初中数学人教版九年级上册21.2.1 配方法解一元二次方程 课件(共20张PPT)

(共20张PPT)
公开课 · 数学专题
配方法解一元二次方程
方程的"变形秘籍"
主讲人：XXX老师
2025年12月
让我们一起探索配方法的奥秘
课程目标与热身
明确学习目标，通过热身题激活已有知识
本节课你将掌握

理解
配方法的基本思想与原理

掌握
配方法解一元二次方程的步骤

应用
用配方法解决实际问题

拓展
体会配方法的数学美感
热身挑战
你能直接开平方吗？
①
x = 9 → x =
②
(x-1) = 4 → x =
③
x + 6x + 9 = 16
能化成(x+ ) = 吗？
互动： 举手回答，看看谁最快！
从实际问题引入
通过生活情境理解配方法的实际意义
围栏问题
农场主用24米长的篱笆围一个矩形菜地，要使菜地面积为35平方米，长和宽各是多少？
解： 设宽为x米，则长为(12-x)米
方程：x(12-x) = 35
方程变形过程
1
x(12-x) = 35
2
12x - x = 35
3
-x + 12x - 35 = 0
4
x - 12x + 35 = 0
思考
这个方程怎么解？我们学过的直接开平方法能用吗？
矩形示意图
宽 = x
长 = 12-x
面积 = 35㎡
关键： 周长24m → 长+宽=12m
学习要点
从实际问题抽象出数学模型
体会配方法的必要性
为后续学习做好铺垫
回顾完全平方公式
逆向思维是配方法的关键
完全平方公式
(a + b) = a + 2ab + b
(a - b) = a - 2ab + b
逆向思维（配方关键）
① x + 2bx + b = (x + b)
常数项 = 一次项系数一半的平方
② x - 2bx + b = (x - b)
常数项 = 一次项系数一半的平方
填空游戏
1
基础题
x + 6x + 9 = (x + 3)
2
进阶题
x - 10x + 25 = (x - 5)
3
拓展题
x + 8x = x + 8x + 16 - 16
小组竞赛： 每组完成3道题，看哪组又快又准！
配方法的原理探究
理解配方的本质，掌握变形的关键
核心思想
配方
将一般式 ax + bx + c = 0
化为 (x + m) = n 的形式
为什么叫"配方法"？
就像做菜时缺少某种调料，我们配上合适的"调料"（常数项），使左边成为完全平方式
化繁为简 · 变未知为已知
可视化理解
例子：x + 6x + 7 = 0
① x + 6x 缺少一个"正方形角"
② 需要"+9"来补全：(x+3)
③ 但加了9就要减9
配方过程
x + 6x + 7 = 0
x + 6x + 9 - 9 + 7 = 0
(x + 3) - 2 = 0
配方成功
左边是完全平方，右边是常数
几何意义
x + 6x 缺少右下角的正方形
关键要点
一次项系数的一半决定配方数
加了多少就要减多少
保持等式平衡是关键
配方法步骤详解（a=1）
掌握五步配方法，轻松解一元二次方程
五步配方法
以 x + 6x + 7 = 0 为例
1
移常数
x + 6x = -7
2
配一半
一次项系数一半的平方 (6/2) = 9
3
加两边
x + 6x + 9 = -7 + 9
4
写平方
(x + 3) = 2
5
开平方
x + 3 = ±√2 → x = -3 ± √2
口诀记忆
一移二配三相加
写成平方等号挂
开方解得x值来
一移： 移常数项到右边
二配： 计算一次项系数一半的平方
三相加： 两边同时加上配方数
四写平方： 左边写成完全平方形式
五开方： 两边开平方求解
关键要点
配方数计算
一次项系数一半的平方
等式平衡
两边同时加相同的数
开方别忘±
平方根有两个，一正一负
例题1 · 基础配方
通过具体例题巩固配方法的基本步骤
例题
x - 8x + 15 = 0
逐步解析
1.
移项： x - 8x = -15
2.
配方： (-8/2) = 16
3.
加两边： x - 8x + 16 = -15 + 16
4.
写平方：
(x - 4) = 1
5.
开方： x - 4 = ±1
6.
解得：
x = 5, x = 3
解题要点
配方数：(一次项系数/2)
两边同时加配方数
开平方别忘了±
求出两个解
检验
x = 5 时：
5 - 8×5 + 15 = 25 - 40 + 15 = 0
x = 3 时：
3 - 8×3 + 15 = 9 - 24 + 15 = 0
思考
如果右边等于负数，方程还有实数解吗？
互动活动 · 配方接力赛
团队合作，体验配方法的完整流程
游戏规则
每组4人，每人完成配方法的一步
1号：移常数项
将常数项移到等号右边
2号：计算配方数
求一次项系数一半的平方
3号：写完全平方
将左边写成完全平方形式
4号：解出方程
两边开平方，求出x的值
胜利条件： 最快且正确的小组获胜！
挑战题目
1
x + 10x + 24 = 0
2
x - 6x - 7 = 0
计时开始！
最快且正确的小组获胜！
每组派代表举手示意完成
进阶挑战（a≠1）
掌握二次项系数不为1时的配方技巧
问题
2x + 8x - 10 = 0
二次项系数不为1，怎么解？
关键技巧
先把二次项系数化为1！
完整步骤
1.
两边除以2： x + 4x - 5 = 0
2.
移项： x + 4x = 5
3.
配方： (4/2) = 4
4.
加两边： x + 4x + 4 = 5 + 4
5.
写平方：
(x + 2) = 9
6.
开方： x + 2 = ±3
7.
解得：
x = 1, x = -5
规律总结
当 a≠1 时，先化a为1！
两边同除以a，使二次项系数变为1，然后按a=1的情况处理。
解题要点
首先观察二次项系数是否为1
不为1时，两边同除以该系数
化为a=1的标准形式后再配方
后续步骤与a=1时完全一致
注意
系数化为1时，每一项都要除以系数！
例题2 · 系数不为1
巩固a≠1时的配方法解题技巧
例题
3x - 12x + 9 = 0
二次项系数不为1的典型例题
完整解析
1.
化1： 两边除以3 → x - 4x + 3 = 0
2.
移项： x - 4x = -3
3.
配方： (-4/2) = 4
4.
加两边： x - 4x + 4 = -3 + 4
5.
写平方：
(x - 2) = 1
6.
开方： x - 2 = ±1
7.
解得：
x = 3, x = 1
检验
x = 3 时：
3×3 - 12×3 + 9 = 27 - 36 + 9 = 0
x = 1 时：
3×1 - 12×1 + 9 = 3 - 12 + 9 = 0
方法总结
步骤1：化1
两边同除以二次项系数
步骤2-5：配方
按a=1的情况处理
步骤6-7：求解
开平方，写出两个解
配方法的妙用 · 求最值
配方法不仅可解方程，还能求代数式的最值
问题
求代数式 x - 6x + 10 的最小值
用配方法分析
原式： x - 6x + 10
= x - 6x + 9 - 9 + 10
= (x - 3) + 1
推理过程
配方结果：
(x - 3) + 1
关键性质：
∵ (x - 3) ≥ 0
∴ (x - 3) + 1 ≥ 1
取等条件：
当 x - 3 = 0，即 x = 3 时
(x - 3) + 1 = 1
结论与应用
当 x = 3 时，原式有最小值1
实际应用： 最大利润、最短距离、最优方案等问题
易错点诊断室
识别常见错误，提高解题准确率
常见错误分析
忘记化1
错误： 2x +4x=1 直接配方
正解： 先两边除以2，化为x +2x=0.5
配方数算错
错误： x +5x，配方数算成25
正解： (5/2) = 6.25
符号错误
错误： x -3x配方用(3/2)
正解： 应用(-3/2) = 2.25
只写一个解
错误： 开平方后忘记±符号
正解： 记得写±，求出两个解
改错练习
题目：解 x + 5x + 6 = 0
某同学解法：
x + 5x = -6
x + 5x + 25 = -6 + 25
(x + 5) = 19
x = -5 ± √19
讨论：
错在哪里？怎么改？
正确答案
错误分析： 配方数算错
x +5x的配方数应为(5/2) =6.25，不是25
正确解法：
x + 5x + 6.25 = -6 + 6.25
(x + 2.5) = 0.25
x + 2.5 = ±0.5
x = -2, x = -3
分层练习 · 巩固提升
自主选择，满足不同学习需求
A
基础巩固
1.
x + 4x - 5 = 0
2.
x - 2x - 8 = 0
必做题
B
能力提升
1.
2x + 12x + 10 = 0
2.
-x + 4x - 3 = 0
★ 鼓励挑战
C
拓展挑战
1.
x + px + q = 0
用p,q表示解
2.
证明：x + 2x + 2 > 0
用配方法证明恒成立
拓展思维
自主选择： 至少完成A组，鼓励挑战B、C组！
练习答案解析
详细答案与解析，帮助你检查学习成果
A
A组答案
1. x + 4x - 5 = 0
解：x + 4x = 5
x + 4x + 4 = 9
(x + 2) = 9
x + 2 = ±3
x = 1, x = -5
2. x - 2x - 8 = 0
解：x - 2x = 8
x - 2x + 1 = 9
(x - 1) = 9
x - 1 = ±3
x = 4, x = -2
B
B组答案
1. 2x + 12x + 10 = 0
解：÷2得 x + 6x + 5 = 0
x + 6x = -5
x + 6x + 9 = 4
(x + 3) = 4
x = -1, x = -5
2. -x + 4x - 3 = 0
解：×(-1)得 x - 4x + 3 = 0
x - 4x = -3
x - 4x + 4 = 1
(x - 2) = 1
x = 3, x = 1
提示： 检验是解题的重要步骤，建议将解代入原方程验证
配方法的历史与文化
了解配方法的渊源，体会数学的文化底蕴
历史渊源
古埃及
已有类似配方法的几何解法，通过图形拼接求解
古希腊
欧几里得《几何原本》中的几何配方，用几何方法证明
阿拉伯
花拉子米在《代数学》中系统阐述，奠定代数基础
中国
《九章算术》中的"开方术"包含配方思想，源远流长
数学美
化归思想
配方法体现了化归思想——将复杂问题转化为简单问题，将未知转化为已知
美学价值
形式的统一性
思路的清晰性
方法的普适性
名言欣赏
"数学是模式的科学，
配方法是模式的转换器"
—— 数学教育家
配方法与二次函数
建立配方法与二次函数的重要联系
重要联系
二次函数一般式
y = ax + bx + c
通过配方
y = a(x - h) + k
顶点坐标
(h, k)
几何意义
配方过程对应着抛物线图形的平移变换
y = ax
标准抛物线
y = a(x-h)
水平平移h单位
y = a(x-h) +k
垂直平移k单位
顶点：(h,k)
抛物线最值点
提前感知
这是我们后续学习二次函数的基础！通过配方可以轻松找到抛物线的顶点坐标，判断函数的最值。
实际应用探究
用配方法解决生活中的实际问题
设计问题
要设计一个面积为48m 的矩形花园，一边靠墙，另外三边用篱笆围成，篱笆总长28m。求花园的长和宽。
面积
48m
篱笆总长
28m
靠墙
1边
建模过程
设宽为x，则长为(28-2x)
方程： x(28-2x) = 48
整理： -2x + 28x = 48
化1： x - 14x = -24
配方： x - 14x + 49 = 25
写平方： (x - 7) = 25
花园示意图
宽 = x
长 = 28-2x
墙
小组讨论
① 如何建立方程？
② 如何求解？
③ 解的合理性？
课堂小结 · 思维导图
系统梳理配方法的知识体系
配方法知识体系
原理
完全平方公式
(a±b) = a ±2ab+b
公式逆用
x ±2bx+b = (x±b)
步骤
1. 移常数项
2. 计算配方数
3. 两边同加
4. 写完全平方
5. 开平方求解
应用
解方程
求最值
二次函数
实际问题
核心收获
1
通用方法
配方法是解一元二次方程的通用方法
2
关键步骤
化1→配方→开方，环环相扣
3
数学思想
体现了重要的化归思想
配方法
课后思考与作业
巩固所学，拓展思维，学以致用
思考题
1
配方法的普适性
配方法一定能解所有一元二次方程吗？
2
特殊情况探究
对于x + 2x + 5 = 0，配方后得到什么？这说明了什么？
必做题
用配方法解方程：
① x - 8x + 7 = 0
② 3x + 6x - 9 = 0
要求：写出完整的解题步骤
选做题
探究：
为什么判别式b -4ac能判断方程根的情况？（提示：从配方法入手）
实践题
实践：
找一个生活中的二次问题，尝试用配方法解决
配方法 · 解锁二次方程
化繁为简 · 变未知为已知
下节预告：
公式法——配方法的"结晶"
感谢聆听！欢迎提问！
配方法 —— 数学中的"变形秘籍"