高一上册期末分类复习（一二单元）（含解析）

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高一上册期末分类复习（一二单元）（含解析）
一、期末复习——集合
1．（2025高一上·舟山月考）已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025高二上·西湖期末）集合. 则（　　）
A． B． C． D．
3．（2025高一上·中山月考）如图，三个圆的内部区域分别代表集合，，，全集为，则图中阴影部分的区域表示（　　）
A． B． C． D．
4．已知，若，则实数的取值构成的集合的真子集个数是（　　）
A．1 B．3 C．7 D．15
5．设A={x|2x2+ax+2=0}，B={x|x2+3x+2a=0}，A∩B={2}．
（1）求a的值及集合A、B；
（2）设集合U=A∪B，求（CuA）∪（CuB）的所有子集．
6．（2025高一上·湖南期中）已知集合．
（1）当时，求；
（2）若集合，且，求实数的取值范围．
二、期末复习——逻辑用语
7．（2025高一上·嘉兴月考）已知命题， 则命题成立的一个充分不必要条件是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高一上·南海期中）“函数在上单调”的一个充分不必要条件是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024高一上·武汉月考）（多选）下列说法正确的是（　　）．
A．的一个必要条件是
B．若集合中只有一个元素，则
C．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件
D．已知集合，则满足条件的集合N的个数为4
10．（多选）下列说法正确的是（　　）
A．集合，，，若则或
B．设全集为，若，则
C．集合
D．“和都是无理数”是“是无理数”的必要不充分条件
11．（2025高一上·顺德月考）已知集合，．
（1）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
12．（2025高一上·临海月考）已知集合，．
（1）若，求；
（2）若，求实数t的取值范围；
（3）若 且“”是“”的充分不必要条件，求实数t的取值范围．
三、期末复习——基本不等式
13．（2025高一上·杭州期末）已知，且，则的最小值是（　　）
A．49 B．50 C．51 D．52
14．（2025高一上·长沙期末）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的最小值为（　　）
A．9 B．6 C． D．5
15．（2025高三上·杭州期末）已知，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
16．（2024高一上·浙江期中）已知，，且，则的最小值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．9
17．（2025高一上·杭州期末）（多选）若a，，且，则下列说法正确的是（　　）
A．有最大值 B．有最小值4
C．有最小值 D．有最小值
18．（2025高一上·保定期中）（多选）已知正实数满足，则（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
四、期末复习——一元二次不等式
19．（2025高一上·顺德月考）已知集合，，若，且中恰好有两个整数解，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
20．（2024高一上·浙江期中）已知实数，且“”的一个必要不充分条件是“”，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
21．（2024高一上·北京市月考）若集合，，且，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
22．（2025高一上·浙江月考）已知函数
（1）若不等式的解集为R，求实数a的取值范围；
（2）若，求关于的不等式的解集.
23．（2025高一上·舟山月考）已知函数.
（1）当时，求关于x的不等式的解集；
（2）求关于x的不等式的解集；
（3）若在区间上恒成立，求实数a的范围.
24．（2025高一上·邯郸冀南新期中）下列命题正确的是（　　）
A．是关于的方程有一正一负根的充要条件
B．若关于的不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是
C．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是或
D．若，则的最小值为
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意，集合A中的整数为0，1，2，3，
因为，
所以集合中至少有3个整数，
则集合中的两个整数只能为0，1或2，3，
若集合中的两个整数是2，3，则解得；
若集合中的两个整数是0，1，则解得，
综上可得，或，
则的取值范围是．
故答案为：A.
【分析】先算出集合A中的整数，再分中的两个整数是2，3和中的两个整数是0，1两种情况讨论，从而分别得到不等式组，解不等式组得出实数a的取值范围．
2．【答案】B
【解析】【解答】解：由，得，所以，
由，得，所以，
则.
故答案为：B.
【分析】根据偶次根式下的式子大于等于0得到集合，再利用正弦型函数求值域的方法得到集合，再利用交集的运算法则，从而得出集合.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示：
A、对应的是区域1，故A不符合；
B、对应的是区域2，故B符合；
C、对应的是区域3，故C不符合；
D、对应的是区域4，故D不符合.
故答案为：B.
【分析】利用集合交、并补运算，找到每一个选项对应的区域判断即可.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：因为，
若，则，，即；
若，则或，当时，，不满足互异性；
当时，，不满足互异性；
若，则或，当时，，则，
当时，不满足互异性，即，
故集合的真子集个数为.
故答案为：B.
【分析】由题意可得或或，分别求的值，代入检验是否满足集合元素的互异性，从而求得集合，再求集合的真子集个数即可.
5．【答案】解：（1）根据题意，得2∈A，2∈B，
将x=2代入集合A中的方程，得：8+2a+2=0，
解得a=﹣5，
∴A={x|2x2﹣5x+2=0}={2，}，B={x|x2+3x﹣10=0}={2，﹣5}．
（2）由题意，得全集U=A∪B={2，，﹣5}，A∩B={2}，
∴（CuA）∪（CuB）= U（A∩B）={，﹣5}，
∴（CuA）∪（CuB）的所有子集为，{﹣5}，{}，{﹣5，}．
【解析】【分析】（1）由题意得2∈A，2∈B，再代入方程后可得的值，从而解方程可得集合A和集合B.
（2）结合（1）中的结论和补集的运算法则、并集的运算法则，从而得到集合（CuA）∪（CuB），再利用子集的定义，从而写出集合（CuA）∪（CuB）的所有子集．
6．【答案】（1）解：当时，集合，
又因为集合或.
所以或.
（2）解：因为，
所以.
又因为，所以，
当时，，此时解得；
当时，，解得，
所以实数的取值范围为.
【解析】【分析】（1）先利用a的值得出集合A，利用一元二次不等式求解方法得出集合B，再结合交集的运算法则，从而得出集合.
（2）根据得出，再分两种情况和集合间的包含关系，从而得出实数a的取值范围.
（1）当时，集合.
而集合或.
所以或.
（2）因为，所以.
因为，所以.
当时，，此时解得；
当时，，解得.
所以实数的取值范围为.
7．【答案】C
8．【答案】B
【解析】【解答】解：因为函数在不可能单调递减，
所以在上单调等价于：
①在上单调递增，②，
所以，
解得，
结合选项可知，是的充分不必要条件.
故答案为：B.
【分析】根据题意结合复合函数的单调性，从而求出在上单调时的实数的取值范围，再结合充分条件、必要条件的判断方法，进而找出“函数在上单调”的一个充分不必要条件.
9．【答案】C,D
【解析】【解答】对于A，当时满足，但不成立，
所以不是的充分条件，不是的必要条件，故A错误；
对于B，当时，方程的解为，
此时集合中只有一个元素，满足题意，
当时，为一元二次方程，
则由集合中只有一个元素得，故，
所以符合题意的有两个，或，故B错误；
对于C，一元二次方程有一正一负根，则，
所以“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件，故C正确；
对于D，因为，所以，
又，所以集合N的个数为个，故D正确.
故答案为：C、D.
【分析】对于A，举例时不成立，进而根据充分条件和必要条件的定义得不是的充分条件，也不是的必要条件，判断A错误；
对于B，按和两种情况去探究方程的解即可判断B错误；
对于C，先由一元二次方程有一正一负根得，该不等式组的解即为方程有一正一负根的充要条件，判断C正确；
对于D，先由得，再由结合子集个数公式即可得解，判断D正确.
10．【答案】B,C
【解析】【解答】对于A：由，
若或1，
当时，不满足互异性，舍去，当时，，不满足互异性，舍去；
若或2，
当时，合题意，当时，，合题意，
故或2，A错误；
对于B：若，则，B正确；
对于C：令集合中的，得，故C正确；
对于D：不是无理数，若为无理数，可取，和不都是无理数，故“和都是无理数”是“是无理数”的既不充分也不必要条件，故D错.
故选：BC.
【分析】对于A利用反代法加上验证即可判断正误；利用集合间的运算即可得到结果；对于C的除余问题，化简即可得到结果；对于D利用特殊值进行代换即可判断正误.
11．【答案】（1）解：因为“”是“”的必要不充分条件，
可得A是B的真子集，
则满足，
解得，
所以实数a的取值范围为．
（2）解：因为“”是“”的充分不必要条件，
可得B是A的真子集，
①当时，即当时，此时，符合题意；
②当时，即当时，
则满足，所以，
解得，
综上可得，实数a的取值范围为．
【解析】【分析】（1）利用“”是“”的必要不充分条件，可得A是B的真子集，再利用真子集得出实数a的取值范围.
（2）利用“”是“”的充分不必要条件，可得B是A的真子集，再利用分类讨论的方法得出实数a的取值范围.
12．【答案】（1）解：当时，集合，
解不等式，可得或，即集合或，
则，
则；
（2）解：集合，或，
若，则，解得，
即实数t的取值范围为；
（3）解：由（1）可得：，
因为 且“”是“”的充分不必要条件，所以，
所以，解得，
则实数t的取值范围为.
【解析】【分析】（1）将代入求得集合A，解一元二次不等式求得集合B，再根据集合的交、并运算求解即可；
（2）根据集合的关系列不等式求实数t的取值范围即可；
（3）由（1）可得，由题意可得，根据集合的包含关系列不等式求实数t的取值范围即可.
（1）若，则，
又或，
则，
所以；
（2）由于，或，
，则，解得，
即实数t的取值范围为.
（3）由于，
因为 且“”是“”的充分不必要条件，
则有，
所以，解得，
所以实数t的取值范围为.
13．【答案】A
【解析】【解答】解： 因为，且，
所以，
当且仅当，即，时取等号.
故答案为：A.
【分析】将所求式子拆分为，再结合，将其乘以构造可以使用基本不等式的形式，进而求出最小值.
14．【答案】D
【解析】【解答】解：关于x的不等式在区间上有解，
等价于在区间上有解，即在区间上有解，
又因为，当且仅当时，取最小值6，
故，可得.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件，将问题转化为在区间上有解，再利用基本不等式求最值的方法求出右侧的最小值，即可求出参数m的取值范围，进而得出实数m的最小值.
15．【答案】B
【解析】【解答】解：由，可得，
两边同时乘以“”得：，
则，
当且仅当时等号成立，令，，解得或，
因为，所以，即.
故答案为：B.
【分析】将已知式子变形，利用基本不等式求得最小值，再将问题转化解不等式求解即可.
16．【答案】A
【解析】【解答】解：，，，
则
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为5.
故答案为：A.
【分析】1. 变形构造：将拆分为，为“1”的代换创造条件.
2. “1”的代换：利用已知等式，对进行代换，展开后出现可应用基本不等式的形式.
3. 基本不等式应用：对展开式中的分式和应用基本不等式，求出最小值，进而得到的最小值.
17．【答案】A,B,C
【解析】【解答】解：实数，且满足，
A：（当且仅当时等号成立），则有最大值，A正确；
B：，当且仅当时等号成立，则有最小值4，B正确；
C：，当且仅当时等号成立，所以有最小值，C正确；
D：由，当且仅当时等号成立，所以，即有最大值，D错误.
故答案为：ABC.
【分析】已知且，利用基本不等式或代数变形分析各选项的最值。
18．【答案】B,C,D
【解析】【解答】解：A、当时，，因，则，解得，该选项错误，不合题意；
B、当时，由，解得，当且仅当时取等号，该选项正确，符合题意 ；
C、当时，，由B易得，
则由，整理得，
因为，解得，当且仅当时取等号，该选项正确，符合题意；
D、当时，，可得，则，
由为正数可得，，，当且仅当时等号成立，
由，解得，该选项正确，符合题意.
故答案为：BCD．
【分析】利用基本不等式代入的不同取值，“积定和最小，和定积最大”，结合一元二次不等式求解方法即可逐一判断各选项.
19．【答案】A
【解析】【解答】解：因为，
令，
由题意，得，
又因为，所以，
设，
又因为.
所以，要使中恰好有两个整数解，
则只能是和，
所以，应满足，
解得.
故答案为：A.
【分析】先利用一元二次不等式求解方法求出集合，求出集合对应的一元二次方程的根，从而表示出集合B，再由的取值范围判断出两整数解为和，从而得到关于的不等式组，解不等式组得出实数a的取值范围.
20．【答案】A
【解析】【解答】解：由，
得，则，
由，，得，则，
因为“”是“”的必要不充分条件，
所以，
得（等号不能同时成立），解得，
则实数的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】分别解一元二次不等式和绝对值不等式，从而可得和，再结合充分条件、必要条件的判断方法，从而可得，则建立不等式组得出实数a的取值范围.
21．【答案】B
【解析】【解答】解：由，即，解得，
所以，
又，
因为，
当时，显然不满足题意，
当时，也不符合题意，
当时，
所以，解得；
故答案为：B
【分析】本题考查集合与集合的基本关系.先解一元二次不等式求出集合，再进行因式分解可得：，分、、三种情况分别求出集合，根据，利用集合的基本关系可列出不等式组，解不等式组可求出实数的取值范围.
22．【答案】（1）解：因为，
所以的解集为R，
则，
解得，
所以，实数a的取值范围为.
（2）解：因为不等式，
所以，
整理得：，
分解因式，可得：，
因为，
所以，当时，，此时不等式的解集为；
当时，不等式为，则其解集为；
当时，，则不等式的解集为.
【解析】【分析】（1）利用数形结合法可推得，从而求解得出实数a的取值范围.
（2）将不等式整理为，再结合，对进行分类讨论，从而得出不等式的解集.
（1）因即的解集为R，
则，解得，即实数a的取值范围为.
（2）不等式即，
整理得：，分解因式可得：，因，
则当时，，此时不等式的解集为；
当时，不等式为，则其解集为；
当时，，则不等式的解集为.
23．【答案】（1）解：当时，则，
由，得，
原不等式的解集为.
（2）解：由，
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
（3）解：由，即在上恒成立，
得，
令，
则，
当且仅当时，即当时取等号，
则，
故实数a的范围是.
【解析】【分析】（1）把代入可构造不等式，从而解出对应的方程，再根据一元二次不等式“大于看两边”，从而得到原不等式的解集.
（2）根据函数，再分类讨论可得不等式的解集.
（3）若在区间上恒成立，即在区间上恒成立，再利用换元法结合基本不等式求最值的方法， 从而求出函数的最值，进而可得实数a的取值范围.
（1）当时，则，
由，得，
原不等式的解集为；
（2）由，
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
（3）由即在上恒成立，得.
令，则，
当且仅当，即时取等号.
则，.故实数a的范围是
24．【答案】A,C,D
【解析】【解答】解：A、若有一正一负根，则，即必要性成立；
当时，，方程有一正一负根，即充分性成立，则是关于x的方程，有一正一负根的充要条件，故A正确；
B、若关于的不等式在上恒成立，则，即在上恒成立即可，则实数k的取值范围是，故B错误；
C、若关于的不等式的解集是，则，
即关于的不等式或，故C正确；
D、若，则，即，
当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由判别式、韦达定理结合充分、必要条件的定义即可判断A；分离参数求解即可判断B；由题意可确定，解不等式即可判断C；由，结合基本不等式求解即可判断D.
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