九年级数学人教版上册第21章《一元二次方程》期末单元复习题（含答案）

第21章《一元二次方程》期末单元复习题
题型1 根据一元二次方程的定义求参数
1．把方程化成一般形式是 ，其中
2．关于x的一元二次方程中不含x的一次项，则此方程的解为 ．
3．若关于x的一元二次方程的常数项为2，则m的值等于（ ）
A．3 B．2 C．2或3 D．5
4．已知关于x的方程．
(1)当m为何值时，该方程是一元二次方程？
(2)当m为何值时，该方程是一元一次方程？
(3)若该方程有一个根是，求此时m的值．
5．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）已知关于的一元二次方程，其中满足，求这个一元二次方程．
题型2 根据一元二次方程的解求参数或代数式的值
6．若关于的一元二次方程有一个根为，则关于的一元二次方程必有一个根为 ．
7．若a是方程的一个根，则的值为 ．
8．已知为方程的根，则 ．
9．已知关于x的两个方程，．若前一个方程中有一个根是后一个方程某个根的5倍，则实数c的值是 ．
10．已知是方程的两根
(1)求的值
(2)求的值．
题型3 选择合适的方法解一元二次方程
11．用配方法解下列方程：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)．
12．用配方法解下列方程：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)； (6)．
题型4 利用整体换元法解一元二次方程
13．请运用“整体换元法”解方程：
(1)． (2)．
14．阅读下面材料，然后解答问题：
解方程：．
分析：本题实际上一元四次方程．若展开按常规解答对于同学们来说还是有一定的挑战性．解高次方程的基本方法是“降次”，我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法．
解：设，则原方程换元为．
，解得：，
或．
解得，，，．
请参考例题解法，解下列方程：
(1)；
(2)．
15．阅读下列材料：
解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变形为，
解得，．
当时，，．
当时，，
所以原方程有四个根：，，，．
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
(1)解方程时，若设，则原方程可转化为______，并求出；
(2)利用换元法解方程：．
16．阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程通过因式分解可以把它转化，解方程和，可得方程的解．
问题：
(1)方程的解是，______，______；
(2)求方程的解；
(3)拓展：解方程：时，可以用“换元法”转化．设，则有，原方程可化为：．将解方程的过程补充完整，求出的值．
17．阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值．
解：设，则原方程变为，整理得所以，，
所以，因为，所以．
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
(1)已知实数x、y，满足，求的值；
(2)已知的三边为a、b、c(c为斜边)，其中a、b满足，求斜边的长度．
题型5 配方法的应用
18．已知为实数，满足，那么的最小值为 ．
19．已知实数a，b满足：，则 ．
20．当时，不等式恒成立，则的取值范围为 ．
21．【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
①用配方法分解因式：
解：原式
②利用配方法求最小值：求最小值．
解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是．
【应用】根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：________=（x- ）2；
（2）将变形为的形式，并求出的最小值；
【探究】若，（为任意实数）试比较M与N的大小，并说明理由．
22．综合与实践
【方法研究】配方法是数学中重要的一种思想方法，配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等．
例：求代数式的最小值．
解：原式．
，
，
的最小值为3．
【方法应用】
（1）仿照例题，用配方法求代数式的最小值．
【问题迁移】
（2）若，求，．
【拓展应用】
（3）如图，这是加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中，，是和的三边长．根据勾股定理，可得，我们把关于的一元二次方程，称为“勾系一元二次方程”，已知代数式的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根，且，试求四边形的周长．
题型6 根据判别式判断一元二次方程根的情况
23．若直线不经过第二象限，则关于的方程的实数根的个数为 ．
24．定义运算：，例如，则不解方程，判断方程的根的情况是 ．
25．已知实数满足方程，则的值是 ．
26．已知关于的一元二次方程（为常数）．
(1)若方程的一个根为2，求方程的另一个根；
(2)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
题型7 根据一元二次方程根的情况求参数
27．已知关于x的一元二次方程有两个同正的实数根，则m的取值范围是 ．
28．从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为 ．
29．已知关于x的一元二次方程的两个实数根之积为正数，则实数m的取值范围是 ．
题型8 一元二次方程根与系数的关系
30．已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）
A．2025 B．2023 C．2021 D．2019
31．若，是方程的两个实数根，且，则m的值为 ．
32．若一元二次方程的两个实数根是某直角三角形两条直角边的长，则这个直角三角形的周长为 ．
33．已知是一元二次方程的两个实数根，求的值．
34．已知实数m、n满足，，且．
(1)试说明的值恒为正数；
(2)求证：
题型9 根的判别式、根与系数的关系综合
35．已知关于x的一元二次方程．
(1)当m为何值时，该方程有两个实数根？
(2)若边长为的菱形的两条对角线的长分别为该方程两根的2倍，求m的值．
36．已知关于的一元二次方程．
(1)判断此方程根的情况，并说明理由．
(2)若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数的值的和．
(3)若此方程的两个实数根分别为，求代数式的值．
题型10 已知两根满足的关系求参数/代数式的值
37．已知关于的一元二次方程的两个实数根为，．
(1)求的取值范围．
(2)是否存在实数，使得成立？若存在，请求出值，若不存在，请说明理由．
38．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，．
(1)求m的取值范围；
(2)当时，求m的值．
39．已知关于x的方程
(1)说明无论k取何实数值，该方程必有两个实数根；
(2)若该方程的两根分别是，且，求k的值．
40．已知关于的一元二次方程，其中，，分别为 ABC三边的长．
(1)若 ABC是等边三角形，求方程的根；
(2)若 ABC是直角三角形，且为斜边长，试判别方程根的情况．
41．关于的方程为，其中为实数．
(1)判断方程根的情况，并说明理由．
(2)当原方程的两根满足时，求的值．
42．关于的一元二次方程的有两个实数根为，．
(1)求的取值范围；
(2)若，求的值．
题型11 构造一元二次方程求解
43．阅读材料：已知实数满足，且，求的值．
解：由题意知是方程的两个不相等的实数根，
根据上述材料解决以下问题：
(1)已知实数满足，，且，求的值．
(2)已知实数分别满足，，且．求的值．
44．阅读下面的材料：
材料一：和3是方程的解．
；
材料二：如果实数，满足，，则可以将，看作是方程的两实数根．
问题解决：
(1)若两个不同的实数、满足，，求的值；
(2)已知实数，，满足，，且，求的最大值．
45．（2025·福建三明·一模）已知实数、、，且满足，．
(1)求证：的值是定值；
(2)若，同号，求的取值范围；
(3)当、同号时，设，求的取值范围．
题型12 根据一元二次方程解的范围求参数
46．关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围．
47．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根．
(2)若原方程的两个实数根一个小于4，另一个大于5，求m的取值范围．
48．一元二次方程的根分别满足以下条件，求出实数的对应范围．
(1)两个根的平方和为12；
(2)两个根均大于；
(3)．
49．已知关于的方程
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根大于，另一根小于，求的取值范围．
50．已知关于的方程．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根大于2，另一根小于2，求a的取值范围．
题型13 实际问题与一元二次方程
51．杭州特产专卖店销售核桃，经销商统计了该专卖店核桃7月份到9月份的销量，7月份销售4000千克，9月份销售5760千克，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同．
(1)求该专卖店核桃销售量的月增长率；
(2)该核桃进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，在此基础上单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
①每千克核桃应降价多少元？
②在平均每天获利不变的情况下，该店为尽可能让利于顾客，赢得市场，打算打折出售．该店应按原售价的_____折出售．
52．2025年1月16日，中国羽毛球协会与重庆大学举行共建羽毛球中心合作签约仪式，将共建西南地区首个羽毛球中心，这一举措不仅能培养出羽毛球精英人才，也有力地促进了重庆的羽毛球经济发展．某体育用品店分别用1400元和2000元购进A，B两种羽毛球拍，已知每副A种球拍的进价比每副种球拍的进价贵20元，且购进A种球拍的数量是购进种球拍的数量的．
(1)求两种羽毛球拍每副的进价；
(2)这批羽毛球拍很快被一抢而空，该店计划再购进一批羽毛球拍，此时每副A种球拍的进价不变，购进数量在第一次的基础上增加了副；每副种球拍的进价上涨了元，购进种球拍的数量在第一次的基础上减少了副，总花费元，求的值．
53．近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信．
(1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？
(2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？
54．如图，矩形中，，，动点P从点A出发，以每秒的速度向点B匀速移动，同时，点Q从点C出发，以每秒的速度向点D匀速移动，当其中一点到达终点时停止，同时另一点也随之停止移动．
(1)经过多少时间时，四边形为矩形；
(2)经过多少时间时，四边形的面积为；
(3)经过多少时间时，点P和点Q之间的距离是．
题型14 与一元二次方程有关的新定义问题
55． 定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根为x1 ，x2，那么以这两个根的倒数，为根的一元二次方程称为原方程的倒根方程．
应用：
(1)通过计算，判断方程②是不是方程①的倒根方程：
①，
②，
(2)请求出一元二次方程的倒根方程．
56．定义：如果关于x的一元二次方程有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”．
(1)判断一元二次方程是否为“C方程”，请说明理由；
(2)已知关于x的一元二次方程是“C方程”，求代数式的最小值．
57．定义：我们把一个整数平方后得到的数称为完全平方数．例如：，，我们就将这些数都称为完全平方数．
(1)如果一个完全平方数满足，则满足条件的值为 （请写出所有满足条件的数）；
(2)是正整数，如果和都是完全平方数，求的值；
(3)如果关于的一元二次方程至少有一个整数解，请直接写出满足题意的正整数的值．
题型15 与一元二次方程有关的阅读材料类问题
58．悦悦在学习有关配方的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或1时，的值均为4：当，即或0时，的值均为7，于是悦悦给出一个定义：关于x的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称，例如关于对称．
请结合悦悦的思考过程，运用此定义解决下列问题：
(1)多项式关于______对称；多项式关于______对称；
(2)若关于x的多项式关于对称，求n的值；
(3)若整式关于对称，求实数a的值．
59．阅读材料：各类方程的解法：求解一元一次方程时，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式；求解二元一次方程组时，把它转化为一元一次方程求解；类似的，解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组求解；解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程求解；解分式方程，把它转化为整式方程求解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知，把复杂转化为简单．运用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为：，解方程和，可得方程的解为，，，
(1)解方程；
(2)拓展：解方程组．
60．阅读与思考
下面是小文撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务．
通过解一元二次方程分解某些二次三项式
我们把形如（是常数，）的多项式叫做关于的二次三项式．通过初中学习可知，利用因式分解可解某些一元二次方程．反过来，是否可以利用求出一元二次方程两个根的方法，把某些二次三项式分解因式呢？根据下面代数推理，可以得出结果，设一元二次方程的两个实数根为，，直接计算：．
下面是代数推理过程：
解：
即．
这就是说，在因式分解二次三项式时，可先求一元二次方程的两个实数根，然后写成．即通过解一元二次方程可以将某些二次三项式分解因式．
任务：
(1)已知是两个常数，一元二次方程的两个实数根为，则二次三项式分解因式的结果是__________；
(2)因式分解：的结果是__________；
(3)请用阅读内容中的方法，因式分解：；
(4)通过阅读上述代数推理过程，请直接写出一个你发现的结论．
61．阅读材料，并解决问题．
【学习研究】赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下：
第一步：将原方程变形为；
第二步：画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．
第三步：得新方程．因为表示边长，所以，即．
【理解】上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是______________．
A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．整体代换思想
【实践】小明根据赵爽的办法解方程，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变形为（____________）；
第二步：画四个全等的矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，类比图1标明各边长），并写出后续的解答过程；
【应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的正根为____________．
62．阅读材料：若关于x的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数．其“快乐数”．
(1)“快乐方程”的“快乐数”为_________；
(2)若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”；
(3)若有另一个“快乐方程”的“快乐数”．且满足，则称与互为“开心数”．若关于x的一元二次方程与（m、n均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求n的值．
参考答案
题型1 根据一元二次方程的定义求参数
1． 65
解：
去括号得：，
移项、合并同类项得：
∴
∴把方程化成一般形式是，其中．
故答案为：，65．
2．
解：∵一元二次方程中不含x的一次项，
即不含x的一次项，
∴，
∴，
∴原方程为，
解得：，
故答案为：．
3．C
解：根据题意，由常数项为2，
则，
解得：或，
∵，
∴，
∴或都符合题意．
故选：C．
4．（1）解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴，
∴；
（2）解：∵关于x的方程是一元一次方程，
∴，
∴；
（3）解：∵该方程有一个根是，
∴，即，
解得或．
5．解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴这个一元二次方程为或。
题型2 根据一元二次方程的解求参数或代数式的值
6．
解：把一元二次方程
整理得．
设，则．
关于的一元二次方程有一个根为，
有一个根为，
，
解得，
一元二次方程必有一个根为．
故答案为.
7．2024
解：∵a是方程的一个根，
∴，
∴，，
∴
故答案为：2024．
8．
解：由题意可知：，
∴
∴．
故答案为：．
9．
解：设方程的一个根为，则是方程的一个根，
∴①，，即②，
得，
解得或，
当时，代入①，得，不符合题意，舍去；
当时，代入①，得，
得；
综上，；
故答案为：．
10．（1）解：是方程的两根，
，
，
∴原式，
是方程的两根，
，
原式；
（2）解：，
，
，
原式．
题型3 选择合适的方法解一元二次方程
11．（1）解：，
，
配方得：，
，
开方得：，
，；
（2）解：，
，
，
配方得：，
，
开方得：，
，；
（3）解：，
，
配方得：，
，
开方得：，
，；
（4）解：，
，
，
配方得：，
，
开方得：，
，；
（5）解：，
，
配方得：，
，
开方得：，
，．
12．（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，
，
，
，；
（4）解：，
，
，
，
，
，
，；
（5）解：，
，
，
，
，
，
，；
（6）解：，
，
，
，
，
，
，．
题型4 利用整体换元法解一元二次方程
13．（1）解：设，
则原方程可化为，解得．
当时，；
当时，，此方程无解．
综上所述，原方程的解为．
（2）解：设，则原方程可化为，
解得．
当时，；
当时，．
综上所述，原方程的解为．
14．（1）解：设，则，
∴，
解得：或（舍去），
即，
解得．
（2）设，则，
则，
∴，
解得：（舍）或，
即，
∴，
∴，
∴
∴
解得：．
15．（1）解：，
设，
∴原方程变为：，
解得，
当时，，
解得；
当时，，
可知，无解.
所以原方程的解是；
（2），
设，则
∴原方程可变形为：，
即，
解得，
当时，，
解得；
当时，，
解得，
经检验，所有解均是方程的根，
∴，.
16．（1）解：∵，
∴，
∴，
解得，，，，
故答案为：3，；
（2）解：，
，
∴，
∴，
解得，，，；
（3）解：，
设，则，
∴原方程可化为：，
，
解得，（舍去），
∴，即，
∴，
∴，
解得，，，
当时，，满足题意；
当时，，满足题意；
∴方程的解为，．
17．（1）解：设，
则原方程可变为，
解得，
，
，
；
（2）解：设，
则原方程可变为，
即，
解得，，
，
，
，
即斜边的长度为．
题型5 配方法的应用
18．14
解：，
，得，则③，
，得，则④，
把③④代入得，
；
∵，
∴的最小值是14，
故答案为：14．
19．
解：
，
∵，
∴且
∴，即，，
∴，
故答案为：
20．
解：不等式可化为，
，
∴x-1>0，
不等式可化为，
当时，不等式恒成立，
即：，
，
当且仅当，即时取等号，
，
，
故答案为：．
21．应用：（1）∵
故答案为：36，6．
（2）
∵，
∴当时，原式有最小值．
【探究】因为，，
；
因为，
所以，
所以，
即．
22．解：（1），
，
，
的最小值为；
（2），
，
，
，
，，
，，
，；
（3）由（1）的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根，
，
，
，，
，
∴，
∴，
∴（负值舍去），，
四边形的周长为．
题型6 根据判别式判断一元二次方程根的情况
23．1或2
解：∵直线不经过第二象限，
∴，
当时，方程化为，解得，有1个实数根；
当时，方程为一元二次方程，，
∴方程有2个不相等的实数根；
故答案为：1或2
24．有两个不等实数根
解：∵，
，
即，
∵
∴
∴方程有两个不等实数根，
故答案为：有两个不等实数根．
25．3
解：令，
则原式为，
解得，
当时，，方程有实数根，
当时，，方程没有实数根，
，
故答案为：3．
26．（1）解：将代入方程，得：，解得：．
当时，方程为，
，
，，
∴方程的另一个根是．
（2）证明：∵在中，，
，
，
，
，
∴不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
题型7 根据一元二次方程根的情况求参数
27．
解：一元二次方程有两个的实数根，
，
，
两个实数根同正，
，，
，
m的取值范围是是．
28．
解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
∴且，
列表如下：
1 2
1
2
由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中满足且的结果数有，，，共3种，
∴关于x的一元二次方程有实数根的概率为，
故答案为：．
29．
解：记关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，
∵关于x的一元二次方程的两个实数根之积为正数，
∴，
即，，
∴，
故答案为：．
题型8 一元二次方程根与系数的关系
30．D
解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴
，
故选：D．
31．
解：∵，是方程的两个实数根，
∴，
，
解得，
，是方程的两个实数根，
，
又，
，
即，
解得，或，
又，
的值是.
故答案为：
32．
解：设两条直角边的长分别是，，
则，，
，
直角三角形斜边的长是，
这个直角三角形的周长为：．
故答案为：．
33．解：，是一元二次方程的两根，
，，
，，
．
34．（1）证明：∵实数m、n满足，，且，
∴实数m、n可以看做是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴，
∴的值恒为正数；
（2）证明：由（1）可得实数m、n可以看做是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，即．
题型9 根的判别式、根与系数的关系综合
35．（1）解：方程有两个实数根，
，
解之得：．
当时，方程有两个实数根；
（2）解：设方程的两根分别为、，
由根与系数的关系得：，
由题意可知：菱形的边长为，两条对角线的长为，
∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴其半对角线长与边长构成直角三角形，
∴，
即，
，
解之得：或．
，，
，，
当时，，．
当时，，
不合题意，舍去，
又由（1）知：，
．
36．（1）解：此方程总有两个实数根．
理由：，
不论为何值，，
此方程总有两个实数根．
（2）解：设方程的两个根为，
则，．
此方程的两个实数根都是整数，
的值为，
符合条件的整数的值的和为0．
（3）解：是方程的两个实数根，
，，
，，
以上两式相加，可得，
即．
题型10 已知两根满足的关系求参数/代数式的值
37．（1）解：由题意得：方程的根的判别式，
解得；
（2）解：不存在，理由如下，
由一元二次方程根与系数的关系得：，，
则，
，
，
，
∵，
∴，
∴．
∵（不符题意，舍去），
故不存在这样的实数k．
38．（1）解：由题意得，，且
∴且；
（2）由题意得，，，
∵，
∴，即，
整理得：，
解得：或（舍），
∴．
39．（1）解：，
∴此方程总有两个实数根；
（2）解：方程的两根分别是，
①．
②，
∴由，得，
．
将代入原方程，得，
解得：．
40．（1）解：∵ ABC是等边三角形，
∴，
∴方程变为，即：，
解得：，；
（2）解：∵ ABC是直角三角形，为斜边，
∴，
∴，
∴方程有两个相等的实数根．
41．（1）方程总有两个不相等的实数根．
理由：
原方程为一元二次方程．
方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：由根系关系，得．
，
．
配方，得．
整理，得
解得，或．
42．（1）解：因为关于的一元二次方程的有两个实数根，
所以，且，
解得，
所以的取值范围是．
（2）解：因为关于的一元二次方程的两个实数根为，，
所以．
又因为，
所以，
则，
所以，
解得，
经检验是原方程的解，且符合题意，
所以的值为8．
题型11 构造一元二次方程求解
43．（1）解：由题意知是方程的两个不相等的实数根，
故答案为：．
（2）解：把两边同时除以，得
．
又，
实数和可看作方程的两个不相等的实数根，
．
故答案为：．
44．（1）解：∵，实数、满足，
∴、可看作方程的两根，
，
∴．
（2）解：∵、，
∴将看作是方程得两实数根；
，
而，
，
∴，即，
∴的最大值为2．
45．（1）证明：，，
，为关于的方程的两个不相等的实数根，
由根与系数的关系得，，
的值为定值．
（2）解：由（1）得，
，同号，
，
解得：，
又，
，
．
（3）由（1）、（2）得，，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，即．
题型12 根据一元二次方程解的范围求参数
46．（1）证明：在方程中，
，
方程总有两个实数根．
（2）解：，
，．
方程有一根小于1，
，解得：，
的取值范围为．
47．（1）证明：
，
是非负数，
．
无论取何实数时，原方程总有两个实数根；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
解得：，，
由方程两个实数根一个小于4，另一个大于5，
则有 ，
解得，
即的取值范围是．
48．（1）解：∵一元二次方程的根的平方和为12，
∴，
∴，
解得或2，
（2）解：∵一元二次方程，
∴
∴方程总有两个不相等的实数根，
∵一元二次方程两个根均大于2，
∴且
即
而
且
解得：
综上
（3）解：，
则
解得：
∵x1x2=6a-10 ，
整理得：
∴．
49．（1）解：证明：∵
，
∵，
∴，即，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根为，，
则：，，
∵方程有一个根大于1，另一根小于1，
∴，
∴，
即，
解得．
50．（1）解：证明：
，
∵，
∴，即，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根为，，
则：，，
∵方程有一个根大于2，另一根小于2，
∴，
∴，
即，
解得．
题型13 实际问题与一元二次方程
51．（1）解：设该专卖店核桃销售量的月增长率为，根据题意得，
解得：或（舍去）
答：该专卖店核桃销售量的月增长率为；
（2）解：①设每千克核桃应降价元，则售价为元，利润为元，销量为千克根据题意得，
解得：
答：每千克核桃应降价或元；
②设该店应按原售价的折销售，根据题意得，在平均每天获利不变的情况下，该店为尽可能让利于顾客，赢得市场，则售价为元，
∴
解得：
故答案为：．
52．（1）解：设A种羽毛球拍每副的进价为元，则种羽毛球拍每副的进价为元，
由题意得，解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
∴，
答：种羽毛球拍每副的进价为70元，种羽毛球拍每副的进价为50元；
（2）解：第一次购进种羽毛球拍（副），
第一次购进种羽毛球拍（副），
根据题意可得，
整理得，
解得或（不符合题意，舍去），
则，
答：的值为5．
53．（1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，
依题意得：
解得或（舍去），
答：这个短信要求收到短信的人必须转发给人；
（2）第三轮短信转发后，收到此短信的人数共有：（人）．
答：从小王开始计算，三轮后会有人有此短信．
54．（1）解：当运动时间为时，，，，．
依题意得：，
解得：．
答：当时，四边形为矩形；
（2）解：依题意得：，
整理得：，
解得：．
答：当t为5时，四边形的面积为．
（3）解：过点Q作于点E，则，如图所示．
依题意得：，
即，
解得，．
答：当t为或时，点P和点Q的距离为．
题型14 与一元二次方程有关的新定义问题
55．（1）解：①，
，
，
，
②，
，
，
．
∴方程②是方程①的倒根方程；
（2）解：，
，
，
，
∴，，
∴方程的倒根方程为，
整理得：．
56．（1）解：是“C方程”，理由如下：
∵，
∴，
∴或，
解得：，
∵，
∴一元二次方程是“C方程”；
（2）解：∵关于x的一元二次方程是“C方程”，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的最小值为．
57．（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴满足条件的值为．
（2）解：设，k、m为正整数，
∴，
∴，
∵41只有因数1和41，
∴，解得：，
∵，
∴．
（3）解：∵关于的一元二次方程至少有一个整数解，
∴恒成立，即，
∴，
∵因为方程至少有一个整数解且a是正整数，
∴或为整数，
设(k为非负整数)，则，解得：，
∵a为正整数，
∴k为正奇数，且，
设（为正整数），则，
当时，，，符合题意；
当时，，，符合题意；
当时，，，符合题意；
当时，，，符合题意；
当时，，，，不符合题意；
，
当时，，此时，，都不是整数；
∴满足题意的正整数的值是：1；3；6；10．
题型15 与一元二次方程有关的阅读材料类问题
58．（1）解：由题意，∵，
∴多项式关于对称．
∵，
∴多项式关于对称．
故答案为：1；．
（2）解：由题意，多项式，
∴多项式关于对称．
又多项式关于对称．
，
．
（3）解：由题意：得
，
∴关于对称．
又∵关于对称，
．
59．（1）解：
∴；
（2），
由②，得：③，
把③代入①，得：，解得：，
当时：；
当时，；
∴方程组的解为：或．
60．（1）解：由题意可得，
，
故答案为：；
（2）由题意可得，
解得，，，
∴，
故答案为：；
（3）由题意可得，
解得，
，
∴，，
∴；
（4）∵，
∴，
∴一元二次方程（）的两个实数根为，则；
一元二次方程（）的两个实数根为，则等等．
61．解：【理解】从解题过程知，用到了数形结合思想；
故选：B．
【实践】第一步：将原方程变形为；
第二步：画四个长为，宽为的矩形，拼成一个“空心”正方形，如图所示，
则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为1的小正方形面积之和，即．
第三步：得新方程．因为表示边长，所以，即．
故答案为：；
【应用】第一步：将原方程变形为；
第二步：画四个长为，宽为的矩形，拼成一个“空心”正方形，如图2所示，
则图2中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为a的小正方形面积之和，即．
第三步：得新方程．因为表示边长，所以，
由于中间正方形的边长为a，其面积为，则，
即，
∴．
故答案为：1．
62．（1）解：方程的“快乐数为：，
故答案为：；
（2）解：方程，
∴，
∵，
∴，
又方程是“快乐方程”，
∴或36，
∴，（舍去），
∴方程为：，
则，
故其“快乐数”数是；
（3）解：，
∴，
设，
则，
又与同奇偶，
∴或或或
解得或，
∴方程为：或；
，
∴，
，
当时，
∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，
∴，
解得：或（舍去），
当时，，
∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，
∴，
解得，
综上，n的值为0或3．