中考数学（河南专用）复习解答题题型突破专题9圆的综合题课件(共42张PPT)

(共42张PPT)
专题九　圆的综合题
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(1)证明:∵OD⊥BC于点F,BD与☉O相切于点B,∴BD⊥OB,∴∠OFB=∠OBD=90°.
∵∠HOB=∠BOD,∴△HOB∽△BOD,
∴∠OBF=∠D.
∵∠OBF=∠AEC,∴∠D=∠AEC.
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归纳总结　涉及圆的切线时,①已知切线,连接圆心与切点,然后利用切线的性质及其他知识解决问题;②若要证明某直线是圆的切线,则运用圆的相关性质证明半径与直线所成的角是直角.
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1.(2025·河南模拟)
如图,AC是☉O的直径,点D为☉O上一点,在CD的延长线上取点B,使得AB=AC,过点D作DE⊥AB,交AB于点E,交CA的延长线于点F.
(1)求证:DF为☉O的切线;
(2)若AE=1,AF=3,求sin B的值.
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(1)证明:如图,连接OD,AD,
∵∠ADC=90°,
∴AD⊥BC.
∵AB=AC,
∴BD=CD.
∵OA=OC,∴OD为△ABC的中位线,
∴OD∥AB.
∵DE⊥AB,∴DE⊥OD,即DF⊥OD.
∵OD为☉O的半径,∴DF为☉O的切线.
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类型2　生活中的应用
【例2】　(2025·河南南阳模拟)古代纺纱工具——手摇纺车,据推测出现在战国时期,常见由木架、锭子、绳轮和手柄四部分组成,常见的手摇纺车是锭子在左,绳轮和手柄在右,中间用绳弦传动,称为卧式(如图1).另一种手摇纺车,则是把锭子安装在绳轮之上,也是用绳弦传动,称为立式(如图2).卧式由一人操作,而立式需要两人同时配合操作,因卧式更适合一家一户的农村副业之用,故一直沿袭流传至今.某数学实践小组对卧式手摇纺车纺线时的场景进行了探究:纺线时(如图3),木架水平放置,即绳轮☉O与水平面DE相切于点E,线绳绕过绳轮汇聚于点D处放置的锭子上,即线绳CD与☉O相切于点C,过切点E的直径与☉O交于点A(图中点O,A,E,D,C在同一平面内).
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(1)证明:∵DE,DC是☉O的切线,
∴OC⊥CD,OE⊥ED,∴∠OCD=∠OED=90°.
∵∠OCD+∠OED+∠COE+∠CDE=360°,
∴∠COE+∠CDE=180°.
∵∠COE+∠COA=180°,∴∠AOC=∠CDE.
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归纳总结　解决生活中圆的应用问题,首先要抽象出圆,然后应用圆的基本性质解决问题.
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2.(2025·河南漯河模拟)
【实践课题】通过测量相关距离与角度,计算待建环山路的长度.
【实践工具】测距仪、测角仪等测量工具.
【实践活动】如图,某山的一侧已建成了三段休闲步道,数学实践小组经过现场勘探,画出示意图,休闲步道分别是AB,BC,CD,且A,B,C,D在同一水平面上.经过多次测量,得到如下数据:AB=BC=7.5 km,CD=5 km,∠ABC=106.4°, ∠BCD=126.8°.
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【问题解决】城建部门准备在山的另一侧修建一条以AD为直径的半圆状环山路(图中虚线部分).
(1)求A,C两点间的距离;
(2)求该条待建环山路的长度(结果保留π).
(参考数据:sin 53.2°≈0.80,cos 53.2°≈0.60,sin 73.6°≈0.96,cos 73.6°≈0.28)
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3.(2025·河南驻马店模拟)足球运动员带球跑动时有多种路线,比如横向、竖向、斜向等,而竖向跑动(用直线l表示)一般又分为以下两种情况(A,B为门框端点):
①l⊥AB,垂足D在线段AB上:
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②l⊥AB,垂足M在线段AB外:
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(1)当运动员带球沿图1的l竖向跑动时,请证明在点P射门进球的可能性大于在点Q射门进球的可能性(即求证:∠APB>∠AQB);
(2)如图2,当过点A,B的☉O与l相切时,切点即为最佳射门点,若AB=4 m,MB=2 m,求最佳射门点到M的距离.
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类型3　圆与数学文化
【例3】　(2025·河南南阳模拟)中国最迟在四千多年前的夏禹时代已有了马车,而目前考古发现最早的双轮马车始见年代为商代晚期(河南安阳殷城).小明在殷墟游玩时,见到了如图1的马车车厢模型,他绘制了如图2的车轮侧面图.如图2,当过圆心O的车架AC的一端C落在地面上时,AC与☉O的另一个交点为点B,水平地面CD切☉O于点D.
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(1)证明:如图,连接OD,
由题意可得∠ODC=90°,
即∠ODB+∠BDC=90°,
∵∠ADB=90°,即∠A+∠OBD=90°.
∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB,
∴∠BDC=∠A.
(2)解:∵∠BDC=∠A,∠C=∠C,
∴△CBD∽△CDA,∴CD2=CA·CB.
∵☉O的直径AB=1,CA=CB+1,CD2=6,
∴(CB+1)·CB=6,CB=2,CB=-3(舍去).
答:BC的长度为2 m.
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归纳总结　(1)认真阅读背景材料,体会命题意图,把握首问中所给结论的解题方法;(2)在与圆相关的计算或解答过程中,要灵活利用圆的相关定理及性质并结合锐角三角函数和相似知识解答.
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4.(2025·河南平顶山模拟)汽车盲区是造成交通事故的罪魁祸首之一,它是指驾驶员位于正常驾驶座位置,其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域.如图1,有一种汽车盲区叫作内轮差盲区,内轮差是车辆在转弯时前内轮转弯半径与后内轮转弯半径之差,由于内轮差的存在,汽车在转弯时都会产生这种盲区.为了安全,许多路口都设置“右转危险区”标线.图2是货车在路口“右转危险区”的示意图,后内轮转弯半径O1A=O1D=4 m,前内轮转弯半径O2B=O2C=a m,∠DO1A=∠CO2B=90°.
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(1)图2中O1A,O1D,弧AD围成的扇形面积为　4π m2　(结果保留π);
(2)用a的代数式表示“右转危险区”的面积,并求出当a=2时,“右转危险区”的面积(结果保留π);
(3)小明站在线段O1O2的延长线上,且与O2的距离为1.2 m的地方,若O1,O2之间的距离为3 m,请判断小明是否有危险,并说明理由.
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类型4　圆与古代典籍
【例4】　(2025·河南安阳模拟)
欧几里得是古希腊最盛名、最有影响力的数学家之一,被称为“几何之父”,他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础,被广泛认为是历史上最成功的教科书.
小明在阅读《几何原本》时,看到定理3.32的叙述:如果一条直线切于一个圆,而且由切点作一条过圆内部的直线与圆相截,该直线与切线所成的角等于另一弓形上的角.
小明尝试证明这个定理,他作出如下图形,通过分析,发现若证明这个定理,需研究∠AMN与∠MEN的关系.
请帮助小明写出已知,求证,并证明.
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已知:如图,☉O中,　直线AB切☉O于点M,过点M的直线交☉O于点N　,点E为劣弧上一点,连接ME,NE.
求证:　∠AMN=∠MEN　.
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解:证明:如图,连接MO并延长交☉O于点F,连接NF,∵直线AB切☉O于点M,
∴∠FMB=∠FMN+∠NMB=90°.
∵FM是☉O的直径,
∴∠FNM=90°,∴∠FMN+∠F=90°.
∴∠F=∠NMB,又∵四边形MENF为圆内接四边形,
∴∠F+∠MEN=180°.
∵∠AMN+∠NMB=180°,∴∠AMN=∠MEN.
归纳总结　与圆有关的古代典籍问题,解题的关键是要从阅读材料中找到古籍定理的相关内容,找出与图形相对应的等量关系,第一问往往是解决后面问题的关键,常以第一问为载体进行挖掘.
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5.(2025·河南三门峡模拟)在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理.如图,已知劣弧AB,C是弦AB上一点.
(1)根据提示完成尺规作图(保留作图痕迹,不写作法);
①作线段AC的垂直平分线DE,分别交劣弧AB于点D,交AC于点E;
②以点D为圆心,DA长为半径作弧,交劣弧AB于点F(F,A两点不重合),连接BF;
(2)请连接DA,DC,DF,DB,引理的结论为:
BC=BF.请你证明此结论.
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类型5　圆与其他知识融合
【例5】　(2025·河南模拟)如图1,塑像AB在底座BC上,点D是人眼所在的位置.当点B高于人的水平视线DE时,由远及近看塑像,会在某处感觉看到的塑像最大,此时视角最大.数学家研究发现:当经过A,B两点的圆与水平视线DE相切时(如图2),在切点P处感觉看到的塑像最大,此时∠APB为最大视角.
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(1)证明:如图,设AD与圆交于点M,连接BM,
则∠AMB=∠APB.
∵∠AMB>∠ADB,
∴∠APB>∠ADB.
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解:(1)如图1,设弧MAN所在圆的圆心为O,连接OA,OB,过O作OH⊥CD于点H,
由题意可得OA⊥AC,OB⊥BD.
∵OH⊥CD,
∴∠AOH=∠BOH=90°,
∴A,O,B共线,
∴AB=CD=6.4 m,
∴弧MAN所在圆的直径为6.4 m.
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