28.2.2 应用举例 第1课时 仰角俯角 教学课件（30张PPT）数学人教版九年级下册

28.2解直角三角形及其应用
28.2.2 应用举例
第1课时 仰角俯角
第28章 解直角三角形
学习目标
1.能用解直角三角形等有关知识解决简单的实际问题;
2.在运用解直角三角形等知识解决实际问题的过程中，体会数学建模和数形结合的思想;
3.利用解直角三角形知识解决实际问题的过程中，渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识.
旧知回顾
新知探究
典例讲解
变式训练
拓展探究
当堂巩固
课堂小结
作业布置
情景导入
中国航天回顾
情景导入
2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面????????????????????的圆形轨道上运行.如图，当组合体运
行到地球表面????点的正上方时，从中能直接看到的地球
表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少
(地球半径约为????????????????????????，????取????.???????????? ，结果取整数)？
?
P
解：设∠?????????????=????，????????是⊙????切线，△????????????是直角三角形．
∵????????????????=????????????????=????????????????????????????????+????????????≈????.????????????????,
∴????≈????????.????????°
∴????????的长为????????.????????????????????????×????????????????≈????????.????????×????.????????????????????????×????????????????≈????????????????(????????)
∴当组合体在????点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离????点约????????????????????????.
?
O
F
P
Q
将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)
情景导入
新知探究
仰角俯角的定义：
如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫作仰角；
从上往下看，视线与水平线的夹角叫作俯角.
仰角
俯角
例1.(1)如图，无人机的探测器显示，从无人机????看一栋高楼顶部????的仰角为????????°，看这栋高楼底部????的俯角为????????°，无人机????与高楼的水平距离为120m，求这栋高楼????????的高度
?
解：过????点作????????⊥????????，垂足为????，由题意可得，
∵????????⊥????????,????????=????????????????，∠????????????=????????°,∠????????????=????????° ,
在????????△????????????中,????????=????????·????????????????????°=????????????×????????=????????????m，
在????????△????????????中,????????=????????·????????????????????°=????????????×????=????????????????m，
∴????????=????????+????????=????????????+????????????????=????????????????m.
?
D
典例讲解
例1.(2)如图，无人机的探测器显示，从无人机????看一栋高楼顶部????的俯角为????????°，看这栋高楼底部????的俯角为????????°，若无人机的高度为120m，求这栋高楼的高度
?
A
C
B
解:过????点作地面的垂线????????⊥????????于点????,过点B作????????⊥????????于E
∵????????⊥?????????，∠????????????=????????°,∠????????????=????????° ,
∴在????????△????????????中,????????=????????????????????????????°=?????????????，
∵????????=????????,∴????????=????????????
在????????△????????????中,????????=????????·????????????????????°=????????????，
∵????????=?????????????????=?????????????????????????,????????=????????
∴????????=?????????????????????????,即这栋高楼的高度为?????????????????????????????
?
D
E
典例讲解
例1.(3)如图，无人机的探测器显示，从无人机????看一栋高楼顶部????的俯角为????????°，看这栋高楼底部????的俯角为????????°，这栋高楼????????的高度为120m，求无人机????与高楼的水平距离
?
A
C
B
解:过????点作????????延长线的垂线????????,垂足为????，设????????=????????
∵????????⊥?????????，∠????????????=????????°,∠????????????=????????° ,
∴在????????△????????????中,????????=????????·????????????????????°=????????，
在????????△????????????中,????????=????????·????????????????????°=????????????，
∵????????=?????????????????=?????????????=????????????
∴????=????????(????+????),即无人机????与高楼的水平距离为????????????+????????
?
D
典例讲解
例2.如图，2024年4月25日，神舟十八号载人飞船从地面????处成功发射．当飞船到达????处时，地面????处的雷达站测得????????=????????????????????，仰角为????????°．????????后，飞船直线上升到达????处，此时地面????处的雷达站测得????处的仰角为????????°．已知点????,????,????在同一直线上，????,????两处相距460m，求飞船从????处到????处的平均速度（结果精确到????????/????，参考数据：????≈????.????????????,????≈????.????????????）
?
解：∵∠????=????????°．在????????△????????????中，????????=????????????????????,∠????=????????°，
∴????????=????????????????=????????????????????，????????=?????????????????????????????°=????????????????????????．
∵????????=????????????????，∴????????=?????????????????=(?????????????????????????????????)????．
∵在????????△????????????中，∠????????????=????????°，
∴????????=?????????????????????∠????????????=(?????????????????????????????????)????，
∴????????=?????????????????=??????????????????????????????????????????????????=(?????????????????????????????????????)????，
∴飞船从????处到????处的平均速度约为?????????????????????????????????????????≈????????????(????/????)
?
典例讲解
例3.如图，小明利用无人机测量教学楼的高度，无人机在点????处，测得小明所在位置????点的俯角为????????°，测得教学楼顶????点的俯角为????????°，教学楼底????点的俯角为????????°，又经过人工测得????，????两点间的距离为????????????米，求教学楼????????的高度．(注：点????，????，????，????在同一平面上，????≈????.????????????，????≈????.????????????，结果取整数)
?
解：如图，过点????作????????⊥????????，垂足为????，延长????????交????????于点????,
∵????????=????????=????????????米，????????⊥????????，????????=????????，
设????????=????米，∴????????=?????????????????=(?????????????????)米
在????????△????????????中，∠????????????=????????°，∴????????=????????·????????????????????°=????????????(米)，
在????????△????????????中，∠????????????=????????°，∴????????=????????????????????????????°=?????????????????????米，
∴????????????=?????????????????????,解得:????=????????，
∴????????=?????????????????????=????????(米)，????????=????????=????????????=????????×??????=????????????(米)，
在????????△????????????中，∠????????????=????????°，∴????????=????????????????????????????°=????????(米)，
∴????????=?????????????????=?????????????????????≈????????(米)．
?
典例讲解
典例讲解
D
背靠背型
母抱子型
交叉型
方法点拨：把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出直角三角形.
解直角三角形常见类型
归纳总结：
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
(1)将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；
(2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；
(3)得到数学问题的答案；
(4)得到实际问题的答案.
典例讲解
1.如图，已知某校博学楼层高5米，弘毅楼层高16米，此刻明明在距离博学楼不远的操场上，估计他自己的身高为????.????米，此刻测得他看博学楼顶部的仰角为????????°，一无人机在弘毅楼顶部观察他的俯角为????????°．若楼宽忽略不计，求两栋教学楼之间距离．（保留根号）
?
解：过点????作????????⊥????????，交????????于点????，∴????????⊥????????，
∴四边形????????????????、????????????????为矩形，
∵自己的身高为????.????米，∴????????=????????=????????=????.????，
∵博学楼层高5米，弘毅楼层高16米，
∴????????=?????????.????=????.????米，????????=?????????????.????=????????.????米，
∵他看博学楼顶部的仰角为????????°，一无人机在弘毅楼顶部观察他的俯角为????????°，
∴∠????????????=????????°,∠????????????=????????°，
∴????????=????????????????????????????°=????????????，????????=????????=????????.????，
∴????????=?????????????????=????????.?????????????????米.
?
变式训练
2.如图，某数学兴趣小组决定测量建筑物????????的高度．他们首先在点B处测得建筑物最高点A的仰角为????????°，然后沿????????方向前进12米到达C处，又测得点A的仰角为????????°．请你计算建筑物????????的高度．(结果精确到1米，参考数据????≈????.????????)
?
解：由题意得：????????⊥????????，????????=????????米，设????????=????米，
∴????????=????????+????????=(????+????????)米，
在????????△????????????中，∠????=????????°，
∴????????=?????????????????????????????°=????????(????+????????)米，
在????????△????????????中，∠????????????=????????°，
∴????????=?????????????????????????????°=????（米)，∴????=????????(????+????????)，解得：????=????????+????，
∴????????=????????+????≈????????（米)，
∴建筑物????????的高度约为16米.
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变式训练
3.如图，天琪家与阿权家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算出所住楼对面商业大厦的高度????????，进行了如下操作：他俩在天琪家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角∠????的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到阿权家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角∠????的度数，竟然发现∠????与∠????恰好相等．已知A，B，C三点共线，????????⊥????????,????????⊥????????,????????=????????????,????????=????????????，求商业大厦的高度
?
解：如图，过点????作????????⊥????????于点????，过点????作????????⊥????????于点????，
∴∠????????????=∠????????????=????????°，
∵????????⊥????????,????????⊥????????，∴四边形????????????????和四边形????????????????均为矩形，
∴????????=????????=????????,????????=????????,????????=????????=????????????,????????=????????=????????????
∵∠????=∠????，∴△????????????≌△????????????????????????，
∴????????=????????=????????=????????+????????=????????????，
∴????????=????????+?????????????????=????????+?????????????????=????????????．
答：商业大厦的高????????为????????????．
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变式训练
4.为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图①，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图②，这是遮阳篷的侧面示意图，遮阳篷靠墙端距离地面的高度记为BC，遮阳篷AB长为????????，与水平面的夹角为????????°（结果精确到????.????????，参考数据：????????????????????°≈????.????????,????????????????????°≈????.????????,????????????????????°≈????.????????）．
(1)求点A到墙面BC的距离．
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解(1)：如图①，过点????作????????⊥????????，垂足为????．
在????????△????????????中，????????=????????，∠????????????=????????°．
∴????????=?????????????????????????????°≈????×????.????????=????.????(????)，
∴点????到墙面????????的距离约为????.????????．
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变式训练
(2)当太阳光线AD与地面CE的夹角为????????°时，测得影长CD为????.????????，求遮阳篷靠墙端距离地面的高度BC．
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解(2)：如图②，过点????作????????⊥????????，垂足为????，
由题意，得????????=????????,????????=????????=????.????????．
∵????????=????.????????，∴????????=?????????????????=????.?????????.????=????(????)．
在????????△????????????中，∠??????????=????????°，
∴????????=?????????????????????????????°=????????，
∴????????=????????=????????．
在????????△????????????中，????????=????????,∠????????????=????????°，
∴????????=?????????????????????????????°≈??×????.????????=????.????(????)，
∴????????=????????+????????=????.????+????=????.????(????)，
∴遮阳篷靠墙端距离地面的高度????????约为????.????????．
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变式训练
1.“世界桥梁看中国，中国桥梁看贵州”．数学兴趣小组对“北盘江第一桥”主桥墩（如图①）的高度进行测量，如图②是其设计的测量示意图．已知主桥墩底端点B到参照点C的水平距离为97米，该小组从点C沿????????°的斜坡????????行走80米到达坡顶平台的点D处．再沿平台行走80米到达点E处，在点E处得主桥墩顶端点A的仰角为????????°．已知????????⊥????????，垂足分别为B，F，点A，B，C，D，E，F均在同一平面内．（参考数据：????????????????????°≈????.????????，????????????????????°≈????.????????，????????????????????°≈????.????????，????≈????.????????）
(1)求坡顶平台????????到地面的距离；
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解：作????????⊥????????，垂足为F，如图所示：
∵∠????????????=????????°，
∴????????=????????????????=????????（米），
????????=?????????????????????????=????????????≈????????（米），
∴坡顶平台????????到地面的距离为40米；
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拓展探究
(2)求主桥墩????????的高度（结果精确到1米）．
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解：如图，延长????????交????????于点G，则????????⊥????????，
∵∠????????????=∠????????????=∠????????????=????????°，
∴四边形????????????????为矩形．
∴????????=????????，????????=????????=????????米，
∴????????=????????+????????=????????+????????+????????=????????+????????+????????=????????????（米），
∵∠????????????=????????°，
∴????????????∠????????????=????????????????=????.????????，
∴????????=????.????????×????????=????.????????×????????????≈????????????（米），
∴????????=????????+????????=????????+????????=????????????+????????=????????????（米），
∴桥墩????????的高度为269米．
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拓展探究
2.某数学研学小组将完成测量古塔大门上方匾额高度的任务，如图①是悬挂巨大匾额的古塔，图②中的线段????????是悬挂在墙壁????????上的某块匾额的截面示意图．已知????????=????米，∠????????????=????????°，从水平地面点D处看点C，仰角∠????????????=????????°，继续向前行走，从点E处看点B，仰角∠????????????=????????°，且点D到点E走了3米．求匾额悬挂的高度????????．( ????≈????.????????????，结果取整数)
?
解：过点C作????????⊥????????于点F，过点C作????????⊥????????于点H，
如图所示：则四边形????????????????是矩形，
所以????????=????????,????????=????????，
在????????△????????????中，????????=????米，∠????????????=????????°，
所以????????=?????????????????????????????°=????????(米)，????????=?????????????????????????????°=????????(米)，
在????????△????????????中，∠????????????=????????°，所以∠????????????=????????°，
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拓展探究
所以????????=?????????????????????????????°=????????????????，
在????????△????????????中，∠????????????=????????°，所以????????=????????=????????=????????+????????，
因为????????=????????+????????=????????+????????+????????，????????=????????+????????=????????????????+????，
所以????????+????????+????????=????????????????+????，解得????????=????+????????≈????米；
答：匾额悬挂的高度????????约是4米．
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拓展探究
当堂巩固
1.如图,为测量一棵与地面垂直的树????????的高度，在距离树的底端????????????的B处，测得树顶A的仰角∠????????????为α，则树????????的高度为（????）m
A．???????????????????????? B．???????????????????????? C．???????????????????????? D．????????????????????????
2.如图，建筑物????????和旗杆????????的水平距离????????为????????，在建筑物的顶端????测得旗杆顶部????的仰角????为????????°，旗杆底部????的俯角????为????????°，则旗杆????????的高度为____________
?
C
????????+????m
?
当堂巩固
3.在广场上矗立着一尊铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量铜像的高度．如图，在点????处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离????????为????????????，从热气球????看铜像顶部A的俯角为????????°，看铜像底部????的俯角为????????.????°．已知底座????????的高度为????????，求铜像????????的高度为_________(结果保留整数)．
参考数据：????????????????????.????°≈????.????????，????????????????????.????°≈????.????????，
????????????????????.????°≈????.????????，????≈????.????????）
?
????????m
?
当堂巩固
4.如图，某翼装飞行员从离水平地面高????????????米的????处出发，沿着俯角为????????度的方向直线滑行????????????米到达????点，然后打开降落伞以????????度的俯角降落到地面上的????点．求他飞行的水平距离．
?
解:如图,过点????作????????⊥????????,作????????⊥????????,垂足分别为????,????，
由已知可得∠????????????=????????°，∠????????????=????????°，
∵????????⊥????????，∴四边形????????????????是矩形，即????????=????????．
在????????△????????????中，∠????????????=????????°，????????=????????????．
∴????????=????????·????????????∠????????????=????????????????????????????????°=????????，
????????=????????·????????????∠????????????=????????????????????????????????°=????????????，∴ ????????=????????????
∵????????=?????????????????，∴????????=?????????????????????=????????????．
在????????△????????????中，????????=????????????????????∠????????????=????????????????=????????????????，
∴ ????????=????????+????????=????????????+????????????????=????????????????米．
∴运动员飞行的水平距离约为????????????????米．
?
5.如图，数学活动实践课上，小浩所在的小组用无人机测量某栋教学楼的高度．测量方法如下：无人机从水平地面????????的中点????处竖直上升26m到达点????处，测得实验楼顶部????的俯角为????????°，教学楼顶部????的俯角为????????°．已知????????=????.????m，点????,????,?????,?????,?????,?????在同一平面内，求教学楼????????的高度．（结果精确到????.????m；参考数据：????????????????????°≈????.????????,?????????????????????°≈????.????????,?????????????????????°≈????.????????,?????????????????????°≈????.????????,?????????????????????°≈????.????????,?????????????????????°≈????.????????）
?
解：如图：延长????????交????????于点????，延长????????交????????于点????,
∴????????⊥????????,????????⊥????????,????????=????????，????????=????????,????????=????????=????????=????????米，
∵????????=????.????米，∴????????=?????????????????=?????????????.????=????????.????(米),
在????????△????????????中，∠????????????=????????°，
∴????????=????????=????????????????????∠????????????≈????????.????????.????????≈????.????????(米),
∵点????是????????的中点，∴????????=????????=????????=????.????????米，
在????????△????????????中， ∠????????????=????????°，∴????????=?????????????????????????????°
≈????.????????×????.????????=????.????????(米),
∴????????=?????????????????=?????????????.????????≈????????.????(米),
∴综合楼????????的高度约为????????.????米．
?
当堂巩固
小结梳理
仰角与俯角
定义
类型
从下向上看，视线与水平线上方的夹角叫作仰角；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫作俯角.
方法
把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出直角三角形.
布置作业
P71练习1、2
一套在手，备课无忧！