安徽省十校联盟2025-2026学年高二上学期12月月考
数学试题
一、单选题
1．已知平面的一个法向量，若直线平面，则直线的一个方向向量可以是（ ）
A． B． C． D．
2．若首项为2的数列满足，则（ ）
A． B． C． D．1
3．若直线过点且与直线相互垂直，则原点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．在三棱柱中，，分别是线段，上靠近，的三等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，第二象限内的点在椭圆上，且轴，若点满足，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知数列满足，且，则（ ）
A．60 B．62 C．64 D．66
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，， ，且直线为内切圆的一条切线，则内切圆的半径为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列点一定在直线上的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知数列的前项和为，若，则（ ）
A．是等差数列 B．不是等差数列
C．是等差数列 D．不是等差数列
10．已知动点满足，则（ ）
A．点的轨迹长度为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
11．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，其中，，则（ ）
A．直线的斜率为 B．点到轴的距离为6
C．的面积为 D．直线的倾斜角为或
三、填空题
12．已知圆与圆有且仅有2条公切线，则实数的取值范围为 ．
13．在正方体中，，若点为线段上靠近的三等分点，则点到平面的距离为 ．
14．已知数列的通项公式为，若数列中的最小项为3，则实数的最小值为 .
四、解答题
15．已知等差数列的前项和为，其中，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求满足条件的的值构成的集合.
16．已知椭圆，点，，在椭圆上，且，关于原点对称.
(1)若直线，的斜率存在，求直线，的斜率之积；
(2)若直线的方程为，求的值.
17．已知圆过点，，，圆与圆交于，两点，且点在直线上，直线的方程为.
(1)求圆、的方程；
(2)过点作相互垂直的两条直线，与圆分别交于、，、，求四边形面积的取值范围.
18．已知五边形是由等边三角形与矩形拼接而成，如图1所示，其中；现沿进行翻折，使得平面平面，得到的图形如图2所示，其中点为线段的中点，在线段上，且平面.
(1)求证：为线段的中点；
(2)已知点在线段上（包含端点位置），求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
19．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线过点.
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线右支上的一点作直线，，其中，均与曲线有且只有一个交点，且双曲线的左支与直线交于点，右支与直线交于点.
（i）求证：；（为坐标原点）
（ii）求的最小值，并求出此时，的方程.安徽省十校联盟2025-2026学年高二上学期12月月考
数学答案
1．A
2．B
3．C
4．A
5．D
6．A
7．C
8．D
9．AC
10．ACD
11．ABC
12．
13．
14．
15．（1）由可知，，，
联立两式，解得，故，
因此数列的通项公式为；
（2）因为，
故即，
解得，故，
即满足条件的的值构成的集合为.
16．（1）设，则，由题易知，即.
.
因为点均在椭圆上，故有，两式相减得，
整理得，因此.
（2）联立直线与椭圆方程，，消去，整理得：，
由韦达定理得，，
由弦长公式，
.
17．（1）设圆的方程为，
由题意可得，解得，
所以圆的方程为，即，
因为点在直线上，设，圆的半径为，
则圆的方程为，即，
因为圆与圆交于，两点，
故两圆相交即得相交弦所在直线方程，即，
因为直线的方程为，即，
故系数比例相同，即，解得，，
所以圆的方程为；
（2）如图，作出符合题意的图形，
因为，所以点在圆内，
因为，所以，圆心，半径为，
若直线斜率不存在，则，
圆心到直线的距离为，，
圆心到直线的距离为，，此时，
若直线斜率存在，设斜率为，则直线的斜率为，
则直线，直线，
圆心到直线的距离为，故，
圆心到直线的距离为，故，
所以，
化简可得，,
令，
当且仅当时，即时等号成立，
所以，即，
综上，四边形面积的取值范围为.
18．（1）由题意得，令，则，
连接，作，则由矩形性质得，
因为平面平面，面，所以面，
如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
因为等边三角形，所以由勾股定理得，，
则，
得到，，，
设面的法向量为，，
则，令，解得，
则面的法向量为，
由题意得在线段上，则，可得，
而，则，解得，
则，得到，
因为平面，所以，
则，解得，
此时，故为线段的中点.
（2）由题意得在线段上，则，
由已知得，则，
设，则，
可得，解得，可得，
由已知得，则，
而，，
设面的法向量为，
则，令，解得，
则面的法向量为，
设直线与平面所成角为，，
则
，
则，
令，可将化为，
令，由二次函数性质得在上单调递增，
则最小值为，此时取得最大值，，
结合题意可得，当取得最大值时，也取得最大值，
则最大值为.
19（1）设双曲线的方程：，
将点代入可得，，解得，
故双曲线的方程为．
（2）（i）由题意知，直线，为圆的两条切线，
显然圆的切线，即的斜率存在，
设切线，由于切线不平行于的渐近线，则，
又圆心到切线的距离：，则，
联立方程：，消去得，
由于，设，则，
而，
则，
即，故．
（ii）由（i）同理可得，，由于三点共线，则，
设切线与圆的切点为，则，
故，
而
，
又，则，当时，，，
此时直线平行于轴，则的纵坐标的绝对值为圆的半径，
所以，故直线，直线．
