中国人民大学附属中学2025-2026学年高二上学期1月统练四数学试题(图片版,含答案)

2026北京人大附中高二 1月统练四
数 学
2026年 1月 7日
一、选择题：本大题共 10小题，每小题 4分，共 40分.
1. 在空间直角坐标系O xyz中， A( 1,1,0) ,B (2,1, 2) ,C (0,2, 1)，则平面 ABC的一个法向量为
（ ）
A. (2,1,3) B. ( 2,1,3) C. (2, 1,3) D. (2,1, 3)
x2 y2
2. 已知方程 + =1表示焦点在 x轴上的双曲线，则m的取值范围为（ ）
m 1 m2 4
A. (2,+ ) B. (1,2) C. ( , 2) D. ( 2, 2)
x2 y2
3. 已知 F1,F2 分别是椭圆C : + =1(a b 0)的左 右焦点， P是C 上的一个点，且 PF1F2 的周长
a2 b2
11
为 a，则C的离心率为（ ）
4
3 1 3 1
A. B. C. D.
4 4 8 2
4. 已知 a 是公差不为零的等差数列， a1 =1，若 a2 ， a4 ， an 8 成等比数列，则a11 =（ ）
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
5. 如图，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中， ABCD是边长为 2 的正方形，侧棱 A BC1A = 4，E是线段 1的
中点，则 cos DA1E =（ ）
2 1 5 3
A. B. C. D.
3 3 3 3
6. 已知抛物线C : y2 = 2px( p 0) 的焦点为 F，点 M在抛物线 C上，且 OFM = 60 （O为坐标原
点）．若 |MF |= 4，则焦点 F的坐标为（ ）
A. (6,0) B. (4,0) C. (3,0) D. (2,0)
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7. 设 Sn为等差数列 an 的前 n项和，且 a
*
15 0,a11 + a20 0，若 Sk 0(k N )，则 k的最小值为（ ）
A. 28 B. 29 C. 30 D. 31
8. 已知 Sn等差数列 a n S nan 的前 项和，则“ n n ”是“ an 是递减数列”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
x2 y2
9. 已知椭圆Γ : + =1(a b 0)的左 右焦点分别为F1,F2 ，过 F2 的直线 l与椭圆Γ交于 A,B两点，
a2 b2
与 y轴交于C点.若F1C ⊥ F1A,S CF1F = 4S AF F ，则椭圆Γ的离心率为（ ） 2 1 2
5 10 5 10
A. B. C. D.
10 10 5 5
10. 设等比数列 a 的前 n项和为 S ，前 nn n 项的乘积为Tn ．若 a1a2 a2a3 0，则（ ）
A. Sn无最小值，Tn 无最大值 B. Sn有最小值，Tn 无最大值
C. Sn无最小值，Tn 有最大值 D. Sn有最小值，Tn 有最大值
二.填空题：本大题共 5小题，每小题 4分，共 20分.
x2 y2
11. 直线 y = 2x与双曲线C : =1没有公共点，双曲线C离心率的一个值是_____．
a2 b2
12. 如图，在正三棱柱 ABC A1B1C1中， P是棱BB1 上一点， AB = AA1 = 2，则三棱锥P ACC1的体积
为___________.
1
13. 已知数列 an 各项均为正数， a2 = 3a1， Sn为其前 n项和.若 Sn 是公差为 的等差数列，则 a1 =2
______，an = ______.
1
14. 已知数列 an 是首项为 16，公比为 的等比数列， bn 是公差为 2 的等差数列.若集合2
A ={n N* | an bn}中恰有 3 个元素，则b1的取值范围为________.
15. 若无穷数列 a 满足： a1 =1，当 n 2 时， | an an 1 |= max a1,a2 , ,an n 1 ，则称 an 是“ X 数
列”，则下列正确的有____________
①若 an 是“ X 数列”则 a4 = 8为假命题
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②若 an 是“ X 数列”且是等差数列，则 an 单调递增
③若 an 是“ X 数列”且单调递减，则 an 是等比数列
④若 a 1 i 100 a =1n 是“ X 数列”且是周期数列，则集合 i 的元素个数最多是 50
三、解答题：本大题共 3小题，共 40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 已知数列 an 的前 n项和为 Sn，且 2Sn + a1 = a1an．
（1）求 a1的值；
（2）求 an 的通项公式；
（3）若 an 的各项都为正数，记Tn = a1a2a3 an，求Tn ．
x2 y2 2
17. 已知椭圆E : + =1 (a b 0) 的左右顶点分别为 A T (0,1) △TA A1, A2 ，离心率为 ，点 ， 1 2 的
a2 b2 2
面积为 2.
（1）求椭圆 E的方程；
（2）过点T 且斜率为 k的直线交椭圆 E于点C,D，线段CD的垂直平分线交 y轴于点Q，点Q关于直线
CD的对称点为 P .若四边形 PCQD为正方形，求 k的值.
18. 已知 An : a1,a2 , ,an (n 4)为有穷数列．若对任意的 i 0,1, ,n 1 ,都有 ai+1 ai 1（规定
a0 = an）,则称 An具有性质 P．设Tn = (i, j ) ai a j 1,2 j i n 2(i, j =1,2, ,n) ．
（1）判断数列 A4 :1,0.1, 1.2, 0.5, A5 :1,2,2.5,1.5,2 是否具有性质 P？若具有性质 P ,写出对应的集合Tn ;
（2）若 A4 具有性质 P ,证明:T4 ;
（3）给定正整数 n ,对所有具有性质 P的数列 An ,求Tn 中元素个数的最小值．
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参考答案
一、选择题：本大题共 10小题，每小题 4分，共 40分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C A C C C B D D
二.填空题：本大题共 5小题，每小题 4分，共 20分.
x2 y2 b
11. 【答案】双曲线方程C : =1，(a 0,b 0)，可得其渐近线方程为 y = x，
a2 b2 a
b
若双曲线与直线 y = 2x没有公共点，则需满足 2
a
c a2 +b2
2
b
所以离心率 e = = = 1+ 5 ，
a a a
所以离心率可以取 (1, 5 内的一个值.
故答案为： 5 (答案不唯一)
12. 【答案】
取 AC中点为O ,连接OB，
因为 ABC为正三角形，所以OB ⊥ AC，
又因为 AA1 ⊥平面 ABC，OB 平面 ABC，
所以 AA1 ⊥OB ,
且 AA1 AC = A, AA1, AC 平面 ACC1A1 ，
所以OB ⊥平面 ACC1A1 ，
OB = 4 1 = 3 ,即 B到平面 ACC1A1 的距离为OB = 3 ，
又因为 BB1 / /AA1 , BB1 平面 ACC1A1 , AA1 平面 ACC1A1 ,
所以 BB1 / / 平面 ACC1A1 ，
又因为 P是棱BB1 上一点，所以 P到平面 ACC1A1 的距离为OB = 3 ,
1 2 3
所以V , P ACC = S1 ACC OB =3 1 3
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2 3
故答案为: .
3
13. 【答案】由题意知， an 0 ，由 a2 = 3a1，得 S1 = a1， S2 = a1 + a2 = 4a1 ，
1
又等差数列{ Sn}的公差为 ， 2
1
所以 S2 S1 = 4a1 a1 = ，
2
1 1
即 a = ，解得 a =1 1 ，
2 4
1 n n2
所以 Sn = a1 + (n 1) = ，解得 S = ，
2 2 n 4
1 2 1 2 1 1
当 n 2 时， Sn 1 = (n 1) = n n+ ，
4 4 2 4
1 1 1 1 2n 1
得 an = Sn Sn 1 = n
2 n
2 n+ = ，
4 4 2 4 4
1 1 1 1
当 n =1时， a1 = = ，与题意中的 a1 = 相符，
2 4 4 4
2n 1
所以 an = .
4
1 2n 1
故答案为： ； .
4 4
1 n 1 5 n
14. 【答案】由题意可得an =16 ( ) = 2 ,bn = b1 + 2(n 1) ,
2
又因为集合 A ={n N
* | an bn}中恰有 3 个元素，
25 n即 b + 2(n 1) (n N*1 ) 只有 3 个解，
因为 an = 2
5 n
(n N*) 单调递减，bn = b1 + 2(n 1) (n N
*) 单调递增，
所以 A ={1,2,3}，
a3 b3 4 b1 + 4
所以 ，即 ，解得 4 b [ 4,0)1 0，即b1的范围为 .
a4 b4 2 b1 + 6
故答案为：[ 4,0)
15. 【答案】对于①，若 an 是“ X 数列”，当 n 2 时， an an 1 = max a1,a2 , ,an 1 ，
a1 =1，若 an an 1 = max a1,a2 , ,an 1
当 n = 2 时， a2 a1 = max a1 = a1 = 1，所以 a2 = a1 +1= 0，
当 n = 3时，a3 a2 = max a1,a2 = max 1,0 = 1，所以 a3 = a2 1= 1，
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当 n = 4时， a4 a3 = max a1,a2 ,a3 = max 1,0, 1 = 1，所以 a4 = a3 1= 2 ，
故命题若 an 是“ X 数列”则 a4 = 8为假命题，①正确；
对于②，若 an 是“ X 数列”且是等差数列，设公差为 d ，
当 n = 2 时， a2 a1 = max a1 = a1，即 d = a1 =1，
当 d = 1时， a1 =1，则a2 = 0， a3 a2 = max a1,a2 =1，即 a3 = 1，
此时 a2 a3 ，数列 an 不单调递增，②错误；
对于③，若 an 是“ X 数列”且单调递减，
当 n = 2 时， a2 a1 = max a1 = a1 =1，因为数列单调递减，所以a2 = 0 .
当 n = 3时， a3 a2 = max a1,a2 =1，因为数列单调递减，所以 a3 = 1 .
当 n = 4时， a4 a3 = max a1,a2 ,a3 =1，因为数列单调递减，所以 a4 = 2 .
可知数列不是等比数列，③错误；
对于④，若 an 是“ X 数列”且是周期数列，假设周期为T ，
当 n 2 时， an an 1 = max a1,a2 , ,an 1 ，
当 n = 2 时， a2 a1 = max a1 = a =1，所以a = 0或 a2 = 21 2
若 a2 = 2时，当 n = 3时， a3 a2 = max a1,a2 = 2 ，所以 a3 = 4或a3 = 0 ，
若 a3 = 4时，当 n = 4 时， a4 a3 = max a1,a2 ,a3 = 4 ，所以 a4 = 8或 a4 = 0，
这样数列值会越来越大（非周期），所以a2 = 0
若a2 = 0时，当 n = 3时， a3 a2 = max a1,a2 =1，所以a a = 13 =1或 3 ，
若 a =1时，当 n = 4时， a4 a3 = max a1,a2 ,a3 =1，所以 a4 = 2 或 a4 = 03 ，
若 a3 = 1时，当 n = 4 时， a4 a3 = max a1,a2 ,a3 =1，所以 a4 = 0或 a4 = 2，
同理按此规律计算可得数列 an 的取值可能是1,0,1,0,1,0,1,0, ，
所以 1 i 100 ai =1 的元素个数最多是50，④正确．
故答案为：①④
三、解答题：本大题共 3小题，共 40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 【答案】（1）
对于 2Sn + a1 = a1an，令 n =1，
2a 2可得 a = 0 a = 31 + a1 = a1 ，解得 1 或 1 .
（2）
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当 a1 = 0时， Sn = 0，此时 Sn 1 = 0 ，
则 an = Sn Sn 1 = 0 0 = 0 ，
3 3
当a1 = 3时，则 2Sn + 3 = 3an ，可得 Sn = an ，
2 2
3 3 3 3 3 3
得到 Sn 1 = an 1 ，即 Sn Sn 1 = an ( an 1 )，
2 2 2 2 2 2
3 3
则 a = a a ，化简得an = 3an n n 1 n 1 ，
2 2
可得 an 是以3为首项，3为公比的等比数列，
a = 3 3n 1 = 3n故 n .
（3）
n
因为 an 的各项都为正数，所以 an = 3 ，
n(n+1)
则Tn = a a
1
1 2a3 an = 3 3
n = 31+ +n = 3 2 .
17. 【答案】（1）
已知 A1( a,0)， A2 (a,0)，T (0,1) ，
1
则△TA1A2 的面积 S = 2a 1= 2，解得 a = 2 .
2
c 2
因为离心率 e = = ， a = 2，所以 c = 2 .
a 2
又因为 a2 = b2 + c2 ， a = 2， c = 2 ，所以b2 = a2 c2 = 4 2 = 2 .
x2 y2
所以椭圆 E的方程为 + =1 .
4 2
（2）
将直线 y = kx +1与椭圆 x2 2 2+ 2y2 = 4 联立得 (2k +1)x + 4kx 2 = 0 .
4k 2
根据韦达定理， x1 + x2 = ， x1x2 = . 2
2k 2 +1 2k +1
4k 2
计算 y1 + y2 = k(x1 + x2 )+ 2 = k + 2 = ，
2k 2 +1 2k 2 +1
2k 1
从而得到线段CD中点坐标为 ( , ) .
2k 2 +1 2k 2 +1
1
然后求线段CD垂直平分线方程：垂直平分线的斜率为 ，
k
1 1 2k
根据点斜式可得垂直平分线方程为 y = (x )，
2k 2 +1 k 2k 2 +1
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1
进而得到点Q(0, ) .
2k 2 +1
最后根据四边形 PCQD为正方形时QC ⊥QD：
1 1
则QC QD = (x1, y1 + ) (x2 , y2 + )
2k 2 +1 2k 2 +1
1 1
展开得 x1x2 + (kx1 +1+ )(kx2 +1+ )
2k 2 +1 2k 2 +1
k(2k 2 + 2) 2k 2
进一步化简为 (k 2
+ 2
+1)x1x2 + (x1 + x2 )+ ( )
2
2k 2 +1 2k 2 +1
4k 2 2(k 2 +1) k(2k 2 + 2) 4k 2k 2 + 2
将 x1 + x2 = ， x1x2 = 代入得， + + ( )
2 = 0，
2k 2 +1 2k
2 +1 2k 2 +1 2k 2 +1 2k 2 +1 2k 2 +1
1
整理得 (k 2 +1)(4k 2 1) = 0，解得 k = .
2
18. 【答案】（1）
解:由题知 A4 :1,0.1, 1.2, 0.5 ,
即 a1 =1,a2 = 0.1,a3 = 1.2,a4 = 0.5,
因为 a3 a2 =1.3 1 ,
所以 A4 不具有性质 P ,
由于 A5 :1,2,2.5,1.5,2 ,
即 a1 =1,a2 = 2,a3 = 2.5,a4 =1.5,a5 = 2,
因为 a2 a1 =1 1, a3 a2 = 0.5 1, a4 a3 =1 1,
a5 a4 = 0.5 1, a5 a1 =1 1,
故 A5具有性质 P ,
因为 a4 a1 = 0.5 1, a4 a2 = 0.5 1,
a5 a2 = 0 1, a3 a5 = 0.5 1,
故T5 = (1,4) ,(2,4) ,(2,5) ,(3,5) ;
（2）
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“T ”等价于“证明 (1,3) , 2, 44 ( )两个元素至少有一个在T4 中”,
假设 (1,3) ,(2,4)两个元素均不在T4 中,
则有 a3 a1 1, a4 a2 1,
不妨设 a1 ≤ a2 ,
若 a2 a3 ,
则由 a3 a1 = (a3 a2 )+ (a2 a1 ) ,
可得 1 a3 a1 1 ,
与 a3 a1 1矛盾,
故 a2 a3 ,
同理 a3 a4 ,
从而 a1 a2 a3 a4 ,
所以 a0 a1 = a4 a1 = (a4 a2 )+ (a2 a1 ) a4 a2 1,
与 A4 具有性质 P矛盾,
所以假设不成立,即T4 ;
（3）
设 ak = min a1,a2 ,a3, ,an (2 k n 1) ,
规定 k =1时, ak 1 = an ,
k = n时, ak+1 = a1 ,
则 ak 1,ak+1 ak ,ak +1 ,
所以 ak+1 ak 1 1,
考虑数列 B3 : ak 1,ak ,ak+1 ,
Cn 1 : a1,a2 ,a3, ,ak 1,ak+1, ,an ,
由题设可知,他们均具有性质 P ,
设Tn 中元素个数最小值为 dn ,
所以 dn dn 1 +1 ,
所以 dn dn 1 +1 dn 2 + 2 d4 + n 4 ,
由(2)知 d4 1 ,从而 dn n 3 ,
3
当 n = 2m +1时,令ai = i (i =1,2, ,m) ,am+i =m+ i (i =1,2, ,m+1) ,
2
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1
当 n = 2m时,令ai = i (i =1,2, ,m) ,am+i =m+ i (i =1,2, ,m) ,
2
此时均有 dn = n 3 ,
所以Tn 中元素个数的最小值为 n 3 .
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