运用完全平方式计算，再合并同类二次根式计算结果.
19．【答案】（1）解：（1）∵，
∴，
∴，；
（2）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）先把等号右边的完全平方式展开并合并同类项，再等号左右对应相等即可；
（2）完全平方公式的特点是两数的平方和加上或减去这两数乘积的2倍，因此可把7拆成2与的平方和，则原式恰好可以转化成2与的完全平方和公式．
20．【答案】（1）
（2）解：；
（3）解：原式
.
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解： （1）由题意可得：，结果为有理数，
故答案为：；
【分析】（1）根据平方差公式即可求解；
（2）根据平方差公式，将分子和分母都乘以，即可求解；
（3）根据平方差公式将分母有理化，再根据二次根式的混合运算计算即可.
21．【答案】（1）解：这个舞台的宽为（米）
答：这个舞台的宽为米.
（2）解：装饰后矩形舞台的总面积为：
（平方米）．
答：舞台装饰后的面积是平方米．
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【分析】（1）利用二次根式的除法求得这个舞台的宽；
（2）利用二次根式的混合运算求得舞台装饰后的面积.
（1）解：这个舞台的宽为（米）
答：这个舞台的宽为米；
（2）解：装饰后矩形舞台的总面积为
（平方米）．
答：舞台装饰后的面积是平方米．
22．【答案】（1）解： 是；因为，
所以与是有理化因式
（2）解：(2) 或
（3）解：因为，
而
所以
【知识点】实数的大小比较；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）判断与的乘积是否为有理数即可；
（2）由定义，利用平方差公式进行去分母，得有理化因式为或；
（3）将两式与各自的有理化因式相乘，得到相同的结果1，易知，则可比较得到结果.
23．【答案】解：如图，∵正方形是由四个腰长为的等腰直角三角形拼接而成的，∴正方形的面积为：，∴正方形的边长为：，∴ 正方形的边长为.
（1）
（2）解：如图，
∵正方形是由四个腰长为的等腰直角三角形拼接而成的，
∴正方形的面积为：，
∴正方形的边长为：，
∴ 正方形的边长为.
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：（1）∵正方形是由四个腰长为1的等腰直角三角形拼接而成的，
∴正方形的面积为，
∴正方形的边长为，
故答案为：.
【分析】（1）根据正方形是由四个腰长为1的等腰直角三角形拼接而成的求出正方形的面积为，进而根据正方形面积计算公式可求出正方形的边长为.
（2）仿照（1）可得正方形是 由四个腰长为的等腰直角三角形拼接而成的，则可求出正方形的面积为，进而求出其边长为．
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