第17章《一元二次方程》基础卷—沪科版数学八（下）分层单元测
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.
1．下列方程是一元二次方程的是 ( )
A． B．x+4=2 C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、是二元二次方程，故此选项不符合题意；
B、是一元一次方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可.
2．把一元二次方程(2一x)(x+3)=1化成一般形式，正确的是 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解：(2-x)(x+3)=1，
2x+6-x2-3x=1，
-x2-x+5=0
x2+x-5=0
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a，b，c是常数目a≠0)的一般形式，a、b、c分别是二次项系数：一次项系数、常数项，可得答案.
3．（2025八上·镇海区期末）关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为（ ）
A．2 B． C．1或 D．2或
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的一个根为0，
∴， 解得：，
∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，解得：，
∴，
故选：B．
【分析】根据方程为一元二次方程，得出，再根据方程的一个根为0，将代入方程可求出a的值．
4．（2024八下·吴兴期中） 若是方程的根，则的值为（ ）
A．2021 B．2024 C．2027 D．2030
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】解：∵是方程的根，
∴
∴
原式=
故答案为：C.
【分析】根据题意得到：然后对待求式化简得到，最后代入计算即可.
5．（2023八下·温州期中）用配方法解方程x2-4x-3=0，则配方正确的是（ ）
A．(x-2)2=1 B．(x+2)2=1 C．(x-2)2=7 D．(x+2)2=7
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-4x-3=0，
x2-4x+4=3+4，
∴（x-2）2=7.
故答案为：C
【分析】先移项，将常数项移到方程的右边，再在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，然后将方程的左边写成完全平方公式的形式即可.
6．（2025八下·嘉兴期末） 已知关于x的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，，则方程的解是（ ）.
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】一元二次方程-同解问题
【解析】【解答】解：∵关于x的方程a（x-m）2+k=0（a，m，k均为常数，且a≠0）的两个解是x1=1，x2=4，
∴方程a（x-m-2）2+k=0中x-2=1或x-2=4，
解得x1=3，x2=6，
故答案为：B .
【分析】 根据已知方程得出方程a（x-m-2）2+k=0中x-2=1或x-2=4，据此可得答案.
7．（2025八下·永康期末）用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：A、∵x2=0，
∴x=0
∴此方程有解，
故A不符合题意；
B、∵x2-2=0，
∴x2=2
∴，，
故B不符合题意；
C、∵-x2+2=0，
∴x2=2，
∴，，
故C不符合题意；
D、∵x2+2=0，
∴x2=-2，
故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】通过将方程转化为x2=a的形式，判断a的符号来确定是否有实数解；若a≥0则有解，否则无解.
8．（2025八下·杭州期中） 在用求根公式 求一元二次方程的根时，小南正确地代入了a，b，c 得到 ，则他求解的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意
故答案为：A.
【分析】得出a，b，c的值即可解题.
9．（2023八下·义乌月考）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
且，
解得：且，
则k的取值范围是且，
故答案为：B．
【分析】利用已知可得到b2-4ac≥0且 k-1≯0，据此可得到关于k的不等式组 ，然后求出不等式组的解集可得到k的取值范围.
10．（2025八下·诸暨期末）设x1，x2是关于x的一元二次方程x2-7x-4m2=0的两个不同实数根，则x1+x2的值是（ ）
A．-4 B．4 C．7 D．-7
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ x2-7x-4m2=0；
∴由韦达定理得，；
故答案为：C.
【分析】对于一元二次方程，根据韦达定理，两根之和，代入系数即可得出答案.
11．（2025八下·象山竞赛）某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度增长了（ ）
A．2x% B．1+2x%
C．（1+x%）·x% D．（2+x%）·x%
【答案】D
【知识点】列一元二次方程；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：设第一季度的产值为1，
第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第二季度为1×（1+x%），
第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，第三季度为1×（1+x%）×（1+x%)，
根据题意得：第三季度的产值比第一季度增长了1×（1+x%）×（1+x%）-1=(2+x%) x%，
故选：D.
【分析】设第一季度的产值为1，根据增长率表示第三季的产值，由增长率公式计算解题.
12．（2025八下·浙江月考）小聪、小明、小伶、小刚四人共同探究代数式的值的情况他们做了如下分工：小聪负责找值为0时x的值，小明负责找值为4时x的值，小伶负责找最小值，小明负责找最大值，几分钟后，各自通报探究的结论，其中正确的是（ ）
（1）小聪认为找不到实数x，使得值为0；
（2）小明认为只有当时，的值为4；
（3）小伶发现没有最小值；
（4）小刚发现没有最大值．
A．（1）（2） B．（1）（3）
C．（1）（2）（4） D．（2）（3）（4）
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵，
又∵，
∴，
故不存在实数x，使得值为0，
当时，有最小值为4，不存在最大值，
当时，解得：；
故（1）（2）（4）正确，（3）错误；
故答案为：C．
【分析】先将代数式进行配方，根据完全平方式的非负性即可求得代数式的范围，再逐一判断.
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.只要求填出最后结果.
13．（2025八下·雨花期末）设x1，x2是一元二次方程x2-2x-1=0的两根，则 .
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由韦达定理可知
∴
故答案为：1.
【分析】一元二次方程根与系数之间存在韦达定理的关系，即，整体代入即可求出答案。
14．（2022八上·奉贤期中）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2-6x+8＝0的两根，则该三角形的周长为 ．
【答案】10
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：x2-6x+8＝0
（x-4）(x-2)=0
解得x=4或x=2，
当等腰三角形的三边为2，2，4时，错误三角形三边关系，不能组成三角形，故舍去，
当等腰三角形的三边为2，4，4时，正确三角形三边关系，能组成三角形，此时周长为2+4+4=10
故答案为：10．
【分析】先求出方程的解，再分两种情况，利用三角形三边的关系及等腰三角形的周长公式求解即可。
15．如图，某小区规划在一个长为40 m、宽为26 m 的长方形场地 ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草.要使每一块草坪的面积都为144 m2，求通道的宽.若设通道的宽为 x m，请补全关于x的方程：(40-2x)( )=144×6.
【答案】26-x
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设通道的宽度为xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为(40-2x)m，(26-x)m；
根据题意即可得出方程为：(40-2x)(26-x)=144×6.
故答案为：26-x.
【分析】如果设通道的宽度为xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为(40-2x)m，(26-x)m；那么根据每一块草坪的面积都为144m2，可得出方程.
16．（2024八下·杭州期中）南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步 ”其大意是：矩形面积为八百六十四平方步，宽和长共六十步，问宽和长各几步 若设宽为x步，则根据题意可列方程为 ．
【答案】x（60-x）＝864
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设宽为x步，则长为（60-x）步，根据题意得：x（60-x）＝864．
故答案为：x（60-x）＝864．
【分析】由题意知，长和宽一共60，设宽为x，则长为（60－x），根据等量关系面积为864即可列出方程．
三、解答题：本大题共7小题，共68分.
17．（2025八上·福田月考）解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
，
，
（2）解：
∵，
∴，
∴．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法得到，求解即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
（1）解：，
，
，
．
（2）解：
∵，
∴，
∴．
18．（2024八下·成都期中）已知关于的方程有两个实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：由题意得，
，解得；
（2）解：由根与系数的关系得，
∴
∵，
∴，
，解得或5，
由（1）知，则．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；解一元一次不等式；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）根据二次方程有两个实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
（2）根据二次方程根与系数的关系可得，将x=x1代入方程可得，再整体等式，解方程即可求出答案.
（1）解：由题意得，
，解得；
（2）解：由根与系数的关系得，
∴
∵，
∴，
，解得或5，
由（1）知，则．
19．（2025八下·杭州期中）已知方程x2+bx+a＝0①，和方程ax2+bx+1＝0②（a≠0）．
（1）若方程①的根为x1＝2，x2＝3，求方程②的根；
（2）当方程①有一根为x＝r时，求证x＝是方程②的根；
（3）若a2b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求的值．
【答案】解：（1）∵方程x2+bx+a＝0的根为x1＝2，x2＝3，∴﹣b＝2+3＝5，a＝2×3＝6，
∴方程②为6x2﹣5x+1＝0，
（3x﹣1）（2x﹣1）＝0，
∴方程②的根为x1＝，x2＝；
（2）∵方程①有一根为x＝r，
∴r2+br+a＝0，
两边同除r2得+1＝0，
∴是方程ax2+bx+1＝0的根，
∴x＝是方程②的根；
（3）∵a2b+b＝0，
∴b＝0，
∵方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，
∴m+n＝0，mn＝a，s+t＝0，st＝，
∴a＝＝mn，m＝﹣n，s＝﹣t，
∴ms＝nt，
∴＝1．
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；判断是否为一元二次方程的根
【解析】【分析】（1）对于方程 ① 可根据根与系数的关系即可求得a、b的值，再代入到方程②，然后利用因式分解法解方程②即可；
（2）根据方程根的定义得到r2+br+a=0，两边同除r2得+1＝0，即可证得x=是方程②的根；
（3）根据题意b=0，根据根与系数的关系得到m+n=0，s+t=0，从而得到m=-n，s=-t，即可得到ms=nt，进而求得=1．
20．（2025八上·海珠期末）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：．②求的最小值．
解：原式
；
解：原式
；
，
，
即的最小值为2．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）当为何值时，多项式有最小值？请求出这个最小值；
（2）若，求的值；
（3）证明：关于的二次三项式在实数范围内不能因式分解．
【答案】（1）解：，
又，
，
故当时，
多项式有最小值，最小值为；
（2）解：由题知，
原式，
，
，，
则原式
；
（3）证明：，
而的形式不能分解因式，
关于的二次三项式在实数范围内不能因式分解．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用；分式的化简求值；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【分析】（1）根据配方法可把原式变形为，根据偶次方的非负性可得出多项式有最小值，最小值为；
（2）首先把原式变形为：，然后再根据已知条件， 可得出，，进而整体代入，并进行计算即可；
（3）把已知多项式进行变形可得出（x+4)2+22，不符合平方差公式的特征，即可得出不能进行因式分解。
（1）解：，
又，
，
故当时，
多项式有最小值，最小值为；
（2）解：由题知，
原式，
，
，，
则原式
；
（3）证明：，
而的形式不能分解因式，
关于的二次三项式在实数范围内不能因式分解．
21．（2025八下·永康期末）用一张长为40cm，宽为25cm的长方形硬纸片，裁去一部分后折成纸盒。
（1）如图1裁去角上四个小正方形之后，折成如图2的无盖纸盒。若纸盒底面积为450cm2，则纸盒的高是多少？
（2）如图3，在纸片左边的两个角裁去两个正方形，纸片右边的两个角裁去两个长方形之后，将剩下的纸片（空白部分）折成一个有盖的纸盒。若折成纸盒的表面积为912cm2，则裁去的正方形的边长是多少？
【答案】（1）解：设纸盒的高为x(cm)，
由题意，得：(40-2x)(25-2x)=450，
化简、整理，得：2x2-65x+275=0，
解这个方程，得：x1=5，x2=27.5（不合题意，舍去)，
答：纸盒的高为5cm.
（2）解：设裁去的正方形的边长为x(cm)，
由题意，得：40×25-2x2-2×20x=912，
化简、整理，得：x2+20x-44=0，
解这个方程，得：x1=2，x2=-22（不合题意，舍去)，
答：裁去的正方形的边长为2cm.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】(1)设纸盒的高为xcm，则纸盒的底面是长为(40-2x)cm，宽为(25-2x)cm的长方形，根据纸盒底面积为450cm2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
(2)设裁去的正方形的边长为xcm，根据折成纸盒的表面积为912cm2(即长方形硬纸板的面积-阴影部分的面积)，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论.
22．（2025八下·长沙期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
（1）根据上述定义，是“________倍根方程”；
（2）若关于的方程是“三倍根方程”，求的值；
（3）直线：与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围．
【答案】（1）四
（2）解：∵关于的方程是“三倍根方程”，
可设这个方程的两个根分别为，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设直线解析式为，把代入到中得，
∴，
∴直线解析式为；
∵一个五倍根方程的两个根为和，
∴，
∴点P的坐标为，
∴点P在直线上，
联立，解得，
联立，解得，
∵点在的内部（不包含边界），
∴．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：∵，
变形得到，
∴或，
解得，
∵，
∴是“四倍根方程”；
故答案为：（1）四；
【分析】（1）先求出一元二次方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义进行计算判断即可解答；
（2）根据三倍根方程的定义，可设这个方程的两个根分别为，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得，求解即可；
（3）利用待定系数法求出直线解析式为；再根据五倍根方程的定义可得，由此可判断点P在直线上，求出直线与直线的交点坐标，直线与直线的交点坐标，根据点在的内部（不包含边界），结合函数图象中的位置关系即可解答．
（1）解：∵，
∴，
∴或，
解得，
∵，
∴是“四倍根方程”；
（2）解：∵关于的方程是“三倍根方程”，
∴可设这个方程的两个根分别为，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设直线解析式为，
把代入到中得，
∴，
∴直线解析式为；
∵一个五倍根方程的两个根为和，
∴，
∴点P的坐标为，
∴点P在直线上，
联立，解得，
联立，解得，
∵点在的内部（不包含边界），
∴．
23．（2025八下·温州期中）综合与实践：洗衣粉售价方案设计
某厂家生产的一种洗衣粉采用A、B两种包装，当前销售的相关信息如下表：
包装规格
含量（千克／袋） 2 1
成本（元／袋） 10 5
售价（元／袋） 25 17
日销量（袋） 60 40
该厂家经市场调研发现适当提升包装洗衣粉售价可以增加每日利润，已知售价每提升1元会少卖2袋。一段时间后，由于产能下降，厂家决定每日定额生产150千克的洗衣粉（当日全部售出）。另外厂家下调了包装洗衣粉的售价，已知其售价每降低1元会多卖2袋。
根据以上信息解决问题：
设包装洗衣粉每袋售价提高元（）。
（1）问该厂家每日销售包装洗衣粉的利润能否达到1000元？若能，请求出包装洗衣粉的售价；若不能，请说明理由．
（2）当厂家每日定额产销150千克洗衣粉时，设包装洗衣粉每袋售价降低元（）。
①求关于的函数关系．
②请通过计算判断厂家销售两种包装洗衣粉的日总利润能否达到1450元？
【答案】（1）解：能，由题意可得，
解，得．
包装洗衣粉的售价为30或35元
（2）①由题意可得，
化简，得
②日总利润为
即
此时，所以达不到1450元
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A包装洗衣粉每袋售价提高x元，则每袋A包装洗衣粉的利润为(25+x-10)元，由“ A包装洗衣粉售价每提升1元会少卖2袋 ”可得A包装洗衣粉每天的销售数量为(60-2x)袋，根据每袋洗衣粉的利润×每天销售数量=每天销售A包装洗衣粉获取的总利润，建立方程，求解并检验即可；
（2）①设B包装洗衣粉每袋销售价格降低y元，则每天可销售B包装洗衣粉的质量为1×(40+2y)千克；每天销售A包装洗衣粉的质量为2(60-2x)千克，根据销售两种包装洗衣粉的总质量等于厂家每天定额生产的洗衣粉的总质量，列出y与x的关系式，进而再用含x的式子表示出y即可；
②根据每袋利润×每天销售数量=每天获取的总利润，由每天销售(40+2y)袋B包装洗衣粉的利润+每天销售(60-2x)袋A包装洗衣粉的利润=1450建立出方程，然后根据根的判别式判断该方程是否有实数根即可得出答案.
1 / 1第17章《一元二次方程》基础卷—沪科版数学八（下）分层单元测
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.
1．下列方程是一元二次方程的是 ( )
A． B．x+4=2 C． D．
2．把一元二次方程(2一x)(x+3)=1化成一般形式，正确的是 ( )
A． B． C． D．
3．（2025八上·镇海区期末）关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为（ ）
A．2 B． C．1或 D．2或
4．（2024八下·吴兴期中） 若是方程的根，则的值为（ ）
A．2021 B．2024 C．2027 D．2030
5．（2023八下·温州期中）用配方法解方程x2-4x-3=0，则配方正确的是（ ）
A．(x-2)2=1 B．(x+2)2=1 C．(x-2)2=7 D．(x+2)2=7
6．（2025八下·嘉兴期末） 已知关于x的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，，则方程的解是（ ）.
A．， B．，
C．， D．，
7．（2025八下·永康期末）用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025八下·杭州期中） 在用求根公式 求一元二次方程的根时，小南正确地代入了a，b，c 得到 ，则他求解的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023八下·义乌月考）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ）
A． B．且 C． D．且
10．（2025八下·诸暨期末）设x1，x2是关于x的一元二次方程x2-7x-4m2=0的两个不同实数根，则x1+x2的值是（ ）
A．-4 B．4 C．7 D．-7
11．（2025八下·象山竞赛）某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度增长了（ ）
A．2x% B．1+2x%
C．（1+x%）·x% D．（2+x%）·x%
12．（2025八下·浙江月考）小聪、小明、小伶、小刚四人共同探究代数式的值的情况他们做了如下分工：小聪负责找值为0时x的值，小明负责找值为4时x的值，小伶负责找最小值，小明负责找最大值，几分钟后，各自通报探究的结论，其中正确的是（ ）
（1）小聪认为找不到实数x，使得值为0；
（2）小明认为只有当时，的值为4；
（3）小伶发现没有最小值；
（4）小刚发现没有最大值．
A．（1）（2） B．（1）（3）
C．（1）（2）（4） D．（2）（3）（4）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.只要求填出最后结果.
13．（2025八下·雨花期末）设x1，x2是一元二次方程x2-2x-1=0的两根，则 .
14．（2022八上·奉贤期中）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2-6x+8＝0的两根，则该三角形的周长为 ．
15．如图，某小区规划在一个长为40 m、宽为26 m 的长方形场地 ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草.要使每一块草坪的面积都为144 m2，求通道的宽.若设通道的宽为 x m，请补全关于x的方程：(40-2x)( )=144×6.
16．（2024八下·杭州期中）南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步 ”其大意是：矩形面积为八百六十四平方步，宽和长共六十步，问宽和长各几步 若设宽为x步，则根据题意可列方程为 ．
三、解答题：本大题共7小题，共68分.
17．（2025八上·福田月考）解下列方程：
（1）
（2）
18．（2024八下·成都期中）已知关于的方程有两个实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值．
19．（2025八下·杭州期中）已知方程x2+bx+a＝0①，和方程ax2+bx+1＝0②（a≠0）．
（1）若方程①的根为x1＝2，x2＝3，求方程②的根；
（2）当方程①有一根为x＝r时，求证x＝是方程②的根；
（3）若a2b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求的值．
20．（2025八上·海珠期末）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：．②求的最小值．
解：原式
；
解：原式
；
，
，
即的最小值为2．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）当为何值时，多项式有最小值？请求出这个最小值；
（2）若，求的值；
（3）证明：关于的二次三项式在实数范围内不能因式分解．
21．（2025八下·永康期末）用一张长为40cm，宽为25cm的长方形硬纸片，裁去一部分后折成纸盒。
（1）如图1裁去角上四个小正方形之后，折成如图2的无盖纸盒。若纸盒底面积为450cm2，则纸盒的高是多少？
（2）如图3，在纸片左边的两个角裁去两个正方形，纸片右边的两个角裁去两个长方形之后，将剩下的纸片（空白部分）折成一个有盖的纸盒。若折成纸盒的表面积为912cm2，则裁去的正方形的边长是多少？
22．（2025八下·长沙期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
（1）根据上述定义，是“________倍根方程”；
（2）若关于的方程是“三倍根方程”，求的值；
（3）直线：与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围．
23．（2025八下·温州期中）综合与实践：洗衣粉售价方案设计
某厂家生产的一种洗衣粉采用A、B两种包装，当前销售的相关信息如下表：
包装规格
含量（千克／袋） 2 1
成本（元／袋） 10 5
售价（元／袋） 25 17
日销量（袋） 60 40
该厂家经市场调研发现适当提升包装洗衣粉售价可以增加每日利润，已知售价每提升1元会少卖2袋。一段时间后，由于产能下降，厂家决定每日定额生产150千克的洗衣粉（当日全部售出）。另外厂家下调了包装洗衣粉的售价，已知其售价每降低1元会多卖2袋。
根据以上信息解决问题：
设包装洗衣粉每袋售价提高元（）。
（1）问该厂家每日销售包装洗衣粉的利润能否达到1000元？若能，请求出包装洗衣粉的售价；若不能，请说明理由．
（2）当厂家每日定额产销150千克洗衣粉时，设包装洗衣粉每袋售价降低元（）。
①求关于的函数关系．
②请通过计算判断厂家销售两种包装洗衣粉的日总利润能否达到1450元？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、是二元二次方程，故此选项不符合题意；
B、是一元一次方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可.
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解：(2-x)(x+3)=1，
2x+6-x2-3x=1，
-x2-x+5=0
x2+x-5=0
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a，b，c是常数目a≠0)的一般形式，a、b、c分别是二次项系数：一次项系数、常数项，可得答案.
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的一个根为0，
∴， 解得：，
∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，解得：，
∴，
故选：B．
【分析】根据方程为一元二次方程，得出，再根据方程的一个根为0，将代入方程可求出a的值．
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】解：∵是方程的根，
∴
∴
原式=
故答案为：C.
【分析】根据题意得到：然后对待求式化简得到，最后代入计算即可.
5．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-4x-3=0，
x2-4x+4=3+4，
∴（x-2）2=7.
故答案为：C
【分析】先移项，将常数项移到方程的右边，再在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，然后将方程的左边写成完全平方公式的形式即可.
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程-同解问题
【解析】【解答】解：∵关于x的方程a（x-m）2+k=0（a，m，k均为常数，且a≠0）的两个解是x1=1，x2=4，
∴方程a（x-m-2）2+k=0中x-2=1或x-2=4，
解得x1=3，x2=6，
故答案为：B .
【分析】 根据已知方程得出方程a（x-m-2）2+k=0中x-2=1或x-2=4，据此可得答案.
7．【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：A、∵x2=0，
∴x=0
∴此方程有解，
故A不符合题意；
B、∵x2-2=0，
∴x2=2
∴，，
故B不符合题意；
C、∵-x2+2=0，
∴x2=2，
∴，，
故C不符合题意；
D、∵x2+2=0，
∴x2=-2，
故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】通过将方程转化为x2=a的形式，判断a的符号来确定是否有实数解；若a≥0则有解，否则无解.
8．【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意
故答案为：A.
【分析】得出a，b，c的值即可解题.
9．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
且，
解得：且，
则k的取值范围是且，
故答案为：B．
【分析】利用已知可得到b2-4ac≥0且 k-1≯0，据此可得到关于k的不等式组 ，然后求出不等式组的解集可得到k的取值范围.
10．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ x2-7x-4m2=0；
∴由韦达定理得，；
故答案为：C.
【分析】对于一元二次方程，根据韦达定理，两根之和，代入系数即可得出答案.
11．【答案】D
【知识点】列一元二次方程；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：设第一季度的产值为1，
第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第二季度为1×（1+x%），
第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，第三季度为1×（1+x%）×（1+x%)，
根据题意得：第三季度的产值比第一季度增长了1×（1+x%）×（1+x%）-1=(2+x%) x%，
故选：D.
【分析】设第一季度的产值为1，根据增长率表示第三季的产值，由增长率公式计算解题.
12．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵，
又∵，
∴，
故不存在实数x，使得值为0，
当时，有最小值为4，不存在最大值，
当时，解得：；
故（1）（2）（4）正确，（3）错误；
故答案为：C．
【分析】先将代数式进行配方，根据完全平方式的非负性即可求得代数式的范围，再逐一判断.
13．【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由韦达定理可知
∴
故答案为：1.
【分析】一元二次方程根与系数之间存在韦达定理的关系，即，整体代入即可求出答案。
14．【答案】10
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：x2-6x+8＝0
（x-4）(x-2)=0
解得x=4或x=2，
当等腰三角形的三边为2，2，4时，错误三角形三边关系，不能组成三角形，故舍去，
当等腰三角形的三边为2，4，4时，正确三角形三边关系，能组成三角形，此时周长为2+4+4=10
故答案为：10．
【分析】先求出方程的解，再分两种情况，利用三角形三边的关系及等腰三角形的周长公式求解即可。
15．【答案】26-x
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设通道的宽度为xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为(40-2x)m，(26-x)m；
根据题意即可得出方程为：(40-2x)(26-x)=144×6.
故答案为：26-x.
【分析】如果设通道的宽度为xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为(40-2x)m，(26-x)m；那么根据每一块草坪的面积都为144m2，可得出方程.
16．【答案】x（60-x）＝864
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设宽为x步，则长为（60-x）步，根据题意得：x（60-x）＝864．
故答案为：x（60-x）＝864．
【分析】由题意知，长和宽一共60，设宽为x，则长为（60－x），根据等量关系面积为864即可列出方程．
17．【答案】（1）解：，
，
，
（2）解：
∵，
∴，
∴．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法得到，求解即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
（1）解：，
，
，
．
（2）解：
∵，
∴，
∴．
18．【答案】（1）解：由题意得，
，解得；
（2）解：由根与系数的关系得，
∴
∵，
∴，
，解得或5，
由（1）知，则．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；解一元一次不等式；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）根据二次方程有两个实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
（2）根据二次方程根与系数的关系可得，将x=x1代入方程可得，再整体等式，解方程即可求出答案.
（1）解：由题意得，
，解得；
（2）解：由根与系数的关系得，
∴
∵，
∴，
，解得或5，
由（1）知，则．
19．【答案】解：（1）∵方程x2+bx+a＝0的根为x1＝2，x2＝3，∴﹣b＝2+3＝5，a＝2×3＝6，
∴方程②为6x2﹣5x+1＝0，
（3x﹣1）（2x﹣1）＝0，
∴方程②的根为x1＝，x2＝；
（2）∵方程①有一根为x＝r，
∴r2+br+a＝0，
两边同除r2得+1＝0，
∴是方程ax2+bx+1＝0的根，
∴x＝是方程②的根；
（3）∵a2b+b＝0，
∴b＝0，
∵方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，
∴m+n＝0，mn＝a，s+t＝0，st＝，
∴a＝＝mn，m＝﹣n，s＝﹣t，
∴ms＝nt，
∴＝1．
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；判断是否为一元二次方程的根
【解析】【分析】（1）对于方程 ① 可根据根与系数的关系即可求得a、b的值，再代入到方程②，然后利用因式分解法解方程②即可；
（2）根据方程根的定义得到r2+br+a=0，两边同除r2得+1＝0，即可证得x=是方程②的根；
（3）根据题意b=0，根据根与系数的关系得到m+n=0，s+t=0，从而得到m=-n，s=-t，即可得到ms=nt，进而求得=1．
20．【答案】（1）解：，
又，
，
故当时，
多项式有最小值，最小值为；
（2）解：由题知，
原式，
，
，，
则原式
；
（3）证明：，
而的形式不能分解因式，
关于的二次三项式在实数范围内不能因式分解．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用；分式的化简求值；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【分析】（1）根据配方法可把原式变形为，根据偶次方的非负性可得出多项式有最小值，最小值为；
（2）首先把原式变形为：，然后再根据已知条件， 可得出，，进而整体代入，并进行计算即可；
（3）把已知多项式进行变形可得出（x+4)2+22，不符合平方差公式的特征，即可得出不能进行因式分解。
（1）解：，
又，
，
故当时，
多项式有最小值，最小值为；
（2）解：由题知，
原式，
，
，，
则原式
；
（3）证明：，
而的形式不能分解因式，
关于的二次三项式在实数范围内不能因式分解．
21．【答案】（1）解：设纸盒的高为x(cm)，
由题意，得：(40-2x)(25-2x)=450，
化简、整理，得：2x2-65x+275=0，
解这个方程，得：x1=5，x2=27.5（不合题意，舍去)，
答：纸盒的高为5cm.
（2）解：设裁去的正方形的边长为x(cm)，
由题意，得：40×25-2x2-2×20x=912，
化简、整理，得：x2+20x-44=0，
解这个方程，得：x1=2，x2=-22（不合题意，舍去)，
答：裁去的正方形的边长为2cm.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】(1)设纸盒的高为xcm，则纸盒的底面是长为(40-2x)cm，宽为(25-2x)cm的长方形，根据纸盒底面积为450cm2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
(2)设裁去的正方形的边长为xcm，根据折成纸盒的表面积为912cm2(即长方形硬纸板的面积-阴影部分的面积)，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论.
22．【答案】（1）四
（2）解：∵关于的方程是“三倍根方程”，
可设这个方程的两个根分别为，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设直线解析式为，把代入到中得，
∴，
∴直线解析式为；
∵一个五倍根方程的两个根为和，
∴，
∴点P的坐标为，
∴点P在直线上，
联立，解得，
联立，解得，
∵点在的内部（不包含边界），
∴．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：∵，
变形得到，
∴或，
解得，
∵，
∴是“四倍根方程”；
故答案为：（1）四；
【分析】（1）先求出一元二次方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义进行计算判断即可解答；
（2）根据三倍根方程的定义，可设这个方程的两个根分别为，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得，求解即可；
（3）利用待定系数法求出直线解析式为；再根据五倍根方程的定义可得，由此可判断点P在直线上，求出直线与直线的交点坐标，直线与直线的交点坐标，根据点在的内部（不包含边界），结合函数图象中的位置关系即可解答．
（1）解：∵，
∴，
∴或，
解得，
∵，
∴是“四倍根方程”；
（2）解：∵关于的方程是“三倍根方程”，
∴可设这个方程的两个根分别为，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设直线解析式为，
把代入到中得，
∴，
∴直线解析式为；
∵一个五倍根方程的两个根为和，
∴，
∴点P的坐标为，
∴点P在直线上，
联立，解得，
联立，解得，
∵点在的内部（不包含边界），
∴．
23．【答案】（1）解：能，由题意可得，
解，得．
包装洗衣粉的售价为30或35元
（2）①由题意可得，
化简，得
②日总利润为
即
此时，所以达不到1450元
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A包装洗衣粉每袋售价提高x元，则每袋A包装洗衣粉的利润为(25+x-10)元，由“ A包装洗衣粉售价每提升1元会少卖2袋 ”可得A包装洗衣粉每天的销售数量为(60-2x)袋，根据每袋洗衣粉的利润×每天销售数量=每天销售A包装洗衣粉获取的总利润，建立方程，求解并检验即可；
（2）①设B包装洗衣粉每袋销售价格降低y元，则每天可销售B包装洗衣粉的质量为1×(40+2y)千克；每天销售A包装洗衣粉的质量为2(60-2x)千克，根据销售两种包装洗衣粉的总质量等于厂家每天定额生产的洗衣粉的总质量，列出y与x的关系式，进而再用含x的式子表示出y即可；
②根据每袋利润×每天销售数量=每天获取的总利润，由每天销售(40+2y)袋B包装洗衣粉的利润+每天销售(60-2x)袋A包装洗衣粉的利润=1450建立出方程，然后根据根的判别式判断该方程是否有实数根即可得出答案.
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