安徽省合肥市第十中学2025-2026学年高三上学期第三次绿色评价数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 安徽省合肥市第十中学2025-2026学年高三上学期第三次绿色评价数学试题（含答案） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 566.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-12 00:00:00 | ||
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文档简介
合肥十中2025届高三上学期数学第三次绿色评价
考试时间：120分钟 试卷分值：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数满足，则（ ）
A. 1 B. C. D. 2
3. 已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（ ）
A. B.
C.
4. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
5. 球是棱长为1的正方体的外接球，则球的内接正四面体体积为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（ ）
A. B. C. 1 D.
7. 函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 若不等式对一切恒成立，其中，e为自然对数的底数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分
9. 若直线不平行于平面，且，则下列结论错误的是（ ）
A. 内的所有直线与是异面直线
B. 内不存在与平行的直线
C. 内存在唯一一条直线与平行
D. 内所有直线与都相交
10. 已知复数，，则下列说法正确是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，，则最小值为3
D. 若且，则，均为纯虚数
11. 已知函数，（ ）
A. 函数为单调减函数
B. 函数的对称中心为
C. 若对，恒成立，则
D. 函数，与函数的图象所有交点纵坐标之和为20
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，则向量与的夹角大小为______.
13. 已知，则______.
14. 设，对任意实数x，用表示中的较小者．若函数至少有3个零点，则的取值范围为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15. 已知向量与的夹角为，且，，若，.
（1）当时，求实数的值；
（2）求的最小值.
16. 已知函数，的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为．
（1）求函数单调递增区间；
（2）将函数的图象上各点的纵坐标不变横坐标缩短到原来的，再向右平移，得到函数的图象，求函数在区间上的值域．
17. 在中，角的对边分别为，且
（1）求角；
（2）已知，角C的角平分线交AB于D点，求CD长度的最大值.
18. 已知函数．
（1）当时，求函数的最大值
（2）若函数有两个不同零点，求实数的取值范围
（3）设，数列前项和为．证明：
19. 设数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）在和之间插入1个数，使成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；依次类推，在和之间插入个数，使成等差数列.
（i）若，求；
（ii）对于（i）中的，是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，说明理由.
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1. C.
2. A.
3. A.
4. B
5. C.
6. C.
7. A.
8. A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分
9. ACD
10. AC
11. BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. .
13. .
14. .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15. （1）因为，所以，即，
所以，
因为向量与的夹角为，且，，
所以，
所以，所以.
（2）因为，
所以，
由（1）知，且，，
所以，
则，
故当时，最小为.
16. （1）因为
，
又由题，所以，
所以，
令，，则，，
所以函数的单调递增区间为，．
（2）由（1），故由题意可得，
∵，∴，
故，
所以，即．
17. （1），
，
，又，
，
所以，
即，
，，.
(2)由于，
，
，
..
由正弦定理：，，
因为，所以，
则
令，则，，
，
则，
令，由解析式可知在单调递增，
所以
，
即长度的最大值为.
18. (1)时，，
则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，.
(2)由题意，有两个不等实根，
即有两个不等实根，
令，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，且时，，，
所以当时，方程有两个不等实根，
即函数有两个不同零点.
(3)由（1）知，时，在上单调递减，
当时，，即，
令，则，
即，所以，
令，则，
所以，
即
19. （1）当时，得；
当时，，
两式相减得，
所以是以1为首项，为公比的等比数列.
所以.
（2）①
设，
所以，
上面两式相减得，
所以
所以，
所以.
②
因为都是递减数列；
所以；
则，
令，即恒成立，
所以数列单调递增，
当时，；
则
所以；
当时，；
则，
所以，，成立，解得，存在；
当时，；
当时，；不满足题意，故不存在：
综上所述，当正整数对取和时，成立.
考试时间：120分钟 试卷分值：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数满足，则（ ）
A. 1 B. C. D. 2
3. 已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（ ）
A. B.
C.
4. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
5. 球是棱长为1的正方体的外接球，则球的内接正四面体体积为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（ ）
A. B. C. 1 D.
7. 函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 若不等式对一切恒成立，其中，e为自然对数的底数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分
9. 若直线不平行于平面，且，则下列结论错误的是（ ）
A. 内的所有直线与是异面直线
B. 内不存在与平行的直线
C. 内存在唯一一条直线与平行
D. 内所有直线与都相交
10. 已知复数，，则下列说法正确是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，，则最小值为3
D. 若且，则，均为纯虚数
11. 已知函数，（ ）
A. 函数为单调减函数
B. 函数的对称中心为
C. 若对，恒成立，则
D. 函数，与函数的图象所有交点纵坐标之和为20
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，则向量与的夹角大小为______.
13. 已知，则______.
14. 设，对任意实数x，用表示中的较小者．若函数至少有3个零点，则的取值范围为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15. 已知向量与的夹角为，且，，若，.
（1）当时，求实数的值；
（2）求的最小值.
16. 已知函数，的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为．
（1）求函数单调递增区间；
（2）将函数的图象上各点的纵坐标不变横坐标缩短到原来的，再向右平移，得到函数的图象，求函数在区间上的值域．
17. 在中，角的对边分别为，且
（1）求角；
（2）已知，角C的角平分线交AB于D点，求CD长度的最大值.
18. 已知函数．
（1）当时，求函数的最大值
（2）若函数有两个不同零点，求实数的取值范围
（3）设，数列前项和为．证明：
19. 设数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）在和之间插入1个数，使成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；依次类推，在和之间插入个数，使成等差数列.
（i）若，求；
（ii）对于（i）中的，是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，说明理由.
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1. C.
2. A.
3. A.
4. B
5. C.
6. C.
7. A.
8. A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分
9. ACD
10. AC
11. BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. .
13. .
14. .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15. （1）因为，所以，即，
所以，
因为向量与的夹角为，且，，
所以，
所以，所以.
（2）因为，
所以，
由（1）知，且，，
所以，
则，
故当时，最小为.
16. （1）因为
，
又由题，所以，
所以，
令，，则，，
所以函数的单调递增区间为，．
（2）由（1），故由题意可得，
∵，∴，
故，
所以，即．
17. （1），
，
，又，
，
所以，
即，
，，.
(2)由于，
，
，
..
由正弦定理：，，
因为，所以，
则
令，则，，
，
则，
令，由解析式可知在单调递增，
所以
，
即长度的最大值为.
18. (1)时，，
则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，.
(2)由题意，有两个不等实根，
即有两个不等实根，
令，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，且时，，，
所以当时，方程有两个不等实根，
即函数有两个不同零点.
(3)由（1）知，时，在上单调递减，
当时，，即，
令，则，
即，所以，
令，则，
所以，
即
19. （1）当时，得；
当时，，
两式相减得，
所以是以1为首项，为公比的等比数列.
所以.
（2）①
设，
所以，
上面两式相减得，
所以
所以，
所以.
②
因为都是递减数列；
所以；
则，
令，即恒成立，
所以数列单调递增，
当时，；
则
所以；
当时，；
则，
所以，，成立，解得，存在；
当时，；
当时，；不满足题意，故不存在：
综上所述，当正整数对取和时，成立.
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