九年级数学人教版上册第22章《二次函数》期末单元复习题（含答案）

第22章《二次函数》期末单元复习题
题型1 待定系数法求二次函数解析式
1．已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表：
… 0 1 2 3 …
… 3 0 3 …
有以下几个结论：①抛物线的开口向下；②当时，x的取值范围是或；③方程的根为0和2；④抛物线的对称轴为直线；其中正确的 ．（填序号）
2．选择最优解法，设出下列二次函数的表达式：
（1）已知抛物线的图象经过点，，，设抛物线的表达式为 ．
（2）已知抛物线的顶点坐标，且经过点，设抛物线的表达式为 ．
（3）已知二次函数有最大值6，且经过点，，设抛物线的表达式为 ．
3．已知二次函数的图象过三点，那么此二次函数图象的对称轴是直线 ．
4．如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，抛物线与轴交于一点，则该点坐标是 ．
题型2 函数图像的综合判断
5．在同一平面直角坐标系中，一次函数（）和二次函数（）的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
6．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A．B． C． D．
7．函数，在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数和，它们在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．C． D．
题型3 二次函数的图像与系数的关系
9．如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③当时，；④其中正确结论的本数为 （填序号）
10．已知抛物线经过第四象限点，下列四个结论：①；②；③若抛物线经过点，则；④．其中正确的结论是 ．（只填序号）
11．抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图象如图所示．有以下四个结论：①；②；③抛物线与x轴的另一个交点为；④点一定在此抛物线上．其中正确的结论是 ．（填序号）
12．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下面五个结论正确的序号为 ．
①； ②； ③；④；⑤时，
13．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②若点，点是函数图象上两点，则；③当时，将抛物线先向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线；④；⑤．
其中正确的有 （填序号）
题型4 根据二次函数的性质求取值范围
14．已知二次函数的图象关于直线对称，当时，y有最小值，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．已知抛物线过点，，若抛物线的顶点在第一象限，设，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．若抛物线经过第一，二，三，四象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．已知抛物线经过点，，若A，B两点均在直线的下方，且，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
18．已知抛物线经过点，，若，则的取值范围是 ．
19．若函数的图象与坐标轴有三个交点，则的取值范围是 ．
20．抛物线的对称轴为直线．
(1)求a的值；
(2)向下平移该抛物线，使得到的抛物线经过原点，求平移后得到的抛物线的表达式．
21．在平面直角坐标系中，抛物线：经过点．
(1)求此二次函数图象的对称轴与顶点坐标；
(2)若把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移n（）个单位，图象恰好经过点，求n的值．
题型5 二次函数与几何变换
22．如图，抛物线交x轴于点A，点（点A在点B左侧），交y轴于点．
(1)求抛物线解析式；
(2)若将抛物线向右平移个单位长度得到一条新抛物线，且新抛物线与坐标轴仅有两个交点，求m的值．
23．阅读以下材料，解答问题．
规定：两个函数的图象关于轴对称，则称这两个函数互为“函数”，例如：函数与的图象关于轴对称，则这两个函数互为“函数”．
(1)若二次函数与二次函数互为“函数”，则二次函数的表达式为____________；
(2)若二次函数与二次函数(为非零常数)互为“函数”，且二次函数的最大值为，请求出二次函数的表达式．
24．已知抛物线．请按照要求写出符合条件的抛物线的解析式．
（1）若抛物线与关于轴对称，则= ；
（2）若抛物线与关于轴对称，则= ；
（3）若抛物线与关于坐标原点对称，则= ；
（4）若抛物线是由绕着点P（1，0）旋转180°后所得，则= ．
题型6 二次函数与一次函数交点问题
25．如图，抛物线过点，与轴交于点、，抛物线顶点坐标为，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求证：直线与该抛物线没有交点；
(3)设，矩形的周长为，写出与的函数关系式，并求的最大值；
26．已知函数的图象如图所示，请根据函数图象回答下列问题．
(1)方程的解为______；
(2)方程有四个不同的实数根，则的取值范围为______；
(3)若函数的图象与直线有三个交点，求的值．
27．已知一次函数与二次函数（m为常数）的图象在同一平面直角坐标系中．
(1)当 时，求两个函数图象的交点坐标．
(2)如果两个函数图象没有交点，求m的取值范围．
(3)如图，当 时，点P和点Q分别是两个函数图象上的任意一点．
①当轴时，求 的最小值；
②当轴时，求 的最小值．
题型7 二次函数与不等式问题
28．已知二次函数的图象如下图，请根据函数图象完成以下问题：
(1)该函数的对称轴为 　 　，方程的解为 　 　；
(2)当时，y的取值范围为 　 　；
(3)当时，x的取值范围为 　 　；
(4)当时，x的取值范围为 　 　．
29．如图，抛物线的图像与x轴交于A，B两点，A在B左侧，与y轴交于点C．
(1)点C坐标为 ，顶点坐标为 ；
(2)不等式的解集是 ；
(3)当x满足时，y的取值范围是 ．
(4)当y满足时，x的取值范围是 ．
30．小亮同学学习二次函数后，对函数进行了探究．在经历列表，描点，连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：
(1)观察探究：
①写出该函数的一条性质：_______；
②方程的解为：_______；
③若方程有四个实数根，则的取值范围是_______．
(2)延伸思考：
将函数的图象经过平移可得到函数的图象，画出平移后的大致图象，并写出平移过程，再通过图象直接写出当时，自变量的取值范围．
题型8 根据二次函数的最值求字母的值或取值范围
31．已知关于的二次函数，其中为实数，当－2≤≤1时，的最小值为4，满足条件的m的值为 或 ；
32．已知点A（，）（）是二次函数（）图象上一点，当时，二次函数的最大值和最小值分别为6和，则的值为 ．
33．已知二次函数（是常数），当自变量时，函数有最大值为10，则 ．
34．已知抛物线．当时，函数的最大值为，最小值为，若，则的取值范围是 ．
35．若，，且，的最小值为，最大值为．
（1）的取值范围是 ；
（2）的值为 ．
题型9 利用二次函数的性质比较大小
36．已知抛物线上三点，，，则，，满足的大小关系式为 ．（用“”连接）
37．已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，试比较和的大小： ．（填“”，“”或“”）
38．抛物线，点，，，则、、的大小关系是（　　）
A．c>a>b B．b>a>c C．a>b>c D．无法比较大小
题型10 二次函数与实际应用
39．如图，为了美化环境，刘大爷准备利用自家墙外的空地种植3种不同的花卉，墙的最大可用长度是，现有长为的篱笆，计划靠着院墙围成一个中间有两道隔栏的矩形花圃．
(1)若要围成总面积为的花圃，边的长应是多少？
(2)当为多少米时，花圃的面积最大？
40．如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从开始沿向点以的速度移动，如果点，同时从点出发，试问：
(1)出发多少时间时，点之间的距离等于？
(2)面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？
41．如图是一座廊桥正中间最高的桥拱的示意图，其形状可近似看作抛物线型．工作人员利用无人机经过多次测量，测得桥拱的最高点A到水面的距离为，距离左、右侧桥墩的水平距离均为，已知桥墩露出水面的高度，以所在直线为x轴，垂直于且过最高点A的直线为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)为让游客能有更好的体验，工作人员计划在桥拱上悬挂灯带（灯带利用卡扣固定），使得灯带与水面平行，，且均与水面垂直，为保证安全，要求灯带底部D，G距水面的距离为，当灯带总长度最大时，求的长．
42．某商场将进货价为元的台灯以元售出．每月能售出个．按商场管理规定，售价在元至元范围内．调查发现，在该范围内，这种台灯的售价每上涨元，其销售量就减少个．
(1)为了实现每月元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？
解：假设售价为元，则每月台灯的销售量为______个，每个台灯的利润为______元．(用含的代数式表示，并完成解答)
(2)要使每月的销售利润最大，售价应定为多少？请说明原因．
43．一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的A处射门，已知球门高为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以O为原点，建立平面直角坐标系如图所示．
(1)求抛物线的表达式；
(2)通过计算判断球能否射进球门；
(3)为了进球，运动员带球向点A的正后方移动了米射门，若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，结果恰好在点O正上方处进球，求n的值．
44．某公园为吸引游客，沿着公园内一条河边的绿道打造喷水景观，为保持河边绿道地面干燥，水柱从绿道一旁地面呈抛物线状喷出，经过绿道上方流入河流中．如图是其截面图，喷水口为，绿道路面宽度，当水柱离喷水口的水平距离为时，水柱到达最高处，最高点到绿道地面的距离是．以为坐标原点，所在直线为轴，经过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系．
(1)求水柱所在抛物线的函数表达式；
(2)出于安全和美观考虑，要在绿道上的处竖直向上安装一排高度为的护栏花墙，若m，判断水柱是否会打湿护栏花墙，并说明理由．
题型11 一元二次不等式恒成立问题
45．设二次函数（，是常数，），已知函数值和自变量的部分对应值如下表所示：
… …
… …
(1)若．
①求二次函数的表达式；
②自变量在时，有最大值，求的值．
(2)求证：恒成立．
46．已知二次函数表达式为．
(1)用b表示二次函数图象的顶点坐标，并求出顶点纵坐标的最大值；
(2)当时，恒成立，求b的取值范围．
题型12 用抛物线研究根与0的大小关系
47．对于关于x的方程x2＋（2m﹣1）x＋4﹣2m＝0，求满足下列条件的m的取值范围，
（1）两个正根；
（2）有两个负根；
（3）两个根都小于﹣1；
（4）两个根都大于；
（5）一个根大于2，一个根小于2；
（6）两个根都在(0，2)内；
（7）两个根有且仅有一个在(0，2)内；
（8）一个根在(﹣2，0)内，另一个根在(1，3)内；
（9）一个正根，一个负根且正根绝对值较大；
（10）一个根小于2，一个根大于4．
题型13 二次函数与一次函数综合
48．如图1，抛物线与坐标轴交于O，B两点，直线与抛物线交于A，B两点，已知点B的坐标为．
(1)求抛物线和一次函数的表达式．
(2)如图2，P为抛物线上位于上方的一点，过点P作x轴的垂线交于点C，求的最大值．
49．如图：已知抛物线的图像过点、，点为抛物线在第一象限上的一动点．
(1)求、的值；
(2)过点作轴的平行线交直线于点，求的最大值；
(3)点为抛物线对称轴上一动点，若为等边三角形，求点的坐标．
题型14 二次函数与斜三角形相结合的应用方法
50．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由．
51．已知抛物线与轴交于点、两点（点在点的左侧），与轴交于点．
(1)判断的形状，并说明理由．
(2)设点是抛物线在第一象限部分上的点，过点作轴于，交于点，设四边形的面积为S，求S关于的函数关系式，并求使S最大时的坐标和S的最大值；
题型15 一次函数与将军饮马综合
52．已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是抛物线对称轴，上的一个动点，求的最小值；
53．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），连接，，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点E是线段上不与点O、A重合的点，过点E作轴，交抛物线于点P，交于点D，点M是线段上一动点，轴，垂足为N，点F为线段的中点，连接，．当线段的长度取得最大值时，请求出的最小值；
(3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段的长度取最大值时的点D，且与直线相交于另一点K，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标．
54．如图，已经抛物线经过点，且它的对称轴．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点B是抛物线线上的一点，当的面积为15时，直接写B的坐标；
(3)P是对称轴上的一点，当的值最大时，求P的坐标以及的最大值．
题型16 二次函数存在性问题（周长/面积）
55．如图，抛物线与轴相交于点、，与轴相交于点，且满足．
(1)求的值及点的坐标；
(2)直线上方的抛物线上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
56．如图，已知直线与抛物线相交于A、C两点，与y轴交于点E， 抛物线与y轴交于点N，其顶点为D．若连接，
(1)直接写出点A、N的坐标，A（_______，_______）；N(________，_______）．
(2)求直线的函数关系式；
(3)若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点P的坐标；
(4)在对称轴上是否存在一点M，使的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由．
题型17 二次函数存在性问题（角度）
57．如图，对称轴为直线的抛物线过点和点．且与轴交于点．
(1)求此抛物线及直线的解析式；
(2)点为抛物线第三象限部分上的一点，点是坐标平面内一点点与点不重合，过点作轴交直线于点，请直接写出当线段的长度最大时，使以、、为顶点的三角形与全等的点的坐标；
(3)设点为抛物线的顶点，在轴上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
58．如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、．
(1)求：，的值；
(2)当时，函数的最小值是2，求出的值；
(3)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
题型18 二次函数存在性问题（特殊三角形）
59．如图，已知二次函数的图象与轴的一个交点为，与轴的交点为，过、的直线为．
(1)求二次函数的解析式及点的坐标；
(2)由图象写出满足的自变量的取值范围；
(3)在两坐标轴上是否存在点，使得△是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
60．如图，抛物线经过点，，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点P为对称轴上的一点，若使最小，求出此时点P的坐标：
(3)设抛物线的顶点为D，轴于点E，在y轴上是否存在点M使得是直角三角形 若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由
61．如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点．
(1)求该抛物线所对应的函数关系式；
(2)E是线段上的一个动点（与点B、C不重合），过点E作轴于点D，交抛物线于点F．
①求的边上的高的最大值；
②在这条抛物线上是否存在点F，使得以F、E、C为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，说明理由；
题型19 二次函数存在性问题（特殊四边形）
62．如图，抛物线与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧)，直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
(1)求A、B 两点的坐标及直线的函数表达式；
(2)P是线段上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
(3)点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．
63．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标；
(3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由．
64．如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出的值；
(3)在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
题型20 二次函数与几何综合
65．如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围；
(3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由．
66．如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为．
(1)求抛物线与直线l的函数表达式；
(2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接、，求当面积最大值时点P的坐标及该面积的最大值；
(3)若点Q是y轴上的点，且，求点Q的坐标．
67．抛物线与直线交于两点（在的左边）．
(1)求两点的坐标．
(2)如图1，若是直线下方抛物线上的点．过点作轴的平行线交抛物线于点，过点作轴的平行线交线段于点，满足，求点的横坐标．
(3)如图2，经过原点的直线交抛物线于两点（点在第二象限），连接分别交轴于两点．若，求直线的解析式．
68．已知抛物线与直线都经过点，直线与抛物线L的对称轴交于点B．
(1)求m的值；
(2)当时，将抛物线L向左平移个单位得到抛物线P，抛物线P与抛物线L的对称轴交于点M，且点M在点B的下方．过点A作x轴的平行线交抛物线P于点N，且点N在点A的右侧，求的最大值，并求出此时n的值．
参考答案
题型1 待定系数法求二次函数解析式
1．②③
解：设抛物线的解析式为，
将、、代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为，
由知抛物线的开口向上，故①错误；
当时，，解得或，故②正确；
当时，，解得或，
方程的根为0和2，故③正确；
抛物线的对称轴为直线，故④错误；
故答案为：②③．
2．
解：（1）∵抛物线的图象经过点，
∴可设抛物线的表达式为；
故答案为：；
（2）∵抛物线的顶点坐标，
∴可设抛物线的表达式为；
故答案为：；
（3）∵二次函数有最大值6，
∴可设抛物线的表达式为．
故答案为：．
3．
解：设二次函数的解析式为，
把，，分别代入解析式得，
解得，，，
则二次函数的解析式为：，
∴对称轴是直线：．
故答案为：．
4．
解：抛物线与轴交于点，顶点坐标为，
∴设二次函数解析式为，
把点代入得，，
解得，，
∴二次函数解析式为，
当时，，
∴抛物线与轴交于一点，则该点坐标是，
故答案为： ．
题型2 函数图像的综合判断
5．D
A、由直线可知，，，由抛物线可知，，，故不符合题意；
B、由直线可知，，，由抛物线可知，，，故不符合题意；
C、由直线可知，，，由抛物线可知，，，故不符合题意；
D、由直线可知，，，由抛物线可知，，，故符合题意；
故选：D．
6．B
解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意；
B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意；
故选：B．
7．A
解：设，，
由图像知，，，，，，，，
∴，
∵函数的图像开口大于函数的图像开口，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴函数的图像是抛物线，开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的正半轴上，
A．图像开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的正半轴上，故此选项符合题意；
B．图像开口向上，故此选项不符合题意；
C．图像对称轴在轴的左侧，故此选项不符合题意；
D．图像开口向上，故此选项不符合题意．
故选：A．
8．C
【详解】由题意可知，当时，
二次函数的图象开口向上，与y轴交于点，点在y轴的正半轴上，一次函数的图象经过第一、二、三象限；
当时，
二次函数的图象开口向下，与y轴交于点，点在y轴的负半轴上，一次函数的图象经过第二、三、四象限．
故答案选C
题型3 二次函数的图像与系数的关系
9．①②③④
解：∵二次函数开口向上，与轴交于轴负半轴，
，
∵二次函数的对称轴为直线，
，
，
∴，故①正确；
∵二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，
∴二次函数的图象与轴的另一个交点坐标为，
∴当时，，
∴，故②正确；
时，，
，
∴，即，故④正确；
由函数图象可知，当时，，故③正确；
综上所述，其中正确的结论有①②③④，
故答案为：①②③④．
10．①②③④
解：∵点在第四象限，
∴，
把代入，即，
∵，
∴
∴，故①正确，
∴，
∴，
由可得出，
∴，即恒成立，故②正确，
若抛物线经过点，
∴，
∵，
∴，
∴，则，故③正确，
∵，，
∴，
∴可变形为：，
即，
整理得：，
∵，
∴
∴，显然成立，故④成立，
故答案为：①②③④
11．②③④
解：根据函数图像开口向下，与y轴交于正半轴可知：，，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故①错误，
∵，
∴，故②正确．
∵点关于对称轴为直线的对称点为，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，故③正确，
∵抛物线经过点，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴ ，
∵在抛物线上，
∴点一定在此抛物线上，故④正确．
综上：②③④正确，
故答案为：②③④
12．②③④⑤
解：抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴为直线，
，
，
，
抛物线与轴交于点在轴的负半轴，
，
，
故结论①错误；
二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，抛物线与轴的另一个交点为，
，
故结论②正确；
，
，
，
，
，
故结论③正确；
对称轴为直线，
函数的最小值为，
，
，
故结论④正确；
，
，
，
，
，
，
，
，
故结论⑤正确；
综上所述，结论正确的是②③④⑤；
故答案为：②③④⑤．
13．①④⑤
解：∵二次函数图象开口方向向下，对称轴在y轴右侧，与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴，，．
∴．
∴．故①符合题意．
∵点是函数图象上一点，对称轴是直线，
∴二次函数图象经过点．
∵二次函数图象开口方向向下，
∴当时，y随x的增大而增大．
∵函数图象上一点，
∴．故②不符合题意．
∵，二次函数图象对称轴是直线，
∴设二次函数解析式为．
把点坐标代入二次函数解析式得．
解得．
∴二次函数解析式为．
∴抛物线先向上平移4个单位，再向右平移1个单位得到抛物线为．故③不符合题意．
∵二次函数图象过点，二次函数对称轴是直线，
∴二次函数图象过点．
把点和代入二次函数解析式中得
用a来表示b和c得
∵二次函数图象与y轴的交点B在与之间（不包括这两点），
∴．
∴．
∴．故④符合题意．
∵二次函数图象开口方向向下，对称轴为直线，
∴二次函数在时取得最大值．
∴当时，，即．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．故⑤符合题意．
故①④⑤符合题意．
故答案为：①④⑤．
题型4 根据二次函数的性质求取值范围
14．C
解：∵二次函数的图象关于直线对称，
∴，解得，
则二次函数，
当时，函数有最小值；
∵当时，y有最小值，
∴，
解得，
故选C．
15．B
解：如图所示，依题意，抛物线过点，，顶点在第一象限，
∴，
∵对称轴在轴的右侧，
∴，则，
∵抛物线过点，，
∴，
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∴，
即
故选：B．
16．B
解：令，则，
解得：，
∴抛物线与x轴交于和，
∵抛物线经过第一，二，三，四象限，且，
∴ ，
∴．
故选：B．
17．D
∵点在直线下方，
∴，
解得．
∵点在直线下方，
∴，
解得．
∵ ：
∴，
解得．
∴．
故选：D．
18．
在抛物线 中，对称轴为：
∵，
∴抛物线开口向下，
∴在对称轴左侧随的增大而增大，在对称轴右侧随的增大而减小，
令，即，，
解得，，
∴抛物线与轴交点为和．
∵点，，且．
∵，
∴点在轴上方，即，
解得．
又∵，且抛物线开口向下，
∴在对称轴左侧随增大而增大，在对称轴右侧随增大而减小，
∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，且两点都在轴上方．
点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，则，且．
由，化简得，
解得．
综上，的取值范围是．
故答案为：．
19．且
解：∵函数的图象与坐标轴有三个交点，
∴抛物线不经过原点且与轴有两个交点，
∴，且,
解得且,
故答案为：且．
20．（1）解：，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得：；
（2）解：由（1）知抛物线的表达式是，
设该抛物线向下平移m个单位长度后经过原点，
则抛物线经过原点，
∴，
解得：，
∴平移后得到的抛物线的表达式是．
21．（1）解：∵经过点，
∴．
解得：．
∴二次函数的解析式为．
∴对称轴为直线．顶点的坐标为．
（2）解：二次函数的解析式化为．
∵把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移个单位，
∴平移后新二次函数的解析式为．
∵平移后图图象经过点，
∴．
解得：．
题型5 二次函数与几何变换
22．（1）解：∵抛物线过，，
∴
解得：，，
∴抛物线解析式为；
（2）解：令，，
解得，，
∴点A的坐标为，，
当原抛物线向右平移后，若新抛物线与坐标轴仅有两个交点，则新抛物线必过原点，
∴．
23．（1）解：∵二次函数与二次函数互为“函数”，
∴二次函数的表达式为，
故答案为：；
（2）解：∵二次函数的最大值为，
∴，且，
解得(舍去)或，
∴，
∵二次函数与二次函数(为非零常数)互为“函数”，
∴二次函数的表达式为．
24．解：（1）y和y1关于x轴对称，则开口方向相反，顶点关于x轴对称，
即表达式为：；
（2）y和y2关于y轴对称，则开口不变，顶点关于y轴对称，
即表达式为：；
（3）y和y3关于坐标原点对称，则开口方向相反，顶点坐标关于原点对称，
即表达式为：；
（4）y4由绕着点P（1，0）旋转180°后所得，则开口相反，顶点关于P（1，0）对称，
即表达式为：.
题型6 二次函数与一次函数交点问题
25．（1）解：由题意可设抛物线的函数解析式为，
将点代入解析式可得，解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）证明：将直线与抛物线联立可得，
整理得；
∴，
直线与抛物线没有交点；
（3）解：由题意得，则
∵四边形是矩形，
∴，
∴点G和点D关于抛物线对称轴对称，
∴点E和点F关于抛物线对称轴对称，
由（1）可得抛物线对称轴为直线，
，
，．
，即与的函数关系式是
当时，的值最大，的最大值是20．
26．（1）解：通过观察图象可得的解为，
故答案为：；
（2）解：当时，直线与函数有三个交点，即有三个不同的实数根，
当 时，直线与函数有两个交点，即有两个不同的实数根，
当方程有四个不同的实数根时，，
故答案为：；
（3）解：把点代入得，，
令，整理得，
则，解得，
当函数的图象与直线有三个交点时，的值为或．
27．（1）解：（1）当时，一次函数为y= 二次函数为
联立方程组
解得 或
∴交点坐标为或；
（2）由
得
∵两个函数图象没有交点，
∴
得
（3）当 时，一次函数为二次函数为
①∵轴
设 ，
∴当 时，
②设
∵轴，
∴当 时，
题型7 二次函数与不等式问题
28．（1）解：∵的图象过点，，其中，，
∴抛物线的对称轴为直线，与直线的交点为，，
∴方程的解为，，
故答案为：；，；
（2）解：由图可知，又因为抛物线的对称轴为直线，
∴在对称轴直线右侧，函数值随的增大而增大，
∵，
∴点在抛物线上关于对称轴直线的对称点为，
又∵，
∴当时，y的取值范围为，
故答案为：；
（3）解：由图可知当时，或，
由图象知：当时，x的取值范围为或，
故答案为：或．
（4）解：由上知，当时，对应的自变量的值为或；当时，对应的自变量的值为或，
由图可知当时，对应的x的取值范围为或．
故答案为：或．
29．（1）解：把代入得，，
∴点坐标为，
∵，
∴顶点坐标为，
故答案为：；
（2）解：把代入得，，
解得：，
，
由图象可得，当时，，即，
∴不等式的解集是，
故答案为：；
（3）解：由前面可知抛物线的顶点坐标为：
故当时，y取得最小值为．
当时，，
结合函数图像可知，当时，．
（4）解：令，则，即，
解得：，，
又，
故结合函数图象可知：当或时，．
30．（1）解：①由图象可得：关于轴对称；函数有最大值为0等；（答案不唯一）．
②由图象可得：或；
③由图象可得：当时，方程有四个实数根，
故答案为：①关于轴对称（答案不唯一）；②或；③；
（2）解：图象如图所示，
平移过程为：将函数的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度可得到函数的图象，
由图象可得：当时，
自变量的取值范围为且．
题型8 根据二次函数的最值求字母的值或取值范围
31．
解：原式变形为，
对称轴为，
二次函数当时，有最小值为4，
①当时，
当时，有最小值为4，
，
解得：,(舍去)，
②当时，
当，有最小值为，
化简整理得，
解得：（舍去），（舍去），
③当时，
当，有最小值为，
化简整理得，
解得：（舍去），
满足条件的m的值为或．
故答案为：；．
32．
解：∵把代入中，得：,
∴，
∴函数解析式为：，
∵，
∴二次函数开口向上，对称轴为轴，
∵，
∴，，
①当，即时，函数在处取得最大值，在处取得最小值，
∴，
解得：，
且，
则有，
解得：；
②当，即时，函数在处取得最大值，
∴，
解得：，这与矛盾，故不成立；
综上可得：．
故答案为： ．
33．或
解：∵二次函数，
∴二次函数的对称轴为直线，
又∵当自变量时，函数有最大值为10，
∴当即时，时取最大值，即，
解得，
当即时，号时取最大值，即，
则
∵，方程没有实数根，
当时即，时取最大值，即，
解得
综上，的值为或，
故答案为：或．
34．
解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越小，
∴当时，函数值有最大值，
∵，
∴当时，，
∵当时，且，
∴且到1的距离小于等于到1的距离，
∵和关于直线对称，
∴；
故答案为：．
35． -10
解：（1），
，
，
，
，
又，
，
故答案为：；
（2），
，
，
当时，有最小值，
当时，有最大值，
，，
，
故答案为：．
题型9 利用二次函数的性质比较大小
36．
解：∵的对称轴为直线，开口向上，
∴点与对称轴的距离越大，函数值越大，
∵抛物线上三点，，，
且
∴，
故答案为：．
37．
解：∵二次函数的图象的对称轴为直线，
又∵，
∴该函数图象的开口向上，
∵抛物线经过点，，且，
∴点离对称轴的距离比点要远，
∴．
故答案为：．
38．A
解：二次函数的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
、，，
点离直线最远，离直线最近，
而抛物线开口向上，
；
故选：A．
题型10 二次函数与实际应用
39．（1）解：设的长为x米，则长为米且，即，
根据题意得：，
解得：或5（不合题意舍弃）.
答：边的长应是20米．
（2）解：花圃的面积为，
∴当时，y随x的增大而减小，
∵，
∴当时，花圃有最大面积，即当长为，花圃有最大面积．
40．（1）解：设出发时间时，点之间的距离等于，
依题意有，
即，
解得（不合题意舍去）．
答：出发时间时，点之间的距离等于；
（2）依题意有，
，
∴面积的有最大值，此时时间是秒．
41．（1）解：依题意，，
故设该抛物线的函数表达式为，
∵距离左、右侧桥墩的水平距离均为，已知桥墩露出水面的高度，
即，
把代入，得，
解得，
∴该抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵该抛物线的函数表达式为，
∴设，
则，
∵灯带与水面平行，，且均与水面垂直，为保证安全，要求灯带底部D，G距水面的距离为，
∴，
∴灯带总长度，
∵，
∴当时，灯带总长度有最大值，
即，
故的长为．
42．（1）解：由题意，这种台灯的售价应定为元，
每月台灯的销售量为：．
又每个台灯的利润为：，
，
，
， 舍去．
答：这种台灯的售价应定为元，即每个台灯应涨价元．
故答案为：；．
（2）要使每月的销售利润最大，售价应定为元．理由如下：
由题意，设每月销售利润为，该商场决定把售价上涨元，
，
，
当时，随的增大而增大，
，
当时，售价为元，取最大值，此时，
答：要使每月的销售利润最大，售价应定为元．
43．（1）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
设抛物线表示的二次函数的表达式为，
把点代入，得，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）当时，，
∴球不能射进球门；
（3）由题意，移动后的抛物线为，
把点代入，得，
解得（舍去），，
∴n的值为1．
44．（1）解：由题意可知水柱所在抛物线的顶点坐标为．
设水柱所在抛物线的函数表达式为（为常数，），
将代入，得，
解得，
∴水柱所在抛物线的函数表达式为（或）．
（2）解：水柱不会打湿护栏花墙．．
理由：∵m，m，
∴m，
则点的坐标为．
当时，．
∵，
∴水柱不会打湿护栏花墙．
题型11 一元二次不等式恒成立问题
45．（1）解：①∵，
∴将，代入得：
，
解得：，
该二次函数的表达式是；
②该二次函数的表达式是，
二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，当时，最大值在时取得，
把代入，得：，
解得：，符合题意；
当时，当时，最大值在上取得，
把代入，得：，
解得：（舍去），
综上所求，的值为0或；
（2）解：根据表格可知对称轴为直线，即
，
∵，在二次函数上，
∴，
，
恒成立，
即恒成立．
46．（1）解：，
∴二次函数图象的顶点坐标为，
∵顶点纵坐标，
∵，
∴顶点纵坐标有最大值为1；
（2）
解：①二次函数的图象开口向上，对称轴为，
∴当二次函数的图象与轴没有交点或只有1个交点时，总有成立，如图；
此时△，即，
解得；
②当二次函数的图象与轴有2个交点时，如图；
△，可得或，
∵对称轴为直线，
观察图象，显然，
综上所述，对满足的任意实数，都使得成立，则．
题型12 用抛物线研究根与0的大小关系
47．当有两个实数根时，
其根的判别式，即，
解得或，
设，
则此二次函数的对称轴为，且其与轴的交点的横坐标即为方程的根，
（1）当方程有两个正根时，
则当时，，且二次函数的对称轴大于0，
即，解得，
又 或，
；
（2）当方程有两个负根时，
则当时，，且二次函数的对称轴小于0，
即，解得，
又 或，
；
（3）当方程的两个根都小于时，
则当时，，且二次函数的对称轴小于，
即，此不等式组无解，
则不存在符合此条件的；
（4）当方程的两个根都大于时，
则当时，，且二次函数的对称轴大于，
即，解得，
又 或，
；
（5）当方程的一个根大于2，一个根小于2时，
则当时，，
即，解得，
又 或，
；
（6）当方程的两个根都在内时，
则当和时，，且二次函数的对称轴在内，
即，解得，
又 或，
不存在；
（7）当方程的两个根有且仅有一个在内时，
则当时的值与时的值的乘积小于0，
即，解得或，
又 或，
或；
（8）当方程的一个根在内，另一个根在内时，
则当时，；当时，；当时，；当时，，
即，此不等式组无解，
则不存在符合此条件的；
（9）当方程有一个正根，一个负根且正根绝对值较大时，
则当时，，且二次函数的对称轴大于0，
即，此不等式组无解，
则不存在符合此条件的；
（10）当方程的一个根小于2，一个根大于4时，
则当和时，，
即，解得，
又 或，
．
题型13 二次函数与一次函数综合
48．（1）解：把代入，得：，
解得：，
∴二次函数解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴一次函数解析式为；
（2）设点的坐标为，则，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为．
49．
（1）解：∵抛物线的图像过点、，
故将代入，得，
将代入，得．
（2）解：由（1）可得抛物线的解析式为，
设点的坐标为，则，，
∵轴，
∴点的纵坐标为，
∵点在直线的图像上，
∴点的横坐标为，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为．
（3）解：抛物线的对称轴为，
设点的坐标为，点的坐标为，则，，
则，
，
，
∵为等边三角形，
∴，
∴，，
∴，解得：或（不合题题意舍弃），
∴，
点的坐标为．
题型14 二次函数与斜三角形相结合的应用方法
50．
（1）解：将，代入．
得解得：，
；
（2）设点P的坐标为，且在第二象限内，
把代入，可得，
，
设直线的解析式为，
将代入上式，得，
解得，，
直线的解析式为，
过点P作垂直于x轴交于点Q，则，
，
，
，
当时，，，
．
51．（1）解：是直角三角形，理由如下：
∵抛物线与x轴交于点B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A．
当时，，
当时，，
则或，
，，，
，，，
，，，
∴，
是直角三角形，且．
（2）解：设直线的解析式的解析式为：，
∵直线过点， ，
，
解得：，
直线的解析式的解析式为：，
∵点是抛物线在第一象限部分上的点，
∴，
∵轴，交直线于点Q，
∴，
，
，
，
即S关于m的函数关系式为，
当时，的最大值为8，此时．
题型15 一次函数与将军饮马综合
52．（1）解：把点代入中，得，
解得：，
故抛物线的表达式为；
（2）解：由，令，则，
∴点的坐标为．
令，则，
解得：，
∴点的坐标为，
，
连接交抛物线对称轴于点，则此时的值最小，
∵关于抛物线的对称轴对称，
，
，
在中，，
∴的最小值为．
53．（1）解：令，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
将和代入得，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：令，则，
解得或，
∴，
设直线的解析式为，
代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，最大，此时，
∴，，，
∴，，
连接，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴当共线时，取最小值，即取最小值，
∵点为线段的中点，，，
∴，
∴，
∴的最小值为；
（3）解：由（2）得点的横坐标为，代入，得，
∴，
∴新抛物线由向左平移3个单位，向下平移3个单位得到，
∴，
过点作交抛物线于点，
∴，
同理求得直线的解析式为，
∵，
∴直线的解析式为，代入得，解得：，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得，，
当时，，
∴，
作关于直线的对称线得交抛物线于点，
∴，
设交轴于点，
在上截取，
过点作轴，作轴于点，作于点，
当时，，
解得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
同理直线的解析式为，
联立，
解得或，
当时，，
∴，
综上，符合条件的点的坐标为或．
54．
（1）解： 抛物线经过点，
∴设抛物线为：
抛物线过，且它的对称轴为．
解得：
∴抛物线为：；
（2）解：设，
设的解析式为：，
则，
解得：，
则 的解析式为：，
当时，则，
解得：，
侧，
∴
∵
∴，
解得：或或或（舍去），
此时点，或，
当时，则直线为，平行于x轴
此时，
，满足题意，
综上：则或或或．
（3）解：做点O的对称点，连接交对称轴于点P，如图，
则，
∴，
当点P、点C和点A三点共线时即可取得最大值，
设直线的直线方程为，
则，解得，
∴直线的直线方程为，
当时，，
那么，点时，的值最大，．
题型16 二次函数存在性问题（周长/面积）
55．（1）解：在中，当时，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵点B在抛物线的图象上，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
在中，当时，解得或，
∴；
（2）解：直线上方的抛物线上不存在一点，使得，理由如下：
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为；
如图所示，过点P作轴交于D，连接，
设，则，
∴；
∵，
∴，
∴；
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴原方程无解，
∴直线上方的抛物线上不存在一点，使得．
56．
（1）解：当时，，
解得，
∴点.
当时，，
∴；
故答案为：2，0；0，12；
（2）解：∵，
∴，
即.
过点C作，交x轴于点F，
∵，
∴
∵点，
∴，
∴，
∴.
当时，，
即点.
将点A,C代入直线的关系式，得
，
解得，
所以直线关系式；
（3）解：先过点P作轴，交于点G，
设点，则点，
∴，
∴ .
∵，
∴抛物线开口向下，有最大值，
即当时，，
∴点；
（4）解：存在，
∵点，，
∴，
根据勾股定理，得.
的周长等于，要求周长最小即求最小，
∵点，点关于对称轴对称，
∴，
可知，
当点M是对称轴与直线的交点时，即时，，
即点.
在中，，
根据勾股定理，得，
所以周长的最小值是.
当点时，周长的最小值是.
题型17 二次函数存在性问题（角度）
57．（1）设抛物线的解析式为．
把，代入得：
解得：
所以抛物线解析式为．
令，则，
所以．
设直线的解析式为，把，代入得：
解得：
所以直线的解析式为．
（2）设，
则，
，
∴当时，有最大值为2
此时，
∵，
∴轴，
又∵
∴
如图所示，当时，
∴
∴，则在轴上，
∴ ；
当时，，则轴或轴，
∵点．
∴ 或；
综上所述， ，，；
（3）在轴上存在点，使
如图，
∵
∴
取点，则，
∴为等腰直角三角形，
以为圆心为半径作圆，则
设，
∵，
∴，
解得：或
∴符合题意的点的坐标：，．
58．（1）解：由题意得：，
则，则，
抛物线的解析式为：，
则；
（2）解：当时，，
解得，，
点，
当时，，
点．
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，
当时，函数的最小值是2，即时，函数取得最小值，
则，则（舍去），
∴的值为；
（3）解：存在点，理由如下：
∵，，
∴，
，
①当点在左侧时，如图，在轴上取点，延长交抛物线于点，
在和中，
，，，
，
，
，
设直线的解析式为，
由点、的坐标得，直线的解析式为，
联立上式和抛物线的表达式得：，
则（舍去）或，故点；
②当点在右侧时，如上图，作关于的对称，交二次函数于点，
则，，，
，
，
四边形是正方形，
，
令中，，则，
解得或，
，，
，，
，
，
，
在点抛物线上，即点满足条件，
故存在满足条件的点有两个，分别为：或．
题型18 二次函数存在性问题（特殊三角形）
59．（1）解：将点坐标代入，得，
解得，
二次函数的解析式为，
点坐标为；
（2）解：由图象得直线在抛物线上方的部分，是或，
或时，；
（3）解： 如图，作的垂直平分线，交于，交轴于，交轴于，连接，
由垂直平分线性质得，，，
，，
，，
设，，
在中，，
，解得，
，
设，
，，
，解得，
，
综上所述：点的坐标或，使得是以为底边的等腰三角形．
60．
（1）解：∵抛物线经过点，，，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：如图1中，连接交对称轴于点P，
根据对称性可知：，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴此时最小，即最小，
设直线解析式为，则，
解得，
∴直线解析式为，
∵对称轴为直线，
∴当时，，
∴点P坐标．
（3）在y轴上存在点M，能够使得是直角三角形．
理由如下：
∵，
∴顶点D的坐标为，
∵，
∴，
设点M的坐标为，则：
，，
①当A为直角顶点时，由勾股定理，得，
即，
解得，
所以点M的坐标为；
②当D为直角顶点时，由勾股定理，得，
即，
解得，
所以点M的坐标为；
③当M为直角顶点时，由勾股定理，得，即
，
解得或，
所以点M的坐标为或；
综上可知，在y轴上存在点M，能够使得是直角三角形，此时点M的坐标为或或或．
61．（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，
∴设该抛物线的解析式为：．
∵过点，
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为：．
（2）①设直线的解析式为：，
把点，代入，得
，解得，
∴直线的解析式为：．
∵， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
设的边上的高为，如图，
设点E为，则，
则，
在中，，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；
②存在．
∵
∴只能是以F、C为直角顶点的等腰三角形．
当时，
∵轴，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴点F的纵坐标为3，把代入，
得，
解得，（舍去），
当时，，
∴．
当时，如图：作于点G，
则，
∴，
解得，（舍去），
当时，，
∴．
综上所述，符合条件的点F的坐标为，．
题型19 二次函数存在性问题（特殊四边形）
62．（1）解：令，得
，
解得或，
∴，
将C点的横坐标代入得
，
∴，
∴设直线的函数解析式为，将，分别代入，得
，解得，
∴直线的函数解析式是；
（2）设P点的横坐标为，
则P、E的坐标分别为，，
∵P点在E点的上方，
∴，
由，对称轴，抛物线开口向下，
∴当时，PE的最大值为；
（3）(3)存在4个这样的点F，分别是，．
①如图1，
连接C与抛物线和y轴的交点，
∴轴，
∴，，
∴F点的坐标是；
②如图2，
，A点的坐标为，
∴F点的坐标为；
③如图3，
此时C，G两点的纵坐标互为相反数，
∴G点的纵坐标为3，代入抛物线中，得
，
解得（不符合题意，舍去），
∴G点的坐标为，
设直线的解析式为，
将代入，得
，解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得，
∴直线与x轴的交点F的坐标为；
④如图4，
同③可求出F的坐标为，
∴符合条件的F点共有4个，为，，．
63．（1）解：∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为．
∴设抛物线的解析式为：，
把代入，得：，
∴，
∴；
（2）当时，解得：，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
作轴，垂足为点，设，则：，
∴，
∴与的面积相等，
∴，即：，
∵，
∴，
∴，
解得：或（舍去）；
∴；
（3）存在点，使四边形为正方形，
如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，，
由（2）可知，直线的解析式为，
设，直线解析式为，
联立得：，
消去得：，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
∵四边形为正方形，
∴，
，
整理得：，
解得：或，
正方形边长为，
或．即正方形的边长为或．
64．（1）解：一次函数，
当时，，即，
当时，，解得，即，
把，代入得，
解得，
则抛物线的解析式为．
（2）解：，，
，
，
，
，
，
点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3，
当时，，解得或（舍去），
则．
（3）解：存在，求解如下：
设点的坐标为，
①当四边形是矩形时，则，
∵直线的解析式为，
∴设直线的解析式为，
把点代入得，
直线的解析式为，
联立，解得或（即为点，舍去），
，
②当四边形是矩形时，则，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
联立，解得或（即为点，舍去），
，
综上，存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或．
题型20 二次函数与几何综合
65．（1）∵抛物线顶点横坐标为，
∴由顶点公式，其中即
∴
∴抛物线表达式为 ．
（2）当时，即
解得或（舍去），
故．
当时，故．
设直线的方程为
将点与点代入得
∴直线的方程为．
向上平移m个单位后，直线方程为．
与抛物线联立：
整理得：
抛物线与直线有交点时，，
解得，又 ，
∴m 的取值范围为．
（3）抛物线对称轴为．
直线当时，故．
顶点当故．
点．
设在抛物线上，．
如图，
情况1：过点C作的平行线，与抛物线交于点P，此时，
因，且，故可设直线的解析式为，将点代入求得，即的解析式为，
联立抛物线方程，
解得：或，
∴点P坐标为.
情况2：过点E作的平行线，交抛物线于点与，因，
∴直线向下平移到直线的距离等于直线向下平移到直线的距离，
当过点时，代入
∴解析式为，
联立，
整理得：，
解得：，
即点的横坐标是，点的横坐标是.
综上所述，存在点横坐标为.
66．（1）解：将、、代入二次函数的解析式可得，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
设直线l的函数表达式为，
将、代入解析式可得，
解得：，
∴直线l的函数表达式为；
（2）解：如图，过点作轴交于，
∵点P是抛物线上的点且在直线l上方，
∴设，则，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的面积最大，为，此时；
（3）解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到，连接交轴于，作轴于，轴于，
则为等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∵轴于，轴于，、，
∴，，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，即；
作点关于直线的对称点，连接交轴于，
由轴对称的性质可得，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵，即，
∴，即点为的中点，
∴，
同理可得，直线的解析式为，
当时，，即，
综上所述，满足条件的点的坐标为或．
67．（1）解：联立，解得或，
∴；
（2）解：设，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为y轴，
∵轴，轴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴或，
解得或（舍去）或或（舍去），
∴点P的横坐标为2或；
（3）解：设，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
在中，当时，，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或（此时的面积相等，不符合题意），
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴，
∴直线解析式为．
68．（1）解：把代入与中，得
，，
得．
（2）
解：如图：

∵，
∴，
∴将抛物线L为，直线为，
∵抛物线L向左平移，
∴抛物线P为，
∵抛物线L的对称轴为直线，
∵抛物线P与抛物线L的对称轴交于点M，
∴，
∵直线与抛物线L的对称轴交于点B，
∴，
∵点M在点B的下方，
∴．
∵抛物线L的对称轴为直线，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值．