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浙教版 九年级上册
九年级数学上学期末押题卷
试卷分析
知识点分布
一、单选题
1 0.94 事件的分类
2 0.94 y=a（x-h） +k的图象和性质
3 0.85 求角的正弦值；用勾股定理解三角形
4 0.75 正多边形和圆的综合；圆周角定理
5 0.65 二次函数图象与各项系数符号；根据二次函数的图象判断式子符号；根据二次函数图象确定相应方程根的情况
6 0.65 根据旋转的性质求解；求扇形面积；等边三角形的判定和性质
7 0.65 仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
8 0.65 三角形内切圆与外接圆综合
9 0.65 等边对等角；切线的性质定理
10 0.65 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比
二、知识点分布
二、填空题
11 0.75 已知概率求数量；由频率估计概率；解分式方程（化为一元一次）
12 0.65 相似三角形的判定与性质综合；切线的性质定理
13 0.65 相似三角形的判定与性质综合；根据矩形的性质求线段长；求角的正切值；用勾股定理解三角形
14 0.65 尺规作一个角等于已知角；相似三角形的判定与性质综合
15 0.65 已知圆内接四边形求角度；圆周角定理；半圆（直径）所对的圆周角是直角；用勾股定理解三角形
16 0.64 根据二次函数的对称性求函数值；根据交点确定不等式的解集
二、知识点分布
三、解答题
17 0.75 实数的混合运算；有理数的乘方运算；特殊角三角函数值的混合运算
18 0.65 全等的性质和SAS综合（SAS）；相似三角形的判定与性质综合；四边形其他综合问题；等边三角形的判定和性质
19 0.65 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形；利用网格求三角形面积；平移(作图)
20 0.65 喷水问题(实际问题与二次函数)
21 0.65 含30度角的直角三角形；等边对等角；求其他不规则图形的面积；证明某直线是圆的切线
22 0.65 证明四边形是菱形；解直角三角形的相关计算；等腰三角形的性质和判定；利用平行四边形性质和判定证明；利用菱形的性质求面积
23 0.64 其他问题（解直角三角形的应用）
24 0.4 等腰三角形的性质和判定；相似三角形的判定与性质综合；圆周角定理；切线的性质和判定的综合应用2025—2026学年九年级上学期期末押题卷
数 学
（测试范围：浙教版，九上全册+九下1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．射击运动员射击一次，命中靶心 B．掷一次骰子，向上一面的点数为6
C．一个标准大气压下，水加热到时会沸腾 D．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
2．抛物线的顶点坐标是（）
A． B． C． D．
3．在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，正五边形内接于，点是优弧上一点，连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．已知二次函数的图象如图所示，则以下结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．方程的正根在2到3之间
6．如图，在中，，．将绕点逆时针旋转一定角度后得到，其中点的对应点落在边上，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某 数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点处测得潮汐塔顶端的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点,测得潮汐塔底端的俯角为(点，，，在同一平面内)，则潮汐塔的高度为( )(结果精确到，参考数据：,,)
A． B． C． D．
8．若等边内接于等边的内切圆，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，，是的切线，A，C为切点，若是的直径，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，五边形，是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点，的坐标分别为，．若五边形的周长为16，则五边形的周长为（ ）
A．24 B．32 C．40 D．48
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．一个不透明的袋子中装有除颜色外其它均相同的4个白球和若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经大量试验，发现摸到绿球的频率稳定在0.6，则绿球的个数为 ．
12．如图，是的切线，交于点B，点C是上一点，连接，，交于点E，延长交于点D，且，若，，，则的长为 ．
13．如图，在矩形 中，，，点E在边上，且， 连接，点F是的延长线上一点，连接，若，则的值为 ．
14．如图，在中，D是边上一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点M，N；②以点D为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交于点E．若与的面积比为，则与的周长比为 ．
15．如图，四边形内接于为的直径，D为的中点，过点D作于点E，若则 ．
16．如图，抛物线的对称轴为，则当时，x的取值范围是 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．计算：．
18．（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．
（2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：．
（3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长．
19．如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)将向下平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度得到，请画出；
(2)以原点为位似中心，在轴的上方画出，使与位似，且相似比为；
(3)求的面积为______．
20．如图，护林员在一个斜坡上的点处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知水柱在距出水口的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为．以所在的水平方向为轴，所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系．
(1)求图中水柱所在抛物线的函数解析式；
(2)若该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为，求此时喷到处的水柱距出水口的水平距离．
21．如图，是的弦，C是外一点，，交于点P，交于点D，且，连接．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，的半径为，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）．
22．如图，在中，的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，点M在边上，连接，与交于点N，已知．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若点F为的中点，，求四边形的面积．
23．图1是我国古代提水的器具桔槔(jié gāo)，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿的中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，．
(1)如图，求支点到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）；
(2)如图，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求水桶在竖直方向上升的距离（结果精确到0.1米）．(参考数据：，，)
24．如图1，为圆直径，点在圆上，延长、分别至点、，连接，使，连接，且．
(1)求证：直线与圆相切；
(2)如图2，在直径上，过点作交圆于点，延长至点，连接，使．
①若，，，求的值；
②如图3，连交于，证明：为中点．2025—2026学年九年级上学期期末押题卷
数 学
（测试范围：浙教版，九上全册+九下1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B B C A C A A A
1．C
本题主要考查必然事件的定义，需区分必然事件与随机事件．必然事件是指在一定条件下必然发生的事件．选项C描述的是在标准大气压下，水加热到时沸腾，这是必然发生的科学现象，因此是必然事件．
解：A．射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不一定发生，故A不符合题意；
B．掷一次骰子，向上一面的点数为6，是随机事件，不一定发生，故B不符合题意；
C．一个标准大气压下水加热到时会沸腾，是必然事件，一定发生，故C符合题意；
D．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，不一定发生，故D不符合题意．
故选：C．
2．A
本题考查二次函数的图象及性质，根据抛物线的顶点式的顶点坐标为求解即可．
解：抛物线的顶点坐标为．
故选：A．
3．B
本题主要考查了求角的正弦值，定义为角C的对边与斜边的比值． 先利用勾股定理求，再计算．
解：如下图：
∵ ，，，
∴，
∴，
∴故选B．
4．B
本题考查了正五边形的中心角的计算，圆周角定理的应用，连接，求得，结合圆周角定理，计算求得即可．
解：如图，连接，
正五边形内接于，
，
，
故选：B．
5．C
本题考查了二次函数的性质．
根据二次函数的图象得到，，根据对称轴得到，可判断A、B，根据二次函数的对称性可判断D，当时，，根据可判断C．
解：∵开口向上，
∴，
∵二次函数交轴于负半轴，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
即，，B正确；
即，A正确；
由图可知方程的负根在到0之间，
∵对称轴为直线，
∴方程的正根在2到3之间，D正确；
当时，，
∵，
∴，C正确；
故选：C．
6．A
本题考查求不规则图形的面积，旋转的性质，连接，根据旋转的性质，利用分割法得到阴影部分的面积等于扇形的面积减去扇形的面积进行求解即可．
解：连接，
∵将绕点B逆时针旋转一定角度后得到，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，，
∴；
故选：A．
7．C
本题主要考查了解直角三角形的应用，延长交于点，根据等腰直角三角形的性质可知，根据的长度即可求出，利用的正切求出的长度，利用即可求出潮汐塔的高度．
解：延长交于点，
则有，
无人机在距水平地面，
，
，
是等腰直角三角形，
，
无人机从点沿水平方向飞行到达点，
，
，
在中，，，
，
，
．
故选：C．
8．A
本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内切圆与内心的性质，由于、都是等边三角形，因此它们的外心与内心重合；可过内切圆的圆心O分别作、的垂线，连接、；在构建的含特殊角的直角三角形中，用的半径分别表示出、的长，进而可求出它们的比值．
解：∵和都是等边三角形，
∴它们的内心与外心重合．
如图，过点O作的垂线，交于E，连接、．
设圆O的半径为R．
中，∵，
∴，即．
中，∵，
∴，即．
∴．
故答案为：．
9．A
本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质等；连接，由切线的性质得，根据四边形的内角和可求出，再由等腰三角形的性质得，即可求解．
解：连接，
∵，是的切线，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
10．A
本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质．根据位似图形的性质得到，即五边形的相似比为，据此即可求解．
解：∵五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点的坐标分别为，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴五边形的相似比为，
∵五边形的周长为16，
∴五边形的周长为24，
故选：A．
11．6
本题考查利用频率估计概率，涉及解分式方程等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
根据频率估计概率，摸到绿球的概率稳定在0.6，设绿球个数为x，列分式方程求解．
解：设绿球的个数为x，则总球数为，摸到绿球的概率为．
解得．
经检验，是原分式方程的解．
故答案为：6．
12．
本题考查切线的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质，证明三角形相似，是解题的关键，连接，切线的性质得到，进而得到，得到，进行求解即可．
解：如图，连接，
∵是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
13．/
过点D作，可证明，从而得，，运用勾股定理得，结合，证明，得到，求出，由即可求解．
解：过点D作，如图所示：
∵，
∴，
则，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即：，
解得：，
∴，
∴．
故答案为：．
本题主要考查矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，添加辅助线，构造三角形全等和相似证明是解题的关键．
14．
本题考查了作图—尺规作图，相似三角形的判定与性质，由作图可得，证明得出，即可求出，再由相似三角形周长比等于相似比即可得解．
解：由作图可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．3
连接，先根据圆内接四边形对角互补得，再结合，求出，，由圆周角定理及“等弧对等弦”证得，再由“同弧上的圆周角相等”证得，结合可推得，即可作答．
解：∵四边形内接于，，
∴，
∵，
∴，
∴，
则，
∴，
如图，连接．
∵为的直径，D为弧的中点，
∴，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∵，则，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故答案为：3．
本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理、等弧对等弦、等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是作出正确的辅助线．
16．或
本题考查二次函数与一元二次不等式的关系，结合图象在上方即为的部分求解即可得到答案．
解：由题意可得，函数经过点，
∵对称轴为直线，
∴点关于对称轴的对称点为，
∴由函数图象可得，当或时，，
故答案为：或．
17．1
本题主要考查了实数的混合运算，先计算乘方，代入特殊角的三角函数值，然后再计算乘法，最后再计算加减法即可．
解：
18．（1）见解析；（2）见解析；（3）3
（1）由矩形的性质可得，则，再由，可得，则，根据等角的余角相等得，即可得证；
（2）利用“”证明，可得，由，可得，利用“”证明，则，由正方形的性质可得，根据平行线的性质，即可得证；
（3）延长到点，使，连接，由菱形的性质可得，，则，推出，由全等的性质可得，，进而推出是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可．
（1）证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
又，
，
点在的延长线上，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，延长到点，使，连接，
四边形是菱形，
，，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
．
本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)28
本题考查作图﹣位似变换，平移作图，三角形的面积，解题的关键是理解位似变换，轴对称变换的定义，属于中考常考题型．
（1）画出A，B，C平移后的对应点，再连线成三角形即可解决问题；
（2）连接，延长到，使得，同法可得连接成，即是所求三角形；
（3）利用矩形的面积减去周围3个三角形的面积，即可解答．
（1）解：如图所示，就是所求三角形；
（2）解：如图所示，就是所求三角形．
（3）解：∵，，，与位似，且位似比为，
∴，
∴．
故答案为：28．
20．(1)抛物线解析式为
(2)水平距离为
本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求解析式和二次函数与一次函数的交点问题是解题的关键，
（1）由题意可得抛物线顶点坐标为，设抛物线解析式为，把代入，求出值，即可得答案；
（2）把代入（1）中解析式，求出的值，即可得答案．
（1）解：∵水柱在距出水口的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为，
∴抛物线顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴图中水柱所在抛物线的函数解析式为．
（2）解：由（1）可知抛物线解析式为，
∴当时，，
解得：，（舍去），
∴此时喷到处的水柱距出水口的水平距离为．
21．(1)直线与相切，理由见解析
(2)
（1）根据等腰三角形性质，垂直定义，对顶角性质，证明，再结合切线的判定定理即可证明直线与的位置关系；
（2）利用直角三角形性质，得到，结合勾股定理建立等式求出，再根据图中阴影部分的面积，结合扇形面积公式列式求解，即可解题．
（1）解：直线与相切，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
直线与相切；
（2）解：，的半径为，，
，，
，
解得或（不合题意，舍去），
图中阴影部分的面积为：．
本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，垂直定义，对顶角性质，勾股定理，直角三角形性质，扇形面积的计算，灵活运用相关知识点是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)36
本题主要考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）先证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质以及角平分线的定义可得，然后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明结论；
（2）先根据平行四边形的性质以及相关已知条件可证明可得，再根据菱形的性质可得，再解直角三角形可得、，再根据菱形的性质求解即可．
（1）证明：，
，
四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形，
，
，
是的平分线，
，
，
，
∴平行四边形是菱形．
（2）解：点F为的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
由（1）得：四边形是菱形，
，
，
在中，，
∴，
，
．
23．(1)
(2)
本题考查解直角三角形的应用．正确构造直角三角形是解题的关键．
（1）作于点，易得的长度和的度数，根据的长度和的余弦值可得的长度；
（2）在（1）中求得的长，作于点，可得的长度，则水桶在竖直方向上升的距离为与的差．
（1）解：如图，作于点，则，
由题意得：，，
，
，
，
，
米，为的中点，
米，
（米；
（2）解：在（1）中米，
如图，作于点，则，
同理可得，，
，
水桶在竖直方向上升的距离为米，
故水桶在竖直方向上升的距离约为米．
24．(1)见详解
(2)①160；②见详解
（1）根据为圆 O 的直径，利用圆周角定理得出，则．根据，得出，结合，得，则，即可证明直线与圆相切．
（2）①连接，过点作于，证明，由（1）知，则，证明四边形为矩形，得出，，证明，得出，证明，得出，求出，则，即可求解．
②连接并延长交的延长线于点，连接，根据为圆直径，得出，根据，得出，则，证出，证明，，得出，即可得，即为中点．
（1）证明：∵为圆 O 的直径，
，
在中，．
，
，
，
，
，
即于点，
又为圆半径，
∴直线与圆相切．
（2）解：①连接，过点作于．
∵，
∴，
由（1）知，
，
∵，，直线与圆相切，
，
∴四边形为矩形，
，，
∴，
∵，
，
又，
，
，
即，
∵，，
∴，
，
即，
，
，
∵，
．
②连接并延长交的延长线于点，连接，
∵为圆直径，
，
，
，
∵，，
，
，
，
，
∴，，
，
∵，
∴，
即为中点．
该题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理，矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，切线的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点并正确做出辅助线．
