第1章 《四边形》基础卷——湘教版数学八（下）单元分层测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024八下·青山期中）垃圾分类一小步，低碳生活一大步，垃圾桶上常有以下四种垃圾分类标识的图案和文字说明，其中图案是中心对称图形的是( )
A．有害垃圾 B．厨余垃圾
C．其它垃圾 D．可回收物
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【分析】把一个图形绕某一点旋转后与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2．对角线互相垂直平分且相等的四边形是 ( )
A．一般的平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、一般的平行四边形，其对角线仅互相平分，不满足 “垂直且相等” 的条件，A不符合题意；
B、矩形，其对角线互相平分且相等，但不满足 “垂直” 的条件，B不符合题意；
C、菱形，其对角线互相平分且垂直，但不满足 “相等” 的条件，C不符合题意；
D、正方形，其对角线同时具备互相垂直、平分且相等的性质，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】四边形的对角线性质：平行四边形对角线互相平分，矩形对角线互相平分且相等，菱形对角线互相平分且垂直，正方形对角线同时满足互相垂直、平分、相等.
3．（2025八上·台州期末）椒江章安剪纸是台州市非物质文化遗产代表性项目．如图是小明的窗花剪纸，外形为正八边形，则它的内角和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形是正八边形，
∴n=8，
∴．
故答案选：B．
【分析】根据多边形内角和公式：(n-2)×180°，代入数据计算即可.
4．（2024八下·桂阳期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠ACB=30°，
∴∠AOB=∠OBC+∠ACB=30°+30°=60°．
故选B
【分析】
由于矩形的对角线互相平分且相等，则OB等于OC，则等于等于30度，则由三角形外角的性质可得是60度 ．
5．（2025八下·诸暨期末）已知一个平行四边形的对角线长度为6和8，那么这个平行四边形的边长长度取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：作平行四边形如图所示：
由题意可得：AC=8，BD=6，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO=4，BO=DO=3，
∴，
∴；
故答案为：D．
【分析】作平行四边形ABCD，可得AC=8，BD=6，利用平行四边形对角线互相平分的性质可得AO=4，BO=3，再结合三角形三边关系求解即可．
6．（2025八下·射洪期末）在四边形中， ，要使四边形是平行四边形，则还应满足（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图
A、由不能证明，故A不符合题意；
B、∵
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，故B符合题意；
C、∵
∴ AD∥BC，
又∵，无法证明四边形是平行四边形．故C不符合题意．
D、由不能证明，故D不符合题意；
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形逐一进行判断即可．
7．（2025八下·潮南月考） A，B两点被一座小山隔开，在AB外的平地选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，现测得，则AB长为（ ）
A．30 m B．60 m C．90 m D．120 m
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D是AC的中点，点E是BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE，
∵DE=60m，
∴AB=2DE=120m，
故答案为：D.
【分析】根据三角形的中位线求出DE是△ABC的中位线，再求出AB=2DE，最后计算求解即可.
8．（2025八下·南充月考）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、．若，则四边形的面积为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是菱形．
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
∴四边形的面积为．
故选：C
【分析】本题主要对矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识进行考查．
因为四边形ABCD为矩形，所以由，根据角平分线的性质可得到，根据垂直平分线的性质，可得到，，满足角边角判定条件，所以有，进一步得到，可证四边相等的平行四边形是菱形；在中，根据勾股定理得，又因为，，所以，解一元二次方程可得，进而得到．
9．（2025八下·玄武月考）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ）
A．（1）处可填 B．（2）处可填
C．（3）处可填 D．（4）处可填
【答案】C
【知识点】平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系
【解析】【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，（1）处可填是正确的，故该选项不符合题意；
B、一组邻边相等的矩形是正方形，（2）处可填是正确的，故该选项不符合题意；
C、对边相等是平行四边形的性质，不能判定此时平行四边形是菱形，故该选项符合题意；
D、有一个角是直角的菱形是正方形，（4）处可填，故该选项不符合题意．
故选：C．
【分析】根据矩形、菱形、正方形和平行四边形的关系解答即可．
10．（2024八下·临沂月考）如图，在中，，，P为边上一动点，以为邻边作平行四边形，则对角线的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；平行线之间的距离；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
在中，，
，
四边形是平行四边形，
，
当时，取得最小值，此时，
故选：A．
【分析】过点作于点，根据含30°直角三角形的性质可得，，再根据 平行四边形 可得，可以得到时，取得最小值，且为的长度，即可求解．
二、填空题（每题3分，共24分）
11．（2024八下·凉州期中）点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，如果∠A=50°，那么∠DEF等于 ．
【答案】50°
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意画出图形．
∵点D，E，F是边AB，BC，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，EF是△ABC的中位线，
∴，，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴∠DEF=∠A=50°．
故答案为：50°．
【分析】根据题意画出图形，再根据三角形中位线的性质可得，，再根据平行四边形判定定理可得四边形ADEF是平行四边形，则∠DEF=∠A=50°，即可求出答案.
12．（2025八上·河西期末）一个多边形的内角和与外角和的度数比是，它的边数是 ．
【答案】8
【知识点】多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵多边形的内角和与外角和的度数比是，且外角和为，
∴该多边形的内角和为．
设它的边数是n，则，
解得，.
故答案为：8．
【分析】根据多边形的内角和公式为和外角和为，即可求得.
13．（2024八下·天元月考）与关于原点成中心对称，点，，的对称点分别是，，．若，，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】三角形三边关系；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵与关于原点成中心对称，点，，的对称点分别是，，
∴，
∴的取值范围为：，即．
故答案为：．
【分析】根据成中心对称的两个图形对应线段长相等可知，，然后利用三角形三边关系求解即可．
14．（2025八下·苍南期末）在中，，则 度．
【答案】135
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：135．
【分析】根据平行四边形的性质得，即可得到，求得解答即可．
15．（2024八下·宁乡市期末）某办公桌摆件的示意图如图所示，四边形是矩形，若对角线与办公桌面垂直，，，延长交办公桌面于点，，则 cm．
【答案】25
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
又∵AB=15cm，BC=8cm，
∴cm，
又∵CE=8cm，
∴．
故答案为：25．
【分析】由矩形性质得∠B=90°，在Rt△ABC中，用勾股定理算出AC，进而根据AE=AC+CE列式计算即可.
16．（2024八下·赫山期中）平行四边形的周长为，的周长为，则对角线的长为 ．
【答案】5
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：根据平行四边形的性质可知：，
∵=，
∴，
∵=，即，
∴．
故答案为：5．
【分析】根据平行四边形的性质得到，根据为得到，由为即可得到对角线.
17．（2025八下·岳阳期中）如图，菱形的周长为，，，分别是、上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接，作于，
四边形是菱形，
，，
在与中，
，
，
，
当点、、共线，的最小值为的长，
∵菱形的周长为，
∴，解得：，
∵，
∴，
∴，
，
的最小值为，
故答案为：．
【分析】先利用证明，再根据全等三角形的性质得出，当点、、共线，的最小值为的长，再根据菱形的周长求出AB，然后利用含有30度角的直角三角形的性质求出BH，再利用勾股定理求出的长即可．
18．（2024八下·湛江期中）正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接AC、CF，
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形
∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠ACD=∠GCF=45°
，，∠ACF=∠ACD+∠GCF=90°
∴在Rt△ACF中，，
∵H是AF的中点，
∴，
故答案为：．
【分析】
本题考查了正方形的性质、勾股定理和直角三角形的性质，根据直角三角形的性质构造辅助线是解题关键.根据正方形性质：四边相等，对角线平分对角可知：AB=BC=1，CE=EF=3，∠ACD=∠GCF=45°再根据勾股定理可求出AC、CF，再根据角的和差运算可知：∠ACF=∠ACD+∠GCF=90°，然后利用勾股定理：在Rt△ACF中，，最后根据直角三角形的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可知：，由此即可得出答案.
三、解答题（共8题，共66分）
19．（2024八下·凤翔期末）如图，在五边形ABCDE中，AP平分，BP平分．
（1）五边形ABCDE的内角和为 度；
（2）若，，，求的度数．
【答案】解：（1）540
（2）∵在五边形ABCDE中，，
，，
∴，
∵AP平分，BP平分，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）五边形ABCDE的内角和为，
故答案为：540
【分析】（1）根据多边形内角和即可求出答案.
（2）根据角之间的关系可得，根据角平分线定义可得，，则，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
20．如图，△ADC和△EDB成中心对称，若△ADC的面积为4，求△ABE的面积
【答案】解：∵△ADC和△EDB成中心对称，△ADC的面积为4，
∴S△EDB=S△ADC =4，DB=DC，
∴S△ABD=S△ADC=4，
∴S△ABE=S△EDB+S△ABD =4+4=8．
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】根据中心对称的性质和中线的定义可知AD平分三角形ABC，进而 求出△ABE的面积.
21．（2024八下·浏阳期末）如图，四边形中，对角线、相交于点O，，，且．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形.
（2）解：四边形是矩形，
．
∵
∴，
是等边三角形，
，
，
在中，．
∴四边形的面积为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合，证出四边形是矩形；
（2）先证出△AOB是等边三角形，可得AO=AB=1，再利用勾股定理求出BC的长，最后利用矩形的面积公式列出算式求解即可.
（1）证明：，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是矩形，
．
∵
∴，
是等边三角形，
，
，
在中，．
∴四边形的面积为．
22．（2024八下·上思期中）如图，在四边形中，，，分别是，的中点，且，连接．
（1）求的度数；
（2）若，比长，求的长．
【答案】（1）解：∵，分别是，的中点，
∴，
∴，
∴
（2）解：由（）得：，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，即，
∵，分别是，的中点，
∴．
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（）根据三角形中位线定理可得，则，；
（）由（）得：，设，则，根据再勾股定理可得，解得：，即，根据三角形中位线定理可得．
23．（2025八下·宁海期中）如图，在□ABCD中，点F是AD中点，连接CF并延长交 BA的延长线于点E.
（1）求证：AB=AE；
（2）若BC=2AE，∠E=32°，求∠DAB的度数.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，BC=AD，
∴∠E=∠DCF，··
∵点F是AD中点，
∴AF=DF.
在△AFE和△DFC中，
∴AFE≌△DFC(AAS)..·
∴CD=AE，
∴AB=AE；
（2）解：由(1)可得AF=DF，BC=AD，
∴BC=2AF..·
∵BC=2AE，
∴AE=AF.
∵∠E=32°，
∴∠AFE=∠E=32°.
∴∠DAB=2∠E=64°.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB=CD，AB//CD，BC=AD，然后结合线段中点的定义并利用"AAS"证明，即可得到CD=AE，进而即可求证；
（2）由(1)可得AF=DF，BC=AD，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质计算即可.
24．（2024八下·长垣期中）已知点E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，，且．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若，请直接写出的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，
∴，
∵为的中点，
∴，
在和中，
，
，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
（2）解：由题意可知，，∵四边形是矩形，
∴，
．
答：
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】
（1）先根据平行四边形的对边平行结合并结合线段中点的概念可利用“”证明，再根据全等三角形的性质可得，从而利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形，再根据对角线相等即可判定这个平行四边形是矩形；
（2）由平行四边形的对边相等可知AB等于CD等于3，由中点的概念可得AD等于ED的2倍等于6，又因为矩形的每一个内角都是直角，可在Rt中应用勾股定理即可．
25．（2024八下·蒸湘期末）如图，在中，为边上的一动点（点不与两点重合），交于点，交于点．
（1）试探索满足什么条件时，四边形为菱形，并说明理由．
（2）在（1）的条件下，满足什么条件时，四边形为正方形？为什么？
【答案】解：（1）当平分时，四边形为菱形．理由如下：∵，，
∴四边形为平行四边形，．
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形．
（2）当满足时，四边形为正方形．理由如下：
由（1）可知，四边形为菱形，
∵，
∴四边形为正方形（有一个角为直角的菱形是正方形）．
【知识点】菱形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质，可知当AD平分∠EAF时，四边形AEDF为菱形，根据“ ， ”可知，四边形AEDF为平行四边形，然后再根据角平分线的性质和平行线的性质推出∠EAD=∠FDA，∠EAD=∠FAD，最后再通过等量代换，即可求出∠FAD=∠FDA，得到AF=DF，即可求解；
（2）当△ABC为直角三角形，∠BAC=90°时，四边形AEDF为正方形，根据（1）可知，四边形AEDF为菱形，然后再通过正方形的判定定理：一个内角为直角的菱形为正方形，即可推出结论．
26．（2023八下·济南期末）在中，，，点D，E是边，的中点，连接，，点M，N分别是和的中点，连接．
（1）如图1，与的数量关系是_________；
（2）如图2，将绕点A顺时针旋转，连接，请写出和的数量关系，并就图2的情形说明理由；
（3）在的旋转过程中，当B，D，E三点共线时，求线段的长．
【答案】（1）
（2）解：，理由如下：
如图，连接，
由（1）同理可得：，
由旋转得：，
，
，
在和中
，
（），
，
点M，N分别是和的中点，
，
．
（3）解：①如图，当点E在线段上时，过点作于点
，
，，
，
在（1）中：点D，E是边，的中点，
，
，
，，
，
，
，
，
在中，
，
；
②如图，当点D在线段上时，过点作于点Q，
在中，，，
，
由①同理可求，
在中，，
，，
；
．
综上所述，或．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）点D，E是边，的中点，
，，
，
，
点M，N分别是和的中点，
是的中位线，
，
，
故答案：．
【分析】（1）根据线段中点可得，，则，再根据三角形中位线定理可得，即.
（2）连接，由（1）同理可得：，根据旋转性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得（），则，再根据线段中点即可求出答案.
（3）分情况讨论：①当点E在线段上时，过点作于点，根据直角三角形性质可得，根据三角形中位线定理可得，，则，再根据勾股定理可得PD，PB，再根据边之间的关系即可求出答案；②当点D在线段上时，过点作于点Q，由①同理可求，根据勾股定理可得BQ，再根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1第1章 《四边形》基础卷——湘教版数学八（下）单元分层测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024八下·青山期中）垃圾分类一小步，低碳生活一大步，垃圾桶上常有以下四种垃圾分类标识的图案和文字说明，其中图案是中心对称图形的是( )
A．有害垃圾 B．厨余垃圾
C．其它垃圾 D．可回收物
2．对角线互相垂直平分且相等的四边形是 ( )
A．一般的平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
3．（2025八上·台州期末）椒江章安剪纸是台州市非物质文化遗产代表性项目．如图是小明的窗花剪纸，外形为正八边形，则它的内角和为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八下·桂阳期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
5．（2025八下·诸暨期末）已知一个平行四边形的对角线长度为6和8，那么这个平行四边形的边长长度取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025八下·射洪期末）在四边形中， ，要使四边形是平行四边形，则还应满足（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025八下·潮南月考） A，B两点被一座小山隔开，在AB外的平地选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，现测得，则AB长为（ ）
A．30 m B．60 m C．90 m D．120 m
8．（2025八下·南充月考）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、．若，则四边形的面积为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
9．（2025八下·玄武月考）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ）
A．（1）处可填 B．（2）处可填
C．（3）处可填 D．（4）处可填
10．（2024八下·临沂月考）如图，在中，，，P为边上一动点，以为邻边作平行四边形，则对角线的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共24分）
11．（2024八下·凉州期中）点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，如果∠A=50°，那么∠DEF等于 ．
12．（2025八上·河西期末）一个多边形的内角和与外角和的度数比是，它的边数是 ．
13．（2024八下·天元月考）与关于原点成中心对称，点，，的对称点分别是，，．若，，则的取值范围是 ．
14．（2025八下·苍南期末）在中，，则 度．
15．（2024八下·宁乡市期末）某办公桌摆件的示意图如图所示，四边形是矩形，若对角线与办公桌面垂直，，，延长交办公桌面于点，，则 cm．
16．（2024八下·赫山期中）平行四边形的周长为，的周长为，则对角线的长为 ．
17．（2025八下·岳阳期中）如图，菱形的周长为，，，分别是、上的动点，则的最小值为 ．
18．（2024八下·湛江期中）正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是 ．
三、解答题（共8题，共66分）
19．（2024八下·凤翔期末）如图，在五边形ABCDE中，AP平分，BP平分．
（1）五边形ABCDE的内角和为 度；
（2）若，，，求的度数．
20．如图，△ADC和△EDB成中心对称，若△ADC的面积为4，求△ABE的面积
21．（2024八下·浏阳期末）如图，四边形中，对角线、相交于点O，，，且．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若，，求四边形的面积．
22．（2024八下·上思期中）如图，在四边形中，，，分别是，的中点，且，连接．
（1）求的度数；
（2）若，比长，求的长．
23．（2025八下·宁海期中）如图，在□ABCD中，点F是AD中点，连接CF并延长交 BA的延长线于点E.
（1）求证：AB=AE；
（2）若BC=2AE，∠E=32°，求∠DAB的度数.
24．（2024八下·长垣期中）已知点E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，，且．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若，请直接写出的长．
25．（2024八下·蒸湘期末）如图，在中，为边上的一动点（点不与两点重合），交于点，交于点．
（1）试探索满足什么条件时，四边形为菱形，并说明理由．
（2）在（1）的条件下，满足什么条件时，四边形为正方形？为什么？
26．（2023八下·济南期末）在中，，，点D，E是边，的中点，连接，，点M，N分别是和的中点，连接．
（1）如图1，与的数量关系是_________；
（2）如图2，将绕点A顺时针旋转，连接，请写出和的数量关系，并就图2的情形说明理由；
（3）在的旋转过程中，当B，D，E三点共线时，求线段的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【分析】把一个图形绕某一点旋转后与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、一般的平行四边形，其对角线仅互相平分，不满足 “垂直且相等” 的条件，A不符合题意；
B、矩形，其对角线互相平分且相等，但不满足 “垂直” 的条件，B不符合题意；
C、菱形，其对角线互相平分且垂直，但不满足 “相等” 的条件，C不符合题意；
D、正方形，其对角线同时具备互相垂直、平分且相等的性质，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】四边形的对角线性质：平行四边形对角线互相平分，矩形对角线互相平分且相等，菱形对角线互相平分且垂直，正方形对角线同时满足互相垂直、平分、相等.
3．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形是正八边形，
∴n=8，
∴．
故答案选：B．
【分析】根据多边形内角和公式：(n-2)×180°，代入数据计算即可.
4．【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠ACB=30°，
∴∠AOB=∠OBC+∠ACB=30°+30°=60°．
故选B
【分析】
由于矩形的对角线互相平分且相等，则OB等于OC，则等于等于30度，则由三角形外角的性质可得是60度 ．
5．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：作平行四边形如图所示：
由题意可得：AC=8，BD=6，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO=4，BO=DO=3，
∴，
∴；
故答案为：D．
【分析】作平行四边形ABCD，可得AC=8，BD=6，利用平行四边形对角线互相平分的性质可得AO=4，BO=3，再结合三角形三边关系求解即可．
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图
A、由不能证明，故A不符合题意；
B、∵
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，故B符合题意；
C、∵
∴ AD∥BC，
又∵，无法证明四边形是平行四边形．故C不符合题意．
D、由不能证明，故D不符合题意；
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形逐一进行判断即可．
7．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D是AC的中点，点E是BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE，
∵DE=60m，
∴AB=2DE=120m，
故答案为：D.
【分析】根据三角形的中位线求出DE是△ABC的中位线，再求出AB=2DE，最后计算求解即可.
8．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是菱形．
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
∴四边形的面积为．
故选：C
【分析】本题主要对矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识进行考查．
因为四边形ABCD为矩形，所以由，根据角平分线的性质可得到，根据垂直平分线的性质，可得到，，满足角边角判定条件，所以有，进一步得到，可证四边相等的平行四边形是菱形；在中，根据勾股定理得，又因为，，所以，解一元二次方程可得，进而得到．
9．【答案】C
【知识点】平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系
【解析】【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，（1）处可填是正确的，故该选项不符合题意；
B、一组邻边相等的矩形是正方形，（2）处可填是正确的，故该选项不符合题意；
C、对边相等是平行四边形的性质，不能判定此时平行四边形是菱形，故该选项符合题意；
D、有一个角是直角的菱形是正方形，（4）处可填，故该选项不符合题意．
故选：C．
【分析】根据矩形、菱形、正方形和平行四边形的关系解答即可．
10．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；平行线之间的距离；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
在中，，
，
四边形是平行四边形，
，
当时，取得最小值，此时，
故选：A．
【分析】过点作于点，根据含30°直角三角形的性质可得，，再根据 平行四边形 可得，可以得到时，取得最小值，且为的长度，即可求解．
11．【答案】50°
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意画出图形．
∵点D，E，F是边AB，BC，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，EF是△ABC的中位线，
∴，，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴∠DEF=∠A=50°．
故答案为：50°．
【分析】根据题意画出图形，再根据三角形中位线的性质可得，，再根据平行四边形判定定理可得四边形ADEF是平行四边形，则∠DEF=∠A=50°，即可求出答案.
12．【答案】8
【知识点】多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵多边形的内角和与外角和的度数比是，且外角和为，
∴该多边形的内角和为．
设它的边数是n，则，
解得，.
故答案为：8．
【分析】根据多边形的内角和公式为和外角和为，即可求得.
13．【答案】
【知识点】三角形三边关系；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵与关于原点成中心对称，点，，的对称点分别是，，
∴，
∴的取值范围为：，即．
故答案为：．
【分析】根据成中心对称的两个图形对应线段长相等可知，，然后利用三角形三边关系求解即可．
14．【答案】135
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：135．
【分析】根据平行四边形的性质得，即可得到，求得解答即可．
15．【答案】25
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
又∵AB=15cm，BC=8cm，
∴cm，
又∵CE=8cm，
∴．
故答案为：25．
【分析】由矩形性质得∠B=90°，在Rt△ABC中，用勾股定理算出AC，进而根据AE=AC+CE列式计算即可.
16．【答案】5
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：根据平行四边形的性质可知：，
∵=，
∴，
∵=，即，
∴．
故答案为：5．
【分析】根据平行四边形的性质得到，根据为得到，由为即可得到对角线.
17．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接，作于，
四边形是菱形，
，，
在与中，
，
，
，
当点、、共线，的最小值为的长，
∵菱形的周长为，
∴，解得：，
∵，
∴，
∴，
，
的最小值为，
故答案为：．
【分析】先利用证明，再根据全等三角形的性质得出，当点、、共线，的最小值为的长，再根据菱形的周长求出AB，然后利用含有30度角的直角三角形的性质求出BH，再利用勾股定理求出的长即可．
18．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接AC、CF，
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形
∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠ACD=∠GCF=45°
，，∠ACF=∠ACD+∠GCF=90°
∴在Rt△ACF中，，
∵H是AF的中点，
∴，
故答案为：．
【分析】
本题考查了正方形的性质、勾股定理和直角三角形的性质，根据直角三角形的性质构造辅助线是解题关键.根据正方形性质：四边相等，对角线平分对角可知：AB=BC=1，CE=EF=3，∠ACD=∠GCF=45°再根据勾股定理可求出AC、CF，再根据角的和差运算可知：∠ACF=∠ACD+∠GCF=90°，然后利用勾股定理：在Rt△ACF中，，最后根据直角三角形的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可知：，由此即可得出答案.
19．【答案】解：（1）540
（2）∵在五边形ABCDE中，，
，，
∴，
∵AP平分，BP平分，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）五边形ABCDE的内角和为，
故答案为：540
【分析】（1）根据多边形内角和即可求出答案.
（2）根据角之间的关系可得，根据角平分线定义可得，，则，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
20．【答案】解：∵△ADC和△EDB成中心对称，△ADC的面积为4，
∴S△EDB=S△ADC =4，DB=DC，
∴S△ABD=S△ADC=4，
∴S△ABE=S△EDB+S△ABD =4+4=8．
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】根据中心对称的性质和中线的定义可知AD平分三角形ABC，进而 求出△ABE的面积.
21．【答案】（1）证明：，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形.
（2）解：四边形是矩形，
．
∵
∴，
是等边三角形，
，
，
在中，．
∴四边形的面积为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合，证出四边形是矩形；
（2）先证出△AOB是等边三角形，可得AO=AB=1，再利用勾股定理求出BC的长，最后利用矩形的面积公式列出算式求解即可.
（1）证明：，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是矩形，
．
∵
∴，
是等边三角形，
，
，
在中，．
∴四边形的面积为．
22．【答案】（1）解：∵，分别是，的中点，
∴，
∴，
∴
（2）解：由（）得：，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，即，
∵，分别是，的中点，
∴．
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（）根据三角形中位线定理可得，则，；
（）由（）得：，设，则，根据再勾股定理可得，解得：，即，根据三角形中位线定理可得．
23．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，BC=AD，
∴∠E=∠DCF，··
∵点F是AD中点，
∴AF=DF.
在△AFE和△DFC中，
∴AFE≌△DFC(AAS)..·
∴CD=AE，
∴AB=AE；
（2）解：由(1)可得AF=DF，BC=AD，
∴BC=2AF..·
∵BC=2AE，
∴AE=AF.
∵∠E=32°，
∴∠AFE=∠E=32°.
∴∠DAB=2∠E=64°.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB=CD，AB//CD，BC=AD，然后结合线段中点的定义并利用"AAS"证明，即可得到CD=AE，进而即可求证；
（2）由(1)可得AF=DF，BC=AD，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质计算即可.
24．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，
∴，
∵为的中点，
∴，
在和中，
，
，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
（2）解：由题意可知，，∵四边形是矩形，
∴，
．
答：
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】
（1）先根据平行四边形的对边平行结合并结合线段中点的概念可利用“”证明，再根据全等三角形的性质可得，从而利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形，再根据对角线相等即可判定这个平行四边形是矩形；
（2）由平行四边形的对边相等可知AB等于CD等于3，由中点的概念可得AD等于ED的2倍等于6，又因为矩形的每一个内角都是直角，可在Rt中应用勾股定理即可．
25．【答案】解：（1）当平分时，四边形为菱形．理由如下：∵，，
∴四边形为平行四边形，．
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形．
（2）当满足时，四边形为正方形．理由如下：
由（1）可知，四边形为菱形，
∵，
∴四边形为正方形（有一个角为直角的菱形是正方形）．
【知识点】菱形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质，可知当AD平分∠EAF时，四边形AEDF为菱形，根据“ ， ”可知，四边形AEDF为平行四边形，然后再根据角平分线的性质和平行线的性质推出∠EAD=∠FDA，∠EAD=∠FAD，最后再通过等量代换，即可求出∠FAD=∠FDA，得到AF=DF，即可求解；
（2）当△ABC为直角三角形，∠BAC=90°时，四边形AEDF为正方形，根据（1）可知，四边形AEDF为菱形，然后再通过正方形的判定定理：一个内角为直角的菱形为正方形，即可推出结论．
26．【答案】（1）
（2）解：，理由如下：
如图，连接，
由（1）同理可得：，
由旋转得：，
，
，
在和中
，
（），
，
点M，N分别是和的中点，
，
．
（3）解：①如图，当点E在线段上时，过点作于点
，
，，
，
在（1）中：点D，E是边，的中点，
，
，
，，
，
，
，
，
在中，
，
；
②如图，当点D在线段上时，过点作于点Q，
在中，，，
，
由①同理可求，
在中，，
，，
；
．
综上所述，或．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）点D，E是边，的中点，
，，
，
，
点M，N分别是和的中点，
是的中位线，
，
，
故答案：．
【分析】（1）根据线段中点可得，，则，再根据三角形中位线定理可得，即.
（2）连接，由（1）同理可得：，根据旋转性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得（），则，再根据线段中点即可求出答案.
（3）分情况讨论：①当点E在线段上时，过点作于点，根据直角三角形性质可得，根据三角形中位线定理可得，，则，再根据勾股定理可得PD，PB，再根据边之间的关系即可求出答案；②当点D在线段上时，过点作于点Q，由①同理可求，根据勾股定理可得BQ，再根据边之间的关系即可求出答案.
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