课件28张PPT。中考复习专题之
格点问题九江市田家炳实验中学 孙勇 格点问题在近三、四年中考考题中几乎每年都会出现，从第一次出现就给人耳目一新的感觉，格点问题中的网格背景作为一个平台综合了坐标、平移、旋转、函数、三角函数、相似等多个知识点，融合了数量关系和位置关系，将初中数学中的代数和几何知识很自然的融合一体。 格点问题在江西中考试题中基本是以选择题、填空题的形式出现，2006年是一道填空题， 2007年是一道解答题，2008年是一道选择题。虽然格点问题在中考中所占的分值较小但“格点问题”突出了“数形结合”的数学思想方法,考查了学生对图形的观察力和对数学规律的发现探究能力及学生的创新意识、决策意识和实践能力，其涉及的知识点十分广泛,综合性很强.因此“格点问题”现已成为中考中的热点题型。 现在新课程标准对学生在数学思考能力和解决问题能力等方面越来越重视。而格点问题主要考查学生的直觉推理能力和问题探究能力。并且格点问题操作性强、趣味性浓，体现了新课标的“在玩中学，在学中思，在思中得”的崭新理念。因此格点问题可以通过考试促进教师在教学过程中贯彻新课标的理念。格点问题中的常见题型：
1、坐标平面内的点与有序实数对一一对应
2、在网格中运用勾股定理进行计算
3、网格中图形变换
4、网格图形的操作方案设计问题
5、分类讨论思想在格点问题中的运用
6、利用格点图形探究规律1、坐标平面内的点与有序实数对一一对应
【例1】如图，围棋盘的左下角呈现的是一局围棋比赛中的几手棋．为记录棋谱方便，横线用数字表示，纵线用英文字母表示，这样，黑棋①的位置可记为(C，4)，白棋②的位置可记为(E，3)，则白棋⑨的位置应记为___________ ．
解析:
该题考查对平面直角坐标系中点的坐标的认识【例2】已知△ABC 在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A‘B’C‘ 与△ABC 关于y轴对称，那么点A的对应点A’的坐标为（ ）．
A．(－4，2) B、(－4，－2)
C．(4，－2) D．(4，2) ．解析：
该题考查轴对称的性质，两点与x、 y轴和原点对称与坐标之间的关系。2、在网格中运用勾股定理进行计算．
【例3】如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为_______m．（结果保留根号）解析：
推导两点间的距离公式是以勾股定理为基础的，网格中两个格点间的距离当然离不开构造直角三角形，可以看到，AB、BC分别是直角边为1、2的两个直角三角形的斜边，容易计算AB+BC=【例4】 （2008年江西中考题）下列四个三角形， 与右图中的三角形相似的是（ ）
解析：
该题考查相似三角形的判断定理，利用网格长度和勾股定理计算出各条边的长度，再利用对应边成比例达到判断相似的目的。【例5】三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是( ).
B. C. D. ．
A .解析:
该题在网格中考查锐角的正弦的意义，首先要用勾股定理计算直角三角形斜边的长．【例6】如图5，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC 边上的高（ ）．
B． C． D． ．
A ．解析：
该题考查三角形面积公式。首先利用网格特性计算出三角形的面积，再用勾股定理计算AC的长【例7】如图1，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中A点坐标为(2，－1)，则△ABC的面积为＿＿＿＿平方单位．
解析：
该题利用网格方便计算规则图形优点在图2中构造不规则三角形的外接矩形，这是计算不规则三角形面积常用的办法．图1图2【例8】如图1，将一块正方形木板用虚线划分成36个全等的小正方形，然后，按其中的实线切成七块形状不完全相同的小木片，制成一副七巧板．用这副七巧板拼成图2的图案，则图2中阴影部分的面积是整个图案面积的( )．图1 图2解析:
该题考查相似三角形面积和对应边的比的关系，同时题目中的图2是对思维的干扰，如果直接提问“图1中小正方形的面积是大正方形面积的几分之几”，问题就变得简单明了．3、网格中图形变换．
【例9】在5×5方格纸中将图1中的图形N平移后的位置如图2所示，那么下面平移中正确的是（ ）
A. 先向下移动1格，再向左移动1格； B. 先向下移动1格，再向左移动2格；C. 先向下移动2格，再向左移动1格； D. 先向下移动2格，再向左移动2格．[解析] 该题考查图形的平移与对应点的关系。归根到底图形的平移是对应点的平移，图形在平移的过程中对应点的连线平行且相等． 图1 图2【例10】如图1，点O、B的坐标分别为(0， 0)、(3， 0)，将△OAB绕O点逆时针方向旋转90°得到△OA′B′．
⑴画出△OA′B′；
（2）求弧BB′的长．[解析] 该题考查的图形的旋转和旋转的性质。如图2，点B′的位置很容易确定，点A′的位置较难确定？将OA为对角线的矩形绕O点逆时针方向旋转90°，就可以确定点A′的位置．弧BB′的长就要利用弧长公式。．图1图24、网格图形的操作方案设计问题．
【例11】如图，在网格中有两个全等的图形(阴影部分), 用这两个图形拼成轴对称图形，试分别在图(1)、(2)中画出两种不同的拼法．解析:
该题一道人性化的操作型开放题，只要理解了轴对称图形的意义，选取一条适当的直线作对称轴，就可以画出符合题意的图形．
【例12】（2006年江西中考题）请在由边长为1的小正三角形组成的虚线网格中画出一个所有顶点均在格点上，且至少有一条边长为无理数的等腰三角形.解析:
该题画法很多，只要利用等腰三角形的轴对称性结合网格特点再考虑到题目中的条件即可。【例13】请阅读下列材料：
问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形．
小东同学的做法是：设新正方形的边长为x(x＞0)．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得 ．由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长．于是，画出如图2所示的分割线，拼出如图3所示的新正方形．请你参考小东同学的做法，解决如下问题：
现有10个边长为1的正方形，排列形式如图4，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图4中画出分割线，并在图5的正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形．解析:
该题考查学生知识变迁和理解、模仿、应用的能力。本题同时要利用方程的思想和勾股定理的知识，用代数的方法解决几何问题．． 【例14】在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离，这样的图形变换为平移，如图1，将网格中的三条线段沿网格线的方向（水平或垂直）平移后组成一个首尾依次相接的三角形，至少需要移动（ ）．
A.12格； B.11格 ； C.9格； D.8格．
解析:
我们可以通过勾股定理及其逆定理先判断三条线段围成的三角形是等腰直角三角形，再来确定平移的“原则”：三条线段同时平移（向目标集中），则效率最快．如图，线段AB、CD的方向没有改变，线段EF的方向只改变了1次．
这是一道很好的研究性学习的题目，可以在活动中激发学生的学习兴趣和探究精神．图15、分类讨论思想在格点问题中的运用．【例15】已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A、B、C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数为( )
A．3个； B．4个； C．5个； D．6个．解析:
分类讨论关键是确定分类的标准，正确解题要做到点C的个数不遗不漏？按照点C所在的直线分为两种情况：当点C与点A在同一条直线上时；当点C与点B在同一条直线上时．【例16】如图所示，A、B是4×5网络中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中清晰标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置．解析:
该题考察等腰三角形的概念，看上去很简单，但放在格点中学生很难找全所有满足条件的点。如果采用圆规动手操作会使这题变的更简单。用分类的思想分别以A、B为顶点，AB长为半径画圆，圆弧经过格点C1、C2 、C3 ． 【例17】已知Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，P（3，4）为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分．
问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB 相似？
（注：在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相应的点C的坐标）解析 :
按照公共锐角进行分类，可以分为两种情况：当∠BOA为公共锐角时；当∠B为公共锐角时）．6、利用格点图形探究规律． 【例18】如图,在10×10的正方形网格纸中，线段AB、CD的长均等于5．则图中到AB和CD所在直线的距离相等的网格点的个数有（ ） A. 2个； B. 3个； C. 4个； D. 5个．
解析:
从题目的语气看，似乎要画直线AB与CD 夹角的平分线，但是网格中没有画出直线AB与CD 的夹角，图形的特殊性就在于AC//BD，又已知AB=CD，因此四边形ABDC是等腰梯形，线段BD的垂直平分线就是这个等腰梯形的对称轴．如图，M、N分别为BD、AC的中点，直线MN上的点到直线AB、CD的距离相等．恰好点M是格点，以MB为斜边的直角三角形的直角边长为3和1，这样，斜边在直线MN上，直角边为3和1的格点直角三角形有3个，符合题意的点有4个．选C．【例19】在边长为l的正方形网格中，按下列方式得到“L”形图形第1个“L”形图形的周长是8，第2个“L”形图形的周长是12,则第n个“L”形图形的周长是多少？
解析:
把图1中“L”形图形的边平移，成为图2中的形状，周长没有变化，规律尽在不言中．第n个“L”形图形的周长是4(n+1)． 图1图2
格点问题是近几年新课程中考数学命题的热点问题，新颖的题目不断涌现，但是归根到底，中考题还是来源于课本，格点问题是课本知识的情景再现，我们一定要围绕课本开展复习．谢谢大家！
再 见！中考复习---统计与概率
同文中学 黄志勇
一、中考说明的解读
统
计
数据的收集
了解普查和抽样调查的区别，知道抽样的必要性及不同的抽样可能得到不同的结果
总体、个体、样本、样本容量
能指出总体、个体、样本、样本容量；理解用样本估计总体的思想
能根据有关资料，获得数据信息，发表自己的看法
能通过收集、描述、分析数据的过程做出合理的判断和预测，认识到统计对决策的作用，能表达自己的观点
平均数、众数、中位数
理解平均数的意义，会求一组数据的平均数（包括加权平均数）、众数与中位数
能用样本的平均数估计总体的平均数；根据具体问题，能选择合适的统计量表示一组数据的集中程度
统计表与统计图
会用扇形统计图表示数据
会列频数分布表，画频数分布直方图和频数折线图
能利用统计图、表解决简单的实际问题
极差、方差
会求一组数据的极差、方差
根据具体问题，会用它们表示数据的离散程度；能用样本的方差估计总体的方差
频数和频率
理解频数、频率的概念；了解频数分布的意义和作用；能通过实验，获得事件发生的频率
利用频数、频率解决简单的实际问题
概
率
事件
了解不可能事件、必然事件和随机事件的含义
概率
了解概率的意义；知道大量重复实验时，可用频率估计事件发生的概率
会运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率
通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题
二、知识结构
三、统计课程的复习建议
准确把握考试要求，知识讲解适度即可
1. 对普查与抽样调查的讲解定位为基本了解，能结合实例分析何时选择普查，何时选择抽样调查，但不必作更多、更高的要求.
2. 能识别、补充、绘制统计表、条形统计图、扇形统计图和折线统计图，并能认识到各种统计数据描述形式的特点及优缺点，但不必对此深入挖掘.
3. 会计算平均数、加权平均数、中位数、众数等反映数据集中趋势的特征数据，会计算反映数据离散程度的极差、方差，理解这两类统计量的意义.
四、概率课程的复习建议
这部分内容是在《标准》实施后的新增内容，可能性的大小、概率的计算以及用概率解释（或解决）日常生活中的实际问题是这部分的重点内容.
1.理解频率与概率之间的关系，知道大量重复实验时，频率的稳定值可近似地作为随机事件发生的概率，但对“大量”不必做解释说明.
2. 理解古典概型问题概率计算的原则：各事件发生是等可能的，求出事件发生的所有结果数，求出满足条件的事件发生的结果数，但不必引进利用排列组合的方法进行计算求解.
3. 尽管全国各地已经出现了将代数、几何、概率等领域的知识相结合的试题，但是我们没必要因此而无限加大概率知识的难度. 实际上，只要我们理解了概率的本质，掌握了计算概率的基本方法，其他知识的引入仍然不会干扰我们的解题. 因此，我们在进行复习时，不必进行过多的联系，而应该踏踏实实地对基本知识、基本技能和基本思想方法进行复习.
五、复习策略
（一）立足于学生，抓落实.
教学是教与学的统一过程，在这个过程中，学生是主体，教材是客体，教师是主导，作为复习课又有它的特殊性，复习的知识都是过去学习过的，就全班而言有的学得好，有的学得不扎实，我们就要深入了解哪些学生学得不好，那部分知学得不扎实，才能有目的、有准备的让学生参与课堂活动.落实的方法有两种：作业和小测.
（二）立足于课堂，抓效率.
在课堂教学中，教师要对知识的引入，新旧知识的衔接、例题的选择、学生知识现状学生对知识的接受能力，复习课上教师注意“以题代点、以题论法”，合理的安排讲练的时间，注意知识的纵横联系，注意教学基本思想的渗透，注意基本方法的训练，注意总结出学习的规律性，充分发挥课堂效益，尽量把问题解决在课堂.
（三）立足于课本，抓变换
在复习中要立足于课本，离开了课本的复习必然是无源之水，特别是教师，要充分挖掘和发挥课本中的例题、习题的潜在的功能，教给学生通过类比、延伸，拓展出一些新颖的变式题，并加以解决，从中归纳整理出基础知识、基本技能、基本方法、掌握教材中的通性通法.
（四）针对题目，抓本质
复习中要做大量的习题，教师的思维一定要站高，要能把一个知识点的应用和考查方式研究透彻.
建议：在中考复习教学中，解题训练是极为重要的，但习题演练的关键不在题量，不是简单机械的重复训练和题海战术， 解题训练要有一定的系统性、 针对性，有明确的考察目标和培养方向。在平时教学中，我们应该多对一个已有的习题进行系列改编变式，形成一个题组或题链，在变式探究的过程中，学生的思维逐步深入，有利于促进学生对知识本质的认识，对各种数学思想方法的熟练掌握，有利于培养学生思维的灵活性和深刻性。
（五）复习时间不宜过多，如何落实才是关键
1. 统计与概率领域的复习时间应根据学生情况而定，但总体上不宜太长，并且最好在第一轮复习中详细讲解，以后主要是通过模拟考试进行考查、落实.
2. 在复习过程中，不要把练习题收集的过多过难，所选择的题目只要能覆盖考试要求中所涉及到的各个知识点并达到了相应的能力要求即可.
3. 对所选的每一道习题一定要落实到位，如果学生出现了错误，就应该及时更正，再练习，直到学生掌握为止.
4. 在各次模拟考试试题的命题时，要有总体计划，使得各次考查结束后能对统计与概率领域的知识进行全面而又有重点的考查，以便发现问题、解决问题.
5. 对统计知识的复习可以尝试按照统计过程的先后顺序引导学生进行思考，对概率的计算可以尝试通过对背景的分类进行整理.
六、归类示例
类型一 统计方法的应用
例1、下列调查适合作普查的是（ ）
A．了解在校大学生的主要娱乐方式 B．了解宁波市居民对废电池的处理情况
C．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命
D．对甲型H1N1流感患者的同一车厢的乘客进行医学检查
【解析】D 题中A、B、C三项受客观条件限制，无法对所有个体进行普查，常采用抽样调查；只有D必须做全面调查.
变式题：下列调查适合作抽样调查的是( )
A．了解义乌电视台“同年哥讲新闻”栏目的收视率
B. 了解某甲型H1N1确诊病人同机乘客的健康状况
C. 了解某班每个学生家庭电脑的数量
D. “神七”载人飞船发射前对重要零部件的检查
类型二 与统计有关概念、及统计图表的应用
例2、“勤劳”是中华民族的传统美德，学校要求同学们在家里帮助父母做些力所能及的家务. 王刚同学在本学期开学初对部分同学寒假在家做家务的时间进行了抽样调查（时间取整数小时），所得数据统计如下表：?
时间分组
0.5～20.5
20.5～ 40.5
40.5～ 60.5
60.5～ 80.5
80.5～ 100.5
频 数
20
25
30
15
10
（1）抽取样本的容量是 .?
（2）根据表中数据补全图中的频数分布直方图.?
（3）样本的中位数所在时间段的范围是 .?
（4）若该学校有学生1260人，那么大约有多少
学生在寒假做家务的时间在40.5～100.5小时之间？
【解析】本题重点考查了统计基础知识—频数分布直方图以及计算、解决实际问题和信息处理能力，本题还考查了利用样本估算总体的思想.
类型三 平均数、中位数、众数、极差、方差及其应用
例3、在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶.图1是其中的甲、乙路段台阶的示意图.请你用所学过的有关统计知识（平均数、中位数、方差和极差）回答下列问题：
（1）两段台阶路有哪些相同点和不同点？
（2）哪段台阶路走起来更舒服？为什么？
（3）为方便游客行走，需要重新整修上山的小路.对于这两段台阶路，在台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修建议.
【解析】本题重点考查了平均数、极差与方差的有关知识的理解与应用能力.本题的背景是游客上山的小路，具有很强的现实性.同时，3个设问将生活中的现象（台阶路的平稳）与数学自然地挂上了钩，使学生经历了一个数学化的过程——将对台阶的比较这一现实问题转化为对两组数据的比较. 本而第（3）问要求提出合理的整修建议，更具有很强的开放性，考查了运用数学解决问题的能力.本题对相关数学概念（平均数、方差等）现实意义的理解水平的考查要求较高.一般地，当数据的“平均水平”相近时，两者的离散程度未必相同，这是我们需要通过考查方差或极差，对数据进行合理的决策.
类型四 概率的相关概念及计算、应用
例4、集市上有一个人在设摊“摸彩”，只见他手拿一个黑色的袋子，内装大小、形状、质量完全相同的白球20只，且每一个球上都写有号码（1～20号），另外袋中还有1只红球，而且这21只球除颜色外其余完全相同.规定：每次只摸一只球.摸前交1元钱且在1～20号内写一个号码，摸到红球奖5元，摸到号码数与你写的号码相同奖10元.你认为该游戏对“摸彩”者有利吗？说明你的理由.若一个“摸彩”者多次摸奖后，他平均每次将获利或损失多少元？
【解析】本题重点考查了如何用概率知识来解释一些生活中事件发生的概率，进一步丰富对概率的认识，并能结合具体实际问题，利用简单的概率计算来判断游戏的公平性.
七、中考命题热点及趋势
1.以考查基本知识为主，面向全体得分；
2.江西省近四年这部分的题基本是选择或填空一题、解答两题，分别考统计量（平均数、众数、中位数）计算、 读统计图表、补图、用样本平均数总体平均数，分析数据表达自己的观点,概率计算；
3. 概率与其它知识点的有机结合是近年来中考命题的热点，值得我们关注 ；
4.结合具体问题，直接考查统计与概率的有关概念、图象信息捕捉运用能力.
06年、07、08、09年课标卷中概率统计试题分布表：
年份
题号
试题所占分数
占分比例
题型
考查内容
2006
6
3
15%
填空题
众数 中位数
19
7
解答题
计算概率
22
8
解答题
统计的应用
2007
3
3
18.3%
选择题
统计的应用
11
3
填空题
可能性
20
8
解答题
统计的应用
22
8
解答题
计算概率
2008
15
3
14.2%
填空题
平均数
19
6
解答题
计算概率
23
8
解答题
统计的应用
2009
6
3
15%
选择题
众数 中位数
19
7
解答题
计算概率
20
8
解答题
统计的应用
热点一: 统计图表及数据信息的提取.
命题趋势: 对于数据的表示，固然要求学生会制作有关统计图表，但随着现代科技的发展，制作统计图表的工作将越来越多地为计算机所代替. 因此，在有关技能考查中，图表的制作不应是考查的重点所在，而对于图表制作原理的理解以及图表信息的提取、图表的特点和选用等应成为考查的重点.
(1)呈现初步整理的结果或比较规范的图表，要求学生阅读图表提取信息.
例5．（2009年包头）某校为了了解九年级学生的体能情况，随机抽查了其中的30名学生，测试了1分钟仰卧起座的次数，并绘制成如图所示的频数分布直方图，请根据图示计算，仰卧起座次数在15~20次之间的频率是（ ）
A．0.1 B．0.17 C．0.33 D．0.4
(2)呈现不完整的图表，要求学生根据题干中其他信息补全相应的图表，这样既考查了学生对图表的理解以及图表绘制的技能，同时工作量又不是很大.
例6、（2009年吉林省）下图是根据某乡2009年第一季度“家电下乡”产品的购买情况绘制成的两幅不完整的统计图，请根据统计图提供的信息解答下列问题：
①第一季度购买的“家电下乡”产品的总台数为；
②把两幅统计图补充完整．
(3)可以呈现多个图表，要求学生从不同的图表中提取不同的信息解决问题，关注对统计图表特点以及选择使用技能的考查.
例7、（2006年江西省）某文具店销售的水笔只有A、B、C三种型号，下面表格和统计图分别给出了上月这三种型号水笔每支的利润和销售量.
（1）分别计算该店上月这三种型号水笔的利润，并将利润分布情况用扇形统计图表示；
（2）若该店计划下月共进这三种型号水笔600支，结合上月销售情况，你认为A、B、C三种型号的水笔各进多少支总利润最高？此时所获得的总利润是多少？
热点二: 统计量
刻画数据集中水平的统计量 ----平均数、中位数、众数
刻画数据波动情况的统计量-----极差、标准差、方差
命题趋势:对于这些统计量的考查，固然需要学生进行有关统计量的计算，但考查重点不应是概念的记忆与运算，而应更多的考查学生基于统计量计算基础上对统计量现实意义的理解或者统计量的选择使用等.
(1)呈现整理的结果或比较规范的图表，要求学生阅读图表提取信息.
例8．（2009年江西）6．某中学篮球队12名队员的年龄情况如下：
年龄（单位：岁）
14
15
16
17
18
人数
1
4
3
2
2
则这个队队员年龄的众数和中位数分别是（ ）
A． B． C． D．
(2)以统计图表呈现数据，从统计图表中提取数据信息计算各种统计量，并选择合适的统计量反映这组数据的真实状况.
例9．（2009年江西）经市场调查，某种优质西瓜质量为（5±0.25）kg的最为畅销.为了控制西瓜的质量，农科所采用A、B两种种植技术进行试验.现从这两种技术种植的西瓜中各随机抽取20颗，记录它们的质量如下（单位：kg）：
A：4.1 4.8 5.4 4.9 4.7 5.0 4.9 4.8 5.8 5.2
5.0 4.8 5.2 4.9 5.2 5.0 4.8 5.2 5.1 5.0
B：4.5 4.9 4.8 4.5 5.2 5.1 5.0 4.5 4.7 4.9
5.4 5.5 4.6 5.3 4.8 5.0 5.2 5.3 5.0 5.3
（1）若质量为（5±0.25）kg的为优等品，根据以上信息完成下表：
优等品数量（颗）
平均数
方差
A
4.990
0.103
B
4.975
0.093
（2）请分别从优等品数量、平均数与方差三方面对A、B两种技术作出评价；从市场销售的角度看，你认为推广哪种种植技术较好.
例10．（2007年江西）某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分（满分为10分）：
方案1 所有评委所给分的平均数．
方案2 在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数．
方案3 所有评委所给分的中位数．
方案4 所有评委所给分的众数．
为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验．下面是这个同学的得分统计图：
（1）分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分；
（2）根据（1）中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分．
评析：通过创设似真的问题情境，关注数学与生活的联系，考查学生分析问题解决问题的能力，是新课程评价是的一个鲜明特点，也是江西数学中考试题的一大亮点；例9、例10两题源于学生生活实际，不仅有考查数学能力的价值，也有实践中的使用价值；因此平时教学中必须重视培养学生从数学的角度运用所学知识和方法、分析实际问题及寻求建立简单的数学模型解决问题的能力.
热点三: 数据的收集
命题趋势:对于数据的收集这块内容的考查往往以填空、选择的形式出现，考查具体的问题情境下调查方式的选择、样本抽取的方式是否合适、可行.
例11（2009年杭州市） 要了解全校学生的课外作业负担情况，你认为以下抽样方法中比较合理的是（ ）
A．调查全体女生 B．调查全体男生
C．调查九年级全体学生 D．调查七、八、九年级各100名学生
例12(2009年四川省内江市) 今年我国发现的首例甲型H1N1流感确诊病例在成都某医院隔离观察，要掌握他在一周内的体温是否稳定，则医生需了解这位病人7天体温的（ ）
A．众数 B．方差 C．平均数 D．频数8
热点四: 概率及其应用
命题趋势:能够借助概率模型或通过设计具体活动解释、估计、预测一些事件发生的概率；联系生活实际，注意它的应用性和趣味性.
类型一 事件的分类
例13(2007年江西)在某次国际乒乓球单打比赛中，甲、乙两名中国选手进入最后决赛，那么下列事件为必然事件的是（ ）
A．冠军属于中国选手 B．冠军属于外国选手
C．冠军属于中国选手甲 D．冠军属于中国选手乙
类型二 求随机事件的概率
例14(2009年江西)某市今年中考理、化实验操作考试，采用学生抽签方式决定自己的考试内容.规定：每位考生必须在三个物理实验（用纸签A、B、C表示）和三个化学实验（用纸签D、E、F表示）中各抽取一个进行考试.小刚在看不到纸签的情况下，分别从中各随机抽取一个.
（1）用“列表法”或“树状图法”表示所有可能出现的结果；
（2）小刚抽到物理实验B和化学实验F的概率是多少？
评析： 例13的命题角度是判定具体事件是确定事件（必然事件、不可能事件）.
例14的命题角度是利用实验法求概率；利用列举法求简单事件的概率.
类型三 概率的应用
例15(2009年云南省)在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，它们除颜色外完全相同，其中红球有2个，黄球有1个，蓝球有1个. 现有一张电影票，小明和小亮决定通过摸球游戏定输赢（赢的一方得电影票）．游戏规则是：两人各摸1次球，先由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再由小亮随机摸出1个球．若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏规则对双方公平吗？请你利用树状图或列表法说明理由.
评析：例15的命题角度是利用概率分析游戏方案.本题重点考查了如何用概率知识来解释一些生活中事件发生的概率，进一步丰富对概率的认识，并能结合具体实际问题，利用简单的概率计算来判断游戏的公平性.
热点五:概率与其它知识领域的结合应用
例16(2007年江西) 在一次数学活动中，黑板上画着如图所示的图形，活动前老师在准备的四张纸片上分别写有如下四个等式中的一个等式：
① ② ③ ④
小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张，再从剩下的纸片中随机抽取另一张．请结合图形解答下列两个问题：
（1）当抽得①和②时，用①，②作为条件能判定是等腰三角形吗？说说你的理由；
（2）请你用树状图或表格表示抽取两张纸片上的等式所有可能出现的结果（用序号表示），并求以已经抽取的两张纸片上的等式为条件，使不能构成等腰三角形的概率．
渗透思想 发展观念 注重实验 联系实际 紧扣教材 控制难度 合作交流 激发兴趣
课件38张PPT。同文中学 黄志勇
中考复习——统计与概率一、中考说明的解读一、中考说明的解读一、中考说明的解读二、知识结构二、知识结构三、统计课程的复习建议准确把握考试要求，知识讲解适度即可 1. 对普查与抽样调查的讲解定位为基本了解， 能结合实例分析何时选择普查，何时选择抽样调查，但不必作更多、更高的要求.2. 能识别、补充、绘制统计表、条形统计图、 扇形统计图和折线统计图，并能认识到各种统计数据描述形式的特点及优缺点，但不必对此深入挖掘.3. 会计算平均数、加权平均数、中位数、 众数等反映数据集中趋势的特征数据，会计算反映数据离散程度的极差、方差，理解这两类统计量的意义.四、概率课程的复习建议 这部分内容是在《标准》实施后的新增内容，可能性的大小、概率的计算以及用概率解释（或解决）日常生活中的实际问题是这部分的重点内容。 1.理解频率与概率之间的关系，知道大量重复实验时，频率的稳定值可近似地作为随机事件发生的概率， 但对“大量”不必做解释说明.2.理解古典概型问题概率计算的原则： 各事件发生是等可能的，求出事件发生的所有结果数， 求出满足条件的事件发生的结果数，但不必引进利用排列组合的方法进行计算求解.3.尽管全国各地已经出现了将代数、几何、概率等领域的知识相结合的试题，但是我们没必要因此而无限加大概率知识的难度. 实际上，只要我们理解了概率的本质，掌握了计算概率的基本方法，其他知识的引入仍然不会干扰我们的解题. 因此，我们在进行复习时，不必进行过多的联系，而应该踏踏实实地对基本知识、基本技能和基本思想方法进行复习. 五、复习策略
（一）立足于学生，抓落实。 教学是教与学的统一过程，在这个过程中，学
生是主体，教材是客体，教师是主导，作为复习课
又有它的特殊性，复习的知识都是过去学习过的，
就全班而言有的学得好，有的学得不扎实，我们就
要深入了解哪些学生学得不好，那部分知识学得不
扎实，才能有目的、有准备的让学生参与课堂活动。
落实的方法有两种：作业和小测。五、复习策略（二）立足于课堂，抓效率。 在课堂教学中，教师要对知识的引入，新旧知
识的衔接、例题的选择、学生知识现状学生对知识
的接受能力，复习课上教师注意“以题代点、以题论
法”， 合理的安排讲练的时间， 注意知识的纵横联
系，注意教学基本思想的渗透，注意基本方法的训
练， 注意总结出学习的规律性， 充分发挥课堂效
益，尽量把问题解决在课堂。五、复习策略（三）立足于课本，抓变换
在复习中要立足于课本，离开了课本的复习必
然是无源之水，特别是教师，要充分挖掘和发挥课
本中的例题、习题的潜在的功能，教给学生通过类
比、延伸， 拓展出一些新颖的变式题， 并加以解
决，从中归纳整理出基础知识、基本技能、基本方
法、掌握教材中的通性通法。
五、复习策略（四）针对题目，抓本质
复习中要做大量的习题，教师的思维一定要站高，要能把一个知识点的应用和考查方式研究透彻。建议：在中考复习教学中，解题训练是极为重要的，但习题演练的关键不在题量，不是简单机械的重复训练和题海战术， 解题训练要有一定的系统性、 针对性，有明确的考察目标和培养方向。在平时教学中，我们应该多对一个已有的习题进行系列改编变式，形成一个题组或题链，在变式探究的过程中，学生的思维逐步深入，有利于促进学生对知识本质的认识，对各种数学思想方法的熟练掌握，有利于培养学生思维的灵活性和深刻性。五、复习策略总之复习时间不宜过多，如何落实才是关键1. 统计与概率领域的复习时间应根据学生情况而定，但总体上不宜太长，并且最好在第一轮复习中详细讲解，以后主要是通过模拟考试进行考查、落实.2. 在复习过程中，不要把练习题收集的过多过难，所选择的题目只要能覆盖考试要求中所涉及到的各个知识点并达到了相应的能力要求即可.3. 对所选的每一道习题一定要落实到位，如果学生出现了错误，就应该及时更正，再练习，直到学生掌握为止.4. 在各次模拟考试试题的命题时，要有总体计划，使得各次考查结束后能对统计与概率领域的知识进行全面而又有重点的考查，以便发现问题、解决问题.5. 对统计知识的复习可以尝试按照统计过程的先后顺序引导学生进行思考，对概率的计算可以尝试通过对背景的分类进行整理.六、归类示例类型一 统计方法的应用例1、下列调查适合作普查的是（ ）
A．了解在校大学生的主要娱乐方式
B．了解宁波市居民对废电池的处理情况
C．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命
D．对甲型H1N1流感患者的同一车厢的乘客进行医学检查【解析】D 题中A、B、C三项受客观条件限制，无法对所有个体进行普查，常采用抽样调查；只有D必须做全面调查。六、归类示例类型二 与统计有关概念、及统计图表的应用例2、勤劳”是中华民族的传统美德，学校要求同学们在家里帮助父母做些力所能及的家务. 王刚同学在本学期开学初对部分同学寒假在家做家务的时间进行了抽样调查（时间取整数小时），所得数据统计如下表：?
（1）抽取样本的容量是 .?
（2）根据表中数据补全图中的频数分布直方图.?
（3）样本的中位数所在时间段的范围是 .?
（4）若该学校有学生1260人，那么大约有多少
学生在寒假做家务的时间在40.5～100.5小时之间？ 【解析】本题重点考查了统计基础知
识——频数分布直方图以及计算、解决实际
问题和信息处理能力，本题还考查了利用样本估算总体的思想。六、归类示例类型三 平均数、中位数、众数、极差、方差及其应用 例3、在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶.图1是其中的甲、乙路段台阶的示意图.请你用所学过的有关统计知识（平均数、中位数、方差和极差）回答下列问题：
（1）两段台阶路有哪些相同点和不同点？
（2）哪段台阶路走起来更舒服？为什么？
（3）为方便游客行走，需要重新整修上山的小路.对于这两段台阶路，在台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修建议.六、归类示例 【解析】本题重点考查了平均数、极差与方差的有关知识的理解与应用能力。本题的背景是游客上山的小路，具有很强的现实性.同时，3个设问将生活中的现象（台阶路的平稳）与数学自然地挂上了钩，使学生经历了一个数学化的过程——将对台阶的比较这一现实问题转化为对两组数据的比较. 本而第（3）问要求提出合理的整修建议，更具有很强的开放性，考查了运用数学解决问题的能力。本题对相关数学概念（平均数、方差等）现实意义的理解水平的考查要求较高。一般地，当数据的“平均水平”相近时，两者的离散程度未必相同，这是我们需要通过考查方差或极差，对数据进行合理的决策。 六、归类示例类型四 概率的相关概念及计算、应用 例4、集市上有一个人在设摊“摸彩”，只见他手拿一个黑色的袋子，内装大小、形状、质量完全相同的白球20只，且每一个球上都写有号码（1 ～20号）， 另外袋中还有1只红球，而且这21只球除颜色外其余完全相同. 规定：每次只摸一只球.摸前交1元钱且在1～20号内写一个号码， 摸到红球奖5元，摸到号码数与你写的号码相同奖10元.你认为该游戏对“摸彩”者有利吗？说明你的理由.若一个“摸彩”者多次摸奖后，他平均每次将获利或损失多少元？
【解析】本题重点考查了如何用概率知识来解释一些生活中事件发生的概率，进一步丰富对概率的认识，并能结合具体实际问题，利用简单的概率计算来判断游戏的公平性。3. 概率与其它知识点的有机结合是近年来中考命题的热点，值得我们关注 ；4.结合具体问题，直接考查统计与概率的有关概念、图象信息捕捉运用能力；1.以考查基本知识为主，面向全体得分；2.江西省近四年这部分的题基本是选择或填空一题、解答两题，分别考统计量（平均数、众数、中位数）计算、 读统计图表、补图、用样本平均数总体平均数，分析数据表达自己的观点,概率计算；七、中考命题热点及趋势 06年、07、08、09年课标卷中概率统计试题分布表：热点一: 统计图表及数据信息的提取。命题趋势: 对于数据的表示，固然要求学生会制作有关统计图表，但随着现代科技的发展，制作统计图表的工作将越来越多地为计算机所代替. 因此，在有关技能考查中，图表的制作不应是考查的重点所在，而对于图表制作原理的理解以及图表信息的提取、图表的特点和选用等应成为考查的重点。七、中考命题热点及趋势(1)呈现初步整理的结果或比较规范的图表，要求学生阅读图表提取信息。七、中考命题热点及趋势(2)呈现不完整的图表， 要求学生根据题干中其他信息补全相应的图表，这样既考查了学生对图表的理解以及图表绘制的技能，同时工作量又不是很大。七、中考命题热点及趋势(3)可以呈现多个图表， 要求学生从不同的图表中提取不同的信息解决问题，关注对统计图表特点以及选择使用技能的考查。七、中考命题热点及趋势热点二: 统计量
刻画数据集中水平的统计量
----平均数、中位数、众数
刻画数据波动情况的统计量
-----极差、标准差、方差 命题趋势:对于这些统计量的考查， 固然需要学生进行有关统计量的计算，但考查重点不应是概念的记忆与运算，而应更多的考查学生基于统计量计算基础上对统计量现实意义的理解或者统计量的选择使用等。七、中考命题热点及趋势(1)呈现整理的结果或比较规范的图表，要求学生阅读图表提取信息。七、中考命题热点及趋势例8．（2009年江西）某中学篮球队12名队员的年龄情况如下：
则这个队队员年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．15，16 B．15，15
C．15，15.5 D．16，15(2)以统计图表呈现数据，从统计图表中提取数据信息计算各种统计量，并选择合适的统计量反映这组数据的真实状况。七、中考命题热点及趋势例9．（2009年江西）经市场调查，某种优质西瓜质量为（5±0.25）kg的最为畅销.为了控制西瓜的质量，农科所采用A、B两种种植技术进行试验.现从这两种技术种植的西瓜中各随机抽取20颗，记录它们的质量如下（单位：kg）：
A：4.1 4.8 5.4 4.9 4.7 5.0 4.9 4.8 5.8 5.2
5.0 4.8 5.2 4.9 5.2 5.0 4.8 5.2 5.1 5.0
B：4.5 4.9 4.8 4.5 5.2 5.1 5.0 4.5 4.7 4.9
5.4 5.5 4.6 5.3 4.8 5.0 5.2 5.3 5.0 5.3
（1）若质量为（5±0.25）kg的为优等品，根据以上信息完成下表：
（2）请分别从优等品数量、平均数与方差三方面对A、B两种技术作出评价；从市场销售的角度看，你认为推广哪种种植技术较好.七、中考命题热点及趋势 评析：
通过创设似真的问题情境，关注数学与生活的联系，考查学生分析问题解决问题的能力，是新课程评价是的一个鲜明特点，也是江西数学中考试题的一大亮点；例9、例10两题源于学生生活实际，不仅有考查数学能力的价值，也有实践中的使用价值；因此平时教学中必须重视培养学生从数学的角度运用所学知识和方法、分析实际问题及寻求建立简单的数学模型解决问题的能力。 七、中考命题热点及趋势热点三: 数据的收集命题趋势: 对于数据的收集这块内容的考查往往以填空、选择的形式出现，考查具体的问题情境下调查方式的选择、样本抽取的方式是否合适、可行。七、中考命题热点及趋势例11（2009年杭州市） 要了解全校学生的课外作业负担情况，你认为以下抽样方法中比较合理的是（ ）
A．调查全体女生 B．调查全体男生
C．调查九年级全体学生 D．调查七、八、九年级各100名学生
例12(2009年四川省内江市) 今年我国发现的首例甲型H1N1流感确诊病例在成都某医院隔离观察， 要掌握他在一周内的体温是否稳定，则医生需了解这位病人7天体温的（ ）
A．众数 B．方差 C．平均数 D．频数8七、中考命题热点及趋势命题趋势:能够借助概率模型或通过设计具体活动解释、估计、预测一些事件发生的概率。联系生活实际，注意它的应用性和趣味性。热点四: 概率及其应用
实验估计概率
概率
分析预测概率七、中考命题热点及趋势类型一 事件的分类
例13(2007年江西)在某次国际乒乓球单打比赛中，甲、乙两名中国选手进入最后决赛，那么下列事件为必然事件的是（ )
A．冠军属于中国选手 B．冠军属于外国选手
C．冠军属于中国选手甲 D．冠军属于中国选手乙
类型二 求随机事件的概率
例14(2009年江西)某市今年中考理、化实验操作考试， 采用学生抽签方式决定自己的考试内容.规定：每位考生必须在三个物理实验（用纸签A、B、C表示）和三个化学实验（用纸签D、E、F表示）中各抽取一个进行考试.小刚在看不到纸签的情况下，分别从中各随机抽取一个.
（1）用“列表法”或“树状图法”表示所有可能出现的结果；
（2）小刚抽到物理实验B和化学实验F的概率是多少？七、中考命题热点及趋势评析：
例13的命题角度是判定具体事件是确定事件（必然事件、不可能事件）。
例14的命题角度是利用实验法求概率；利用列举法求简单事件的概率。
七、中考命题热点及趋势类型三 概率的应用 评析：例15的命题角度是利用概率分析游戏方案。本题重点考查了如何用概率知识来解释一些生活中事件发生的概率，进一步丰富对概率的认识，并能结合具体实际问题，利用简单的概率计算来判断游戏的公平性。 例15(2009年云南省)在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，它们除颜色外完全相同， 其中红球有2个，黄球有1个，蓝球有1个. 现有一张电影票，小明和小亮决定通过摸球游戏定输赢（赢的一方得电影票）．游戏规则是：两人各摸1次球，先由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀， 再由小亮随机摸出1个球．若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏规则对双方公平吗？请你利用树状图或列表法说明理由。七、中考命题热点及趋势热点五:概率与其它知识领域的结合应用 例16(2007年江西) 在一次数学活动中，黑板上画着如图所示
的图形， 活动前老师在准备的四张纸片上分别写有如下四个
等式中的一个等式：
② ③ ④
小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张，再从剩下的
纸片中随机抽取另一张．请结合图形解答下列两个问题：
（1）当抽得①和②时，用①，②作为条件能判定是等腰三角
形吗？说说你的理由；
（2）请你用树状图或表格表示抽取两张纸片
上的等式所有可能出现的结果（用序号表示），
并求以已经抽取的两张纸片上的等式为条件，
使不能构成等腰三角形的概率．七、中考命题热点及趋势渗透思想 发展观念
注重实验 联系实际
紧扣教材 控制难度
合作交流 激发兴趣祝各校中考取得优异成绩谢谢大家！中考应用题的复习策略
九江市外国语学校 童丹丹
著名数学家华罗庚先生曾这样论述数学的应用：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用到数学。”伴随着素质教育的实施，联系实际，贴近生活的数学应用题已经走入各省市的中考试卷。它引导学生从已有的知识和生活经验出发，使其在解决问题的过程中体会数学与自然以及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和应用数学的信心。
江西省近几年的中考中也都出现了与现实情境紧密相联系的应用题，如2006年的食堂买饭排队问题；2007年的奥运会门票问题；2008年的托球赛跑游戏问题；2009年的送票、取票问题等。都体现出了命题者的独具匠心之处，一改传统应用题所坚持的“题型”（如工程问题、行程问题）观念，清除了脱离实际的繁琐的近乎编造的数量关系，从学生熟悉的社会热点或实际生活中选材，使学生真正感受到数学来源于生活，数学为生活服务。在数学与生活之间找到了“链接点”，给人以耳目一新的感觉，突出了“应用”二字，实现了考查学生应用能力的目的。
一、应用题在近几年中考中的常见考点分析
这类问题在解决时，首先要在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象为数学问题，即将实际问题经过抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模型。再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，从而得出结论。然后再把解得的数学结论返回到实际问题中。下面分类予以说明：
1． 建立数与式的模型
数与式是最基本的数学语言，由于它能有效、简捷、准确地揭示由低级到高级、由具体到抽象、有特殊到一般的数学思维过程，富有通用性和启发性，数与式模型通常成为学生抽象和概括数学问题的重要方法。
例1．小王上周五在股市以收盘价（收市时的价格）每股25元买进某公司股票1000股，在接下来的一周交易日内，小王记下该股票每日收盘价格相比前一天的涨跌情况：（单位：元）
星期
一
二
三
四
五
每股涨跌（元）
＋2
－0.5
＋1.5
－1.8
＋0.8
根据上表回答问题：
① 星期二收盘时，该股票每股多少元？
② 周内该股票收盘时的最高价，最低价分别是多少？
③ 已知买入股票与卖出股票均需支付成交金额的千分之五的交易费。若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他的收益情况如何？
本题考查学生利用数与式这一数学模型解决实际问题的能力。数与式是“数与代数”中最基本也是最核心的内容，也是应用题考点中最为基础的知识点，学生一般都能比较好的掌握并解决。
2．建立方程（组）模型
方程（组）是研究现实世界数量关系的最基本的数学模型，求解此类问题的关键是：针对给出的实际问题，设定合适的未知数，找出相等关系，列出方程（组）进行解答。但要注意验证结果是否适合实际问题。
例2（2008年江西第22题）甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线起跑，绕过P点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”．根据图文信息，请问哪位同学获胜？
本题把一个常规的数学问题放在一个很有生活气息的背景中，较好地体现了“问题情境-建立模型-解释应用”的数学学习方法，考查了学生进行综合分析、提取信息，将实际问题转化为数学问题的建模能力。
3．建立不等式（组）模型
现实世界中不等关系是普遍存在的，许多现实问题很难确定（有时也不需要确定）具体的数值。但可以求出或确定这一问题中某个量的变化范围，从而对所有研究问题的面貌有一个比较清楚的认识。
例3（2006年江西第24题）小杰到学校食堂买饭，看到A、B两窗口前面排队的人一样多（设为a人，a > 8），就站到A窗口队伍的后面. 过了2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人.
（1）此时，若小杰继续在A窗口排队，则他到达窗口所花的时间是多少（用含a的代数式表示）？
（2）此时，若小杰迅速从A窗口队伍转移到B窗口队伍后面重新排队，且到达B窗口所花的时间比继续在A窗口排队到达A窗口所花的时间少，求a的取值范围（不考虑其他因素）.
本题以考生所贴近的学校生活为背景，创设一个类似于真实的问题情境，关注数学与生活的联系，考查学生分析问题解决问题的能力。它考查的主要知识是“数与代数”中的核心内容——用代数式表示一个量和用不等式表达生活中的不等关系以及将实际问题转化为数学问题的建模能力。
4.建立函数模型
函数应用问题涉及的知识层面丰富，解法灵活多变，是考试命题的热点问题。解答此类问题，一般都是从建立函数关系入手，将实际问题模型化或结合函数图象来挖掘解题思路。
例4（2009年江西第21题）某天，小明来到体育馆看球赛，进场时，发现门票还在家里，此时离比赛开始还有25分钟，于是立即步行回家取票.同时，他父亲从家里出发骑自行车以他3倍的速度给他送票，两人在途中相遇，相遇后小明立即坐父亲的自行车赶回体育馆.下图中线段、分别表示父、子俩送票、取票过程中，离体育馆的路程（米）与所用时间（分钟）之间的函数关系，结合图象解答下列问题（假设骑自行车和步行的速度始终保持不变）：
（1）求点的坐标和所在直线的函数关系式；
（2）小明能否在比赛开始前到达体育馆？
本题结合了生活中常见的一个具体情境，巧妙的考查了学生利用函数解决实际问题的能力，学生只要采取建立一次函数这一数学模型的方法，就可以比较轻松的解答此题。
5. 建立方程与不等式综合型模型
此类问题通常有2-3问，第一问一般用方程或方程组可以很简单的解决，第2问就必须要用到不等式或不等式组来求解，解决此类问题的关键是找准题目中的等量关系和不等关系，分别列出方程（组）和不等式（组）。
例5（2007年江西第23题）2008年北京奥运会的比赛门票开始接受公众预订．下表为北京奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷准备用8000元预订10张下表中比赛项目的门票．
（1）若全部资金用来预订男篮门票和乒乓球门票，问他可以订男篮门票和乒乓球门票各多少张？
（2）若在现有资金8000元允许的范围内和总票数不变的前提下，他想预订下表中三种球类门票，其中男篮门票数与足球门票数相同，且乒乓球门票的费用不超过男篮门票的费用，求他能预订三种球类门票各多少张？
比赛项目
票价（元／场）
男篮
1000
足球
800
乒乓球
500
本题是一道典型的方案设计题，特别是第2问，学生只要抓住总资金不超过8000元和兵乓球门票的费用不超过男篮门票的费用这两个不等关系，就可以比较容易的列出一个不等式组来确定篮球门票的取值范围。
6．渗透课题学习的模型
课题学习的应用与实施，改变了以往学生的学习偏重于机械记忆、浅层理解和简单应用，仅仅立足于被动地接受教师的知识传播的局面，通过巧妙的设计，提供给学生一定的素材，考查学生分析资料和得出结论的能力。
例6（2009年江西第23题）问题背景 在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息：
甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm.
乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm.
丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm.
任务要求
（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；
（2）如图3，设太阳光线与相切于点.请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段的影长；需要时可采用等式）.
这道题的设计非常巧妙，把研究性学习渗透到中考题中，考查了学生通过对问题背景的分析、学习达到知识迁移的能力，学生可以参照第1问的解答来分析和解答第2问。
二、从试题分析中得到的几点启示
运用数学知识解决现实中的实际问题是我们学数学的重要目的之一，培养学生解答应用题的能力是使学生能够运用所学数学知识解决实际问题的基本内容和重要途径。因此全国各地中考都把应用题作为选拔性试题来呈现，应用题教学成了数学教学的重要内容，但传统应用题教学重教材，轻生活；重题型，轻应用；重课堂，轻实践；效果较差。从江西省近几年的中考题来看，应用题取材更加广泛，背景更加贴近实际生活，带给我们的启示有：
1. 突出数学建模思想，考查学生解决实际问题的能力
2. 渗透研究性学习的思想，促进学生学习方法的转变
3. 渗透数学思想方法，考查学生运用数学思想和方法的能力
三、中考应用题的复习策略
近几年中考应用题实际上已没有固定模式，所以必须改变我们原有的应用题教学习惯，改变以往的老师讲例题，学生模仿例题。改提出问题后，让学生尝试和创造性地探索，让学生学会学习，学会思考。可以让学生自己提出问题，在与老师一起探讨下解决问题。
在后阶段的复习中，我觉得应从以下几个方面着手：
加强阅读训练，提高理解能力。
学生解题障碍主要表现为因为文字叙述长而产生烦躁、不知所措的惧怕心理以及语言转化障碍，不能筛选出有数学语言特征的信息，造成审题困难，不能分析出数学语言之间的联系，找出等量关系，不能明确解决问题的思路，得出解决问题的方法。教学中应指导学生耐心细致地读题，碰到较长的语句时在重点词、数据下做出标注，帮助阅读理解，弄清每一个名词、概念，分析每一个已知条件和要求结论的数学意义，挖掘实际问题对所求的结论的限制等隐含条件。在读题中要对问题进行必要的简化，用精确的数学语言来翻译一些语句，使题目简明、清晰，可借助表格、图形来处理数据，经过系列的比较、综合、抽象、概括、演绎、推理等过程，使数学语言中包含的丰富内涵在问题解决过程中得以展现。
2. 联系生活，了解社会热点，注重学科的横向联系，拓展知识面。
学习内容只有和学生生活相联系时，学生的学习才会有动力，诸如当今最流行的国情国策、环保生态、市场决策、经济核算、生产生活等，教师要充分开发和利用生活中的数学课程资源，引导学生走进生活，积累原始生活材料，唤醒学生主动参与，尝试着用自己的方式去解决问题。组织数学应用实践活动，改变孤立地进行知识和技能的学习与训练的传统教学模式，把学科知识与学生的生活经验沟通起来，使以符号为载体的书本知识呈现鲜活状态，从而让学生能够源源不断地从中获得丰富的体验，增强学生学好应用题的信心。
?3．注重渗透，培养建模能力。
初中数学应用题教学的思想方法应该是数学建模，建模的基本方法是数学抽象，是将实际问题中的普通语言转化为数学语言，即用数学符号或记号去表示事物的状态或特征，并且从普通语言中寻找数量关系，用数学语言将其表示出来，以建立数学模型，这是数学建模的关键也是难点。平时的数学教学要注意渗透数学建模思想，引导学生用方程（组）、不等式、函数等数学模型解决实际问题，潜移默化的过程会使学生形成能力，融会贯通。
4. 精选各类典型题，放手让学生一搏，重在引导，点拨教会解题方法、思路，消除恐怖心理。
教师可以对课本的例题、习题进行加工整合，也可以对一些典型的中考题在吸取其思想
方法后改编形成一些典型例题，让学生在解决实际问题的过程中更多的领悟解题的思路以及方法等，培养学生分析问题、解决问题的能力，消除学生对应用题的恐惧心理。
另外在平时的课堂教学中还应该抓好知识方法的落实，有针对性、有重点的进行训练、
评讲，让学生有足够的思考时间，训练到位，提高复习效率、效果。
以上是本人对应用题复习的一些体会，不足之处敬请批评指正。
浅谈中考复习中的函数复习策略
一、函数在初中数学中的地位
函数是贯穿初中数学的一条主线。它具有承上启下的作用。由数轴上的点与实数的对应关系到正、反比例函数；由一次方程（组），不等式（组）到一次函数；由一元二次方程到二次函数等等。函数知识是初中数学的重点和难点，更是中考的重点。近几年，出现了大量的题型，设计新颖，贴近生活，反映时代。不但考察函数的基础知识，基本技能，基本数学思想方法，还越来越重视对学生灵活运用知识技能探索创新能力和实践能力的考察。
二、函数的考查内容与要求
函数是中学数学的基本内容之一，函数的定义及性质有许多独特的表现，是中考中对基础知识和基本技能进行考查的一个内容。其考查内容包括：能探索简单、具体问题中的数量关系和变化规律。了解常量、变量的意义，了解函数的概念和三种表示方法。能结合图像对简单实际问题中的函数进行分析，能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中的变量之间的关系。能确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围，并会求出函数值。结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测。了解一次函数（正比例函数）、反比例函数、二次函数的意义，根据已知条件确定一次函数（正比例函数）、反比例函数、二次函数的表达式。会画一次函数（正比例函数）、反比例函数、二次函数的图像，根据一次函数（正比例函数）、反比例函数、二次函数的图像和解析表达式理解其性质，会根据公式确定二次函数的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆）。能根据一次函数的图像求二元一次方程组的近似解。会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解。能用一次函数（正比例函数）、反比例函数、二次函数解决简单的实际问题。
三、近几年中考的常见考点分析??
06年与07年的中考试卷中主要重视对函数基础知识和技能的考查。有2—3道选择题或填空题，或1—2道选择、填空题和1道解答题（21小题）。总的分值为15分左右。08年与09年的中考试卷中加强了对函数综合题的考查，分值也有明显提高，值得大家引起重视。
主要考点：
1．直接考查函数的概念和简单性质
例1（2007年江西第12题）对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．点在它的图象上 B．它的图象在第一、三象限
C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小
例2（2008年江西第3题）下列四个点，在反比例函数图象上的是（ ）
A．(1，) B．（2，4） C．（3，） D．（，)
2．函数解析式的确定
例3 （2006年江西第5题）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25 m，则y与x的函数关系式为 .
例4（2007年江西第5题）在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，是总价（元）与加油量（升）的函数关系式是 ．
例5（2008年江西第11题）将抛物线向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是 ．
3．侧重考查函数的性质和数形结合思想
例6（2008年江西第16题）如图，已知点的坐标为（3，0），点分别是某函数图象与轴、轴的交点，点是此图象上的一动点．设点的横坐标为，的长为，且与之间满足关系：（），给出以下四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是_ ．
例7（2009年江西第16题）函数的图象如图所示，则结论：
①两函数图象的交点的坐标为；
②当时，；
③当时，；
④当逐渐增大时，随着的增大而增大，随着的增大而减小．
其中正确结论的序号是 ．
4.利用函数解决一些实际问题或函数的简单应用
例8（2006年江西第21题）如图，已知直线l1经过点A（－1，0）与点B（2，3），另一条直线l2经过点B，且与x轴交于点P（m，0）.
（1）求直线l1的解析式；
（2）若△APB的面积为3，求m的值.
例9（2007年江西第21题）如图，在中，，．若动点从点出发，沿线段运动到点为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点作交于点，设动点运动的时间为秒，的长为．
（1）求出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当为何值时，的面积有最大值，最大值为多少？
例10（2009年江西第21题）某天，小明来到体育馆看球赛，进场时，发现门票还在家里，此时离比赛开始还有25分钟，于是立即步行回家取票.同时，他父亲从家里出发骑自行车以他3倍的速度给他送票，两人在途中相遇，相遇后小明立即坐父亲的自行车赶回体育馆.下图中线段、分别表示父、子俩送票、取票过程中，离体育馆的路程（米）与所用时间（分钟）之间的函数关系，结合图象解答下列问题（假设骑自行车和步行的速度始终保持不变）：
（1）求点的坐标和所在直线的函数关系式；
（2）小明能否在比赛开始前到达体育馆？
5.函数与几何的综合题
例11（2008年江西第24题）
如图，抛物线
相交于两点．
（1）求值；
（2）设与轴分别交于两点（点在点的左边），与轴分别交于两点（点在点的左边），观察四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；
（3）设两点的横坐标分别记为，若在轴上有一动点，且，过作一条垂直于轴的直线，与两条抛物线分别交于C，D两点，试问当为何值时，线段CD有最大值？其最大值为多少？
例12（2009年江西第24题）如图，抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为.
（1）直接写出、、三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点，过点作交抛物线于点，设点的横坐标为；
①用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？
②设的面积为，求与的函数关系式.
四 、复习策略
1、立足课本、抓好基础
函数的基本概念和简单性质的应用以及函数表达式的确定等内容都是函数中的基础知识，我们只要在第一轮复习中落实好双基，学生对这类问题一般都能得分。
在复习的过程中我们可以通过层层设问，多方位、多角度使双基知识得到巩固深化。目的是要使学生明确在后阶段的复习中也应重视课本，落实双基。
2、强化数形结合意识、总结解题规律
函数的图象性质是中考的重点与热点。利用数形结合法，抓住图象特征掌握函数的性质是解决问题的主要方法。复习中应强化数形结合意识，掌握函数的基本技能和方法，注意观察、归纳、分析、比较，总结基本的方法、规律。其中常见的有：利用函数图像比较函数值的大小；利用函数图像求方程的近似解；利用函数图像求实际问题中的最大值与最小值等。都要求学生能熟练掌握各种函数的图像及其性质，会观察图像，利用数形结合的思想解决一些实际问题。
在复习的过程中可以通过一些具有代表性的经过挑选的例题，反复让学生进行练习，让学生在练习中总结解题的规律。
3、针对中考重点与热点，精心选材，抓好训练
由于中考考查的重点与热点集中在函数的图象和性质以及函数表达式的确定上，因此选题时，不应引入难度高，计算量大、技巧性过强的题目，应把重点放在落实基础知识和基本技能上，使学生掌握通性、通法；要围绕考查的重点和热点选择习题，使问题起到复习巩固双基知识，发挥专题复习的正确导向作用。
选题的基本思路有两个，一是以函数的知识点和考点为主线，着眼于基础知识和基本方法，围绕“三基”和提高解题技能进行策划选题。教师要对该内容的知识点和能力要求做到心中有数，结合学生对重点内容的消化理解程度，有针对性选题，可以以课本的例题、习题进行加工整合，可以对一些典型中考题吸取其思想方法引伸而成。但应控制运算量，尽量避免繁琐的运算。二是以数学思想方法为主线，把知识与方法有机的结合起来，促进能力的形成。函数的最值问题、函数的图象与性质的应用、利用函数解决实际问题等更多地渗透着数学思想方法，如配方法、数形结合法、方程函数思想、迁移化归思想等，这些思想方法的掌握与否体现考生处理各类数学问题的能力层次。因此以掌握基础知识、基本技能为前提；以思想方法为主线选题训练，可以达到巩固双基，举一反三、培养能力的目的。
在精心选材的基础上，课堂教学还应抓好知识方法的落实，有针对性、有重点的进行训练，评讲，让学生有足够的思考时间，训练到位，提高复习效率、效果。
以上是本人对函数复习的一些体会，不足之处敬请批评指正。
24．在同一平面直角坐标系中有6个点：，，．
（1）画出的外接圆 ☉P，并指出点与☉P 的位置关系；
（2）若将直线沿轴向上平移，当它经过点时，设此时的直线为．
①判断直线与☉P 的位置关系，并说明理由；
②再将直线绕点按顺时针方向旋转，当它经过点时，设此时的直线为．求直线与☉P 的劣弧围成的图形的面积（结果保留）．
浅谈轴对称 、平移 和旋转三种变换在教学中的作用
新课程改革，教材的内容和学习要求发生了很大的变化 ，其中一个突出的变化就是强化了对图形变换的要求， 数学新课程强调了图形与变换的内容, 突出了变换在图形认识过程中的作用,事实上几何变换思想促进了几何学的发展, 强化变换有助于改进几何教学, 同时变换思想利于学生创新意识的形成,而新课标下的初中数学教材也突出变换地位, 强化变换的工具作用 , 较好地落实了数学新课程的要求。
那么图形变换指的是什么? 它是指包含平移、轴对称、旋转、位似四种变换，那么在图形变化(平移、轴对称、旋转)的过程中， 解决此类问题的方法很多，而关键在于解决问题的着眼点。 从恰当的着眼点出发,再根据具体图形变换的特点确定其变化,这很重要.而近年来各地中考试题中,有较多问题需要利用图形变换进行思考和求解.此类问题较好的考察了学生的思维灵活性及深刻性,具有很好的选拔与区分功能,成为近年来各地中考试题的热点问题.下面就此类问题复习及解决方法与大家交流,以供大家复习过程中参考.
一、对教材中的内容可用几何变换来处理
图形与变换的内容主要包括图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转和图形的相似,轴对称变换、平移变换和旋转变换是保持两点间距离不变的变换, 都是合同变换和保距变换, 这种变换不改变图形的大小和形状； 而是强调变换作为图形认识的工具这种思想 ，就是说利用变换的特征来探索或研究一些图形的性质如 把轴对称和等腰三角形结合起来探索出其特征；再如利用平移和旋转的特征来得到平行四边形的特征 , 认识到平行四边形是中心对称图形, 然后利用中心对称图形的特征, 得到平行四边形的对边相等、对角线相互平分等特征这种结合图形来研究某种几何变换的方式强化了变换的作用, 这样不仅能熟悉各种变换的特征,而且可以更好地发挥学生的主动性和创造性, 改变学几何就是做证明题的状况,在这样的活动中, 学生真切地感受图形变换的乐趣和价值, 激发出学好变换、用好变换的积极性和创造性, 同时, 也增强了学好几何的自信心
二、教学中值得深人探讨的问题
利用变换来处理几何内容的方法, 打破了传统初中数学教材几何部分用公理化思想一统天下的局面, 使几何教学改革有所突破但在目前的教学实践中所产生的问题, 必须引起我们高度的重视, 并要在实践中加以解决与传统教材的衔接问题. 用变换的思想来处理几何内容, 可以说是在传统教材的基础上迈出了一大步但受习惯思维的影响, 从目前的实际情况看, 不少人并不接受这种改变,有的人认为它忽视了数学的逻辑体系, 削弱了基础知识和基本技能等等 .要使学生真正能把变换作为一种有力的工具, 还应考虑配置一定数量的能让学生自己探索并寻找结论的题目, 使变换的思想内化为一种重要的思考问题的方法教师的培训问题教师是课程改革成功的关键一个新的思
三、 几何变换在分析问题中的特殊作用
下面列举几个特殊作用.1.把一个任意的平面图形通过平移、或旋转、或翻折变换,得到的新图形一定是与原图形全等的图形.而解图形问题时, 常要寻找两个静态的平面图形间的相同关系, 如果能通过动态过程确定两个静态的平面图形是怎样产生的,那么常常可以提供重要的解题信息和方法. 这说明三种几何变换不仅是构造两个图形全等的重要工具,而且它们是不可忽视的证明两个图形全等的重要的解题思考方法. 利用运动变化观念去认识事物符合辩证法.
2.为证明平面几何习题提供重要的动态分析方法,解题的本质是把题目的条件信息和结论信息建立起科学的联系 . 解题的表述就是阐述其科学联系的建立过程的具体理由. 在这种意义上说, 解(证) 图形问题就需要不断地变换前后步骤的“形式”或“思想”. 解数学题的灵魂就是“合理变化”. 合理的变化中常会拓展出解题所需要的一片新天地, 缺失合理变化时常会在呆滞中一筹莫展. 既然解(证)图形问题需要不断地合理变化,那么解(证) 图形问题 的分析就必须适时运用运动变化的观点和方法.因为绝大多数“静态”的数学题都是在某种动态环境下,静止于某种特殊情况时的特殊状态,它就像“运动物体”在某一时刻的所拍下的“照片”,所以要把数学题赋予为“灵性之物”, 要研究它由谁以怎样的运动方式产生, 静止于何时之状. 对于图形来说,就需要观察分析图形的平移、旋转和翻折运动,明确数学题中的图形是通过怎样的运动形成.让相关的图形“动起来”之后,就能突显它们之间特殊的位置关系和大小关系, 就容易从中分析捕捉到重要的解题信息和发现解题方法.
下面通过几个例子来谈谈它的独特作用:
例1: （2007江西第25题）
实验与探究
（1）在图1，2，3中，给出平行四边形的顶点的坐标（如图所示），写出图1，2，3中的顶点的坐标，它们分别是， ， ；
（2）在图4中，给出平行四边形的顶点的坐标（如图所示），
求出顶点的坐标（点坐标用含的代数式表示）；
归纳与发现
（3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为（如图4）时，则四个顶点的横坐标之间的等量关系为 ；纵坐标之间的等量关系为 （不必证明）；
运用与推广
（4）在同一直角坐标系中有抛物线和三个点，（其中）．问当为何值时，该抛物线上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的点坐标．
分析:用动态分析方法研究此题 构成机理,发现题中的解题信息:①从相关图形平移考虑,这种利用某图形平移建构动态分析, 既能说明题的存在性和这种构造理由,②又能探究出题的一种解决方法, 从中可以发现与结论相关的线段AB 平移后得到线段DC 是解决本题之关键.
例2:（2008江西第20题）如图，把矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处；
（1）求证：；
（2）设，试猜想之
间的一种关系，并给予证明．
分析:同样从相关图形的轴对称角度考虑,这种利用某图形翻折建构动态分析, 既能 说明此题的存在性和构造理由, 又能探究出此题的新的证明方法. 此外, 还可以从中收获其他解题信息,例如:由于四边形ABFE与四边形A′B′FE图形关于直线EF对称, 对称点的连线被对称轴垂直平分. 所以FE 垂直平分 B B′,所以BE = B′E (线段垂直平分线上的点,到线段两个端点等远) . 等等.
例3(2009江西第25)．如图1，在等腰梯形中，，是的中点，过点作交于点．，.
（1）求点到的距离；
（2）点为线段上的一个动点，过作交于点，过作交折线于点，连结，设.
①当点在线段上时（如图2），的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；若改变，请说明理由；
②当点在线段上时（如图3），是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由.
分析:在此题的(2)中,从△PMN 的平移角度考虑用动态分析方法研究此题 ,很容易发现问题的结论与方法
例4(2009江西第24)如图，抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为.
（1）直接写出、、三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点，过点作交抛物线于点，设点的横坐标为；
①用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？
②设的面积为，求与的函数关系式.
分析:在此题的(2)中,从△PMN 的平移角度考虑用动态分析方法研究此题 ,很容易发现问题的结论与方法
综上所述:探究用几何变换解题的教学方法 ,就是对数学题及它们的解答进行动态分析探究.物质的世界里, 事物的运动变化就了事物间的联系形式具有多样性. 许多事物的“隐蔽”联系形式常需用动态分析方法去探究发现. 从哲学意义上说,“解题”就是不断探究发现“未知世界规律”的过程,因此解题教学要重视关联题的研究,加强变式解题示范,充分发挥三种变换的作用,适时运用动态分析的研究方法去解题.
