2025-2026上学年人教初中九年级上册数学期末冲刺卷（范围第21-27章，含解析）

2025-2026上学年人教初中九年级数学期末冲刺卷（范围第21-27章，带解析）
（时间：100分钟，总分：120分）
一、单选题(共10题；共30分)
1．（3分）（2023九上·北京市月考）用配方法解方程x2＋4x＋1＝0，下列变形正确的是（　　）
A．（x＋2）2＝3 B．（x＋2）2＝5
C．（x＋2）2＝－3 D．（x＋2）2＝－5
2．（3分）（2024九上·宁波期中）如图，已知的半径为3，平面内有一点到圆心的距离为4，则该点可能是（　　）
A．点 B．点 C．点 D．点
3．（3分）（2023九上·龙泉期中）如图，已知A，B均为⊙O上一点，若∠AOB＝80°，则∠ACB＝（　　）
A．40° B．80° C．60° D．70°
（第2题） （第3题） （第4题）
4．（3分）（2024·清城模拟）如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠BOD＝82°，则∠ABC的度数为（　　）
A．41° B．55° C．66° D．88°
5．（3分）把三角形ABC绕点C顺时针方向旋转20°后B落在B'位置，A落在A'位置，且A'B'//BC，已知∠A=60°，则∠B'CA=（　　）
A．80° B．60° C．40° D．20°
6．（3分）（2024·福田一模）如图，点A，B，C在半径为3的⊙O上，，则的长为（　　）
A．3 B． C．π D．
7．（3分）（2024九下·麻城期中） 如图PA、PB是圆O的切线，切点分别为A、B，点C在AB上，过C作圆O的切线分别交PA、PB于点D、E，连接OD、OE，若∠P=50°，则∠DOE的度数为（　　）
A．130° B．50° C．60° D．65°
8．（3分）（2024九上·南沙期末）如图，正六边形螺帽的边长为2，则这个螺帽的面积是（　　）
B．6 C． D．
（第5题） （第6题） （第7题）
9．（3分）如图， 等腰直角三角形 中， ， 将 绕点 顺时针旋转 ， 得到 ， 连接 ，过点 作 交 的延长线于点 ， 连接 ， 则 的度数(　　)
A．随着 的增大而增大
B．随着 的增大而减小
C．不变
D．随着 的增大，先增大后减小
（第8题） （第9题） （第10题）
10．（3分）（2024九下·郧西期中）抛物线的图象如图所示，对称轴为直线. 下列说法：①；②； ③（为全体实数）；④若图象上存在点，，当时，满足，则m的取值范围为，其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(共5题；共15分)
11．（3分）（2025·内蒙古自治区）在单词（班级）中随机选择一个字母，则选中字母“”的概率是　 　．
12．（3分）（2023九上·通榆月考）点P(-3，2)关于原点对称的点的坐标是　 　
13．（3分）（2023九上·宁阳期中）如图，在直线l：y＝x﹣4上方的双曲线y＝（x＞0）上有一个动点P，过点P作x轴的垂线，交直线l于点Q，连接OP，OQ，则△POQ面积的最大值是 　 　．
14．（3分）（2024·鄞州模拟）如图，点，在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，连接，，且轴，轴，．若点的横坐标为2，则的值为　 　．
（第13题） （第14题） （第15题）
15．（3分）（2023·岱岳模拟）如图，抛物线与x轴正半轴交于两点，y轴负半轴交于点C.若点，则下列结论中： ；；与是抛物线上两点，若，则；若抛物线的对称轴是直线，m为任意实数，则；若则其中正确结论的个数共有　 　个.
三、解答题(共8题；共75分)
16．（10分）选择适当的方法解下列方程：
（1）（5分）． （2）（5分）．
17．（9分）（2023九上·南宁期中）如图，在平面直角坐标系中的三个顶点的坐标分别为．
（1）（4分）把向下平移6个单位后得到对应的，画出；
（2）（5分）画出与关于原点中心对称的．
18．（9分）（2024·南昌模拟）如图，在三角形ABD中，AD＝BD，∠ADB＝90°，AB//DC，点E是AD上一点，作∠BEC＝45°，CE交DB于点F．
（1）（3分）求证：△FBE~△FCD；
（2）（3分）求证：∠ABE＝∠DBC；
（3）（3分）已知AB＝6，ED＝2AE，求S△BDC．
19．（9分）由于生猪的供不应求，近期猪肉价格居高不下，云腿猪肉店以每千克元的成本购进猪肉销售，然后以每千克元的价格售出，每天可售出千克．在此基础上，若每千克猪肉降价元，则每天可多售出千克，为保证每天至少售出千克，云腿猪肉店决定降价销售．
（1）（4分）为了使每天的猪肉利润为元，每千克猪肉的售价应降至多少元？
（2）（5分）当每千克猪肉售价降至多少元时，每天的猪肉的利润最大，最大为多少元？
20．（9分）（2024九上·台州期中）已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，．
（1）（4分）求证：直线是的切线；
（2）（5分）若，垂足为M，的半径为2，求的长．
21．（9分）（2024九上·郴州期末）2024年7月，受台风影响，我市某地遭受特大暴雨，受灾严重．我市迅速启动救援，拟建一批临时安置房．如图所示，现有一面长为米的墙，欲利用该墙搭建一间矩形临时安置房．已知目前有可搭建总长为米围墙的建筑材料（损耗忽略不计）．设边长为x米．
（1）（4分）用含x的代数式表示的长；
（2）（5分）矩形安置房总占地面积可能为平方米吗？请说明理由．
22．（10分）【主题】优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率
【问题背景】如图1，洒水车沿着平行于公路绿化带方向行驶，同时向右侧绿化带浇水.数学兴趣小组的同学想了解洒水车要如何控制行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带，为解决这个问题，数学兴趣小组同学通过建立数学模型进行探索。
【数学建模】如图2，建立平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；喷水口离地竖直高度OH为1.5m，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度，竖直高度表示洒水车和绿化带之间的距离.内边缘拋物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边缘拋物线最高点离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m.
【解决问题】
（1）（4分）求外边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
（2）（4分）请求出内边缘拋物线与轴的正半轴交点的坐标；
（3）（2分）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出OD的取值范围.
23．（10分）阅读理解：我们一起来探究代数式5的值．
（1）（2分）探究一：当时，的值为　 　；当时，的值为　 　，可见，代数式的值因的取值不同而变化．
（2）（2分）探究二：把代数式进行变形，如：，可以看出代数式的最小值为　 　，这时相应的　 　
（3）（3分）根据上述探究，请解答：
求代数式的最大值，并写出相应的值．
（4）（3分）把(3)中代数式记为，代数式记为，是否存在的值，使得与的值相等？若能，请求出此时的值，若不能，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解： x2＋4x＋1＝0，
移项，得 x2＋4x=-1，
配方，得x2＋4x＋4＝3，
写成标准形式，得（x+2)2=3。
故答案为：A.
【分析】配方法的一般步骤是：移常数项到方程的一边，化二次项系数为1，两边同时加上一次项系数一半的平方，再写成标准的形式。
2．【答案】D
【解析】【解答】解：平面内有一点到圆心的距离为4，．
该点在圆外，
点符合要求．
故选：D．
【分析】根据d>r，可判定出点在圆外，即可解题．
3．【答案】A
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：A.
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠ACB=∠AOB，从而代入据此即可求解.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：∵
∴
∵
∴
故答案为：A.
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，据此求出∠BCD的度数，最后根据平行线的性质即可求解.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：绕着点按顺时针方向旋转到的位置，
，，
，
，
，
，
故答案为：A
【分析】旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，根据旋转的性质及平行线的性质求解即可．
6．【答案】C
【解析】【解答】解：∵
∴
∴的长为：
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理求出∠AOB的度数，最后根据弧长计算公式计算即可.
7．【答案】D
【解析】【解答】解：如下图，
连OA、OB、OC，
∵PB切⊙O于B，PA切⊙O于A，
∴OB⊥PB，OA⊥PA，
又∠P=50°，
∴∠AOB=130°，
∵DB切⊙O于B，DE切⊙O于C，
∴DB=DC且OC⊥DC，
∴OD平分∠BOC，即，
同理得∠EOC=∠AOC，
∴∠DOE=∠DOC+∠EOC
=65°．
故答案为：D.
【分析】连接OA、OB、OC，由切线性质得OB⊥PB、OA⊥PA，从而求得∠AOB的度数，再由切线长定理得到DB=DC，从而证得OD平分∠BOC，同理得OE平分∠AOC，最后由∠DOE=∠AOB得到∠DOE的度数．
8．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接正六边形的中心O和两个顶点D，E得到△ODE
∵
∵OD=OE
∴△ODE为等边三角形
∴OD=OE=DE=2
∴
∴ 这个螺帽的面积是
故答案为：C
【分析】连接正六边形的中心O和两个顶点D，E得到△ODE，根据等边三角形判定定理可得△ODE为等边三角形，则OD=OE=DE=2，再根据三角形面积即可求出答案.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：∵将BC绕点B顺时针旋转θ(0°<θ<90°)， 得到BP，
∴BC= BP = BA，
∴∠BCP =∠BPC， ∠BPA=∠BAP，
∵∠CBP+∠BCP+∠BPC =180°，
∠ABP+∠BAP+∠BPA=180°，
∠ABP+∠CBP=90°，
∴∠BPC+∠BPA=135°=∠CPA，
∵∠CPA=∠AHC+∠PAH =135°，
∴∠PAH =135°-90°=45°，
∴∠PAH的度数是定值，
故答案为： C.
【分析】由旋转的性质可得BC=BP=BA， 由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠BPC+∠BPA=135°=∠CPA， 由外角的性质可求∠PAH=135°-90°=45°， 即可求解.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：①∵图象开口向下，
∴a<0；
又∵对称轴为直线x=-2，
∴，
∴b=4a，
∴b＜0；
由图象可知，当x=4时，y<0，
又∵对称轴为直线x=-2，
∴当x=0时，y< 0，即c<0，
∴abc<0，故①正确；
②由①得b=4a， 代入原解析式得y=ax2+4ax+c；
由图象可知，当x=-1时，y>0，即a(-1)2+4a(-1)+c>0，
整理得c＞3a，故②错误；
③设4a2-2ab≥at (at +b) ，
则4a-2b≤at2-bt，
两边加c得到4a-2b+c≤at2-bt+C，
左侧为x=-2时的函数值，右侧为x=t时的函数值，显然不成立，故③错误；
④由题意得，x1、x2是一元二次方程ax2+bx +c -y1=0的两个根，
从图象上看，因二次函数有对称性，x1、x2关于x =-2对称，
∴当且仅当m<-2即当-5综上，正确的有①④，共两个.
故本题选：B.
【分析】根据图象的开口向下判断a＜0，根据对称轴直线判断a、b同号，得b＜0，根据抛物线与y轴交点位置判断c的符号，再判断abc的符号，从而即可判断①；由对称轴为直线x=-2，可知a与b的数量关系，消去b可得仅含a、c的解析式，找特定点可判断c 与3a的大小，从而即可判断②；用a与b的数量关系，可将原式化简得到关于t的不等式，再用函数的性质(为全体实数)判断③； 利用二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系即可判断④.
11．【答案】
【解析】【解答】解：总共5个字母，选中S的机会有2个，
所有选中字母“”的概率是
故答案为：.
【分析】根据概率计算公式，即可得出答案。
12．【答案】(3，-2)
【解析】【解答】 解：点P(-3，2)关于原点对称的点的坐标是(3，-2).
故答案为：(3，-2).
【分析】根据关于原点对称的两点的坐标特征即可求解.
13．【答案】3
【解析】【解答】解：设，则，
线段，
，
，二次函数开口向下，有最大值，
当时，有最大值，最大值：3．
故答案为：3．
【分析】设，则，将三角形面积用代数式形式表达出来，再根据二次函数最值解得出来即可．
14．【答案】36
【解析】【解答】解：的横坐标为2，且在的图像上，
轴，
在的图像上，
（不合题意舍去），
故答案为：
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出点A的坐标，进而得到点C的坐标和BC的长度，则最后将B的坐标代入即可求出ｋ的值．
15．【答案】4
【解析】【解答】解：由抛物线图象可知，抛物线开口向下，与轴交于负半轴，对称轴在轴右侧，
，
，
，故正确；
抛物线与x轴正半轴交于两点，点，
对称轴在直线右侧，
即，
，
，
，故正确；
与是抛物线上两点，由图象可得抛物线在上，y随x的增大而增大，在上， 随的增大而减小，
不一定成立，故错误；
若抛物线的对称轴是直线，
，即，
，
，故正确；
由得，，
当时，，
当时，，
，
，
整理得，
，
，，
，故正确；
综上所述，正确的有4个，
故答案为：4.
【分析】由抛物线开口向下，与轴交于负半轴，对称轴在轴右侧，可得a＜0，b＞0，c＜0，据此判断①；由于抛物线与x轴正半轴交于两点，点，可得对称轴x=，即得，由于a＜0可得，据此判断②；由图象可得抛物线在上，y随x的增大而增大，故③不一定正确；由抛物线对称轴x==3，可得，从而求出，据此判断④即可；
由得，，而当时，①，当时，，即得，将其代入①可得，从而得出，利用c的符号即可判断⑤.
16．【答案】（1）解：x2-2x+1=99+1，
（x-1）2=100，
x-1=±10，
x=±10+1，
∴x1=10+1=11，x2=-10+1=-9.
（2）解：（2x-1）(2x-1+3)=0，
2x-1=0，或2x-1+3=0，
∴x1=，x2=-1.
【解析】【分析】（1）用配方法计算，在方程两边同时加上1，左边配成完全平方式，再两边开平方，然后写出结论即可；
（2）观察原方程，提公因式（2x-1）可将原方程化为两个一元一次方程，解之可求解.
17．【答案】（1）解：如图1，即为所求；
（2）解：如图1，即为所求．
【解析】【分析】（1）根据平移的性质作图即可；
（2）根据中心对称的性质作图即可．
（1）解：如图1，即为所求；
（2）解：如图1，即为所求．
18．【答案】（1）证明：∵BD＝AD，∠BDA＝90°，
∴∠ABD＝∠BAD＝45°
∵DC∥AB，
∴∠ABD＝∠BDC＝45°，
∵∠BEC＝45°，
∴∠BEC＝∠BDC．
∵∠BFE＝∠CFD，
∴△FBE∽△FCD．
（2）证明：∵△FEB∽△FDC，
∴
∵∠DFE＝∠CFB，
∴△FED∽△FBC．
∴∠CED＝∠DBC．
∵∠DEB＝∠CED＋∠CEB＝∠A＋∠ABE，∠CEB＝45°＝∠A，
∴∠CED＝∠ABE．
∴∠ABE＝∠DBC．
（3）解：∵AD＝BD，AD⊥DB，AB＝6，
∴AD＝．
∵ED＝2AE，
∴AE＝．
∴点E到AB的距离为1
∴．
∵∠ABE＝∠DBC；∠BDC＝45°＝∠A，
∴△BAE∽△BDC．
，即．
．
【解析】【分析】（1）先根据等腰直角三角形得到∠ABD＝∠BAD＝45°，再根据平行线的性质得到∠ABD＝∠BDC＝45°，从而即可得到∠BEC＝∠BDC，再根据相似三角形的判定即可求解；
（2）根据相似三角形的性质得到，再结合题意证明△FED∽△FBC，从而得到∠CED＝∠DBC，再进行角的运算即可求解；
（3）先根据勾股定理求出AD，进而根据直角三角形斜边上的中线的性质得到AE，再结合三角形的面积得到，从而运用相似三角形的判定与性质证明△BAE∽△BDC得到，代入数值即可求解。
19．【答案】（1）解：设每千克猪肉的售价应降至元，
则每千克的销售利润为元，每天的销售量为千克，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
由当时，，满足题意；
当时，，不合题意，舍去．
答：每千克猪肉的售价应降至元.
（2）解：设每千克猪肉的售价应降至元，每天的猪肉的利润为元，
则每千克的销售利润为元，每天的销售量为千克，
则，
由，
解得：，
因为，
所以当时，取最大值，
答：当每千克猪肉售价降至元时，每天的猪肉的利润最大，最大为元．
【解析】【分析】（1）设每千克猪肉的售价应降至元，利用“ 每天的猪肉利润为元 ”列出方程，再求解即可；
（2）设每千克猪肉的售价应降至元，每天的猪肉的利润为元，利用“总利润=每件的利润×数量”列出函数解析式，再利用二次函数的性质分析求解即可.
（1）解：设每千克猪肉的售价应降至元，
则每千克的销售利润为元，每天的销售量为千克，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
由当时，，满足题意；
当时，，不合题意，舍去．
答：每千克猪肉的售价应降至元；
（2）解：设每千克猪肉的售价应降至元，每天的猪肉的利润为元，
则每千克的销售利润为元，每天的销售量为千克，
则，
由，
解得：，
因为，
所以当时，取最大值，
答：当每千克猪肉售价降至元时，每天的猪肉的利润最大，最大为元．
20．【答案】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴．
∵所对的圆周角是，圆心角是，
∴，
∴，
∴．
∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：∵是的直径，，垂足为M，的半径是2，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
根据勾股定理得，
∴．
【解析】【分析】（1），连接，根据同弧所对的圆周角相等得，再根据等边对等角得，然后根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍得，最后根据三角形内角和定理求出∠OAD=90°，从而根据垂直半径外端点的直线就是圆的切线可得结论；
（2），先根据垂直弦的直径平分弦得出AE=2AM，再根据含30°角直角三角形的性质得=1，然后根据勾股定理得，即可得出答案．
（1）连接，
∵，
∴，
∵，
∴．
∵所对的圆周角是，圆心角是，
∴，
∴，
∴．
∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）∵是的直径，，垂足为M，的半径是2，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
根据勾股定理得，
∴．
21．【答案】（1）解：∵可建围墙的总长为米，且边长为米，
∴边长为：米；
（2）解： 根据题意得：，
整理得：，
解得：，
当时，，符合题意．
答：矩形安置房总占地面积能为288平方米此时，的长为米．
【解析】【分析】（1）根据BC边长围墙的总长边长，列代数式即可；
（2）利用矩形的面积公式得到关于的一元二次方程，求出x值并检验解题即可．
（1）解：∵可建围墙的总长为米，且边长为米，
∴边长为：米；
（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：，
当时，，符合题意．
答：矩形安置房总占地面积能为288平方米此时，的长为米．
22．【答案】（1）解：由题意得 点A（2，2）是外边缘抛物线的顶点，
设外边缘抛物线的函数解析式=
点H（0，1.5）在抛物线上
1.5=4a+2
a=
=
当y=0时，0=
解之得 （不合题意，舍去）
喷出水的最大射程OC为6m。
（2）解：由y1左右平移得到
设内边缘拋物线的解析式为=
点H（0，1.5）在抛物线上
1.5=
解之得 （不合题意，舍去）
=
当y=0时，0=
解之得 （不合题意，舍去）
点B的坐标为（2，0）
（3）解： 要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带 ，则点D与点B重合或点F在y1上
当点D与点B重合时，OD=OB=2
当点F在y1上时，0.5=，
解之得 （不合题意，舍去）
DE=3m
OD=
OD的取值范围为。
【解析】【分析】（1）先求y1的顶点坐标，设外边缘抛物线的函数解析式=，再求出点H的坐标，代入抛物线的解析式，进而求出的函数解析式 ，令y=0即可求出喷出水的最大射程OC ；
（2）由y1左右平移得到，设内边缘拋物线的解析式为=，再求出点H的坐标，代入抛物线的解析式，进而求出的函数解析式 ，令y=0即可求出点B的坐标；
（3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带 ，则点D与点B重合或点F在y1上，分别求得OD的长，可得OD的取值范围。
23．【答案】（1）8；13
（2）4；-1
（3）解：，
当时，代数式有最大值33．
（4）解：，
当时，，
【解析】【解答】解：（1）探究一：
当时，．
当时，．
故答案为：8，13．
（2）探究二：
．
是非负数，
代数式的最小值是4，此时．
故答案为：．
【分析】（1）将x的值直接带入求值即可；
（2）根据偶次方的非负性解题即可；
（3）利用配方法将 代数式配方后即可求解；
（4）根据AB相等可得两代数式相减为0，配方后可得即可求出x，y的值，进而求出的值.
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