第十二章全等三角形 全章教案（表格式）
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文档简介
八
年级上
册
学科：
数学
科
执教者：
授课时间：
项目
设计内容
说明
课题
12.1全等三角形教科书第31——32页相关内容
教学目标
1、理解全等三角形及相关概念，能够从图形中寻找全等三角形，探索并掌握全等三角形的性质，能够利用性质解决简单的问题．2、在探索全等三角形性质的过程中，体会研究问题的方法，感受图形变化途径．3、培养学生的识图能力、归纳总结能力和应用意识．
重点
1、全等三角形以及相关概念．2、探索全等三角形的性质．
难点
不同情况下的三角形全等的图形归纳．
使用多媒体
多媒体课件
教学过程
教师活动
学生活动
说明或设计意图
创设情境，导入新课
1．提出问题：（出示投影）观察：下列各组图形的形状与大小有什么特点？ 2．在学生回答的基础上小结：能够完全重合的两个图形叫做全等形．3．师出示两个三角形，问：这两个三角形有什么特点？这样的三角形我们怎么称呼？引出定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．４．这节课我们就来研究全等三角形。板书课题：全等三角形．
1．观察、思考、回答问题。 2．齐读：能够完全重合的两个图形叫做全等形．3．
这两个三角形形状与大小一样，能够完全重合。理解定义，记忆定义。
把每组的两个图形沿同一水平方向平移使每组中的两个图片叠放在一起。得到两个图形的特点。
合作探究，学习新知
1．观察下面三组图形，它们是不是全等图形？为什么？与同伴进行交流．
（１）
（2）
(3
)
２．出示图片：（如下图）
提问：每组中这两个图形是全等图形吗？为什么？
(1)
（2）
３．图形演示：（平移、旋转、翻折）要求学生边看边想：一个图形在位置发生变化后所得到的图形与原图形有什么关系？小结：一个图形经过平移、旋转、翻折后得到的图形一定与原图形全等．4．教师演示：一个三角形经过平移、旋转、翻折后所得到的三角形与原三角形全等．５．讲述全等三角形的对应顶点，对应边，对应角．
演示重合的过程，板书概念．重合的顶点叫做对应顶点，
重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。点A与点D重合．点B与点E重合．我们把这
( http: / / www.21cnjy.com )样互相重合的一对顶点叫做对应顶点；AB边与DE边重合，这样互相重合的边就叫做对应边；∠A与∠D重合，它们就是对应角．△ABC与△DEF全等，我们把它记作：“△ABC≌△DEF”．读作“△ABC全等于△DEF”．
对学生的书写加以评价．
（注意：书写时应把对应顶点写在相对应的位置上）
６．教学例１：如下图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角。
７．随堂练习：
（1）如右图若△AOC≌△BOD，对应边是
，对应角是
；
（2）若△ABD≌△ACD，对应边是
，对应角是
；
（3）若△ABC≌△CDA,对应边是
，对应角是
点生回答．８．思考:
ABC≌
DFE，对应边大小有什么关系？对应角呢？（图见课件）
全等三角形的性质：
全等三角形的对应边相等，对应角相等．
几何语言：∵
△ABC≌△DEF∠A＝∠Ｄ，∠Ｂ＝∠Ｅ，∠Ｃ＝∠Ｆ
1．观看，同桌之间讨论．说出每组的特征．小结特点：如果两个图形全等，它们的形状一定相同
，大小一定相等！
2．观看图片，回答问题.
（1）它们不是全等图形，因为它们的形状不同。
（2）它们不是全等图形，因为它们的形状相同，但大小不同．3.观看演示，思考问题，得出结论：一个图形经过平移、旋转、翻折后得到的图形一定与原图形全等． 4.观看演示，建立空间思维，感受变换的图形之间的关系．5.观察演示过程，形成概念．齐读概念.
重合的顶点叫做对应顶点，
重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。根据概念写出图中所有的对应顶点，对应边，对应角。
６．自行解答，同桌交流．解：相等的边有：
AC=DB，
AO=DO，
CO=BO相等的角有：
∠A=
∠D
∠C=
∠B
∠AOC=
∠DOB７．观察、思考、举手回答.
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第（1）题图
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第（2）题图
第（3）题图
８．观察，思考，得出结论：全等三角形的对应边相等，对应角相等．谨记数学语言的表达．
加深学生对全等三角形概念的理解，以及动手操作能力的培养．
组织学生观察、归纳，引导学生归纳全等三角形的性质．
反馈检测，巩固提升
１．判断对错：（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；
（
）（2）全等三角形的周长相等；（
）（3）面积相等的三角形是全等三角形；
（
）（4）全等三角形的面积相等。2.如右图（1）：△ABC≌
△ADE若∠D=
∠B，∠C=∠AED，则∠DAE=
；
∠DAB=
。
3、如图（2）△
ABD
≌
△CDB，若AB=4，AD=5，BD=6，则BC=
，CD=
。4、如右图（3），已知△ABD≌△ACE，
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且∠C=45°,AC
=
5,AE
=
3,则
∠B
=
,
DC
=
.5.△ABC≌
△ADE，B和D、C和E是对应点，如果AB=5cm，BC=7cm，AC=6cm，那么DE的长是（
）
A.6cm
B.5cm
C.7cm
D.无法确定师讲评.
1．思考，解题。
２、3、4、5题，学生自己思考，解题。
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图（1）
图（2）
图（3）
加强练习，巩固所学的知识．
课
堂
小
结
这节课我们主要研究了哪些问题？师在学生回忆的基础上出示知识点：1.全等形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.表示方法：△ABC≌△DEF(对应点要写在对应的位置上).性质：对应边相等，对应角相等.会用全等三角形的性质解决简单的问题.2、注意：两个全等三角形中，对应角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角.
学生自主谈体会。
齐读，记忆。
布置作业
1．课本第33页：习题12.1第1、2、3、4题。2．《同步学习》本课时的作业。3．选用作业设计．
板书设计
１２.１全等三角形1．全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形．
图形：２．全等三角形：定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．表示方法：△ABC≌△DEF(对应点要写在对应的位置上).性质：对应边相等，对应角相等.几何语言：∵
△ABC≌△DEF∴
AB=DE，BC=EF，AC=DF
(全等三角形的对应边相等)∴
∠A=∠D，∠B=∠E
，∠C=∠F
(全等三角形的对应角相等)会用全等三角形的性质解决简单的问题．例１：
练习：
作业设计
１．如图（１），若ΔABC≌ΔAEF,
A
( http: / / www.21cnjy.com )B=AE,∠B=∠E，则下列结论：①AC=AF，
②∠FAB=∠EAB， ③EF=BC
，
④
∠FAC=∠EAB．（1）其中正确结论的个数是（
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个（2）若∠EAF=75°，∠BAF=30°，求∠
CAF的度数。２．如图（２）△ABD≌
△EBC，AB=3cm,BC=5cm,求DE的长3．如图（３）△
ABM
≌
△
ACN，
∠B和∠C是对应角，AB和AC是对应边，那么，BN和CM相等吗？为什么？
图（１） 图（２） 图（３）
教学反思
八
年级上
册
学科：
数学
科
执教者：
授课时间：
项目
设计内容
说明
课题
12.2三角形全等的判定
SSS
(第一课时)教科书第35——37页相关内容
教学目标
1．三角形全等的“边边边”的条件．2．了解三角形的稳定性．3．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
重点
通过观察和实验获得SSS，会运用SSS条件证明两个三角形全等．
难点
寻求三角形全等的条件．
使用多媒体
多媒体课件
三角尺
刻度尺
教学过程
教师活动
学生活动
说明或设计意图
复习旧知，导入新课
1．提出问题：什么叫全等三角形？2．
已知△ABC
≌△
DEF，找出其中相等的边与角３．你能画一个三角形与已知的三角形全等吗？４．如上图：如果△
ABC和△
ＤＥＦ满足三条边对应相等，三个角对应相等，即AB=DE，BC=EF，AC=DF∠A=∠D，∠B=∠E
，∠C=∠F这六个条件能保证这两个三角形全等吗？这是利用了全等三角形的定义来作图．那么是否一定需要六个条件呢？条件能否尽可能少呢？现在我们就来探究这个问题．
1.思考回顾并回答：2.根据图形回答问题。 图中相等的边是：AB=DE，BC=EF，AC=DF
图中相等的角是：∠A=∠D，∠B=∠E
，∠C=∠F ３．动手操作，同桌合作完成．４．通过同桌之间讨论、画图，观看投影演示，得出：这六个条件同时满足能保证这两个三角形全等．即∵AB=DE，BC=EF，AC=DF∠A=∠D，∠B=∠E
，∠C=∠F∴△ABC
≌△
DEF
使学生明确两个三角形满足六个条件就能保证三角形全等。
合作交流，解读探究
【探究1】满足什么条件的两个三角形全等？１．只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），画出的两个三角形一定全等吗？要求：前三组同学画一条边长为３厘米，后三组同学画一个角为45度。
教师用投影演示。
2．如果给出两个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况？师用电脑画图演示：①如果三角形的两边分别为4cm，6cm
时．②三角形的一个内角为30°,一条边为4cm时③如果三角形的两个内角分别为30°，45°时．根据三角形的内角和为180度，则第三角一定确定，所以当三内角对应相等时，两个三角形不一定全等．通过上面的探究，你能得出什么结论？３．如果给出三个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况？4.【探究２】先任意画一个
( http: / / www.21cnjy.com )三角形△ABC，然后再画一个三角形△A＇B＇C＇使其与前三角形的三边对应相等，并将所画的三角形裁剪下来与前三角形重叠，看看有什么结果．（等学生画完后演示）通过观察和实验，我们得到一个规律：三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）．板书数学语言：在△ABC和△DEF中，△ABC≌△DEF
(SSS)5.我们在前面学习三角形的时候知道：用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的．三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．所以日常生活中常利用三角形做支架．就是利用三角形的稳定性．例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等．用上面的规律可以判断两个三角形全等．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据．
1．学生动手操作 四人小组合作完成。 将各组的结果展示.
通过画图发现，满足六个条件中的一个或两个，两个三角形不一定全等．即只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等.
２．学生踊跃说出：①两边；②一边一角；③两角。 观察，得出结论： ①两条边对应相等的两个三角形不一定全等. ②一条边一个角对应相等的两个三角形不一定全等.③两个角对应相等的两个三角形不一定全等.结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的三角形一定全等。 ３．①三角；②三边；③两边一角；④两角一边。 其中①不能判定两个三角形全等。 ４．动手操作。通过观察和实验，我们得到一个规律：三边对应相等的两个三角形全等． 齐读规律．画图并抄写数学语言．５．了解三角形的稳定性．
提出问题，明确探究方向，激发探究欲望．学会观察，培养学生分析、探究问题的能力．使学生明确：判定两个三角形全等至少需要三个条件．
应用迁移，
巩固提高
出示课本３６页例１：如右图（１），△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连接A与BC中点D的支架。
求证：
△ABD≌△ACD 引导学生分析[分析]要证△ABD≌△ACD，可以看这两个三角形的三条边是否对应相等．板书证明过程：（略）补充例题：例２：如右图（２），已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB．要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？引导学生说出符合要求的条件．3.课堂练习：课本第37页第2题。师点评。
图（１）根据老师的分析，学会书写证明过程。 图（２）思考后回答。3.独立完成。
课堂小结
本节课我们探索得到了三角形全等的条件，发现了证明三角形全等的一个规律SSS．并利用它可以证明简单的三角形全等问题．
你有什么收获吗？
反思回顾，畅所欲言。
布置作业
1.课本第43页习题12.2第1题。2.课本第37页练习第1题。3.选用作业设计。
板书设计
12.2三角形全等的判定
SSS
三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）．在△ABC和△DEF中，
例1：△ABC≌△DEF
(SSS)
例2：
作业设计
已知：如下图（1），AB=AD，BC=DC，
求证：
∠B
=∠D
图（1）
A
E
B
D
F
C
图（2）
2.如上图（2），D、F是线段BC上的两点，
AB=CE，AF=DE，要使△ABF≌△ECD
，还需要什么条件？
3.已知：如下图（3）AC=AD,BC=BD,
求证：AB是∠DAC的平分线.
图（３）
教学反思
八
年级上
册
学科：
数学
科
执教者：
授课时间：
项目
设计内容
说明
课题
12.2三角形全等的判定
（第二课时）尺规作图教科书第36页相关内容
教学目标
1、会用尺规作一个角等于已知角，并了解它在尺规作图中的简单应用。2、掌握作已知角的平分线的方法及步骤。
重点
用尺规作一个角等于已知角，作已知角的平分线。
难点
规范使用尺规，规范使用作图语言，规范的按照步骤作出图形。
教具准备
直尺或三角板、圆规
教学过程
教师活动
学生活动
说明或设计意图
直接导入新课
1．前面我们用量角器画一个角等于已知角和画一个已知角∠AOB的平分线OC，怎样用尺规来作一个角等于已知角和作已知角的平分线呢？２．只用无刻度的直尺和圆规作图的方法称为尺规作图．最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图.３．这节课我们继续来学习12.2三角形全等的判定
（第二课时）尺规作图出示课题并板书课题。
4．五种基本作图： （１）作一条线段等于已知线段（２）、作一个角等于已知角（３）、平分已知角（４）、作已知线段的垂直平分线（５）、过一点作已知直线的垂线 其中（１）我们已经学过，本节课我们主要学习（２）、（３）两种基本作图.
1.
回忆以前的作法。２．“老师，什么是尺规作图呢？”齐读：只用无刻度的直尺和圆规作图的方法称为尺规作图．
３．了解五种基本作图。
合作交流，探究学习
１．作一个角等于已知角。已知：如图，∠AOB求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝
∠AOB教师在黑板上作图，同时写出作法：作射线O′A′。以O点为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D。以O′为圆心，以OC长为半径画弧，交O′A′于点C。以C′为圆心，以CD长为半径画弧，交前面的弧于点D′。过点D′作射线O′B′，
∠A′O′B′就是所求作的角。
( http: / / www.21cnjy.com )问：你能验证你所作的角与已知角相等吗？师指导同学们进行验证．2.
作一个已知角∠AOB的平分线OC。分析：假如∠AOB的平分线OC已经画出，(师在黑板上作出图形)在前面角的平分线的研究中，我们用折线的实验发现：如果有OE=OD，那么CE=CD．这个实验也启发我们：如果有OE=OD，CE=CD，那么OC平分∠AOB吗？用“SSS”公理易证△OEC≌△ODC
( http: / / www.21cnjy.com )，∠EOC=∠DOC，即OC平分∠AOB．于是容易看出，要作∠AOB的平分线OC，在于怎样才能找到起关键作用的点C？怎样确定点C呢？不难看出，为了确定
( http: / / www.21cnjy.com )C点，必须先找点E、D．以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于D、E，那么OD=OE吗？再分别以D、E为圆心，适当的长度为半径作弧，设两弧交于点C，那么CD=CE吗？而D、E为圆心，“适当”的长度为半径作弧，两弧有一交点时，怎样的长度才“适当”呢？已知：∠AOB，如右图（1）求作：射线OE，使∠AOE=∠BOE．作法：(1)在OA和OB上，分别截取OC、OD，使OC=OD．（2）分别以C、D为圆心，大于1/2CD的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点E．（3）作射线OE．OE就是所求的射线．
１．拿出直尺和圆规跟老师一起作图．边作图边写出作法．作完图后讨论验证方法．（用SSS进行验证）2．听分析，弄清作图思路，跟着作图，并写出作法．
图（1）作法：(1)在OA和OB上，分别截取OC、OD，使OC=OD．（2）分别以C、D为圆心，大于1/2CD的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点E．（3）作射线OE．OE就是所求的射线．
学生探索作图方法通过示范，使学生明白如何利用尺规作一个角等于已知角。
应用迁移，巩固提高
:例１：已知∠AOB，利用尺规作∠A’O’B’，使∠A’O’B’=2∠AOB(发给学生练习纸，将图画在练习纸上。)学生做一会儿后，师示范．例２：如右图，已知AD=AE，PD=PE，能否判定∠DAP=∠PAE？请写出证明过程。巡视，个别辅导。点生回答．点评。
１．试着自自己独立完成。有困难的同学问老师． ２．同桌讨论，推荐回答．
学生动手操作，教师加以指导，在具体的操作中巩固作法。利用全等证明角相等的应用。
课 堂 小 结
本节课我们主要学习了用尺规作一个角
( http: / / www.21cnjy.com )等于已知角和平分已知角，要会用自己的语言来书写作法，并要了解作一角等于已知角和平分已知角在尺规作图中的简单应用。
回顾用尺规作一个角等于已知角和平分已知角的作法，学会用数学语言来表达作法．记住作法．
布置作业
1.已知:线段a，c，∠α求作:ΔABC,使BC=a,
AB=c,∠ABC=∠
α
2．先任意画一个ΔABC，再用尺规作图画一个ΔA′B′C′，使A′B′=AB，A′C′=AC，∠A′=∠A（即两边和它们的夹角分别相等），把画好的ΔA′B′C′剪下来，放到ΔABC上，它们全等吗？
板书设计
12.2三角形全等的判定 尺规作图１．作一个角等于已知角。已知：如图，∠AOB求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝
∠AOB教师在黑板上作图，同时写出作法：作射线O′A′。以O点为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D。以O′为圆心，以OC长为半径画弧，交O′A′于点C。以C′为圆心，以CD长为半径画弧，交前面的弧于点D′。过点D′作射线O′B′，
∠A′O′B′就是所求作的角。已知：∠AOB，如图求作：射线OE，使∠AOE=∠BOE．作法：(1)在OA和OB上，分别截取OC、OD，使OC=OD．（2）分别以C、D为圆心，大于1/2CD的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点E．（3）作射线OE．OE就是所求的射线．
教学反思
八
年级上
册
学科：
数学
科
执教者：
授课时间：
项目
设计内容
说明
课题
12.2三角形全等的判定
SAS
（第三课时）教科书第37——39页相关内容
教学目标
1．三角形全等的“边角边”的条件．2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．3．能运用“SＡS”证明简单的三角形全等问题．
重点
会用“边角边”证明两个三角形全等。
难点
会正确运用“SAS”判定定理，在实践观察中正确选择判定三角形的方法。
使用多媒体
多媒体课件
教学过程
教师活动
学生活动
说明或设计意图
复习旧知，导入新课
1.知识回顾：三角形全等判定方法一．（1）三角形全等判定方法一是怎样描述的．（2）三角形全等判定方法一用符号语言怎样表达？
师画出△ABC和△
DEF．（图略）
2．强调书写格式。３．这节课我们继续来学习12.2三角形全等的判定
出示课题并板书课题。
1.
回忆并回答：（１）三角形全等判定方法一：三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）。（２）在△ABC和△
DEF中 ∴
△ABC
≌△
DEF（SSS） ２．记住书写格式：三步走：①准备条件；②摆齐条件；③得结论
合作交流，探究学习
１．思考：除了SSS外，还有其他情况吗？继续探索三角形全等的条件。当两个三角形满足六个条件中的三个时，有几种情况呢？我们已经分析了哪些情况？它们能判定两个三角形全等吗？下面我们来探究两边一角的情况。２．已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？（课件演示）“两边和它的夹角”，我们也说成“两边夹角”．３．我们用尺规作图来画一画．例如：已知∠ABC，求作∠A′
B′
C′，使∠ABC
=∠A′
B′
C′在黑板上示范。(作法见课本P38)思考：
①
△A′
B′
C′
与
△ABC
全等吗？如何验正思考：
②这两个三角形全等是满足哪三个条件？结论:两边及夹角对应相等的两个三角形全等．三角形全等判定方法2两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(可以简写成“边角边”或“SAS”)板书数学语言．（如右图）4.练习：在下列图中找出全等三角形.（图形见课件）５．两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗 已知：AC=５cm,BC=３cm,
∠A=45
°.
△ABC的形状与大小是唯一确定的吗
等学生画完图讨论好后，老师用电脑操作画图演示．师述：△ABC与△AB′C不全等，即SSA不能判定全等．６．两边及一角对应相等的两个三角形全等吗？７．现在你知道哪些三角形全等的判定方法？８．例题讲解，学会运用出示课本第38页例２： 如右图（2），有一池
( http: / / www.21cnjy.com )塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A
和B的点C，连接AC并延长至D，使CD
=CA，连接BC
并延长至E，使CE
=CB，连接ED，那么量出DE的长就是A，
B的距离．为什么？分析：如果能证明△ABC≌△DEＣ，就可以得出ＡＢ＝ＤＥ．由题意可知，△ABC和△DEＣ具备“边角边”的条件．巡视，讲评．补充例题：
如右图（3），AC=BD，∠CAB=
∠DBA，你能判断BC=AD吗？说明理由。引导分析，点生写出证明过程．归纳方法：因为全等三角形的对应角相等，对应边相等，所以，证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题，常常通过证明两个三角形全等来解决。
１．回顾，回答：有四种情况：(1)
三个角 （不能）(2)
三条边 （能，即SSS）(3)
两边一角(4)
两角一边2．学生分析、讨论。（１）两边和它的夹角。（２）两边和其中一边的对角3．拿出直尺和圆规跟老师一起作图．思考、动手验证.抄写数学语言：在△ABC与△DEF中ＡＣ＝ＤＦ∠Ｃ＝∠ＦＢＣ＝ＥＦ∴△ABC≌△DEF（SAS）
图（1）4.看图判断．５．四人小组按要求画图讨论．观看演示，得出结论：△ABC与△AB′C不全等，即SSA不能判定全等．６．两边及夹角对应相等的两个三角形全等（SAS)；两边及其中一边的的对角对应相等的两个三角形不一定全等．７．SSS, SAS．８． 图（2） 根据老师的提示自行解题． 图（3）自己分析，写出证明过程．齐读方法．
反馈检测，巩固提升
１．在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立：(1)如右图（4）所示,在△AOB和△DOC中AO=DO(已知)______=________(
)BO=CO(已知)∴
△AOB≌△DOC（
）(2).如右图（5）所示，在△AEC和△ADB中，已知AE=AD，AC=AB，请说明△AEC
≌
△ADB的理由。让学生自己先独立完成，再点评。 图（6）2．如上图（6）若AB=AC，则添加什么条件可得△ABD≌
△ACD ３．如右图（7），要证△ACB≌
△ADB
，至少选用哪些条件可证得△ACB≌
△ADB
图（4） Ａ Ｅ
Ｂ 图（5） 图（7）学生自己先独立完成，再抢答。
课 堂 小 结
这节课你有什么收获？用公理证明两个三角形全等需注意：１．公理中所出现的边与角必须在所证明的两个三角形中.
２．公理中涉及的角必须是两边的夹角.３．要充分利用图形中的隐含条件，如公共边、公共角、对顶角等.
1.边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）2.边角边公理的发现过程所用到的数学方法（包括画图、实验、猜想、分析、归纳等.)3.边角边公理的应用中所用到的数学方法:证明线段（或角相等）转化为
证明线段（或角）所在的两个三角形全等.
布置作业
教科书第４３页习题１２．２第2题、第１０题．
板书设计
12.2三角形全等的判定
SAS
1.三角形全等判定方法2两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(可以简写成“边角边”或“SAS”)数学语言:在△ABC与△DEF中
ＡＣ＝ＤＦ∠Ｃ＝∠ＦＢＣ＝ＥＦ∴△ABC≌△DEF（SAS）2．边角边公理的应用中所用到的数学方法:证明线段（或角相等）转化为证明线段（或角）所在的两个三角形全等.3．用SAS公理证明两个三角形全等需注意：（１）公理中所出现的边与角必须在所证明的两个三角形中.
（２）公理中涉及的角必须是两边的夹角.（３）要充分利用图形中的隐含条件，如公共边、公共角、对顶角等.
例2： 补充例题：
作业设计
1．已知：如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点．
求证：△ABE≌△ACF．2．已知：点A、F、E、C在同一条直线上，
AF＝CE，
BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF．3.如图:己知AD∥BC,AE=CF,AD=BC,E、Ｆ都在直线ＡＣ上，试说明ＤＥ∥ＢＦ。 （第３题）
教学反思
八
年级上
册
学科：
数学
科
执教者：
授课时间：
项目
设计内容
说明
课题
12.2三角形全等的判定
ASA与AAS
（第四课时）教科书第39——41页相关内容
教学目标
1．探索并正确理解“ASA”和“AAS”判定方法．2．会用“ASA”和“AAS”判定方法证明两个三角形全等．
3.进一步提高学生逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。4.在探究学习中培养学生独立思考、自主探索、勇于创新的精神，体会几何知识的应用价值。
重点
理解“ASA”和“AAS”两种判定方法，并掌握用这两种方法证明两个三角形全等．
难点
灵活运用三角形全等条件证明．
使用多媒体
多媒体课件
教学过程
教师活动
学生活动
说明或设计意图
问题激趣，导入新课
1．回顾旧知：（课件出示问题）
（1）什么样的图形是全等三角形？（2）判断三角形全等至少要有几个条件？
（3）现在你知道哪些三角形全等的判定方法？
2．议一议：小明不
( http: / / www.21cnjy.com )小心打破了一块三角形的玻璃，看到以下三块碎片，他应该拿哪块碎片去商场买才能买回一个与原来一摸一样的三角形的玻璃呢？①
②
③2．这节课我们继续来学习12.2三角形全等的判定出示课题并板书课题.
1．思考课件问题，举手回答问题.2．讨论，凭生活经验回答.应选③去
合作探究，掌握新知
1．思考：已知一个三角形的两个角和一条边，那么这两个角与这条边在位置上有几种可能性呢？ 用电脑演示．２．观察下图中的△ABC，画一个△A′B′C′，使A′B′=AB
,
∠A
′=∠A，∠B′
=∠B教师演示作图．（图略）
观察：△A′B′C′与
△ABC
全等吗？怎么验证？
按学生的方法加以演示.思考：这两个三角形全等是满足哪三个条件？你得到什么结论呢？三角形全等的判定3：两角及夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”）。
用数学语言怎么表达呢？（图见课本第39页图12.2-8）师板书：（如右）2.
如下图，在△ABC和△DEF中，
∠A=∠D,
∠B=∠E,BC=EF,
△ABC和△DEF全等吗？为什么？
A
D
B
C
E
F
引导学生分析：能否转化为ASA 你能从上题中得到什么结论？ 两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）。 上述结论用数学语言怎么表达呢？ 证明:在△ABC与△A
′B
′C
′中 ∠A=∠A′ ∠B=∠B′ BC=B′
C′ ∴△ABC≌△A′B′C′（AAS） ３．方法小结：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS” 方法归类：到目前为止
( http: / / www.21cnjy.com ),我们一共探索出判定三角形全等的四种规律，它们分别是:
（1）边边边(SSS)；（2）边角边
(SAS)；（3）角边角(ASA)；（4）角角边(AAS).
4.例题教学：例1：如下图
，AB=AC,∠B=∠C,那么△ABE和△ACD全等吗？为什么？ 先引导分析，巡视，讲评． 板书过程． 变式：如右图（１），AD=AE,∠B=∠C，那么BE和CD相等么？为什么？ 你还能得出其他什么结论？ 例2.（即课本例3）如右图（２）已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C。
求证：(1)AD=AE;
(2)BD=CE。
分析：证明△ACD≌△ABE，就可以得出AD=AE；再由AB=AC，AD=AE，可以求出BD=CE.过程略.
6.回顾玻璃问题.
1．同桌画图讨论。
（1）两角夹边即“角边角”（ASA）（2）两角及其中一角的对边即“角角边”（AAS） ２．用尺规作图法按要求作出图形．画法:
1.画A′B′=AB；2.在A
B
的同旁画∠DA
′B′=
∠A
,∠EB′A′=
∠B,
A′D′、B
E交于点C
′
可以剪下来看一看是否重合呀.齐读结论：
两角及夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”）。证明:在△ABC与△A
′B′C
′中∠A=∠A
′AB=A
′B′∠B=∠B′∴△ABC≌△A′B′C′（ASA） （抄写数学语言表达）
2．思考，解题．证明：∵
∠A=∠D,
∠B=∠E(已知)∴∠C=∠F(三角形内角和定理)在△ABC和△DEF中∠B=∠EBC=EF
∠C=∠F∴△ABC≌△DEF（ASA）齐读结论．仿照前一结论的格式自行书写．在△ABC和△DEF中∠Ａ=∠Ｄ∠Ｂ=∠ＥBC=EF
∴△ABC≌△DEF（AAＳ）３．记住方法．
（1）边边边
(SSS)（2）边角边
(SAS)（3）角边角
(ASA)（4）角角边
(AAS)
4．观察，分析，试着说出证明过程． 图（１）
口述证明过程．抢答，各抒己见 图（２）在老师的指导下学会解题.6．明确玻璃问题的原由．
课堂练习，巩固提升
１．知识应用：课本
P41练习第1题
２．如下图（１）,O是AB的中点，∠A=
∠B，
△AOC与△BOD全等吗 为什么？ 图（１）３．如上图（１）,O是AB的中点，∠C=
∠D，
△AOC与△BOD全等吗 为什么？４．如右图（３）∠ACB=∠DFE，BC=EF，根据SAS,ASA或AAS，那么应补充一个直接条件
--------------------------，（写出一个即可），才能使△ABC≌△DEF.
1.先独立思考，同桌讨论解题。个别同学口述证明过程。
２．小组之间竞赛完成。３、4抢答． 图（３）
课 堂 小 结
1．这节课你有什么收获和体会？
2．这节课我们学习了哪些知识要点？ ３．你学会了哪些数学思想？
知识要点：(1)
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
简写成“角边角”或“ASA”.(2)
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.
简写成“角角边”或“AAS”.（3）探索三角形全等是证明线段相等（对应边相等），
角相等（对应角相等）等问题的基本途径。数学思想：要学会用分类的思想，转化的思想解决问题。
布置作业
1、课本第43——44页,习题12.2:第4、5、6、11题。2、选用作业设计。
板书设计
12.2三角形全等的判定ASA与AAS
三角形全等的判定3：两角及夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”）。
证明:在△ABC与△A
′B′
C
′中 ∠A=∠A
′AB=A
′B′∠B=∠B′∴△ABC≌△A′B′C′（ASA） 两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 证明:在△ABC与△A
′B
′C
′中 ∠A=∠A′ ∠B=∠B′ BC=B′
C′ ∴△ABC≌△A′B′C′（AAS） 例１： 例２：
作业设计
1、已知:如右图∠B=∠DEF,
BC=EF,
求证:ΔABC≌
ΔDEF(1)若要以“SAS”为依据，还缺条件
＿＿＿＿＿＿；
(2)若要以“ASA”为依据，还缺条件＿＿＿＿＿＿；
(3)若要以“SSS”
为依据，还缺条件＿＿＿＿＿＿；(4)若要以“AAS”
为依据，还缺条件＿＿＿＿＿＿； 第１题图 第２题图 第３题图3、如图：已知AB∥DE，AC∥DF，BE=CF。求证：△ABC≌△DEF。
教学反思
八
年级上
册
学科：
数学
科
执教者：
授课时间：
项目
设计内容
说明
课题
12.2直角三角形全等的判定“ＨＬ
”
（第五课时）教科书第41——43页相关内容
教学目标
1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题；3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
重点
运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
难点
熟练地运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
使用多媒体
多媒体课件
教学过程
教师活动
学生活动
说明或设计意图
复习旧知，导入新课
1．回顾旧知：（课件出示问题）
我们已经学了哪些判断两个三角形全等的方法呢？
2．思考：如下图（1），△ABC中，∠
C
=90°，直角边是_____、_____，斜边是______。
图（1）我们把直角△ABC记作：Rt△ABC。
对于两个直角三角形，除了直角相等的条件外，还要满足几个条件，这两个三角形就全等了？2．这节课我们继续来学习
12.2三角形全等的判定——直角三角形的判定.出示课题并板书课题.
1．思考课件问题，举手回答问题.SSS、SAS、ASA、AAS.2．回忆直角三角形的特点，回答问题.
问题激趣，合作探究
1．如下图（2），舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.
图（2）（1）你能帮他想个办法吗？（2）若∠B=∠F=Rt
∠
①若AB=DF，∠A=∠D，则利用
可判定全等；
②若AB=DF，∠C=∠E，则利用
可判定全等；
③若AC=DE，∠C=∠E，则利用
可判定全等；
④若AC=DE，∠A=∠D，则利用
可判定全等；
⑤若AC=DE，∠A=∠D，AB=DF，则利用
可判定全等如果工作人员只带了一条尺，能完成这项任务吗？工作人员是这样做的，他测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”。你相信他的结论吗２．观察下图中的△ABC，画一个△A′B′C′，使A′B′=AB
,
∠A
′=∠A，∠B′
=∠B教师演示作图．（图略）作法见右
观察：△A′B′C′与
△ABC
全等吗？怎么验证？师用电脑演示重合的过程.说明：当一个直角三角形的一条直角边和斜边确定后，那么它的形状和大小也被确定.由作图可得出什么结论？斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等，简写为“斜边、直角边”或“HL”。
数学语言：（如右图3）
∵在Rt△ABC和Rt△A B C 中AB=A B （已知
）
BC=B C （已知）
∴Rt△ABC≌
Rt△A B C （HL）通过刚才的探索，发现工作人员的做法是完全正确的。3.你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？
图（3）4.例题教学：
如下图（4）：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD.求证：BC=AD.
图（4）分析：要证BC=AD，但BC和AD是两条线段，且在两个直角三角形中，因此只要证Rt△ABC≌
Rt
△BAD就可以了.板书过程．５．及时演练．如右（5），
∠ACB
=∠ADB=9
( http: / / www.21cnjy.com )0，要证明△ABC≌
△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由。（1）
（
）（2）
（
）（3）
（
）（4）
（
）
1．前后桌同学讨论。
（1）方法一：测量斜边和一个对应的锐角.
(AAS)方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角.
(ASA)或(AAS) （2）抢答.2．观看示范，按照下面的步骤画Rt△A B C ⑴作∠MC N=90°;⑵
在射线C M上取段B C =BC;⑶
以B 为圆心,AB为半径画弧，交射线C N于点A ;⑷
连接A B .将自己的图形剪下来加以验证.3．我能用５种办法来判定两个三角形全等．SSS、SAS、ASA、AAS、HL.4．先自己分析，试着求证，如有困难，再顺着老师的思路去想．把过程写在课堂练习本上．解题过程见课本第42页.．５．口答．
图（5）
课 堂 小 结
1．这节课你有什么收获和体会？
2．这节课我们学习了哪些知识要点？
判断两个直角三角形全等的方法有：（１）SSS（２）SAS（３）ASA（４）AAS（５）HL
课堂练习，巩固提升
1．如下图，C是路段AB的中点，
( http: / / www.21cnjy.com )两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，此时，DA⊥AB，EB⊥AB，D、E与路段AB的距离相等吗？为什么？ 第１题图 第２题图2、如图，AB=CD，AE
⊥BC，DF
⊥BC，
CE=BF.
求证：AE=DF.
师巡视，等学生做完后再讲评．
借助课本第43页的图进行解题．
布置作业
1.教科书第43页习题12.2第6、7、8题．2.选用作业设计题.
板书设计
12.2直角三角形全等的判定
HL直角三角形全等的判定：斜边和一条直
( http: / / www.21cnjy.com )角边对应相等的两个三角形全等，简写为“斜边、直角边”或“HL”。
数学语言：（如右图）
∵在Rt△ABC和Rt△A B C 中AB=A B （已知
）
BC=B C （已知）
∴Rt△ABC≌
Rt△A B C （HL）判定两个直角三角形全等的方法有：（１）SSS
，（２）SAS，（３）ASA，（４）AAS，（５）HL.例题：如下图：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD.求证：BC=AD.解：
练习解析：
作业设计
1.如下图（1），
AB⊥BC，AD⊥DC，且AD=AB
．求证：BC=DC
.
图（1）
图（2） 图（３）
2.
如上图（2）：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD.求证：OA=OB.
3．如上图（3），有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？为什么？
教学反思
八
年级上
册
学科：
数学
科
执教者：
授课时间：
项目
设计内容
说明
课题
12.3角的平分线的性质（第一课时）教科书第48——49页相关内容
教学目标
1、经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力.2、能够利用三角形全等，证明角平分线的性质.3、会用尺规作已知角的平分线.4、能对角平分线性质进行简单的推理，解决一些实际问题.
重点
领会角的平分线的性质定理．
难点
证明以文字命题形式给出的角的平分线的性质定理及角的平分线的性质定理的实际应用．
使用多媒体
多媒体课件
教学过程
教师活动
学生活动
说明或设计意图
复习旧知，导入新课
1．什么是角的平分线？学生回答时用课件演示.2．什么又叫“点到直线距离”呢？教师画图说明.如右图（１）3．前面我们一学习了用尺规作图画出一个角的平分线，你还记得吗？师示范作图.画法：（１）以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于点Ｍ，交ＯＢ于点Ｎ．
（２）分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于1/2ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于点Ｃ．（３）作射线ＯＣ．射线ＯＣ即为所求．想一想：为什么OC是角平分线呢？这节课我们就来探究这个问题.出示课题并板书课题.
1.思考问题，举手回答问题.
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
2.从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离.
3.回顾作图方法并自己作图. 图（１）
问题激趣，合作探究
1．为什么OC是角平分线呢？
师出示图（２）及提示：已知：OM=ON，MC=NC．求证：OC平分∠AOB． 图（２）２．拿出纸，与学生一起折纸，探究角的平分线的性质．（图见课件）提问：将∠
AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论 引导：可以看一看,第一条折痕是∠AOB的
( http: / / www.21cnjy.com )平分线是OC,第二次折叠形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距离,这两个距离相等吗？
3．怎么证明我们的猜想呢？ 教给学生分析方法：先明确命题的已知和求证;再根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程． 图（３）４．小结证明几何命题的一般步骤：（1）明确命题的已知和求证;（2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。５．这个结论就是角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。（１）定理应用应具备哪些条件？（２）定理有什么作用？（３）怎样用数学语言表达定理？ 师板书：如上图（３）∵OP
是∠AOB
的平分线,PD
⊥
OA，PE
⊥
OB，∴PD=PE（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。）
1．前后桌同学讨论．并试着给出证明．证明：连接CM、CN在△OMC和△ONC中，
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴
△OMC≌
△ONC（SSS）∴∠MOC=∠NOC即：OC平分∠AOB２．和老师一起折纸，思考问题，通过折纸操作得出结论：猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。即PD＝PE３．按老师的方法写出证明过程．已知：如左图（３），OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．求证：
PD=PE证明：∵OC平分∠
AOB
（已知）,∴
∠1=
∠2（角平分线的定义）．∵PD
⊥
OA，PE
⊥
OB（已知），∴
∠PDO=
∠PEO（垂直的定义）．在△PDO和△PEO中∠PDO=
∠PEO（已证）
∠1=
∠2
（已证）
OP=OP
（公共边）∴
△PDO
≌
△PEO（AAS）∴PD=PE（全等三角形的对应边相等．）4.齐读并结合上面的做法记住这个步骤． ５．（１）定理应用应具备的条件：①角的平分线；②点在该平分线上；③垂直距离.
（２）定理的作用：证明线段相等。 （３）抄写数学语言．
例题讲解，巩固提升
１．判断：⑴∵
如右图（4），AD平分∠BAC（已知）
∴
BD
=
CD
，(
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。)
(
)⑵∵
如右图（5），
DC⊥AC，DB⊥AB
（已知）
∴
BD
=
CD
，(在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
)
(
)⑶∵
AD平分∠BAC,
DC⊥AC，DB⊥AB
（已知）∴
BD
=
CD
，(在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
)
(
) 图（７）２．如上图（７），DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F，
DE
=DF，∠EDB=
60°，则
∠EBF=
度，BE=
。3
如右图（８），在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC的
，AE+DE=
。４．例1、如下图（９）在△OAB中，OE是它的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D.求证：AC=BD.图（９）分析：要证AC=BD，它们分别在哪两个三角形中？要证哪些三角形全等？怎么证？它们已具备哪些条件？５．课本P51第2题：
如上图
( http: / / www.21cnjy.com )（１０），在△ABC中，∠C=90°
AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；
求证：CF=EB巡视，指导有困难的同学．集体讲评．
1.先独立思考，个别回答．
图（4）
图（5）
图（6）２．独立思考，抢答．３．独立思考，抢答． 图（８）４．学生先观察，再理清思路，尝试写出证明过程．（过程略） 图（１０）５．看课本P51第2题的图自己解题．
课 堂 小 结
1．这节课你有什么收获和体会？
2．这节课我们学习了哪些知识要点？３．怎样用数学语言表达角的平分线的性质定理？４．你还有哪些困惑？
知识要点：(1)
“作已知角的平分线”的尺规作图法；
(2)
角的平分线的性质：
111角的平分线上的点到角的两边的距离相等。.几何语言：∵
OC是∠AOB的平分线,
又
PD⊥OA,PE⊥OB∴
PD=PE
(角的平分线上的点到角的两边距离相等).
布置作业
1.课本P50练习第1题.2.教科书习题12.3第4、5题．3.选用作业设计.
板书设计
12.3角的平分线的性质（第一课时）角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。（如下图）∵OP
是∠AOB
的平分线,PD
⊥
OA，PE
⊥
OB，∴PD=PE（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。） 例１； 练习：
作业设计
１．在Rt△ABC中，∠Ｃ＝90
°，BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？
2．如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD
⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=__________cm. 第１题图 第２题图3.已知
(如下图)BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点E，BD、CE交点F，CF=BF，求证：点F在∠A的平分线上. 第３题图 第４题图 4．在△ABC中，
∠
C=90
°
，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3．求BD的长。
教学反思
八
年级上
册
学科：
数学
科
执教者：
授课时间：
项目
设计内容
说明
课题
12.3角的平分线的性质（第二课时）教科书第49——50页相关内容
教学目标
1．探索并证明角平分线性质定理的逆定理.2．会用角平分线性质定理的逆定理解决问题．
重点
角平分线性质定理的逆定理及应用.
难点
灵活应用两个性质解决问题．
使用多媒体
多媒体课件
教学过程
教师活动
学生活动
说明或设计意图
复习旧知，导入新课
1．角的平分线的性质定理是怎样叙述的？2．用数学语言怎样描述？师作出草图帮助理解．３．反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如右图（１）,PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE．求证：点P在∠AOB的平分线上． 这节课我们就来探究这个问题.出示课题并板书课题.
1.集体回答：角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 ２．看图说出数学语言：
∵
OC平分∠AOB，点P在OC上，且PD⊥OA，
PE⊥OB， ∴
PD
=
PE ３．讨论，证明． 图（１）
合作探究，解决问题
1．如上右图（１），点P是否在∠AOB的平分线上呢？首先我们要作出辅助线，怎么做呢？怎样证明呢？教师巡视，引导证明．通过证明，你得到什么结论？这就是角的平分线的性质定理的逆定理，也叫做角的平分线的判定定理．这个定理用数学语言如何表示呢？２．角的平分线的性质定理与判定定理有什么区别呢？出示课件加以说明．老师点拨．３．随堂练习．填空：如右图（２）(1)∵∠1=
∠2,DC⊥AC,
DE⊥AB
∴___________(__________________________)(２)∵DC⊥AC,DE⊥AB
,DC=DE∴__________(______________________________)４．解决问题：（课本第49页思考题）如下图（3），要在S区建一个贸易市场，
( http: / / www.21cnjy.com )使它到铁路和公路距离相等，
离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）
图（3）5.教学例1：已知：如右图（5）,在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。求证：AD是∠BAC的角平分线分析：AD是∠BAC的平分线DE＝DF
△BDE≌△CDF学生如有困难，板书解题过程.6.教学例题2.如下图（6），△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
图（6）点拨：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，
PF⊥AC于F想一想：点P也在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
1．前后桌同学讨论．并试着给出证明．证明:
经过点P作射线OC.∵
PD⊥OA，PE⊥OB，∴
∠PDO＝∠PEO＝90°.
在Rt△PDO和Rt△PEO中
PO＝PO，
PD=PE，
∴
Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）∴
∠
POD＝∠POE，∴点P在∠AOB的平分线上.即：OC平分∠AOB结论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。∵
PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE．∴OP平分∠AOB．即点P在∠AOB的平分线上.２．通过老师的点拨，得出：它们的题设与结论
( http: / / www.21cnjy.com )刚好相反，是一对互逆定理，它们在应用上也不相同，角的平分线的性质可用来证明线段相等；而角的平分线的判定定理是用来判定角的平分线． ３．看图回答问题． 图（２）４．动手试一试，解决问题.解：如下图（4），作夹角的角平分线OC，截取
OD=2.5cm
,D即为所求。图（4）
图（5）5.按照老师的分析写出解题步骤.（步骤略）6.根据老师的提示思考并尝试证明.证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，
PF⊥AC于F∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上（已知）∴PD=PE.（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理
PE=PF.∴
PD=PE=PF.即点P到边AB、BC、CA的距离相等.思考并回答：点P也在∠A的平分线上，角形三条角平分线相交于一点．
课堂练习，巩固提升
1.练习.（课本P50页练习第2题.）如右图（7），△ABC的∠B的外角平分线BD与∠C的外角平分线CE相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等2.已知：如右图（8），BE⊥AC于E，
CF⊥AB于F，BE、CF相交于D，
BD=CD
.求证：
AD平分∠BAC
.
图（9）3、变式：已知：如上图（9）,在△ABC中，
BD＝CD,
∠1=
∠2.求证：AD平分∠BAC.巡视，对有困难的学生给予帮助.待学生做完后讲评.
1.同桌讨论并解题.（解题步骤略）
图（7）
图（8）
2与3学生画出草图，自己解题.个别学生上台板演.
课 堂 小 结
1．这节课你有什么收获和体会？
2．这节课我们学习了哪些知识要点？３．怎样用数学语言表达角的平分线的判定定理？４．你还有哪些困惑？释疑.
自主回答，畅所欲言.提出疑问，当堂解决.
布置作业
1.课本第51页习题12.3第3、6、7题.2.选用作业设计.
板书设计
12.3角的平分线的性质（第二课时）角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。（如下图）∵
PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE．
∴OP平分∠AOB．即点P在∠AOB的平分线上∴PD=PE（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。）
例1：
例2：
练习讲评：
作业设计
１．如下图，已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.2、如下图，要在S
区建一个广告牌P，使它到两
条公路和一条铁路的距离都相等．这个广告牌P
应建在
何处？
第１题图 第２题图3、如图所示，BF与CE相交
( http: / / www.21cnjy.com )于D，BD=CD，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E。求证：点D在∠BAC的角平分线上。
第３题图 第４题图4、已知PA=PB，
∠1+
∠2=1800，
求证：OP平分∠AOB
5、如下图，△ABC中，点O是
( http: / / www.21cnjy.com )∠BAC与∠ABC的平分线的交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E．已知△ABC的周长为15，BC的长为6，求△ADE的周长.
第5题图
教学反思
A
B
C
N
M
A
C
B
D
F
E
A
B
C
D
E
F
〃
〃
\
\
≡
≡
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
〃
〃
\
\
≡
≡
B
A
D
C
A
B
C
D
A
B
C
D
E
P
a
ｃ
A
C
B
D
F
E
A
B
C
D
E
1
2
A
B
C
D
A
B
D
C
A
B
D
O
C
D
C
C
D
A
B
A
C
B
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F
E
F
C
B
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A
A
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C
B
A
E
D
C
B
O
O
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B
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B
C
A
=
=
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B
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B
C
A
A
B
C
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C
A
B
D
A
B
C
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A
Ｍ
Ｎ
Ｂ
Ｃ
A
Ｍ
Ｎ
Ｂ
Ｃ
P
A
O
B
C
E
D
1
2
O
A
B
E
C
D
A
C
D
E
B
F
P
A
O
B
C
E
D
1
2
A
D
O
B
E
P
C
A
B
C
D
E
E
D
C
B
A
P
s
A
B
C
P
A
C
D
E
B
1
2
D
s
O
C
A
B
C
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A
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C
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2
A
B
C
F
E
D
P
A
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C
E
D
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2
A
A
A
A
A
D
N
E
B
F
M
C
公路
公路
铁路
S
┌
┌
E
A
B
D
C
F
A
O
B
P
1
2
E
F
C
B
A
E
D
O
年级上
册
学科：
数学
科
执教者：
授课时间：
项目
设计内容
说明
课题
12.1全等三角形教科书第31——32页相关内容
教学目标
1、理解全等三角形及相关概念，能够从图形中寻找全等三角形，探索并掌握全等三角形的性质，能够利用性质解决简单的问题．2、在探索全等三角形性质的过程中，体会研究问题的方法，感受图形变化途径．3、培养学生的识图能力、归纳总结能力和应用意识．
重点
1、全等三角形以及相关概念．2、探索全等三角形的性质．
难点
不同情况下的三角形全等的图形归纳．
使用多媒体
多媒体课件
教学过程
教师活动
学生活动
说明或设计意图
创设情境，导入新课
1．提出问题：（出示投影）观察：下列各组图形的形状与大小有什么特点？ 2．在学生回答的基础上小结：能够完全重合的两个图形叫做全等形．3．师出示两个三角形，问：这两个三角形有什么特点？这样的三角形我们怎么称呼？引出定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．４．这节课我们就来研究全等三角形。板书课题：全等三角形．
1．观察、思考、回答问题。 2．齐读：能够完全重合的两个图形叫做全等形．3．
这两个三角形形状与大小一样，能够完全重合。理解定义，记忆定义。
把每组的两个图形沿同一水平方向平移使每组中的两个图片叠放在一起。得到两个图形的特点。
合作探究，学习新知
1．观察下面三组图形，它们是不是全等图形？为什么？与同伴进行交流．
（１）
（2）
(3
)
２．出示图片：（如下图）
提问：每组中这两个图形是全等图形吗？为什么？
(1)
（2）
３．图形演示：（平移、旋转、翻折）要求学生边看边想：一个图形在位置发生变化后所得到的图形与原图形有什么关系？小结：一个图形经过平移、旋转、翻折后得到的图形一定与原图形全等．4．教师演示：一个三角形经过平移、旋转、翻折后所得到的三角形与原三角形全等．５．讲述全等三角形的对应顶点，对应边，对应角．
演示重合的过程，板书概念．重合的顶点叫做对应顶点，
重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。点A与点D重合．点B与点E重合．我们把这
( http: / / www.21cnjy.com )样互相重合的一对顶点叫做对应顶点；AB边与DE边重合，这样互相重合的边就叫做对应边；∠A与∠D重合，它们就是对应角．△ABC与△DEF全等，我们把它记作：“△ABC≌△DEF”．读作“△ABC全等于△DEF”．
对学生的书写加以评价．
（注意：书写时应把对应顶点写在相对应的位置上）
６．教学例１：如下图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角。
７．随堂练习：
（1）如右图若△AOC≌△BOD，对应边是
，对应角是
；
（2）若△ABD≌△ACD，对应边是
，对应角是
；
（3）若△ABC≌△CDA,对应边是
，对应角是
点生回答．８．思考:
ABC≌
DFE，对应边大小有什么关系？对应角呢？（图见课件）
全等三角形的性质：
全等三角形的对应边相等，对应角相等．
几何语言：∵
△ABC≌△DEF∠A＝∠Ｄ，∠Ｂ＝∠Ｅ，∠Ｃ＝∠Ｆ
1．观看，同桌之间讨论．说出每组的特征．小结特点：如果两个图形全等，它们的形状一定相同
，大小一定相等！
2．观看图片，回答问题.
（1）它们不是全等图形，因为它们的形状不同。
（2）它们不是全等图形，因为它们的形状相同，但大小不同．3.观看演示，思考问题，得出结论：一个图形经过平移、旋转、翻折后得到的图形一定与原图形全等． 4.观看演示，建立空间思维，感受变换的图形之间的关系．5.观察演示过程，形成概念．齐读概念.
重合的顶点叫做对应顶点，
重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。根据概念写出图中所有的对应顶点，对应边，对应角。
６．自行解答，同桌交流．解：相等的边有：
AC=DB，
AO=DO，
CO=BO相等的角有：
∠A=
∠D
∠C=
∠B
∠AOC=
∠DOB７．观察、思考、举手回答.
( http: / / www.21cnjy.com )
第（1）题图
( http: / / www.21cnjy.com )
第（2）题图
第（3）题图
８．观察，思考，得出结论：全等三角形的对应边相等，对应角相等．谨记数学语言的表达．
加深学生对全等三角形概念的理解，以及动手操作能力的培养．
组织学生观察、归纳，引导学生归纳全等三角形的性质．
反馈检测，巩固提升
１．判断对错：（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；
（
）（2）全等三角形的周长相等；（
）（3）面积相等的三角形是全等三角形；
（
）（4）全等三角形的面积相等。2.如右图（1）：△ABC≌
△ADE若∠D=
∠B，∠C=∠AED，则∠DAE=
；
∠DAB=
。
3、如图（2）△
ABD
≌
△CDB，若AB=4，AD=5，BD=6，则BC=
，CD=
。4、如右图（3），已知△ABD≌△ACE，
( http: / / www.21cnjy.com )
且∠C=45°,AC
=
5,AE
=
3,则
∠B
=
,
DC
=
.5.△ABC≌
△ADE，B和D、C和E是对应点，如果AB=5cm，BC=7cm，AC=6cm，那么DE的长是（
）
A.6cm
B.5cm
C.7cm
D.无法确定师讲评.
1．思考，解题。
２、3、4、5题，学生自己思考，解题。
( http: / / www.21cnjy.com )
图（1）
图（2）
图（3）
加强练习，巩固所学的知识．
课
堂
小
结
这节课我们主要研究了哪些问题？师在学生回忆的基础上出示知识点：1.全等形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.表示方法：△ABC≌△DEF(对应点要写在对应的位置上).性质：对应边相等，对应角相等.会用全等三角形的性质解决简单的问题.2、注意：两个全等三角形中，对应角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角.
学生自主谈体会。
齐读，记忆。
布置作业
1．课本第33页：习题12.1第1、2、3、4题。2．《同步学习》本课时的作业。3．选用作业设计．
板书设计
１２.１全等三角形1．全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形．
图形：２．全等三角形：定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．表示方法：△ABC≌△DEF(对应点要写在对应的位置上).性质：对应边相等，对应角相等.几何语言：∵
△ABC≌△DEF∴
AB=DE，BC=EF，AC=DF
(全等三角形的对应边相等)∴
∠A=∠D，∠B=∠E
，∠C=∠F
(全等三角形的对应角相等)会用全等三角形的性质解决简单的问题．例１：
练习：
作业设计
１．如图（１），若ΔABC≌ΔAEF,
A
( http: / / www.21cnjy.com )B=AE,∠B=∠E，则下列结论：①AC=AF，
②∠FAB=∠EAB， ③EF=BC
，
④
∠FAC=∠EAB．（1）其中正确结论的个数是（
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个（2）若∠EAF=75°，∠BAF=30°，求∠
CAF的度数。２．如图（２）△ABD≌
△EBC，AB=3cm,BC=5cm,求DE的长3．如图（３）△
ABM
≌
△
ACN，
∠B和∠C是对应角，AB和AC是对应边，那么，BN和CM相等吗？为什么？
图（１） 图（２） 图（３）
教学反思
八
年级上
册
学科：
数学
科
执教者：
授课时间：
项目
设计内容
说明
课题
12.2三角形全等的判定
SSS
(第一课时)教科书第35——37页相关内容
教学目标
1．三角形全等的“边边边”的条件．2．了解三角形的稳定性．3．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
重点
通过观察和实验获得SSS，会运用SSS条件证明两个三角形全等．
难点
寻求三角形全等的条件．
使用多媒体
多媒体课件
三角尺
刻度尺
教学过程
教师活动
学生活动
说明或设计意图
复习旧知，导入新课
1．提出问题：什么叫全等三角形？2．
已知△ABC
≌△
DEF，找出其中相等的边与角３．你能画一个三角形与已知的三角形全等吗？４．如上图：如果△
ABC和△
ＤＥＦ满足三条边对应相等，三个角对应相等，即AB=DE，BC=EF，AC=DF∠A=∠D，∠B=∠E
，∠C=∠F这六个条件能保证这两个三角形全等吗？这是利用了全等三角形的定义来作图．那么是否一定需要六个条件呢？条件能否尽可能少呢？现在我们就来探究这个问题．
1.思考回顾并回答：2.根据图形回答问题。 图中相等的边是：AB=DE，BC=EF，AC=DF
图中相等的角是：∠A=∠D，∠B=∠E
，∠C=∠F ３．动手操作，同桌合作完成．４．通过同桌之间讨论、画图，观看投影演示，得出：这六个条件同时满足能保证这两个三角形全等．即∵AB=DE，BC=EF，AC=DF∠A=∠D，∠B=∠E
，∠C=∠F∴△ABC
≌△
DEF
使学生明确两个三角形满足六个条件就能保证三角形全等。
合作交流，解读探究
【探究1】满足什么条件的两个三角形全等？１．只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），画出的两个三角形一定全等吗？要求：前三组同学画一条边长为３厘米，后三组同学画一个角为45度。
教师用投影演示。
2．如果给出两个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况？师用电脑画图演示：①如果三角形的两边分别为4cm，6cm
时．②三角形的一个内角为30°,一条边为4cm时③如果三角形的两个内角分别为30°，45°时．根据三角形的内角和为180度，则第三角一定确定，所以当三内角对应相等时，两个三角形不一定全等．通过上面的探究，你能得出什么结论？３．如果给出三个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况？4.【探究２】先任意画一个
( http: / / www.21cnjy.com )三角形△ABC，然后再画一个三角形△A＇B＇C＇使其与前三角形的三边对应相等，并将所画的三角形裁剪下来与前三角形重叠，看看有什么结果．（等学生画完后演示）通过观察和实验，我们得到一个规律：三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）．板书数学语言：在△ABC和△DEF中，△ABC≌△DEF
(SSS)5.我们在前面学习三角形的时候知道：用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的．三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．所以日常生活中常利用三角形做支架．就是利用三角形的稳定性．例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等．用上面的规律可以判断两个三角形全等．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据．
1．学生动手操作 四人小组合作完成。 将各组的结果展示.
通过画图发现，满足六个条件中的一个或两个，两个三角形不一定全等．即只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等.
２．学生踊跃说出：①两边；②一边一角；③两角。 观察，得出结论： ①两条边对应相等的两个三角形不一定全等. ②一条边一个角对应相等的两个三角形不一定全等.③两个角对应相等的两个三角形不一定全等.结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的三角形一定全等。 ３．①三角；②三边；③两边一角；④两角一边。 其中①不能判定两个三角形全等。 ４．动手操作。通过观察和实验，我们得到一个规律：三边对应相等的两个三角形全等． 齐读规律．画图并抄写数学语言．５．了解三角形的稳定性．
提出问题，明确探究方向，激发探究欲望．学会观察，培养学生分析、探究问题的能力．使学生明确：判定两个三角形全等至少需要三个条件．
应用迁移，
巩固提高
出示课本３６页例１：如右图（１），△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连接A与BC中点D的支架。
求证：
△ABD≌△ACD 引导学生分析[分析]要证△ABD≌△ACD，可以看这两个三角形的三条边是否对应相等．板书证明过程：（略）补充例题：例２：如右图（２），已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB．要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？引导学生说出符合要求的条件．3.课堂练习：课本第37页第2题。师点评。
图（１）根据老师的分析，学会书写证明过程。 图（２）思考后回答。3.独立完成。
课堂小结
本节课我们探索得到了三角形全等的条件，发现了证明三角形全等的一个规律SSS．并利用它可以证明简单的三角形全等问题．
你有什么收获吗？
反思回顾，畅所欲言。
布置作业
1.课本第43页习题12.2第1题。2.课本第37页练习第1题。3.选用作业设计。
板书设计
12.2三角形全等的判定
SSS
三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）．在△ABC和△DEF中，
例1：△ABC≌△DEF
(SSS)
例2：
作业设计
已知：如下图（1），AB=AD，BC=DC，
求证：
∠B
=∠D
图（1）
A
E
B
D
F
C
图（2）
2.如上图（2），D、F是线段BC上的两点，
AB=CE，AF=DE，要使△ABF≌△ECD
，还需要什么条件？
3.已知：如下图（3）AC=AD,BC=BD,
求证：AB是∠DAC的平分线.
图（３）
教学反思
八
年级上
册
学科：
数学
科
执教者：
授课时间：
项目
设计内容
说明
课题
12.2三角形全等的判定
（第二课时）尺规作图教科书第36页相关内容
教学目标
1、会用尺规作一个角等于已知角，并了解它在尺规作图中的简单应用。2、掌握作已知角的平分线的方法及步骤。
重点
用尺规作一个角等于已知角，作已知角的平分线。
难点
规范使用尺规，规范使用作图语言，规范的按照步骤作出图形。
教具准备
直尺或三角板、圆规
教学过程
教师活动
学生活动
说明或设计意图
直接导入新课
1．前面我们用量角器画一个角等于已知角和画一个已知角∠AOB的平分线OC，怎样用尺规来作一个角等于已知角和作已知角的平分线呢？２．只用无刻度的直尺和圆规作图的方法称为尺规作图．最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图.３．这节课我们继续来学习12.2三角形全等的判定
（第二课时）尺规作图出示课题并板书课题。
4．五种基本作图： （１）作一条线段等于已知线段（２）、作一个角等于已知角（３）、平分已知角（４）、作已知线段的垂直平分线（５）、过一点作已知直线的垂线 其中（１）我们已经学过，本节课我们主要学习（２）、（３）两种基本作图.
1.
回忆以前的作法。２．“老师，什么是尺规作图呢？”齐读：只用无刻度的直尺和圆规作图的方法称为尺规作图．
３．了解五种基本作图。
合作交流，探究学习
１．作一个角等于已知角。已知：如图，∠AOB求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝
∠AOB教师在黑板上作图，同时写出作法：作射线O′A′。以O点为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D。以O′为圆心，以OC长为半径画弧，交O′A′于点C。以C′为圆心，以CD长为半径画弧，交前面的弧于点D′。过点D′作射线O′B′，
∠A′O′B′就是所求作的角。
( http: / / www.21cnjy.com )问：你能验证你所作的角与已知角相等吗？师指导同学们进行验证．2.
作一个已知角∠AOB的平分线OC。分析：假如∠AOB的平分线OC已经画出，(师在黑板上作出图形)在前面角的平分线的研究中，我们用折线的实验发现：如果有OE=OD，那么CE=CD．这个实验也启发我们：如果有OE=OD，CE=CD，那么OC平分∠AOB吗？用“SSS”公理易证△OEC≌△ODC
( http: / / www.21cnjy.com )，∠EOC=∠DOC，即OC平分∠AOB．于是容易看出，要作∠AOB的平分线OC，在于怎样才能找到起关键作用的点C？怎样确定点C呢？不难看出，为了确定
( http: / / www.21cnjy.com )C点，必须先找点E、D．以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于D、E，那么OD=OE吗？再分别以D、E为圆心，适当的长度为半径作弧，设两弧交于点C，那么CD=CE吗？而D、E为圆心，“适当”的长度为半径作弧，两弧有一交点时，怎样的长度才“适当”呢？已知：∠AOB，如右图（1）求作：射线OE，使∠AOE=∠BOE．作法：(1)在OA和OB上，分别截取OC、OD，使OC=OD．（2）分别以C、D为圆心，大于1/2CD的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点E．（3）作射线OE．OE就是所求的射线．
１．拿出直尺和圆规跟老师一起作图．边作图边写出作法．作完图后讨论验证方法．（用SSS进行验证）2．听分析，弄清作图思路，跟着作图，并写出作法．
图（1）作法：(1)在OA和OB上，分别截取OC、OD，使OC=OD．（2）分别以C、D为圆心，大于1/2CD的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点E．（3）作射线OE．OE就是所求的射线．
学生探索作图方法通过示范，使学生明白如何利用尺规作一个角等于已知角。
应用迁移，巩固提高
:例１：已知∠AOB，利用尺规作∠A’O’B’，使∠A’O’B’=2∠AOB(发给学生练习纸，将图画在练习纸上。)学生做一会儿后，师示范．例２：如右图，已知AD=AE，PD=PE，能否判定∠DAP=∠PAE？请写出证明过程。巡视，个别辅导。点生回答．点评。
１．试着自自己独立完成。有困难的同学问老师． ２．同桌讨论，推荐回答．
学生动手操作，教师加以指导，在具体的操作中巩固作法。利用全等证明角相等的应用。
课 堂 小 结
本节课我们主要学习了用尺规作一个角
( http: / / www.21cnjy.com )等于已知角和平分已知角，要会用自己的语言来书写作法，并要了解作一角等于已知角和平分已知角在尺规作图中的简单应用。
回顾用尺规作一个角等于已知角和平分已知角的作法，学会用数学语言来表达作法．记住作法．
布置作业
1.已知:线段a，c，∠α求作:ΔABC,使BC=a,
AB=c,∠ABC=∠
α
2．先任意画一个ΔABC，再用尺规作图画一个ΔA′B′C′，使A′B′=AB，A′C′=AC，∠A′=∠A（即两边和它们的夹角分别相等），把画好的ΔA′B′C′剪下来，放到ΔABC上，它们全等吗？
板书设计
12.2三角形全等的判定 尺规作图１．作一个角等于已知角。已知：如图，∠AOB求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝
∠AOB教师在黑板上作图，同时写出作法：作射线O′A′。以O点为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D。以O′为圆心，以OC长为半径画弧，交O′A′于点C。以C′为圆心，以CD长为半径画弧，交前面的弧于点D′。过点D′作射线O′B′，
∠A′O′B′就是所求作的角。已知：∠AOB，如图求作：射线OE，使∠AOE=∠BOE．作法：(1)在OA和OB上，分别截取OC、OD，使OC=OD．（2）分别以C、D为圆心，大于1/2CD的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点E．（3）作射线OE．OE就是所求的射线．
教学反思
八
年级上
册
学科：
数学
科
执教者：
授课时间：
项目
设计内容
说明
课题
12.2三角形全等的判定
SAS
（第三课时）教科书第37——39页相关内容
教学目标
1．三角形全等的“边角边”的条件．2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．3．能运用“SＡS”证明简单的三角形全等问题．
重点
会用“边角边”证明两个三角形全等。
难点
会正确运用“SAS”判定定理，在实践观察中正确选择判定三角形的方法。
使用多媒体
多媒体课件
教学过程
教师活动
学生活动
说明或设计意图
复习旧知，导入新课
1.知识回顾：三角形全等判定方法一．（1）三角形全等判定方法一是怎样描述的．（2）三角形全等判定方法一用符号语言怎样表达？
师画出△ABC和△
DEF．（图略）
2．强调书写格式。３．这节课我们继续来学习12.2三角形全等的判定
出示课题并板书课题。
1.
回忆并回答：（１）三角形全等判定方法一：三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）。（２）在△ABC和△
DEF中 ∴
△ABC
≌△
DEF（SSS） ２．记住书写格式：三步走：①准备条件；②摆齐条件；③得结论
合作交流，探究学习
１．思考：除了SSS外，还有其他情况吗？继续探索三角形全等的条件。当两个三角形满足六个条件中的三个时，有几种情况呢？我们已经分析了哪些情况？它们能判定两个三角形全等吗？下面我们来探究两边一角的情况。２．已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？（课件演示）“两边和它的夹角”，我们也说成“两边夹角”．３．我们用尺规作图来画一画．例如：已知∠ABC，求作∠A′
B′
C′，使∠ABC
=∠A′
B′
C′在黑板上示范。(作法见课本P38)思考：
①
△A′
B′
C′
与
△ABC
全等吗？如何验正思考：
②这两个三角形全等是满足哪三个条件？结论:两边及夹角对应相等的两个三角形全等．三角形全等判定方法2两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(可以简写成“边角边”或“SAS”)板书数学语言．（如右图）4.练习：在下列图中找出全等三角形.（图形见课件）５．两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗 已知：AC=５cm,BC=３cm,
∠A=45
°.
△ABC的形状与大小是唯一确定的吗
等学生画完图讨论好后，老师用电脑操作画图演示．师述：△ABC与△AB′C不全等，即SSA不能判定全等．６．两边及一角对应相等的两个三角形全等吗？７．现在你知道哪些三角形全等的判定方法？８．例题讲解，学会运用出示课本第38页例２： 如右图（2），有一池
( http: / / www.21cnjy.com )塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A
和B的点C，连接AC并延长至D，使CD
=CA，连接BC
并延长至E，使CE
=CB，连接ED，那么量出DE的长就是A，
B的距离．为什么？分析：如果能证明△ABC≌△DEＣ，就可以得出ＡＢ＝ＤＥ．由题意可知，△ABC和△DEＣ具备“边角边”的条件．巡视，讲评．补充例题：
如右图（3），AC=BD，∠CAB=
∠DBA，你能判断BC=AD吗？说明理由。引导分析，点生写出证明过程．归纳方法：因为全等三角形的对应角相等，对应边相等，所以，证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题，常常通过证明两个三角形全等来解决。
１．回顾，回答：有四种情况：(1)
三个角 （不能）(2)
三条边 （能，即SSS）(3)
两边一角(4)
两角一边2．学生分析、讨论。（１）两边和它的夹角。（２）两边和其中一边的对角3．拿出直尺和圆规跟老师一起作图．思考、动手验证.抄写数学语言：在△ABC与△DEF中ＡＣ＝ＤＦ∠Ｃ＝∠ＦＢＣ＝ＥＦ∴△ABC≌△DEF（SAS）
图（1）4.看图判断．５．四人小组按要求画图讨论．观看演示，得出结论：△ABC与△AB′C不全等，即SSA不能判定全等．６．两边及夹角对应相等的两个三角形全等（SAS)；两边及其中一边的的对角对应相等的两个三角形不一定全等．７．SSS, SAS．８． 图（2） 根据老师的提示自行解题． 图（3）自己分析，写出证明过程．齐读方法．
反馈检测，巩固提升
１．在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立：(1)如右图（4）所示,在△AOB和△DOC中AO=DO(已知)______=________(
)BO=CO(已知)∴
△AOB≌△DOC（
）(2).如右图（5）所示，在△AEC和△ADB中，已知AE=AD，AC=AB，请说明△AEC
≌
△ADB的理由。让学生自己先独立完成，再点评。 图（6）2．如上图（6）若AB=AC，则添加什么条件可得△ABD≌
△ACD ３．如右图（7），要证△ACB≌
△ADB
，至少选用哪些条件可证得△ACB≌
△ADB
图（4） Ａ Ｅ
Ｂ 图（5） 图（7）学生自己先独立完成，再抢答。
课 堂 小 结
这节课你有什么收获？用公理证明两个三角形全等需注意：１．公理中所出现的边与角必须在所证明的两个三角形中.
２．公理中涉及的角必须是两边的夹角.３．要充分利用图形中的隐含条件，如公共边、公共角、对顶角等.
1.边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）2.边角边公理的发现过程所用到的数学方法（包括画图、实验、猜想、分析、归纳等.)3.边角边公理的应用中所用到的数学方法:证明线段（或角相等）转化为
证明线段（或角）所在的两个三角形全等.
布置作业
教科书第４３页习题１２．２第2题、第１０题．
板书设计
12.2三角形全等的判定
SAS
1.三角形全等判定方法2两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(可以简写成“边角边”或“SAS”)数学语言:在△ABC与△DEF中
ＡＣ＝ＤＦ∠Ｃ＝∠ＦＢＣ＝ＥＦ∴△ABC≌△DEF（SAS）2．边角边公理的应用中所用到的数学方法:证明线段（或角相等）转化为证明线段（或角）所在的两个三角形全等.3．用SAS公理证明两个三角形全等需注意：（１）公理中所出现的边与角必须在所证明的两个三角形中.
（２）公理中涉及的角必须是两边的夹角.（３）要充分利用图形中的隐含条件，如公共边、公共角、对顶角等.
例2： 补充例题：
作业设计
1．已知：如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点．
求证：△ABE≌△ACF．2．已知：点A、F、E、C在同一条直线上，
AF＝CE，
BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF．3.如图:己知AD∥BC,AE=CF,AD=BC,E、Ｆ都在直线ＡＣ上，试说明ＤＥ∥ＢＦ。 （第３题）
教学反思
八
年级上
册
学科：
数学
科
执教者：
授课时间：
项目
设计内容
说明
课题
12.2三角形全等的判定
ASA与AAS
（第四课时）教科书第39——41页相关内容
教学目标
1．探索并正确理解“ASA”和“AAS”判定方法．2．会用“ASA”和“AAS”判定方法证明两个三角形全等．
3.进一步提高学生逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。4.在探究学习中培养学生独立思考、自主探索、勇于创新的精神，体会几何知识的应用价值。
重点
理解“ASA”和“AAS”两种判定方法，并掌握用这两种方法证明两个三角形全等．
难点
灵活运用三角形全等条件证明．
使用多媒体
多媒体课件
教学过程
教师活动
学生活动
说明或设计意图
问题激趣，导入新课
1．回顾旧知：（课件出示问题）
（1）什么样的图形是全等三角形？（2）判断三角形全等至少要有几个条件？
（3）现在你知道哪些三角形全等的判定方法？
2．议一议：小明不
( http: / / www.21cnjy.com )小心打破了一块三角形的玻璃，看到以下三块碎片，他应该拿哪块碎片去商场买才能买回一个与原来一摸一样的三角形的玻璃呢？①
②
③2．这节课我们继续来学习12.2三角形全等的判定出示课题并板书课题.
1．思考课件问题，举手回答问题.2．讨论，凭生活经验回答.应选③去
合作探究，掌握新知
1．思考：已知一个三角形的两个角和一条边，那么这两个角与这条边在位置上有几种可能性呢？ 用电脑演示．２．观察下图中的△ABC，画一个△A′B′C′，使A′B′=AB
,
∠A
′=∠A，∠B′
=∠B教师演示作图．（图略）
观察：△A′B′C′与
△ABC
全等吗？怎么验证？
按学生的方法加以演示.思考：这两个三角形全等是满足哪三个条件？你得到什么结论呢？三角形全等的判定3：两角及夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”）。
用数学语言怎么表达呢？（图见课本第39页图12.2-8）师板书：（如右）2.
如下图，在△ABC和△DEF中，
∠A=∠D,
∠B=∠E,BC=EF,
△ABC和△DEF全等吗？为什么？
A
D
B
C
E
F
引导学生分析：能否转化为ASA 你能从上题中得到什么结论？ 两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）。 上述结论用数学语言怎么表达呢？ 证明:在△ABC与△A
′B
′C
′中 ∠A=∠A′ ∠B=∠B′ BC=B′
C′ ∴△ABC≌△A′B′C′（AAS） ３．方法小结：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS” 方法归类：到目前为止
( http: / / www.21cnjy.com ),我们一共探索出判定三角形全等的四种规律，它们分别是:
（1）边边边(SSS)；（2）边角边
(SAS)；（3）角边角(ASA)；（4）角角边(AAS).
4.例题教学：例1：如下图
，AB=AC,∠B=∠C,那么△ABE和△ACD全等吗？为什么？ 先引导分析，巡视，讲评． 板书过程． 变式：如右图（１），AD=AE,∠B=∠C，那么BE和CD相等么？为什么？ 你还能得出其他什么结论？ 例2.（即课本例3）如右图（２）已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C。
求证：(1)AD=AE;
(2)BD=CE。
分析：证明△ACD≌△ABE，就可以得出AD=AE；再由AB=AC，AD=AE，可以求出BD=CE.过程略.
6.回顾玻璃问题.
1．同桌画图讨论。
（1）两角夹边即“角边角”（ASA）（2）两角及其中一角的对边即“角角边”（AAS） ２．用尺规作图法按要求作出图形．画法:
1.画A′B′=AB；2.在A
B
的同旁画∠DA
′B′=
∠A
,∠EB′A′=
∠B,
A′D′、B
E交于点C
′
可以剪下来看一看是否重合呀.齐读结论：
两角及夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”）。证明:在△ABC与△A
′B′C
′中∠A=∠A
′AB=A
′B′∠B=∠B′∴△ABC≌△A′B′C′（ASA） （抄写数学语言表达）
2．思考，解题．证明：∵
∠A=∠D,
∠B=∠E(已知)∴∠C=∠F(三角形内角和定理)在△ABC和△DEF中∠B=∠EBC=EF
∠C=∠F∴△ABC≌△DEF（ASA）齐读结论．仿照前一结论的格式自行书写．在△ABC和△DEF中∠Ａ=∠Ｄ∠Ｂ=∠ＥBC=EF
∴△ABC≌△DEF（AAＳ）３．记住方法．
（1）边边边
(SSS)（2）边角边
(SAS)（3）角边角
(ASA)（4）角角边
(AAS)
4．观察，分析，试着说出证明过程． 图（１）
口述证明过程．抢答，各抒己见 图（２）在老师的指导下学会解题.6．明确玻璃问题的原由．
课堂练习，巩固提升
１．知识应用：课本
P41练习第1题
２．如下图（１）,O是AB的中点，∠A=
∠B，
△AOC与△BOD全等吗 为什么？ 图（１）３．如上图（１）,O是AB的中点，∠C=
∠D，
△AOC与△BOD全等吗 为什么？４．如右图（３）∠ACB=∠DFE，BC=EF，根据SAS,ASA或AAS，那么应补充一个直接条件
--------------------------，（写出一个即可），才能使△ABC≌△DEF.
1.先独立思考，同桌讨论解题。个别同学口述证明过程。
２．小组之间竞赛完成。３、4抢答． 图（３）
课 堂 小 结
1．这节课你有什么收获和体会？
2．这节课我们学习了哪些知识要点？ ３．你学会了哪些数学思想？
知识要点：(1)
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
简写成“角边角”或“ASA”.(2)
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.
简写成“角角边”或“AAS”.（3）探索三角形全等是证明线段相等（对应边相等），
角相等（对应角相等）等问题的基本途径。数学思想：要学会用分类的思想，转化的思想解决问题。
布置作业
1、课本第43——44页,习题12.2:第4、5、6、11题。2、选用作业设计。
板书设计
12.2三角形全等的判定ASA与AAS
三角形全等的判定3：两角及夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”）。
证明:在△ABC与△A
′B′
C
′中 ∠A=∠A
′AB=A
′B′∠B=∠B′∴△ABC≌△A′B′C′（ASA） 两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 证明:在△ABC与△A
′B
′C
′中 ∠A=∠A′ ∠B=∠B′ BC=B′
C′ ∴△ABC≌△A′B′C′（AAS） 例１： 例２：
作业设计
1、已知:如右图∠B=∠DEF,
BC=EF,
求证:ΔABC≌
ΔDEF(1)若要以“SAS”为依据，还缺条件
＿＿＿＿＿＿；
(2)若要以“ASA”为依据，还缺条件＿＿＿＿＿＿；
(3)若要以“SSS”
为依据，还缺条件＿＿＿＿＿＿；(4)若要以“AAS”
为依据，还缺条件＿＿＿＿＿＿； 第１题图 第２题图 第３题图3、如图：已知AB∥DE，AC∥DF，BE=CF。求证：△ABC≌△DEF。
教学反思
八
年级上
册
学科：
数学
科
执教者：
授课时间：
项目
设计内容
说明
课题
12.2直角三角形全等的判定“ＨＬ
”
（第五课时）教科书第41——43页相关内容
教学目标
1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题；3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
重点
运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
难点
熟练地运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
使用多媒体
多媒体课件
教学过程
教师活动
学生活动
说明或设计意图
复习旧知，导入新课
1．回顾旧知：（课件出示问题）
我们已经学了哪些判断两个三角形全等的方法呢？
2．思考：如下图（1），△ABC中，∠
C
=90°，直角边是_____、_____，斜边是______。
图（1）我们把直角△ABC记作：Rt△ABC。
对于两个直角三角形，除了直角相等的条件外，还要满足几个条件，这两个三角形就全等了？2．这节课我们继续来学习
12.2三角形全等的判定——直角三角形的判定.出示课题并板书课题.
1．思考课件问题，举手回答问题.SSS、SAS、ASA、AAS.2．回忆直角三角形的特点，回答问题.
问题激趣，合作探究
1．如下图（2），舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.
图（2）（1）你能帮他想个办法吗？（2）若∠B=∠F=Rt
∠
①若AB=DF，∠A=∠D，则利用
可判定全等；
②若AB=DF，∠C=∠E，则利用
可判定全等；
③若AC=DE，∠C=∠E，则利用
可判定全等；
④若AC=DE，∠A=∠D，则利用
可判定全等；
⑤若AC=DE，∠A=∠D，AB=DF，则利用
可判定全等如果工作人员只带了一条尺，能完成这项任务吗？工作人员是这样做的，他测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”。你相信他的结论吗２．观察下图中的△ABC，画一个△A′B′C′，使A′B′=AB
,
∠A
′=∠A，∠B′
=∠B教师演示作图．（图略）作法见右
观察：△A′B′C′与
△ABC
全等吗？怎么验证？师用电脑演示重合的过程.说明：当一个直角三角形的一条直角边和斜边确定后，那么它的形状和大小也被确定.由作图可得出什么结论？斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等，简写为“斜边、直角边”或“HL”。
数学语言：（如右图3）
∵在Rt△ABC和Rt△A B C 中AB=A B （已知
）
BC=B C （已知）
∴Rt△ABC≌
Rt△A B C （HL）通过刚才的探索，发现工作人员的做法是完全正确的。3.你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？
图（3）4.例题教学：
如下图（4）：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD.求证：BC=AD.
图（4）分析：要证BC=AD，但BC和AD是两条线段，且在两个直角三角形中，因此只要证Rt△ABC≌
Rt
△BAD就可以了.板书过程．５．及时演练．如右（5），
∠ACB
=∠ADB=9
( http: / / www.21cnjy.com )0，要证明△ABC≌
△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由。（1）
（
）（2）
（
）（3）
（
）（4）
（
）
1．前后桌同学讨论。
（1）方法一：测量斜边和一个对应的锐角.
(AAS)方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角.
(ASA)或(AAS) （2）抢答.2．观看示范，按照下面的步骤画Rt△A B C ⑴作∠MC N=90°;⑵
在射线C M上取段B C =BC;⑶
以B 为圆心,AB为半径画弧，交射线C N于点A ;⑷
连接A B .将自己的图形剪下来加以验证.3．我能用５种办法来判定两个三角形全等．SSS、SAS、ASA、AAS、HL.4．先自己分析，试着求证，如有困难，再顺着老师的思路去想．把过程写在课堂练习本上．解题过程见课本第42页.．５．口答．
图（5）
课 堂 小 结
1．这节课你有什么收获和体会？
2．这节课我们学习了哪些知识要点？
判断两个直角三角形全等的方法有：（１）SSS（２）SAS（３）ASA（４）AAS（５）HL
课堂练习，巩固提升
1．如下图，C是路段AB的中点，
( http: / / www.21cnjy.com )两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，此时，DA⊥AB，EB⊥AB，D、E与路段AB的距离相等吗？为什么？ 第１题图 第２题图2、如图，AB=CD，AE
⊥BC，DF
⊥BC，
CE=BF.
求证：AE=DF.
师巡视，等学生做完后再讲评．
借助课本第43页的图进行解题．
布置作业
1.教科书第43页习题12.2第6、7、8题．2.选用作业设计题.
板书设计
12.2直角三角形全等的判定
HL直角三角形全等的判定：斜边和一条直
( http: / / www.21cnjy.com )角边对应相等的两个三角形全等，简写为“斜边、直角边”或“HL”。
数学语言：（如右图）
∵在Rt△ABC和Rt△A B C 中AB=A B （已知
）
BC=B C （已知）
∴Rt△ABC≌
Rt△A B C （HL）判定两个直角三角形全等的方法有：（１）SSS
，（２）SAS，（３）ASA，（４）AAS，（５）HL.例题：如下图：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD.求证：BC=AD.解：
练习解析：
作业设计
1.如下图（1），
AB⊥BC，AD⊥DC，且AD=AB
．求证：BC=DC
.
图（1）
图（2） 图（３）
2.
如上图（2）：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD.求证：OA=OB.
3．如上图（3），有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？为什么？
教学反思
八
年级上
册
学科：
数学
科
执教者：
授课时间：
项目
设计内容
说明
课题
12.3角的平分线的性质（第一课时）教科书第48——49页相关内容
教学目标
1、经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力.2、能够利用三角形全等，证明角平分线的性质.3、会用尺规作已知角的平分线.4、能对角平分线性质进行简单的推理，解决一些实际问题.
重点
领会角的平分线的性质定理．
难点
证明以文字命题形式给出的角的平分线的性质定理及角的平分线的性质定理的实际应用．
使用多媒体
多媒体课件
教学过程
教师活动
学生活动
说明或设计意图
复习旧知，导入新课
1．什么是角的平分线？学生回答时用课件演示.2．什么又叫“点到直线距离”呢？教师画图说明.如右图（１）3．前面我们一学习了用尺规作图画出一个角的平分线，你还记得吗？师示范作图.画法：（１）以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于点Ｍ，交ＯＢ于点Ｎ．
（２）分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于1/2ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于点Ｃ．（３）作射线ＯＣ．射线ＯＣ即为所求．想一想：为什么OC是角平分线呢？这节课我们就来探究这个问题.出示课题并板书课题.
1.思考问题，举手回答问题.
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
2.从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离.
3.回顾作图方法并自己作图. 图（１）
问题激趣，合作探究
1．为什么OC是角平分线呢？
师出示图（２）及提示：已知：OM=ON，MC=NC．求证：OC平分∠AOB． 图（２）２．拿出纸，与学生一起折纸，探究角的平分线的性质．（图见课件）提问：将∠
AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论 引导：可以看一看,第一条折痕是∠AOB的
( http: / / www.21cnjy.com )平分线是OC,第二次折叠形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距离,这两个距离相等吗？
3．怎么证明我们的猜想呢？ 教给学生分析方法：先明确命题的已知和求证;再根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程． 图（３）４．小结证明几何命题的一般步骤：（1）明确命题的已知和求证;（2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。５．这个结论就是角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。（１）定理应用应具备哪些条件？（２）定理有什么作用？（３）怎样用数学语言表达定理？ 师板书：如上图（３）∵OP
是∠AOB
的平分线,PD
⊥
OA，PE
⊥
OB，∴PD=PE（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。）
1．前后桌同学讨论．并试着给出证明．证明：连接CM、CN在△OMC和△ONC中，
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴
△OMC≌
△ONC（SSS）∴∠MOC=∠NOC即：OC平分∠AOB２．和老师一起折纸，思考问题，通过折纸操作得出结论：猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。即PD＝PE３．按老师的方法写出证明过程．已知：如左图（３），OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．求证：
PD=PE证明：∵OC平分∠
AOB
（已知）,∴
∠1=
∠2（角平分线的定义）．∵PD
⊥
OA，PE
⊥
OB（已知），∴
∠PDO=
∠PEO（垂直的定义）．在△PDO和△PEO中∠PDO=
∠PEO（已证）
∠1=
∠2
（已证）
OP=OP
（公共边）∴
△PDO
≌
△PEO（AAS）∴PD=PE（全等三角形的对应边相等．）4.齐读并结合上面的做法记住这个步骤． ５．（１）定理应用应具备的条件：①角的平分线；②点在该平分线上；③垂直距离.
（２）定理的作用：证明线段相等。 （３）抄写数学语言．
例题讲解，巩固提升
１．判断：⑴∵
如右图（4），AD平分∠BAC（已知）
∴
BD
=
CD
，(
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。)
(
)⑵∵
如右图（5），
DC⊥AC，DB⊥AB
（已知）
∴
BD
=
CD
，(在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
)
(
)⑶∵
AD平分∠BAC,
DC⊥AC，DB⊥AB
（已知）∴
BD
=
CD
，(在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
)
(
) 图（７）２．如上图（７），DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F，
DE
=DF，∠EDB=
60°，则
∠EBF=
度，BE=
。3
如右图（８），在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC的
，AE+DE=
。４．例1、如下图（９）在△OAB中，OE是它的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D.求证：AC=BD.图（９）分析：要证AC=BD，它们分别在哪两个三角形中？要证哪些三角形全等？怎么证？它们已具备哪些条件？５．课本P51第2题：
如上图
( http: / / www.21cnjy.com )（１０），在△ABC中，∠C=90°
AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；
求证：CF=EB巡视，指导有困难的同学．集体讲评．
1.先独立思考，个别回答．
图（4）
图（5）
图（6）２．独立思考，抢答．３．独立思考，抢答． 图（８）４．学生先观察，再理清思路，尝试写出证明过程．（过程略） 图（１０）５．看课本P51第2题的图自己解题．
课 堂 小 结
1．这节课你有什么收获和体会？
2．这节课我们学习了哪些知识要点？３．怎样用数学语言表达角的平分线的性质定理？４．你还有哪些困惑？
知识要点：(1)
“作已知角的平分线”的尺规作图法；
(2)
角的平分线的性质：
111角的平分线上的点到角的两边的距离相等。.几何语言：∵
OC是∠AOB的平分线,
又
PD⊥OA,PE⊥OB∴
PD=PE
(角的平分线上的点到角的两边距离相等).
布置作业
1.课本P50练习第1题.2.教科书习题12.3第4、5题．3.选用作业设计.
板书设计
12.3角的平分线的性质（第一课时）角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。（如下图）∵OP
是∠AOB
的平分线,PD
⊥
OA，PE
⊥
OB，∴PD=PE（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。） 例１； 练习：
作业设计
１．在Rt△ABC中，∠Ｃ＝90
°，BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？
2．如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD
⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=__________cm. 第１题图 第２题图3.已知
(如下图)BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点E，BD、CE交点F，CF=BF，求证：点F在∠A的平分线上. 第３题图 第４题图 4．在△ABC中，
∠
C=90
°
，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3．求BD的长。
教学反思
八
年级上
册
学科：
数学
科
执教者：
授课时间：
项目
设计内容
说明
课题
12.3角的平分线的性质（第二课时）教科书第49——50页相关内容
教学目标
1．探索并证明角平分线性质定理的逆定理.2．会用角平分线性质定理的逆定理解决问题．
重点
角平分线性质定理的逆定理及应用.
难点
灵活应用两个性质解决问题．
使用多媒体
多媒体课件
教学过程
教师活动
学生活动
说明或设计意图
复习旧知，导入新课
1．角的平分线的性质定理是怎样叙述的？2．用数学语言怎样描述？师作出草图帮助理解．３．反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如右图（１）,PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE．求证：点P在∠AOB的平分线上． 这节课我们就来探究这个问题.出示课题并板书课题.
1.集体回答：角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 ２．看图说出数学语言：
∵
OC平分∠AOB，点P在OC上，且PD⊥OA，
PE⊥OB， ∴
PD
=
PE ３．讨论，证明． 图（１）
合作探究，解决问题
1．如上右图（１），点P是否在∠AOB的平分线上呢？首先我们要作出辅助线，怎么做呢？怎样证明呢？教师巡视，引导证明．通过证明，你得到什么结论？这就是角的平分线的性质定理的逆定理，也叫做角的平分线的判定定理．这个定理用数学语言如何表示呢？２．角的平分线的性质定理与判定定理有什么区别呢？出示课件加以说明．老师点拨．３．随堂练习．填空：如右图（２）(1)∵∠1=
∠2,DC⊥AC,
DE⊥AB
∴___________(__________________________)(２)∵DC⊥AC,DE⊥AB
,DC=DE∴__________(______________________________)４．解决问题：（课本第49页思考题）如下图（3），要在S区建一个贸易市场，
( http: / / www.21cnjy.com )使它到铁路和公路距离相等，
离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）
图（3）5.教学例1：已知：如右图（5）,在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。求证：AD是∠BAC的角平分线分析：AD是∠BAC的平分线DE＝DF
△BDE≌△CDF学生如有困难，板书解题过程.6.教学例题2.如下图（6），△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
图（6）点拨：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，
PF⊥AC于F想一想：点P也在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
1．前后桌同学讨论．并试着给出证明．证明:
经过点P作射线OC.∵
PD⊥OA，PE⊥OB，∴
∠PDO＝∠PEO＝90°.
在Rt△PDO和Rt△PEO中
PO＝PO，
PD=PE，
∴
Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）∴
∠
POD＝∠POE，∴点P在∠AOB的平分线上.即：OC平分∠AOB结论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。∵
PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE．∴OP平分∠AOB．即点P在∠AOB的平分线上.２．通过老师的点拨，得出：它们的题设与结论
( http: / / www.21cnjy.com )刚好相反，是一对互逆定理，它们在应用上也不相同，角的平分线的性质可用来证明线段相等；而角的平分线的判定定理是用来判定角的平分线． ３．看图回答问题． 图（２）４．动手试一试，解决问题.解：如下图（4），作夹角的角平分线OC，截取
OD=2.5cm
,D即为所求。图（4）
图（5）5.按照老师的分析写出解题步骤.（步骤略）6.根据老师的提示思考并尝试证明.证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，
PF⊥AC于F∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上（已知）∴PD=PE.（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理
PE=PF.∴
PD=PE=PF.即点P到边AB、BC、CA的距离相等.思考并回答：点P也在∠A的平分线上，角形三条角平分线相交于一点．
课堂练习，巩固提升
1.练习.（课本P50页练习第2题.）如右图（7），△ABC的∠B的外角平分线BD与∠C的外角平分线CE相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等2.已知：如右图（8），BE⊥AC于E，
CF⊥AB于F，BE、CF相交于D，
BD=CD
.求证：
AD平分∠BAC
.
图（9）3、变式：已知：如上图（9）,在△ABC中，
BD＝CD,
∠1=
∠2.求证：AD平分∠BAC.巡视，对有困难的学生给予帮助.待学生做完后讲评.
1.同桌讨论并解题.（解题步骤略）
图（7）
图（8）
2与3学生画出草图，自己解题.个别学生上台板演.
课 堂 小 结
1．这节课你有什么收获和体会？
2．这节课我们学习了哪些知识要点？３．怎样用数学语言表达角的平分线的判定定理？４．你还有哪些困惑？释疑.
自主回答，畅所欲言.提出疑问，当堂解决.
布置作业
1.课本第51页习题12.3第3、6、7题.2.选用作业设计.
板书设计
12.3角的平分线的性质（第二课时）角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。（如下图）∵
PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE．
∴OP平分∠AOB．即点P在∠AOB的平分线上∴PD=PE（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。）
例1：
例2：
练习讲评：
作业设计
１．如下图，已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.2、如下图，要在S
区建一个广告牌P，使它到两
条公路和一条铁路的距离都相等．这个广告牌P
应建在
何处？
第１题图 第２题图3、如图所示，BF与CE相交
( http: / / www.21cnjy.com )于D，BD=CD，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E。求证：点D在∠BAC的角平分线上。
第３题图 第４题图4、已知PA=PB，
∠1+
∠2=1800，
求证：OP平分∠AOB
5、如下图，△ABC中，点O是
( http: / / www.21cnjy.com )∠BAC与∠ABC的平分线的交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E．已知△ABC的周长为15，BC的长为6，求△ADE的周长.
第5题图
教学反思
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