第16章《二次根式》提升卷—沪科版数学八（下）分层单元测
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.
1．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥其中是二次根式的有 ( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2． 若 成立，则x的取值范围是 ( )
A．x≥2 B．x≤1 C．1≤x≤2 D．x≥0
3．（2025八上·平谷期末）若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，为的三边长，且，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025八上·福田期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025八上·成都期中）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
7．用四张一样大小的长方形纸片拼成一个如图所示的正方形 ABCD，它的面积是75， ，图中空白的地方是一个小正方形，那么这个小正方形的周长为（ ）
A． B． C． D．
8．按如图所示的程序计算，若开始输入 的值为，则最后输出的结果是（ ）
A．14 B． C．16 D．
9．对于任意的正数，，定义新运算：计算 的结果为（ ）
A． B． C．4 D．32
10． a，b为有理数，且满足等式 ，则a+b 的值为( ).
A．2 B．4 C．6 D．8
11．（2025八上·成都月考）下列说法中正确的有（ ）
① 和 是同类二次根式；② 的平方根是 3；③( 1， x2) 位于第三象限；④(π 3)2 的算术平方根是 π 3；⑤若 x+y=0 ，则点 P(x，y) 在第二、四象限角平分线所在直线上．
A．①②④ B．①④⑤ C．②③④ D．①③⑤
12．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： 除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的二次根式，如：对于设x 易知 故x >0，由 得 x= ，即 根据以上方法，化简 的结果是 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.只要求填出最后结果.
13．（2023八下·香洲期中）若与最简二次根式是同类二次根式，则 ．
14．（2025八上·成都期中）已知x、y为实数，且，则x+y= .
15．已知实数，满足，则的值为 .
16．（2025八上·龙岗期中）有一列数按如下顺序排列：，，，，…，则第10个数是 ．
三、解答题：本大题共7小题，共68分.
17．（2025八上·南山期中）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
18．（2024八下·合江月考）先化简，再求值： 其中
19．（2025八下·温州期中）①我们在学习二次根式的时候发现：形如的式子可以进行分母有理化，过程如下．请利用以上阅读材料解决以下问题．
（1） ；
（2）求的值．
（3）比较 （用“”、“”或“”填空）．
20．（2025八下·义乌月考）我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．所以5是“完美数”．
【解决问题】（1）已知10是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式_____；
（2）已知（、是整数，是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由．
【探究问题】（3）已知，求的值；
（4）已知实数、满足，求的最值．
【实际应用】（5）已知的三边长、、满足，求的周长．
21．（2025八下·临平月考）高空抛物严重影响人们的安全，即便是常见的小物件，一旦从高空落下，也会产生很大的破坏性，而且坠物落地时间很短，常常避之不及，据研究，高空抛物下落12h的时间（s）和高度h（m）近似满足公式（不考虑风速的影响，g≈10m/s2.）
（1）求某物体从60m（约20层楼）高处掉落到地上所用的时间（结果保留根号），
（2）已知高空抛物动能E（J）=10×物体质量m（kg）×高度h（m）.某质量为0.2kg的玩具在高空被抛出后经过3s落在地上，假设在玩具即将落地时有行人经过，那么这个玩具产生的动能会伤害到行人吗？请说明理由（注：无防护人体受到65的动能即会受到伤害）.
22．（2025八下·潮南月考） 综合与实践
问题情境：学校计划利用长和宽分别为 20 dm 和 10 dm 的长方形铁片裁剪焊接成两个无盖的长方体铁箱用于存储备用实验材料，欣欣和畅畅设计了两种不同的裁剪焊接方案.
欣欣的方案：如图 1，先将铁片分为左右两个全等的正方形，分得的每一块都在其四个直角处剪掉四个小正方形，再分别沿虚线折起来，得到两个同样大小、且底面为正方形的无盖长方体铁箱.
畅畅的方案：如图 2，先将铁片在中间剪掉一块正方形②，再在四个直角处剪掉四个小正方形，最后分别沿着虚线折起来，得到两个同样大小、且底面为长方形的无盖长方体铁箱.
（1） 若欣欣的方案中剪掉的小正方形的边长为 dm，求裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积.
（2） 若畅畅的方案中正方形②的边长为 dm，求裁剪焊接成的一个无盖长方体铁箱的体积.
（3） 若这两种方案所制作的无盖长方体铁箱的高都是 dm，则 的方案中制作的无盖长方体铁箱的体积更大.(填“欣欣”或“畅畅”)
23．（2025八上·禅城期末）如图1，若干张边长、、…的正方形纸片，面积分为、、…，且有以下关系：
，
，
，
（1）填空：_________，__________（用含正整数的式子表示）；
（2）如图2，在大正方形纸片中放置两个小正方形，面积分别为，，重叠部分是一个面积为的正方形，求空白部分的面积；
（3）如图3，有一张面积为的正方形贺卡，另有一个长方形信封，长宽之比为，面积为120，能将这张贺卡不折叠的放入此信封吗？为什么？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：①是二次根式；
的被开方数小于0，不是二次根式；
是三次根式；
的被开方数小于0，不是二次根式；
因为 所以 是二次根式；
因为 所以 是二次根式.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的定义：①有二次根号；②被开方数为非负数，逐项分析即可.
2．【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵，
∴（x-2）（x-1）≥0，x-2≥0，x-1≥0，
∴x≥2
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的双重非负性作答.
3．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故选：．
【分析】
先利用二次根式的性质 可得， 然后求解不等式得出x的取值范围 即可 。
4．【答案】B
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：
解得a=b，b=c，
所以a=b=c，
故答案为：B.
【分析】根据非负数的性质得到a=b=c.
5．【答案】A
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、根据二次根式乘法法则，则，该选项正确．
B、根据二次根式减法法则，，该选项错误．
C、与不是同类二次根式，不能直接相加，即，该选项错误．
D、，该选项错误．
故答案为：A．
【分析】利用二次根式的乘法，减法，加法，除法法则逐项判断解题．
6．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：、不是最简二次根式，故A不符合题意；
、是最简二次根式，故B符合题意；
、不是最简二次根式，故C不符合题意；
、不是最简二次根式，故D不符合题意；
故故答案为：．
【分析】最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，再对各选项逐一判断.
7．【答案】B
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的实际应用；二次根式的乘法
【解析】【解答】解：由题意，得AB2=75，
∴AB==5.
∵AE=3，
∴BE=5-3=2，
∴小正方形的边长为3-2=，
∴这个小正方形的周长为4×=4.
故选B.
【分析】根据大正方形的面积得其边长，结合图形及AE的长确定小正方形的边长，从而计算小正方形的周长.
8．【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：当n=时，n（n+1）==2+<15；
当n=2+时，n（n+1）==8+5>15；
故最后的输出结果是
故答案为： .
【分析】将n的值代入n（n+1）求值，若结果大于15，输出结果；反之，将结果重新充当n的值代回n（n+1）求值，直到结果大于15则输出结果.
9．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：，，
∴=
故答案为：D.
【分析】根据新定义及平方差公式进行化简.
10．【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为： B.
【分析】先利用完全平方公式将逐步化为，然后代入求出的值，由题目中的条件得到的值，最后求和即可.
11．【答案】B
【知识点】同类二次根式；点的坐标与象限的关系；开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解： ① =3， =， 和 是同类二次根式 ，故原命题正确；
② 的平方根是±3，故原命题错误；
③( 1， x2) 位于第三象限或xz轴的负半轴，故原命题错误；
④(π 3)2 的算术平方根是π 3，故原命题正确；
⑤若 x+y=0 ，则点 P(x，y) 在第二、四象限角平分线所在直线上，故原命题正确．
故答案为：B.
【分析】需逐一分析每个命题是否正确，再结合选项选择答案.
12．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；二次根式的混合运算；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：设，
则
=12-6
=6；
∵，
∴；
∴；
∴
.
故答案为：D.
【分析】根据题意设，求出，代入原式，化简求值即可.
13．【答案】
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：与最简二次根式是同类二次根式，
解得
故答案为：.
【分析】先化简，根据最简二次根式与同类二次根式的定义得到a+1=3，求出a的值解答即可．
14．【答案】4或0
【知识点】二次根式有无意义的条件；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由二次根式有意义的条件可知且，
∴=4，
∴x=2或x=-2，
当x=2时，y==2，x+y=2+2=4，
当x=-2时，y==2，x+y=-2+2=0，
故答案为：4或0.
【分析】根据二次根式有意义的条件求得x的值，进而求出y的值，再再代入x+y即可得出答案.
15．【答案】4050
【知识点】分母有理化；二次根式的加减法；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】，，，①，，，得，，，，，.
故答案为：4050
【分析】根据原式计算得到，根据二次根式的非负性求出x和y的值，然后代入计算解答即可.
16．【答案】
【知识点】二次根式的化简求值；探索数与式的规律
【解析】【解答】解： 数列变形为：
，，，，…，
观察发现：
数列的符号为，
分子中的数字规律：，
分母中的数字规律：，
∴第ｎ个数为：．
∴第10个数为：．
故答案为：．
【分析】先把，，，变形得，，，，…，观察发现：第ｎ个数为：，即可得第10个数.
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式=（5-1）-（5-4+4）
（3）解：原式
（4）解：原式
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减运算即可求解；
（2）根据平方差和完全平方公式进行计算，再根据二次根式的加减运算即可求解；
（3）先化简二次根式，进而即可求解；
（4）先化简实数的绝对值，再计算立方根、零指数幂、负整数指数幂，进而根据二次根式的加减运算即可求解。
18．【答案】解：原式
，
当时，原式．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】分式的化简求值，先对括号中异分母分式通分并进行加法运算，再化除法为乘法，再对分子分母分别分解因式并约分，再把结果化为最简分式或整式，最后再把值代入计算即可．
19．【答案】（1）
（2）解：
（3）
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解： (1)；
(2)
(3)，
，
由于，
故对应的倒数，
即 。
【分析】 (1) 根据发现，将2化为，将所给式子进行分母有理化，化简即可；
(2)根据题一的计算，发现运算规律，进一步利用规律，即根据分母有理化的性质进行化简，将所有项展开后， 抵消中间项 ，累加求和；
(3) 无法直接比较，通过上述（1）（2）规律，通过对规律逆运用，通分比较分母的大小关系比较.
20．【答案】解：（1）；
（2）
要使S为“完美数”，
则，即．
（3）∵，
∴
∴，
∴， ，
解得， ，
则．
（4），
，
，
，
无论x取何值，，
当时，的值最大，为.
（5），
∴，
，，，
，，，
．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）∵10是“完美数”
∴；
故答案为：；
【分析】（1）根据“完美数”的定义求解；
（2）利用完全平方公式把原式变形，再根据“完美数”的定义求解；
（3）先配成两个完全平方的和等于0，再利用非负数的性质求解；
（4）利用已知，将 配成完全平方，再求最值；
（5）利用配方法和非负数的性质求解．
21．【答案】（1）解：由题意知h=60m，
故从60m高空抛物到落地的时间为2s
（2）解：这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，
理由：当t=3s 时，3=，
经检验，h=45是原方程的根，
∴这个玩具产生的动能=10×0.2×45=90(J)>65J，
∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【分析】(1)将h，g代入公式，求出t；
（2）先判断会伤害到楼下行人，再通过计算说明，计算出高空抛物动能，说明能伤害人.
22．【答案】（1）解：依题意，底面正方形①的边长为
裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积为
（2）解：四个直角处的小正方形边长为
长方体铁箱的宽为，长为
无盖长方体铁箱的体积为
（3）欣欣
【知识点】二次根式的实际应用；几何体的展开图
【解析】【解答】解：（3）∵ 这两种方案所制作的无盖长方体铁箱的高都是 dm，
∴欣欣的方案中底面正方形①的边长是，
底面积：，
体积：，
畅畅的方案中底面正方形②的边长是，
∴制作的无盖长方体铁箱的宽为，
底面积：，
体积：，
∵，
∴欣欣的方案中制作的无盖长方体铁箱的体积更大，
故答案为：欣欣.
【分析】（1）根据题意先求出底面正方形①的边长为，再根据正方形的面积公式计算求解即可；
（2）根据题意先求出长方体铁箱的宽为，再求出长为5dm，最后求体积即可；
（3）根据题意，先求出欣欣的方案中制作的无盖长方体铁箱的体积，再求出畅畅的，最后比较大小求解即可.
23．【答案】（1）；.
（2）解：根据（1）可得：，，，
∴，
∵
∴大正方形的边长
∴.
（3）解：正方形卡片能够直接装进长方形封皮中，理由如下：
设长方形的长为，宽为，则：，
∴，
∴长方形的宽为：，
∵，
∴，
∵，
∴正方形卡片能够直接装进长方形封皮中．
【知识点】二次根式的实际应用；探索数与式的规律；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】（1）解：∵，
，
，
根据规律得，
∴.
【分析】（1）根据题目等式发现规律得，即可得的值.
（2）根据－，-，+得，求解即可.
（3）设长方形的长为，宽为，列出方程，可求出长和宽，根据，得，比较即可.
（1）解：∵，
，
，
∴，；
（2）由（1）可得：，，，
∴，
∵
∴大正方形的边长为：，
∴空白部分的面积；
（3）正方形卡片能够直接装进长方形封皮中，理由如下：
设长方形的长为，宽为，则：，
∴，
∴长方形的宽为：，
∵，
∴，
∵，
∴正方形卡片能够直接装进长方形封皮中．
1 / 1第16章《二次根式》提升卷—沪科版数学八（下）分层单元测
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.
1．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥其中是二次根式的有 ( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：①是二次根式；
的被开方数小于0，不是二次根式；
是三次根式；
的被开方数小于0，不是二次根式；
因为 所以 是二次根式；
因为 所以 是二次根式.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的定义：①有二次根号；②被开方数为非负数，逐项分析即可.
2． 若 成立，则x的取值范围是 ( )
A．x≥2 B．x≤1 C．1≤x≤2 D．x≥0
【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵，
∴（x-2）（x-1）≥0，x-2≥0，x-1≥0，
∴x≥2
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的双重非负性作答.
3．（2025八上·平谷期末）若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故选：．
【分析】
先利用二次根式的性质 可得， 然后求解不等式得出x的取值范围 即可 。
4．已知，，为的三边长，且，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：
解得a=b，b=c，
所以a=b=c，
故答案为：B.
【分析】根据非负数的性质得到a=b=c.
5．（2025八上·福田期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、根据二次根式乘法法则，则，该选项正确．
B、根据二次根式减法法则，，该选项错误．
C、与不是同类二次根式，不能直接相加，即，该选项错误．
D、，该选项错误．
故答案为：A．
【分析】利用二次根式的乘法，减法，加法，除法法则逐项判断解题．
6．（2025八上·成都期中）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：、不是最简二次根式，故A不符合题意；
、是最简二次根式，故B符合题意；
、不是最简二次根式，故C不符合题意；
、不是最简二次根式，故D不符合题意；
故故答案为：．
【分析】最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，再对各选项逐一判断.
7．用四张一样大小的长方形纸片拼成一个如图所示的正方形 ABCD，它的面积是75， ，图中空白的地方是一个小正方形，那么这个小正方形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的实际应用；二次根式的乘法
【解析】【解答】解：由题意，得AB2=75，
∴AB==5.
∵AE=3，
∴BE=5-3=2，
∴小正方形的边长为3-2=，
∴这个小正方形的周长为4×=4.
故选B.
【分析】根据大正方形的面积得其边长，结合图形及AE的长确定小正方形的边长，从而计算小正方形的周长.
8．按如图所示的程序计算，若开始输入 的值为，则最后输出的结果是（ ）
A．14 B． C．16 D．
【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：当n=时，n（n+1）==2+<15；
当n=2+时，n（n+1）==8+5>15；
故最后的输出结果是
故答案为： .
【分析】将n的值代入n（n+1）求值，若结果大于15，输出结果；反之，将结果重新充当n的值代回n（n+1）求值，直到结果大于15则输出结果.
9．对于任意的正数，，定义新运算：计算 的结果为（ ）
A． B． C．4 D．32
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：，，
∴=
故答案为：D.
【分析】根据新定义及平方差公式进行化简.
10． a，b为有理数，且满足等式 ，则a+b 的值为( ).
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为： B.
【分析】先利用完全平方公式将逐步化为，然后代入求出的值，由题目中的条件得到的值，最后求和即可.
11．（2025八上·成都月考）下列说法中正确的有（ ）
① 和 是同类二次根式；② 的平方根是 3；③( 1， x2) 位于第三象限；④(π 3)2 的算术平方根是 π 3；⑤若 x+y=0 ，则点 P(x，y) 在第二、四象限角平分线所在直线上．
A．①②④ B．①④⑤ C．②③④ D．①③⑤
【答案】B
【知识点】同类二次根式；点的坐标与象限的关系；开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解： ① =3， =， 和 是同类二次根式 ，故原命题正确；
② 的平方根是±3，故原命题错误；
③( 1， x2) 位于第三象限或xz轴的负半轴，故原命题错误；
④(π 3)2 的算术平方根是π 3，故原命题正确；
⑤若 x+y=0 ，则点 P(x，y) 在第二、四象限角平分线所在直线上，故原命题正确．
故答案为：B.
【分析】需逐一分析每个命题是否正确，再结合选项选择答案.
12．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： 除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的二次根式，如：对于设x 易知 故x >0，由 得 x= ，即 根据以上方法，化简 的结果是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；二次根式的混合运算；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：设，
则
=12-6
=6；
∵，
∴；
∴；
∴
.
故答案为：D.
【分析】根据题意设，求出，代入原式，化简求值即可.
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.只要求填出最后结果.
13．（2023八下·香洲期中）若与最简二次根式是同类二次根式，则 ．
【答案】
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：与最简二次根式是同类二次根式，
解得
故答案为：.
【分析】先化简，根据最简二次根式与同类二次根式的定义得到a+1=3，求出a的值解答即可．
14．（2025八上·成都期中）已知x、y为实数，且，则x+y= .
【答案】4或0
【知识点】二次根式有无意义的条件；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由二次根式有意义的条件可知且，
∴=4，
∴x=2或x=-2，
当x=2时，y==2，x+y=2+2=4，
当x=-2时，y==2，x+y=-2+2=0，
故答案为：4或0.
【分析】根据二次根式有意义的条件求得x的值，进而求出y的值，再再代入x+y即可得出答案.
15．已知实数，满足，则的值为 .
【答案】4050
【知识点】分母有理化；二次根式的加减法；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】，，，①，，，得，，，，，.
故答案为：4050
【分析】根据原式计算得到，根据二次根式的非负性求出x和y的值，然后代入计算解答即可.
16．（2025八上·龙岗期中）有一列数按如下顺序排列：，，，，…，则第10个数是 ．
【答案】
【知识点】二次根式的化简求值；探索数与式的规律
【解析】【解答】解： 数列变形为：
，，，，…，
观察发现：
数列的符号为，
分子中的数字规律：，
分母中的数字规律：，
∴第ｎ个数为：．
∴第10个数为：．
故答案为：．
【分析】先把，，，变形得，，，，…，观察发现：第ｎ个数为：，即可得第10个数.
三、解答题：本大题共7小题，共68分.
17．（2025八上·南山期中）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式=（5-1）-（5-4+4）
（3）解：原式
（4）解：原式
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减运算即可求解；
（2）根据平方差和完全平方公式进行计算，再根据二次根式的加减运算即可求解；
（3）先化简二次根式，进而即可求解；
（4）先化简实数的绝对值，再计算立方根、零指数幂、负整数指数幂，进而根据二次根式的加减运算即可求解。
18．（2024八下·合江月考）先化简，再求值： 其中
【答案】解：原式
，
当时，原式．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】分式的化简求值，先对括号中异分母分式通分并进行加法运算，再化除法为乘法，再对分子分母分别分解因式并约分，再把结果化为最简分式或整式，最后再把值代入计算即可．
19．（2025八下·温州期中）①我们在学习二次根式的时候发现：形如的式子可以进行分母有理化，过程如下．请利用以上阅读材料解决以下问题．
（1） ；
（2）求的值．
（3）比较 （用“”、“”或“”填空）．
【答案】（1）
（2）解：
（3）
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解： (1)；
(2)
(3)，
，
由于，
故对应的倒数，
即 。
【分析】 (1) 根据发现，将2化为，将所给式子进行分母有理化，化简即可；
(2)根据题一的计算，发现运算规律，进一步利用规律，即根据分母有理化的性质进行化简，将所有项展开后， 抵消中间项 ，累加求和；
(3) 无法直接比较，通过上述（1）（2）规律，通过对规律逆运用，通分比较分母的大小关系比较.
20．（2025八下·义乌月考）我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．所以5是“完美数”．
【解决问题】（1）已知10是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式_____；
（2）已知（、是整数，是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由．
【探究问题】（3）已知，求的值；
（4）已知实数、满足，求的最值．
【实际应用】（5）已知的三边长、、满足，求的周长．
【答案】解：（1）；
（2）
要使S为“完美数”，
则，即．
（3）∵，
∴
∴，
∴， ，
解得， ，
则．
（4），
，
，
，
无论x取何值，，
当时，的值最大，为.
（5），
∴，
，，，
，，，
．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）∵10是“完美数”
∴；
故答案为：；
【分析】（1）根据“完美数”的定义求解；
（2）利用完全平方公式把原式变形，再根据“完美数”的定义求解；
（3）先配成两个完全平方的和等于0，再利用非负数的性质求解；
（4）利用已知，将 配成完全平方，再求最值；
（5）利用配方法和非负数的性质求解．
21．（2025八下·临平月考）高空抛物严重影响人们的安全，即便是常见的小物件，一旦从高空落下，也会产生很大的破坏性，而且坠物落地时间很短，常常避之不及，据研究，高空抛物下落12h的时间（s）和高度h（m）近似满足公式（不考虑风速的影响，g≈10m/s2.）
（1）求某物体从60m（约20层楼）高处掉落到地上所用的时间（结果保留根号），
（2）已知高空抛物动能E（J）=10×物体质量m（kg）×高度h（m）.某质量为0.2kg的玩具在高空被抛出后经过3s落在地上，假设在玩具即将落地时有行人经过，那么这个玩具产生的动能会伤害到行人吗？请说明理由（注：无防护人体受到65的动能即会受到伤害）.
【答案】（1）解：由题意知h=60m，
故从60m高空抛物到落地的时间为2s
（2）解：这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，
理由：当t=3s 时，3=，
经检验，h=45是原方程的根，
∴这个玩具产生的动能=10×0.2×45=90(J)>65J，
∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【分析】(1)将h，g代入公式，求出t；
（2）先判断会伤害到楼下行人，再通过计算说明，计算出高空抛物动能，说明能伤害人.
22．（2025八下·潮南月考） 综合与实践
问题情境：学校计划利用长和宽分别为 20 dm 和 10 dm 的长方形铁片裁剪焊接成两个无盖的长方体铁箱用于存储备用实验材料，欣欣和畅畅设计了两种不同的裁剪焊接方案.
欣欣的方案：如图 1，先将铁片分为左右两个全等的正方形，分得的每一块都在其四个直角处剪掉四个小正方形，再分别沿虚线折起来，得到两个同样大小、且底面为正方形的无盖长方体铁箱.
畅畅的方案：如图 2，先将铁片在中间剪掉一块正方形②，再在四个直角处剪掉四个小正方形，最后分别沿着虚线折起来，得到两个同样大小、且底面为长方形的无盖长方体铁箱.
（1） 若欣欣的方案中剪掉的小正方形的边长为 dm，求裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积.
（2） 若畅畅的方案中正方形②的边长为 dm，求裁剪焊接成的一个无盖长方体铁箱的体积.
（3） 若这两种方案所制作的无盖长方体铁箱的高都是 dm，则 的方案中制作的无盖长方体铁箱的体积更大.(填“欣欣”或“畅畅”)
【答案】（1）解：依题意，底面正方形①的边长为
裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积为
（2）解：四个直角处的小正方形边长为
长方体铁箱的宽为，长为
无盖长方体铁箱的体积为
（3）欣欣
【知识点】二次根式的实际应用；几何体的展开图
【解析】【解答】解：（3）∵ 这两种方案所制作的无盖长方体铁箱的高都是 dm，
∴欣欣的方案中底面正方形①的边长是，
底面积：，
体积：，
畅畅的方案中底面正方形②的边长是，
∴制作的无盖长方体铁箱的宽为，
底面积：，
体积：，
∵，
∴欣欣的方案中制作的无盖长方体铁箱的体积更大，
故答案为：欣欣.
【分析】（1）根据题意先求出底面正方形①的边长为，再根据正方形的面积公式计算求解即可；
（2）根据题意先求出长方体铁箱的宽为，再求出长为5dm，最后求体积即可；
（3）根据题意，先求出欣欣的方案中制作的无盖长方体铁箱的体积，再求出畅畅的，最后比较大小求解即可.
23．（2025八上·禅城期末）如图1，若干张边长、、…的正方形纸片，面积分为、、…，且有以下关系：
，
，
，
（1）填空：_________，__________（用含正整数的式子表示）；
（2）如图2，在大正方形纸片中放置两个小正方形，面积分别为，，重叠部分是一个面积为的正方形，求空白部分的面积；
（3）如图3，有一张面积为的正方形贺卡，另有一个长方形信封，长宽之比为，面积为120，能将这张贺卡不折叠的放入此信封吗？为什么？
【答案】（1）；.
（2）解：根据（1）可得：，，，
∴，
∵
∴大正方形的边长
∴.
（3）解：正方形卡片能够直接装进长方形封皮中，理由如下：
设长方形的长为，宽为，则：，
∴，
∴长方形的宽为：，
∵，
∴，
∵，
∴正方形卡片能够直接装进长方形封皮中．
【知识点】二次根式的实际应用；探索数与式的规律；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】（1）解：∵，
，
，
根据规律得，
∴.
【分析】（1）根据题目等式发现规律得，即可得的值.
（2）根据－，-，+得，求解即可.
（3）设长方形的长为，宽为，列出方程，可求出长和宽，根据，得，比较即可.
（1）解：∵，
，
，
∴，；
（2）由（1）可得：，，，
∴，
∵
∴大正方形的边长为：，
∴空白部分的面积；
（3）正方形卡片能够直接装进长方形封皮中，理由如下：
设长方形的长为，宽为，则：，
∴，
∴长方形的宽为：，
∵，
∴，
∵，
∴正方形卡片能够直接装进长方形封皮中．
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