中考数学（河南专用）复习解答题题型突破专题12类比、拓展探究题课件(共59张PPT)

(共59张PPT)
专题十二　类比、拓展探究题
类型1
类型2
类型3
类型4
类型5
类型1　与整合有关的探究
【例1】　(2025·河南)在∠AOB中,点C是∠AOB的平分线上一点,过点C作CD⊥OB,垂足为D,过点D作DE⊥OA,垂足为E,直线DE,OC交于点F,过点C作CG⊥DE,垂足为G.
(1)观察猜想
如图1,当∠AOB为锐角时,用等式表示线段CG,OE,OD的数量关系:　OD=CG+OE　;
(2)类比探究
如图2,当∠AOB为钝角时,请依据题意补全图形(无需尺规作图),并判断(1)中的结论是否仍然成立 若成立,请证明;若不成立,请写出正确结论,并证明;
图1
图2
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(1)解:如图1,过点C作CP⊥OA于点P,∵OC平分∠AOB,CD⊥OB,CP⊥OA,∴CP=CD,在Rt△POC和Rt△DOC中.∵OC=OC,CP=CD,∴Rt△POC≌Rt△DOC(HL),
∴OP=OD.∵DE⊥OA,CG⊥DE,CP⊥OA,∴∠CPE=∠PEG=∠CGE=90°,∴四边形CPEG是矩形,∴PE=CG,∴OD=OP=PE+OE=CG+OE.故答案为:OD=CG+OE.
图1
类型1
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如图2,过点C作CQ⊥OA于点Q,∵OC平分∠AOB,CD⊥OB,CQ⊥OA, ∴CQ=CD,在Rt△QOC和Rt△DOC中,∵OC=OC,CQ=CD, ∴Rt△QOC≌Rt△DOC(HL),∴OQ=OD.∵DE⊥OA,CG⊥DE,CQ⊥OA,
∴∠CQE=∠QEG=∠CGE=90°,∴四边形CQEG是矩形,∴QE=CG, ∴OD=OQ=QE-OE=CG-OE.
图2
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1.(2023·河南)李老师善于通过合适的主题整合教学内容,帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题,形成科学的思维习惯.下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题,请你解答.
(1)观察发现
如图1,在平面直角坐标系中,过点M(4,0)的直线l∥y轴,作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1,再分别作△A1B1C1关于x轴和直线l对称的图形△A2B2C2和△A3B3C3,则△A2B2C2可以看作是△ABC绕点O顺时针旋转得到的,旋转角的度数为　180°　;△A3B3C3可以看作是△ABC向右平移得到的,平移距离为　8　个单位长度;
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(2)探究迁移
如图2, ABCD中,∠BAD=α(0°<α<90°),P为直线AB下方一点,作点P关于直线AB的对称点P1,再分别作点P1关于直线AD和直线CD的对称点P2和P3,连接AP,AP2,请仅就图2的情形解决以下问题:
①若∠PAP2=β,请判断β与α的数量关系,并说明理由;
②若AD=m,求P,P3两点间的距离;
图2　　　　
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解:(2)①β=2α.理由如下:如图1,连接AP1,由轴对称的性质可得∠PAB=∠BAP1,∠P1AD=∠DAP2,
∴∠PAB+∠DAP2=∠BAP1+∠DAP1=∠BAD=α,∴β=2α.
②如图2,过点D作DG⊥AB,垂足为G.在Rt△AGD中,DG=msin α,设PP1交AB于点M,连接P1P3交CD于点N.∵点P1与点P3关于直线CD对称,∴CD垂直平分P1P3.同理AB垂直平分PP1.在平行四边形ABCD中,AB∥CD,∴点P3在直线PP1上,∴MN⊥AB,PP3=PP1+P1P3=2MN,∴MN=DG,∴PP3=2DG=2msin α.
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类型2　与旋转有关的探究
【例2】　(2025·河南南阳模拟)综合与实践
在学习了特殊平行四边形——菱形后,启星学习小组的同学们进行了如下活动.
【提出问题】
小东提出了一个问题:在菱形ABCD中,∠B=60°,将边DC绕点D逆时针旋转α得到线段DE,连接AE,∠CDE的平分线DM所在直线交直线AE于点F,连接CF,探究∠AFC的度数.
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【探究发现】
小东根据从特殊到一般的思路进行探究:
(1)如图1,当α=60°时,∠AFC的度数为　60　°;
(2)小东猜想当线段DE在如图2所示的位置时,(1)中的结论仍然成立,请你结合图2,判断小东同学的猜想是否正确,并说明理由;
图1
图2
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【得出结论】
(3)请阅读下面小东和小惠的讨论片段,并补充完整;

图3
小东:∠AFC的度数始终等于60°.
小惠:不对,∠AFC的度数不是始终等于60°.当点F在菱形ABCD外时,
∠AFC=60°;当点F在菱形ABCD内时(如图3),∠AFC=　120　°.
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2.(2025·河南新乡模拟)已知△ABC和△EDF为两个全等的等腰直角三角形,AB=4,∠ABC=∠EDF=90°,D为BC的中点,以点D为旋转中心,旋转△EDF,AB交EF于点J,AC分别交EF,FD于G,H两点.
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(1)如图1,当∠FDC=90°时,写出除△ABC和△EDF全等外的其他全等三角形:　△JBE≌△HDC,△AJG≌△FHG　;
(2)如图2,当点E恰好落在边AC上时,连接CF,求∠ECF的度数;
(3)旋转过程中,当DF所在的直线与边AC垂直时,请直接写出CF2的值.
图1
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备用图
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类型1
类型2
类型3
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(2)如图1,过点E作EM⊥BC于点M,过点F作FN⊥BC,交BC的延长线于点N.
图1
易证△EMD≌△DNF(AAS).
∴EM=DN,MD=NF.
又∵∠ECM=45°,
∴EM=CM,
∴CM=DN.
∴CM-CD=DN-CD,即MD=CN,∴CN=NF.∵∠FNC=90°,
∴∠FCN=∠CFN=45°.
∴∠ECF=180°-∠ECM-∠FCN=90°.
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类型3　与动点有关的探究
【例3】　(2025·河南安阳模拟)在等腰△ABC中,∠BAC=45°,AB=AC,D是AC边上一动点,连接BD,将BD绕点D顺时针旋转135°,得到DE,连接CE.
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(2)证明:如图2,延长DF到点M,使FM=DF,连接AM,CM,∵点F是EC的中点,∴EF=CF.∵∠DFE=∠MFC,∴△DEF≌△MCF(SAS),
∴CM=DE=BD,∠MCF=∠E.
∵∠ACM=∠MCF+∠ACE=∠E+∠ACE=∠ADE=135°-∠ADB.
∵∠BAC=45°,∴∠ABD+∠ADB=135°,∴∠ABD=135°-∠ADB,
∴∠ABD=∠ADE=∠ACM,
又∵AB=AC,∴△ABD≌△ACM(SAS),
∴AD=AM,又∵DF=MF,∴AF⊥DF.
图2
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3.(2025·河南郑州模拟)在学习特殊四边形的过程中,我们积累了一定的研究经验.请运用已有经验,对“搭档三角形”进行探究.
定义:一个等腰三角形的腰与另一个三角形的一边重合、两个三角形的公共边所对的角相等,这样的一组三角形称为“搭档三角形”.
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(1)操作判断
用两块全等的等腰直角三角形纸板拼出如图1所示的图形,其中是“搭档三角形”的有　BC　(填字母);
(2)性质探究
根据定义进行如下探究.
已知△ABC和△ACD是“搭档三角形”,AC=AD.以点A为圆心,AB的长为半径画弧,交BC的延长线于点E,连接DE.
①若∠B=45°,如图2,求∠CED的度数;
②若BC=m,∠B=θ(0°<θ<45°),如图3,
求点D到BC的距离(用含m,θ的式子表示);
图1
A
B
C
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备用图
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解:(2)①如图1,连接AE,则AE=AB.又∠B=45°,
∴∠AEB=45°,∠BAE=90°.∵AC=AD,∠ADC=∠B=45°,
∴∠CAD=90°,∴∠BAC=∠EAD,∴△ABC≌△AED(SAS),
∴∠AED=∠B=45°,∴∠CED=90°.
图1
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②如图2,连接AE,则∠1=∠B,∴∠BAE=180°-2∠B.
∵AC=AD,∴∠2=∠3,∴∠CAD=180°-2∠2.又∠B=∠2,∴∠BAE=∠CAD,∴∠4=∠5,∴△ABC≌△AED(SAS),
∴∠AED=∠B=θ,DE=BC=m,∴∠DEC=2θ.
过点D作DH⊥BE于点H,则DH=DE·sin ∠DEC=msin 2θ,故点D到BC的距离为msin 2θ.
图2
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类型4　与轴对称有关的探究
【例4】　(2025·河南周口模拟)综合与实践
【问题情境】
如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=8,点E在边BC上,将△ABE沿AE所在的直线折叠,得到△AFE.
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备用图
【深入探究】
(3)连接FD,当△AFD的面积为4时,请直接写出BE的长.
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(3)分两种情况:①如图1,当点F在矩形ABCD内部时,过点F作FN⊥BC,延长NF,交AD于点M,则FM⊥AD.
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4.(2025·河南模拟)在数学活动课上,老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.
(1)操作推断
如图1,点P是正方形纸片ABCD的边AD的中点,沿BP折叠,使点A落在点M处,延长BM交CD于点F,连接PF.则∠BPF=　90　°;
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(2)迁移探究
小华在(1)的条件下,继续探究:如图2,延长PM交CD于点E,连接BE.
①∠PBE=　45　°;
②小华用大小不同的正方形纸片重复几次以上操作,总发现CF=3FD.请判断该发现是否正确 并说明理由;
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②正确,理由如下:如图1,根据折叠性质,
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