安徽省合肥市第六中学2025届高三上学期第三次阶段性教学质量检测数学试卷（含答案）

安徽省合肥市第六中学2025届高三上学期第三次阶段性教学质量检测数学试卷
命题人： 审题人：
（时长：120分钟 分值：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数为的共轭复数，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 展开式中含项的系数为（ ）
A B. C. D.
4. 已知直线与圆交于A，B两点，若，则（ ）
A. B. C. D.
5. “”是“方程表示双曲线”的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 既不充分也不必要条件
D. 充要条件
6. 已知函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，且函数在区间上单调递增，记，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数（）的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于轴对称，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的焦点在轴上，为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 记等差数列前项和为，若，则（ ）
A. 的公差为2 B.
C. 的最大值为36 D. 使得的的最大值为11
10. 如图，四棱锥的底面是梯形，，，，，平面平面，，分别为线段，的中点，点是底面内包括边界的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 三棱锥外接球的体积为
C. 异面直线与所成角的余弦值为
D. 若直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为
11. 已知函数，则下列结论正确是（ ）
A. 函数是奇函数
B. 函数的最小正周期是
C. 函数的图象关于直线对称
D. 若，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知非零向量，若向量在向量上的投影向量为，则___________.
13. 已知函数，若直线与曲线相切，则___________.
14. 如图所示，三棱锥中，，，则三棱锥体积的最大值为___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的内角所对的边分别为，且
（1）求角A；
（2）若为边上一点，为的平分线，且，求的面积
16. 为了宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活动．活动规定初赛需要从8道备选题中随机抽取4道题目进行作答．假设在8道备选题中，小明正确完成每道题的概率都是且每道题正确完成与否互不影响，小宇能正确完成其中6道题且另外2道题不能完成．
（1）求小明至少正确完成其中3道题的概率；
（2）设随机变量X表示小宇正确完成题目个数，求X的分布列及数学期望；
（3）现规定至少完成其中3道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小明和小宇两人中选择谁去参加市级比赛（活动规则不变）会更好，并说明理由．
17. 如图，五面体中，平面平面，且，.
（1）求证：平面平面；
（2）已知是线段上一点，且满足，求平面与平面夹角的余弦值.
18. 已知函数.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若有两个极值点分别为，，求的最小值.
19. 在平面直角坐标系中，对于点、直线，我们称为点到直线的方向距离.
（1）设双曲线上的任意一点到直线，的方向距离分别为，求的值；
（2）设点、到直线的方向距离分别为，试问是否存在实数，对任意的都有成立？说明理由；
（3）已知直线和椭圆，设椭圆的两个焦点到直线的方向距离分别为满足，且直线与轴的交点为、与轴的交点为，试比较的长与的大小.
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. A. 2. C. 3. B. 4. A. 5. A. 6. D. 7. C 8. B.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. BCD. 10. ． 11. ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. .
13. .
14. .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）因为，
由正弦定理可得，
且，
即，
整理可得，
且，则，可得，
又因为，则，可得，所以.
（2）因为为的平分线，则，
因为，则，
即，可得，
在中，由余弦定理可得，
即，整理可得，解得或（舍去），
所以的面积.
16. （1）记“小明至少正确完成其中3道题”为事件A，则
．
（2）X的可能取值为2，3，4
，
，
，
X的分布列为；
X 2 3 4
P
数学期望．
（3）由（1）知，小明进入决赛的概率为；
记“小宇至少正确完成其中3道题”为事件B，则；
因为，故小宇进决赛的可能性更大，
所以应选择小宇去参加比赛．
17. （1）证明：如图，设中点为，过作，
令交于，连接，所以，且.
由已知，且，所以，且
所以四边形为平行四边形，所以.
因为中，，所以为等腰三角形，
而，则有，平面，
又平面平面，平面平面，
所以平面，所以平面
又平面，所以平面平面.
（2）由（1）知Ox、OB、OD三条直线两两垂直，如图建立空间直角坐标系，
依题意可得，
设平面的法向量，则有，
取，
由得，则，
设平面的法向量，则有取.
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18. （1）因为，
所以，
由得或.
①当时，因为，不满足题意，
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
于是，解得，
所以的取值范围为.
（2）函数，定义域为，，
因为，是函数的两个极值点，所以，是方程的两个不等正根，
则有，，，
得，对称轴，故，.
且有，，
.
令，则，
，，
当时，单调递减，当时，单调递增，
所以，
所以的最小值为.
19. (1)由题设可知：设，所以，
所以，
又因为，所以；
(2) 假设存在实数满足条件，因为，
，
所以，所以，所以，
故存在满足条件；
(3)因为，所以，
所以，所以，
又因为，所以，
所以，取等号时，
所以，所以.