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2026年中考数学一轮复习精讲精练
第三章 函数
3.3二次函数的图象与性质
二次函数的图象与性质 定义 形如y=ax2+bx+c (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做x的二次函数.
y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 a>0 a<0
开口向上；|a|越大，开口越小 开口向下；|a|越大，开口越小
对称轴是 顶点坐标是.
当x<时，y随x的增大而减小; 当x>时，y随x的增大而增大, 简记为左减右增. 当x<时，y随x的增大而增大; 当x>时，y随x的增大而减小, 简记为左增右减.
抛物线有最低点, 当x=时，y有最小值，y最小值=. 抛物线有最高点, 当x=时，y有最大值，y最大值=.
y=a(x-h)2+k的图象和性质 a>0 a<0
抛物线开口向上 抛物线开口向下
对称轴是，顶点坐标是.
当x<时，y随x的增大而减小； 当x>h时，y随x的增大而增大, 简记为左减右增. 当xh时，y随x的增大而减小, 简记为左增右减.
抛物线有最低点 当x=h时，y有最小值,y最小值=k. 抛物线有最高点 当x=h时，y有最大值,y最大值=k.
平移规律 （1）将抛物线解析式化成顶点式y=a(x-h)2+k，顶点坐标为（h，k）． （2）保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下： 【注意】二次函数平移遵循“左加右减自变量，上加下减常数项”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．
二次函数的解析式的确定 （1）当已知抛物线上任意三点时，通常将函数的解析式设为一般式：y=ax2+bx+c(a≠0); （2）当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常将函数的解析式设为顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0). （3）当已知抛物线与x轴的两个交点时，通常将函数的解析式设为交点式：y=a（x–x1）（x–x2）(a≠0)，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标.
【题型一】二次函数的概念与表达式
【例1.1】（2025 普陀区三模）下列函数中，y关于x的二次函数的是（ ）
A． B．y＝2x C．y＝（x+2）2 D．y＝ax2+bx+c
【例1.2】（2025 宿城区校级一模）若函数y＝（k﹣2）x|k|+3x+1表示y是x的二次函数，则k的值为 ﹣ ．
【例1.3】（2025 温州模拟）已知二次函数y＝x2﹣2mx+2（，n为常数）．
（1）若函数图象经过点（3，5）．
①求二次函数的表达式．
②若点A（﹣3，p），B（t，q）都在该二次函数的图象上，当p＞q时，求t的取值范围．
（2）当1≤x≤3时，y有最大值为﹣5，求m的值．
【题型二】二次函数的图象与性质
【例2.1】（2025 甘孜州）对于抛物线y＝2（x﹣1）2+3，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为（1，3）
C．抛物线的对称轴为直线x＝﹣1 D．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
【例2.2】（2023 望江县模拟）下列图象中，函数y＝ax2﹣a（a≠0）与y＝ax+a的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【例2.3】（2025 温州模拟）在平面直角坐标系中，已知A（1，1），B（1，4），C（4，4），D（4，1），二次函数表达式为y＝x2﹣2mx+m2，若该函数的图象与四边形ABCD的边有交点，则m的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【例2.4】（2025 西湖区一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常数，a≠0）的图象经过点（t，y1），（t+1，y2），（ ）
A．若a＞0，t＞2，则y1＜y2 B．若a＞0，t＜2，则y1＞y2
C．若a＜0，t＞2，则y1＜y2 D．若a＜0，t＜2，则y1＞y2
【例2.5】（2025 大理州二模）已知二次函数y＝ax2﹣4x+a2﹣1（a是常数且a＞0）．
（1）若a＝2，求出该函数图象的顶点坐标；
（2）若该函数图象经过原点，当﹣1≤x≤t时，函数的最大值恰好是4t，求t的值．
【题型三】二次函数的图象与系数的关系
【例3.1】（2025 广安）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（n，0），有下列结论：①abc＜0；②4a+c＞2b；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝n；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例3.2】（2025 临平区二模）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝x2+2mx﹣m+2（m是常数）．
（1）若函数图象经过点（0，3），求该函数图象的顶点坐标．
（2）若点A（﹣1，y1），B（﹣m+2，y2）在该函数图象上，且y1＜y2，求m的取值范围．
（3）若函数图象经过点（﹣1，p），（1，q），求证：pq≤12．
【题型四】二次函数的图象变换
【例4.1】（2025 杭州校级模拟）通过平移y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象，可得到y＝﹣2x2的图象，下列平移方法正确的是（ ）
A．向左移动1个单位，向上移动3个单位 B．向右移动1个单位，向上移动3个单位
C．向左移动1个单位，向下移动3个单位 D．向右移动1个单位，向下移动3个单位
【例4.2】（2025 柯桥区二模）已知抛物线y＝﹣x2+bx﹣3（b为常数）．
（1）若该函数的图象经过（1，0）
①求该二次函数的表达式；
②将该二次函数的图象向右平移m（m＞0）个单位长度，得到新的二次函数的图象，若新二次函数的图象的顶点恰好落在直线y＝x﹣3上，求m的值；
（2）若点P（n，a），Q（n+2，a），M（﹣2，t）都在这个二次函数图象上，且﹣3＜t＜a，求n的取值范围．
1．（2025 余姚市一模）二次函数y＝x2+2x﹣3的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．﹣3 D．﹣4
2．（2025 金东区二模）将二次函数y＝﹣x2的图象先向下平移2个单位，再向右平移2个单位所得新函数表达式为（ ）
A．y＝﹣（x﹣2）2+2 B．y＝﹣（x+2）2﹣2 C．y＝﹣（x+2）2+2 D．y＝﹣（x﹣2）2﹣2
3．（2023 台州）抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2＜0，则直线y＝ax+k一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限
4．（2025 浙江模拟）一次函数y＝ax﹣b和二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023 衢州）已知二次函数y＝ax2﹣4ax（a是常数，a＜0）的图象上有A（m，y1）和B（2m，y2）两点．若点A，B都在直线y＝﹣3a的上方，且y1＞y2，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．m＞2
6．（2023 杭州）设二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是实数），则（ ）
A．当k＝2时，函数y的最小值为﹣a B．当k＝2时，函数y的最小值为﹣2a
C．当k＝4时，函数y的最小值为﹣a D．当k＝4时，函数y的最小值为﹣2a
7．（2022 杭州）已知二次函数y＝x2+ax+b（a，b为常数）．命题①：该函数的图象经过点（1，0）；命题②：该函数的图象经过点（3，0）；命题③：该函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④：该函数的图象的对称轴为直线x＝1．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（ ）
A．命题① B．命题② C．命题③ D．命题④
8．（2025 萧山区二模）已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣t）（a≠0），且A（0，m），B（2，n）为其图象上两点，则下列说法正确的是（ ）
A．若a＜0，t＜4，则m＞n B．若a＜0，t＜4，则m＜n
C．若a＞0，t＞4，则m＞n D．若a＞0，t＞4，则m＜n
9．（2025 宁海县二模）二次函数y＝ax2﹣4ax+3的图象上有A（a，y1），B（4，y2）两点．下列正确的选项是（ ）
A．当0＜a＜2时，y1＞y2 B．当a＞2时，y1＜y2 C．当a＜0时，y1＜y2 D．当a＞4时，y1＜y2
10．（2025 浙江模拟）二次函数y＝x2﹣2x﹣1的图象上有A（t，y1），B（t+1，y2）两点，选项正确的是（ ）
A．当t＜﹣1时，y1＞y2＞0 B．当﹣1＜t＜0时，y1＞y2
C．当﹣1＜t＜0时，0＞y2＞y1 D．当t＞0时，y1＞y2＞0
11．（2025 浙江模拟）用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列表如下：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … ﹣3 2 5 6 5 …
根据表格信息可知，当x＝5时，函数值y＝ ．
12．（2025 嘉善县一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c关于x＝1对称，其部分图象如图所示，则3a+c＝ ．
13．（2025 衢州四模）已知二次函数y＝x2﹣2x+k，当﹣1≤x≤4时，y的最大值为9，则k的值为 ．
14．（2025 拱墅区一模）在直角坐标系中，设二次函数y＝x2﹣2mx+n（m，n为实数），若点A（m﹣1，k1），点B（m+3，k2）都在函数y的图象上，则k1，k2之间满足的等量关系是 ．
15．（2025 余姚市一模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常数且a≠0，c＞0）经过点A（3，0），点M（t+2，y1），N（t+3，y2）在抛物线上，且y1＞y2，则t的取值范围为 ．
16．（2025 衢州一模）当n≤x≤n+1时，若二次函数y＝x2﹣4x+3的最大值为2，则n的值为 ．
17．（2025 长兴县模拟）已知二次函数y＝﹣（x+1）2+h（h为常数）的图象经过点A（﹣2，3）．
（1）求此二次函数的表达式．
（2）将抛物线先向左平移n（n＞0）个单位，再向上平移5个单位，函数图象恰好经过原点，求n的值．
（3）已知点（p，m），（q，m）在二次函数y＝﹣（x+1）2+h的图象上，且﹣7＜2p+3q＜2，求m的取值范围．
18．（2023 杭州）设二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … m 1 n 1 p …
（1）若m＝4，
①求二次函数的表达式；
②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小．
（2）若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．
19．（2024 浙江）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣2，5），对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值；
（3）当﹣2≤x≤n时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．
20．（2025 丽水一模）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3（a，b为常数，a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若0≤x≤m时，﹣4≤y≤﹣3，求m的取值范围；
（3）若n﹣1≤x≤n时，y的最大值为3﹣2n，求n的值．
21．（2025 温州一模）已知抛物线y＝ax2+bx+11（a，b为常数）经过点A（6，11），B（﹣1，4）．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若点B向右平移m（m＞0）个单位长度，再向上平移n（n＞0）个单位长度后，恰好落在抛物线的顶点处，求m，n的值．
（3）点C在抛物线上，且在第一象限，若点C的纵坐标小于16，求点C的横坐标xC的取值范围．
22．（2025 宁波模拟）二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）的图象经过点（0，﹣3）．
（1）求a的值．
（2）当﹣2≤x≤m时，该函数的最大值减去最小值的差为d1，当﹣2≤x≤m+1时，该函数的最大值减去最小值的差为d2．
①若d1＝9，求m的取值范围；
②是否存在d1＞d2？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
1．（2025 哈尔滨）抛物线y＝﹣+4的顶点坐标是（ ）
A．（3，4） B．（﹣3，4） C．（﹣3，﹣4） D．（3，﹣4）
2．（2025 安庆二模）若y＝（a﹣2）x2﹣3x+2是二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a＞0 C．a＞2 D．a≠2
3．（2025 嘉峪关一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025 浙江模拟）已知抛物线C：y＝x2+4x﹣10，将抛物线C平移得到抛物线C′，若两条抛物线关于直线x＝1对称，则平移的方法是（ ）
A．将抛物线C向右平移4个单位 B．将抛物线C向右平移5个单位
C．将抛物线C向右平移6个单位 D．将抛物线C向右平移7个单位
5．（2025 朔州一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，顶点的横坐标为2，点A（x1，y1）和点B（x2，y2）均在该函数的图象上，则下列说法正确的是（ ）
A．b＝4a B．若x1＞x2＞2，则y1＞y2 C．当m≠2时，am2+bm＜4a+2b
D．若函数图象与x轴的一个交点的横坐标为﹣1，则当x＜﹣1或x＞5时，y＞0
6．（2024 桐乡市一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax（a≠0）的图象上有两点A（m，y1），B（2m，y2），若y1＞y2＞0，则当m＜x＜2m时，函数（ ）
A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值
C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值
7．（2025 萧山区一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣2，m），B（5，n），若m＜n，则下列可能成立的是（ ）
A．当a＞0时，3a+b＝0 B．当a＞0时，2a+b＝0
C．当a＜0时，a+b＝0 D．当a＜0时，a﹣b＝0
8．（2025 浙江二模）已知二次函数y＝x2﹣2x，当﹣1≤x≤n时，函数的最大值与最小值的和为2，则n的取值范围是（ ）
A．﹣1≤n≤1 B．﹣1≤n≤3 C．1≤n≤3 D．n≥3
9．（2025 香坊区三模）抛物线y＝x2﹣6x+5的对称轴为直线 ．
10．（2025 工业园区校级二模）已知关于x的二次函数y＝2（x﹣1）2+3，当﹣1＜x＜2时，函数y的取值范围为 ．
11．（2025 淮安）若x2﹣3x+1+y＝0，则2x+y的最大值是 ．
12．（2025 邗江区三模）已知二次函数y＝x2﹣mx+3，当x≤2时，y随x的增大而减小，则m的范围是 ．
13．（2025 定远县三模）已知抛物线y＝ax2﹣4x+2的对称轴为直线x＝2．
（1）a的值为 ．
（2）若抛物线y＝ax2﹣4x+2向下平移k（k＞0）个单位长度后，在﹣1＜x＜4范围内与x轴只有一个交点，则k的取值范围是 ．
14．（2025 杭州二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，﹣1）在二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m的图象上．
（1）直接写出这个二次函数的解析式；
（2）当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n，求n的值；
（3）将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y＝a（x﹣h）2+k，当x＜2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．
15．（2025 东城区模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2a2x﹣3．
（1）若a＝1，求该抛物线的顶点坐标；
（2）已知点A（2a﹣1，y1），B（a，y2），C（a+2，y3）在抛物线上，若（y1﹣y3）（y3﹣y2）＜0，求a的取值范围．
16．（2025 威海三模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+4，其中a≠0．
（1）求该二次函数图象的对称轴；
（2）无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过A（x1，y1），B（x2，y2）两个定点，其中x1＜x2，求x1+2x2的值．
（3）若a＝1，当t﹣1≤x≤t时，该二次函数的最大值与最小值的差为2，求t的值．
17．（2025 永嘉县三模）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的图象经过点A（2，﹣3）
（1）求二次函数的图象的对称轴；
（2）若y＝ax2+bx﹣3的最小值为﹣4，将该函数的图象向右平移1个单位长度，得到新的二次函数y'，当0＜x＜5时，求y'的取值范围；
（3）若该二次函数图象与x轴分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，若2＜x2﹣x1＜4，求a的取值范围．
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第三章 函数
3.3二次函数的图象与性质
二次函数的图象与性质 定义 形如y=ax2+bx+c (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做x的二次函数.
y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 a>0 a<0
开口向上；|a|越大，开口越小 开口向下；|a|越大，开口越小
对称轴是 顶点坐标是.
当x<时，y随x的增大而减小; 当x>时，y随x的增大而增大, 简记为左减右增. 当x<时，y随x的增大而增大; 当x>时，y随x的增大而减小, 简记为左增右减.
抛物线有最低点, 当x=时，y有最小值，y最小值=. 抛物线有最高点, 当x=时，y有最大值，y最大值=.
y=a(x-h)2+k的图象和性质 a>0 a<0
抛物线开口向上 抛物线开口向下
对称轴是，顶点坐标是.
当x<时，y随x的增大而减小； 当x>h时，y随x的增大而增大, 简记为左减右增. 当xh时，y随x的增大而减小, 简记为左增右减.
抛物线有最低点 当x=h时，y有最小值,y最小值=k. 抛物线有最高点 当x=h时，y有最大值,y最大值=k.
平移规律 （1）将抛物线解析式化成顶点式y=a(x-h)2+k，顶点坐标为（h，k）． （2）保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下： 【注意】二次函数平移遵循“左加右减自变量，上加下减常数项”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．
二次函数的解析式的确定 （1）当已知抛物线上任意三点时，通常将函数的解析式设为一般式：y=ax2+bx+c(a≠0); （2）当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常将函数的解析式设为顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0). （3）当已知抛物线与x轴的两个交点时，通常将函数的解析式设为交点式：y=a（x–x1）（x–x2）(a≠0)，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标.
【题型一】二次函数的概念与表达式
【例1.1】（2025 普陀区三模）下列函数中，y关于x的二次函数的是（ ）
A． B．y＝2x C．y＝（x+2）2 D．y＝ax2+bx+c
【点拨】形如y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数，由此判断即可．
【解析】解：A、y不是关于x的二次函数，故此选项不符合题意；
B、y是x的正比例函数，故此选项不符合题意；
C、y是关于x的二次函数，故此选项符合题意；
D、当a＝0时，y不是关于x的二次函数，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
【例1.2】（2025 宿城区校级一模）若函数y＝（k﹣2）x|k|+3x+1表示y是x的二次函数，则k的值为 ﹣2 ．
【点拨】根据二次函数的定义得到k﹣2≠0且|k|＝2，然后解不等式和方程即可得到k的值．
【解析】解：∵函数y＝（k﹣2）x|k|+3x+1是关于x的二次函数，
∴|k|＝2，解得k＝﹣2或k＝2，
∵k﹣2≠0，
∴k≠2，
∴k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，准确分析计算是解题的关键．
【例1.3】（2025 温州模拟）已知二次函数y＝x2﹣2mx+2（，n为常数）．
（1）若函数图象经过点（3，5）．
①求二次函数的表达式．
②若点A（﹣3，p），B（t，q）都在该二次函数的图象上，当p＞q时，求t的取值范围．
（2）当1≤x≤3时，y有最大值为﹣5，求m的值．
【点拨】（1）①将点（3，5）代入二次函数的表达式求解即可；
②根据二次函数y＝x2﹣2mx+2的对称轴是直线x＝m，开口向上，故点离对称轴越远函数值越大，故点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，可得关于t的不等式，解不等式即可；
（2）根据二次函数y＝x2﹣2mx+2的对称轴是直线x＝m，开口向上，可知要分m≤1，m≥3，1＜m＜3三种情况求函数在1≤x≤3范围的最大值，得到关于m的方程，求解方程即可．
【解析】解：（1）①把（3，5）代入y＝x2﹣2mx+2得：9﹣6m+2＝5，
解得：m＝1，
∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x+2；
②∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵抛物线开口向上，
∴当|t﹣1|＜1﹣（﹣3）时，q＜p，
解得：﹣3＜t＜5；
（2）∵二次函数y＝x2﹣2mx+2的对称轴是直线x＝m，开口向上，
分三种情况求函数在1≤x≤3范围的最大值，
①当m≤1时，当1≤x≤3时，函数y的值随着x的增大而增大，
∴当x＝3时y取最大值为9﹣6m+2＝﹣5，
解得，
不满足m≤1，舍去，
②当m≥3时，当1≤x≤3时，函数y的值随着x的增大而减小，
∴x＝1时，y取最大值为1﹣2m+2＝﹣5，
解得m＝4，满足题意；
③当1＜m＜3时，
若m﹣1＞3﹣m，即2＜m＜3时，在x＝1时，y取最大值为1﹣2m+2＝﹣5，
解得m＝4，不符合题意；
当m﹣1≤3﹣m，即当1＜m≤2时，再x＝3时y取最大值为9﹣6m+2＝﹣5，
解得，不符合题意，
∴当1＜m＜3时，m值不存在，
综上所述：m＝4．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式、二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征及最值，求最值时要注意结合二次函数的图象分析增减性，以及分类讨论思想的应用．
【题型二】二次函数的图象与性质
【例2.1】（2025 甘孜州）对于抛物线y＝2（x﹣1）2+3，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为（1，3）
C．抛物线的对称轴为直线x＝﹣1 D．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
【点拨】根据所给二次函数解析式，结合二次函数的图象与性质对所给选项依次进行判断即可．
【解析】解：由题知，
因为抛物线的解析式为y＝2（x﹣1）2+3，
所以抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，3），
则AC选项不符合题意，B选项符合题意；
因为当﹣3＜x＜1时，y随x的增大而减小，
所以D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质及二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
【例2.2】（2023 望江县模拟）下列图象中，函数y＝ax2﹣a（a≠0）与y＝ax+a的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【点拨】可先根据a的符号判断一次函数与二次函数的图象所经过的象限，然后作出选择．
【解析】解：当a＞0时，由二次函数y＝ax2﹣a可知开，口向上，顶点在y轴负半轴上，与x轴的交点为（﹣1，0），（1，0），
由一次函数y＝ax+a可知过一，二，三象限，交x轴于（﹣1，0）；
当a＜0时，由二次函数y＝ax2﹣a可知，开口向下，顶点在y轴正半轴上，与x轴的交点为（﹣1，0），（1，0），由一次函数y＝ax+a可知过二，三，四象限，交x轴于（﹣1，0）；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象及一次函数的图象，解题的关键是熟记二次函数的图象及一次函数的图象的特征．
【例2.3】（2025 温州模拟）在平面直角坐标系中，已知A（1，1），B（1，4），C（4，4），D（4，1），二次函数表达式为y＝x2﹣2mx+m2，若该函数的图象与四边形ABCD的边有交点，则m的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【点拨】根据题意得出二次函数开口向上，对称轴为直线x＝m，顶点坐标为（m，0），根据二次函数经过C（4，4）时，m最大，求解即可．
【解析】解：二次函数表达式为y＝x2﹣2mx+m2＝（x﹣m）2，
故二次函数开口向上，对称轴为直线x＝m，顶点坐标为（m，0），
若该函数的图象与四边形ABCD的边有交点，
则当二次函数经过C（4，4）时，m最大，
代入得4＝（4﹣m）2，
解得：m＝2（舍去）或m＝6，
故选：C．
【点睛】该题考查了二次函数的图象和性质，掌握其性质是解题的关键．
【例2.4】（2025 西湖区一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常数，a≠0）的图象经过点（t，y1），（t+1，y2），（ ）
A．若a＞0，t＞2，则y1＜y2 B．若a＞0，t＜2，则y1＞y2
C．若a＜0，t＞2，则y1＜y2 D．若a＜0，t＜2，则y1＞y2
【点拨】先将二次函数化为顶点式来确定对称轴，再根据a的政府判断函数的开口向上，然后结合点（t，y1）与（t+1，y2）的大小关系．
【解析】解：二次函数y＝ax2﹣2ax+c化为顶点式为y＝a（x﹣1）2﹣a+c，
∴该二次函数的对称轴为直线x＝1，
当a＞0时，二次函数图象开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大，
若t＞2，则点（t，y1）和（t+1，y2）都在对称轴直线x＝1右侧，且t＜t+1，根据函数单调性可知y1＜y2，
若t＜1时，t+1＜2，则点（t，y1）和（t+1，y2）都在对称轴直线x＝1左侧，y随x的增大而减小，t＜t+1，则y1＞y2，
当0≤t≤1时，点（t，y1）在对称轴左侧，点（t+1，y2）在对称轴右侧，此时无法直接比较y1与y2大小．
当a＜0时，二次函数图象开口向下，在对称轴右侧y随x的增大而减小，
若t＞2，则点（t，y1）和（t+1，y2）都在对称轴直线x＝1右侧，且t＜t+1，根据函数单调性可知y1＞y2，
若t＜1时，t+1＜2，则点（t，y1）和（t+1，y2）都在对称轴直线x＝1左侧，y随x的增大而增大，t＜t+1，则y1＜y2，
当0≤t≤1时，点（t，y1）在对称轴左侧，点（t+1，y2）在对称轴右侧，此时无法直接比较y1与y2大小．
综上，当a＞0，t＞2时，y1＜y2，
故选：A．
【点睛】本题综合考查了二次函数的性质，包括对称轴的求解、根据a判断开口方向以及利用函数单调性比较函数值大小．解题的关键在于熟练掌握二次函数的顶点式以及其在不同区间的单调性，并且要对t的取值范围进行细致分类讨论，这是解决此类问题容易出错的地方．
【例2.5】（2025 大理州二模）已知二次函数y＝ax2﹣4x+a2﹣1（a是常数且a＞0）．
（1）若a＝2，求出该函数图象的顶点坐标；
（2）若该函数图象经过原点，当﹣1≤x≤t时，函数的最大值恰好是4t，求t的值．
【点拨】（1）将a＝2代入即可得二次函数的解析式，再将二次函数的解析式化成顶点式即可得其顶点坐标；
（2）先将点（0，0）代入求出二次函数的解析式为y＝x2﹣4x，再分两种情况：①﹣1≤t≤5和②t＞5，利用二次函数的增减性求解即可得．
【解析】解：（1）当a＝2时，y＝2x2﹣4x+22﹣1，即y＝2x2﹣4x+3，
化成顶点式为y＝2（x﹣1）2+1，
则该函数图象的顶点坐标为（1，1）．
（2）∵函数图象经过点（0，0），
∴a2﹣1＝0，
∴a＝1或a＝﹣1＜0（不符合题意，舍去），
∴y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，其对称轴为直线x＝2，
∴x＝﹣1时的函数值与x＝5时的函数值相等，即为（﹣1﹣2）2﹣4＝5，
∴当x≤2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大．
则分以下两种情况：
由①当﹣1≤t≤5时，则在﹣1≤x≤t内，当x＝﹣1时，y的值最大，
∴4t＝5，
解得，符合题设；
②当t＞5时，则在﹣1≤x≤t内，当x＝t时，y的值最大，
∴t2﹣4t＝4t，
∴t＝8或t＝0＜5（舍去）；
∴t的值为或8．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
【题型三】二次函数的图象与系数的关系
【例3.1】（2025 广安）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（n，0），有下列结论：①abc＜0；②4a+c＞2b；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝n；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴，即得a＜0，c＞0，进而可判断b＞0，即可判断结论①；
当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，可判断结论②；
根据二次函数与x轴的交点结合二次函数的对称性即可判断结论③④，可得答案．
【解析】解：根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴，
∴a＜0，c＞0，
又∵抛物线的对称轴在y轴右侧，，
∴b＞0，
∴abc＜0，故结论①正确；
由函数的图象可得：当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，即4a+c＜2b，故结论②错误；
∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于A，B两点，点A（﹣1，0），点B（n，0），
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝n，，故结论③④正确；
综上，结论正确的有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【例3.2】（2025 临平区二模）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝x2+2mx﹣m+2（m是常数）．
（1）若函数图象经过点（0，3），求该函数图象的顶点坐标．
（2）若点A（﹣1，y1），B（﹣m+2，y2）在该函数图象上，且y1＜y2，求m的取值范围．
（3）若函数图象经过点（﹣1，p），（1，q），求证：pq≤12．
【点拨】（1）先求出二次函数解析式，由配方法可求出顶点坐标；
（2）分两种情况，当﹣1＜﹣m＜﹣m+2和﹣m＜﹣1＜﹣m+2时，根据增减性分析，解不等式（组）即可得解；
（3）将已知两点代入求出p＝3m+3，q＝﹣m+3，再用m表示出pq，配方，即可得证．
【解析】解：（1）由条件可知3＝﹣m+2．
解得m＝﹣1．
∴y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2．
∴函数图象的顶点坐标为（1，2）；
（2）由条件可知二次函数图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣m，则点B（﹣m+2，y2）在对称轴右侧，
∵y1＜y2，
∴存在如下情况：
①当﹣m＜﹣1，即m＞1时，﹣1＜﹣m+2，
解得m＜3，
∴1＜m＜3；
②当﹣m≥﹣1，即m≤1时，﹣m+2﹣（﹣m）＞﹣m﹣（﹣1），
解得m＞﹣1；
∴﹣1＜m≤1，
综上，m的取值范围为：﹣1＜m＜3；
（3）证明：函数y＝x2+2mx﹣m+2的图象经过点（﹣1，p），（1，q），
∴p＝1﹣2m﹣m+2＝﹣3m+3，q＝1+2m﹣m+2＝m+3．
∴pq＝（﹣3m+3）（m+3）＝﹣3m2﹣6m+9＝﹣3（m+1）2+12．
∴pq≤12．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键．
【题型四】二次函数的图象变换
【例4.1】（2025 杭州校级模拟）通过平移y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象，可得到y＝﹣2x2的图象，下列平移方法正确的是（ ）
A．向左移动1个单位，向上移动3个单位 B．向右移动1个单位，向上移动3个单位
C．向左移动1个单位，向下移动3个单位 D．向右移动1个单位，向下移动3个单位
【点拨】根据平移前后两个抛物线的顶点坐标的变化来判定平移方法．
【解析】解：抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标是（0，0）．
抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3的顶点坐标是（1，3）．
则由二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象向左移动1个单位，向下移动3个单位，可得到y＝﹣2x2的图象．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换．解决本题的关键是根据顶点式得到新抛物线的顶点坐标．
【例4.2】（2025 柯桥区二模）已知抛物线y＝﹣x2+bx﹣3（b为常数）．
（1）若该函数的图象经过（1，0）
①求该二次函数的表达式；
②将该二次函数的图象向右平移m（m＞0）个单位长度，得到新的二次函数的图象，若新二次函数的图象的顶点恰好落在直线y＝x﹣3上，求m的值；
（2）若点P（n，a），Q（n+2，a），M（﹣2，t）都在这个二次函数图象上，且﹣3＜t＜a，求n的取值范围．
【点拨】（1）①利用待定系数法即可求解；
②新抛物线顶点坐标为：（2+m，1），将上述点的坐标代入一次函数表达式得：1＝2+m﹣3，即可求解；
（2）根据对称性求出b和n的关系，将P和Q的坐标代入，求出t，a的表达式，在根据﹣3＜t＜a求解n的取值范围即可．
【解析】解：（1）①∵函数y＝﹣x2+bx﹣3的图象经过（1，0），
∴0＝﹣1+b﹣3
∴b＝4．
∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2+4x﹣3；
②∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
将该二次函数的图象向右平移m（m＞0）个单位长度，得到新的二次函数为y＝﹣（x﹣2﹣m）2+1，
∴顶点（2+m，1），
∵新二次函数的图象的顶点恰好落在直线y＝x﹣3上，
∴1＝2+m﹣3，
∴m＝2；
（2）∵函数y＝﹣x2+bx﹣3图象经过P（n，a），Q（n+2，a），
∴对称轴直线．
（I）情况1：对称轴在y轴左侧，且点M在对称轴左侧，
∵﹣3＜t＜a，
∴2n+2＜﹣2＜n，
解得，
∴n不存在．
情况2：对称轴在y轴左侧，且点M在对称轴右侧，
∵﹣3＜t＜a
∴n＜n+2＜﹣2，
解得n＜﹣4．
（II）对称轴在y轴右侧，点M只能在对称轴左侧，此时t＜﹣3，与﹣3＜t＜a矛盾．
∴n不存在．
∴综上n的取值范围是n＜﹣4．
【点睛】本题考查的待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，分类求解是解题的关键．
1．（2025 余姚市一模）二次函数y＝x2+2x﹣3的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．﹣3 D．﹣4
【点拨】把二次函数的解析式化为顶点式的形式，进而可得出结论．
【解析】解：∵二次函数y＝x2+2x﹣3可化为：y＝（x+1）2﹣4，
∴二次函数y＝x2+2x﹣3的最小值为﹣4．
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数的最值，熟知二次函数的顶点式是解题的关键．
2．（2025 金东区二模）将二次函数y＝﹣x2的图象先向下平移2个单位，再向右平移2个单位所得新函数表达式为（ ）
A．y＝﹣（x﹣2）2+2 B．y＝﹣（x+2）2﹣2 C．y＝﹣（x+2）2+2 D．y＝﹣（x﹣2）2﹣2
【点拨】根据“上加下减，左加右减”的平移规律，即得答案．
【解析】解：将二次函数y＝﹣x2的图象先向下平移2个单位，再向右平移2个单位所得新函数表达式为y＝﹣（x﹣2）2﹣2．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的平移，正确理解二次函数的平移规律是解答本题的关键．
3．（2023 台州）抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2＜0，则直线y＝ax+k一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限
【点拨】根据已知条件可得出ax2﹣kx﹣a＝0，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可．
【解析】解：∵抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
∴kx＝ax2﹣a，
∴ax2﹣kx﹣a＝0，
∴，
∴，
当a＞0，k＜0时，直线y＝ax+k经过第一、三、四象限，
当a＜0，k＞0时，直线y＝ax+k经过第一、二、四象限，
综上，直线y＝ax+k一定经过一、四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系．
4．（2025 浙江模拟）一次函数y＝ax﹣b和二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【点拨】对每个图象中的一次函数的图象确定a，b的符号，再对照二次函数得出a，b的符号比较是否一致，然后作出选择．
【解析】解：选项A中一次函数y＝ax﹣b，a＜0，b＜0，二次函数y＝ax2+bx+c抛物线开口向下，所以错误；
选项B中一次函数y＝ax﹣b，a＜0，b＜0，二次函数y＝ax2+bx+c抛物线对称轴在y轴左侧，所以错误；
选项C中一次函数y＝ax﹣b，a＞0，b＞0，二次函数y＝ax2+bx+c抛物线开口向上，所以错误；
选项D中一次函数y＝ax﹣b，a＞0，b＜0，二次函数y＝ax2+bx+c抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，所以正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数、二次函数图象综合判断，解题的关键是根据一次函数、二次函数的图象，分别确定系数的符号，再作出判断．
5．（2023 衢州）已知二次函数y＝ax2﹣4ax（a是常数，a＜0）的图象上有A（m，y1）和B（2m，y2）两点．若点A，B都在直线y＝﹣3a的上方，且y1＞y2，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．m＞2
【点拨】根据已知条件列不等式即可得到结论．
【解析】解：∵a＜0，
∴y＝﹣3a＞0，
∵A（m，y1）和B（2m，y2）两点都在直线y＝﹣3a的上方，且y1＞y2，
∴4am2﹣8am＞﹣3a，
∴4m2﹣8m+3＜0，
∴＜m＜①，
∵二次函数y＝ax2﹣4ax（a是常数，a＜0）的图象上有A（m，y1）和B（2m，y2）两点．
∴am2﹣4am＞4am2﹣8am，
∴3am2＜4am，
∵a＜0，m＞0，
∴am＜0，
∴m＞②，
由①②得＜m＜．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正确地列出不等式是解题的关键．
6．（2023 杭州）设二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是实数），则（ ）
A．当k＝2时，函数y的最小值为﹣a B．当k＝2时，函数y的最小值为﹣2a
C．当k＝4时，函数y的最小值为﹣a D．当k＝4时，函数y的最小值为﹣2a
【点拨】令y＝0，求出二次函数与x轴的交点坐标，继而求出二次函数的对称轴，再代入二次函数解析式即可求出顶点的纵坐标，最后代入k的值进行判断即可．
【解析】解：令y＝0，则（x﹣m）（x﹣m﹣k）＝0，
∴x1＝m，x2＝m+k，
∴二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）与x轴的交点坐标是（m，0），（m+k，0），
∴二次函数的对称轴是：直线，
∵a＞0，
∴y有最小值，
当时，y最小，
即，
当k＝2时，函数y的最小值为；
当k＝4时，函数y的最小值为，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握求二次函数的顶点坐标是解题的关键．
7．（2022 杭州）已知二次函数y＝x2+ax+b（a，b为常数）．命题①：该函数的图象经过点（1，0）；命题②：该函数的图象经过点（3，0）；命题③：该函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④：该函数的图象的对称轴为直线x＝1．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（ ）
A．命题① B．命题② C．命题③ D．命题④
【点拨】命题④②③可以同时成立，由此即可判断．
【解析】解：假设抛物线的对称轴为直线x＝1，
则﹣＝1，
解得a＝﹣2，
∵函数的图象经过点（3，0），
∴3a+b+9＝0，
解得b＝﹣3，
故抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
当y＝0时，得x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝3或x＝﹣1，
故抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0），
函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；
故命题②③④都是正确，①错误，
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质以及对称轴公式的求法．
8．（2025 萧山区二模）已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣t）（a≠0），且A（0，m），B（2，n）为其图象上两点，则下列说法正确的是（ ）
A．若a＜0，t＜4，则m＞n B．若a＜0，t＜4，则m＜n
C．若a＞0，t＞4，则m＞n D．若a＞0，t＞4，则m＜n
【点拨】本题考查二次函数的性质及其图象上点的坐标比较．关键在于利用二次函数的解析式，代入点坐标后，通过代数运算比较m和n的大小关系．
需要结合开口方向a的正负以及参数t的大小，分析不同条件下m与n的大小关系．
【解析】解：将x ＝ 0代入函数得：m＝a（0+1）（0﹣t）＝﹣at；
将x ＝ 2代入函数得：n＝a（2+1）（2﹣t）＝3a（2﹣t）．
计算m﹣n：m﹣n＝﹣at﹣3a（2﹣t）＝﹣at﹣6a+3at＝ 2at﹣6a＝2a（t﹣3）．
因此，m﹣n＝2a（t﹣3），其符号由a和t共同决定．
当a＜0时，m﹣n＝2a（t﹣3）的符号由（t﹣3）决定：
若t＜3：（t﹣3）＜0，则m﹣n＞0，即m＞n（选项A正确）
若t＞3：（t﹣3）＞0，则m﹣n＜0，．即m＜n（选项B正确）
若t＝3：m＝n，此时选项A、B均不成立．
结论：t＜4时，t可能位于3的左侧或右侧，因此选项A和B均不必然成立，
当a＞0时，m﹣n＝2a（t﹣3）的符号由（t﹣3）决定：
若t＞4：（t﹣3）＞0，则m﹣n＞0，即m＞n．
结论：选项C（m＞n）成立，选项D（m＜n）不成立．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，通过给定函数表达式、点坐标及参数条件，判断函数值大小关系，需结合二次函数的开口方向、对称轴与点的位置分析．属于中等难度．
9．（2025 宁海县二模）二次函数y＝ax2﹣4ax+3的图象上有A（a，y1），B（4，y2）两点．下列正确的选项是（ ）
A．当0＜a＜2时，y1＞y2 B．当a＞2时，y1＜y2 C．当a＜0时，y1＜y2 D．当a＞4时，y1＜y2
【点拨】得到抛物线的对称轴为直线x＝2，然后比较点A、点B离直线x＝2的距离的大小，再根据二次函数的性质判断即可．
【解析】解：∵y＝ax2﹣4ax+3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，
∵二次函数y＝ax2﹣4ax+3的图象上有A（a，y1），B（4，y2）两点，
∴B（4，y2）到对称轴的距离为2，
A、当0＜a＜2时，抛物线开口向上，A（a，y1）到对称轴的距离小于2，则y1＜y2，故此选项错误；
B、当a＞2时，抛物线开口向上，若a＝6时，A（a，y1）到对称轴的距离大于B（4，y2）到对称轴的距离，则y1＞y2，故此选项错误；
C、当a＜0时，抛物线开口向下，A（a，y1）到对称轴的距离大于2，则y1＜y2，故此选项正确；
D、当a＞4时，抛物线开口向上，A（a，y1）到对称轴的距离大于2，则y1＞y2，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键．
10．（2025 浙江模拟）二次函数y＝x2﹣2x﹣1的图象上有A（t，y1），B（t+1，y2）两点，选项正确的是（ ）
A．当t＜﹣1时，y1＞y2＞0 B．当﹣1＜t＜0时，y1＞y2
C．当﹣1＜t＜0时，0＞y2＞y1 D．当t＞0时，y1＞y2＞0
【点拨】先将二次函数y＝x2﹣2x﹣1化成顶点式，然后画出二次函数图象，结合二次函数图象依次分析判断选项即可得出答案．
【解析】解：y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，如图，
根据二次函数性质及图象逐项分析判断如下：
点A（t，y1），B（t+1，y2）是二次函数图象上的两点，
当t＜﹣1时，t＜t+1＜0，由图可得，y1＞y2，故选项A不符合题意；
当﹣1＜t＜0时，﹣1＜t＜0＜t+1＜1，由图可得，0＞y1＞y2，故选项B符合题意，选项C不符合题意；当t＞0时，0＜t＜t+1，由图可得，y1，y2大小关系不确定，故选项D不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握该知识点是关键．
11．（2025 浙江模拟）用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列表如下：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … ﹣3 2 5 6 5 …
根据表格信息可知，当x＝5时，函数值y＝ ﹣3 ．
【点拨】根据表格，可知抛物线的对称轴是直线x＝2，根据抛物线的对称性，可知当x＝﹣1或x＝5时，函数值相等，结合表格，便可以得到答案．
【解析】解：从表格可知，x＝1与x＝3时，y＝5，
∴二次函数图象的对称轴为直线x＝2，
∴当x＝5时的函数值与x＝﹣1时的函数值相等，
∴当x＝5时，函数值y＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握相关知识是解题的关键．
12．（2025 嘉善县一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c关于x＝1对称，其部分图象如图所示，则3a+c＝ 0 ．
【点拨】由函数图象可知，抛物线与坐标轴的交点为（0，﹣2），（3，0），再由抛物线y＝ax2+bx+c关于x＝1对称可知﹣＝1，据此可得出a、c的值，进而得出结论．
【解析】解：由函数图象可知，抛物线与坐标轴的交点为（0，﹣2），（3，0），
∴c＝﹣2①，9a+3b+c＝0③，
∵抛物线y＝ax2+bx+c关于x＝1对称，
∴﹣＝1③，
①②③联立得，
解得a＝，
∴3a+c＝3×﹣2＝0．
故答案为：0．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，熟知以上知识是解题的关键．
13．（2025 衢州四模）已知二次函数y＝x2﹣2x+k，当﹣1≤x≤4时，y的最大值为9，则k的值为 1 ．
【点拨】依据题意，现将y＝x2﹣2x+k变形为y＝（x﹣1）2+k﹣1，然后结合﹣1≤x≤4判断当x＝4时取最大值，从而列方程计算可以得解．
【解析】解：由题意，∵y＝x2﹣2x+k＝x2﹣2x+1+k﹣1＝（x﹣1）2+k﹣1，
∴抛物线的对称轴是直线x＝1．
又∵﹣1≤x≤4，抛物线开口向上，
∴当x＝4时，y取最大值，最大值y＝9+k﹣1＝8+k．
又此时y的最大值为9，
∴8+k＝9．
∴k＝1．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用顶点式是关键．
14．（2025 拱墅区一模）在直角坐标系中，设二次函数y＝x2﹣2mx+n（m，n为实数），若点A（m﹣1，k1），点B（m+3，k2）都在函数y的图象上，则k1，k2之间满足的等量关系是 k2＝k1+8 ．
【点拨】点A（m﹣1，k1），点B（m+3，k2）都在函数y的图象上，求得k1、k2即可求得等量关系．
【解析】解：由题意得k1＝（m﹣1）2﹣2m（m﹣1）+n＝﹣m2+n+1，k2＝（m+3）2﹣2m（m+3）+n＝﹣m2+n+9，
∴k1﹣k2＝﹣m2+n+1﹣（﹣m2+n+9）＝﹣8，
∴k2＝k1+8；
故答案为：k2＝k1+8．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．
15．（2025 余姚市一模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常数且a≠0，c＞0）经过点A（3，0），点M（t+2，y1），N（t+3，y2）在抛物线上，且y1＞y2，则t的取值范围为t＞﹣ ．
【点拨】先将A（3，0）代入二次函数解析式中，求得c＝﹣3a，由此确定a符号，确定二次函数的开口方向和对称轴，再利用作差法找到t的取值范围．
【解析】已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c经过点A（3，0），
代入可得0＝9a﹣6a+c，
∴c＝﹣3a，
∵c＞0，
∴a＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为 x＝﹣＝1，
点 M（t+2，y）和 N（t+3，y） 在抛物线上，且y1＞y2，
∴y1﹣y2＝a（t+2）2﹣2a（t+2）+c﹣[a（t+3）2﹣2a（t+3）+c]
＝a（﹣2t﹣3），
∵y1＞y2，
∴a（﹣2t﹣3）＞0，
∵a＜0，
∴﹣2t﹣3＜0，
解得：t＞﹣．
故答案为：t＞﹣．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，能熟练运用二次函数的性质是解题的关键．
16．（2025 衢州一模）当n≤x≤n+1时，若二次函数y＝x2﹣4x+3的最大值为2，则n的值为 2﹣或1+ ．
【点拨】依据题意，由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，可得抛物线开口向上，当x＝2时，y取最小值为﹣1，从而抛物线上的点离对称轴越远函数值越大，则当x＝n时或当x＝n+1时，y取最大值，进而分当x＝n时，y取最大值，此时＜2，即n＜和当x＝n+1时，y取最大值，此时＞2，即n＞，分别进行计算可以得解．
【解析】解：由题意，∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线开口向上，当x＝2时，y取最小值为﹣1．
∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越大．
∴当x＝n时或当x＝n+1时，y取最大值．
①当x＝n时，y取最大值，此时＜2，即n＜．
又∵此时y最大值为n2﹣4n+3＝2，
∴n＝2+（不合题意，舍去）或n＝2﹣．
②当x＝n+1时，y取最大值，此时＞2，即n＞．
又∵此时y最大值为（n+1）2﹣4（n+1）+3＝n2﹣2n＝2，
∴n＝1+或n＝1﹣（不合题意，舍去）．
综上，n＝2﹣或1+．
故答案为：2﹣或1+．
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质进行分类讨论是关键．
17．（2025 长兴县模拟）已知二次函数y＝﹣（x+1）2+h（h为常数）的图象经过点A（﹣2，3）．
（1）求此二次函数的表达式．
（2）将抛物线先向左平移n（n＞0）个单位，再向上平移5个单位，函数图象恰好经过原点，求n的值．
（3）已知点（p，m），（q，m）在二次函数y＝﹣（x+1）2+h的图象上，且﹣7＜2p+3q＜2，求m的取值范围．
【点拨】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）利用平移的规律求得平移后的解析式，代入原点坐标即可求得n的值；
（3）根据题意点（p，m），（q，m）关于对称轴对称，则p+q＝﹣2，由﹣7＜2p+3q＜2，得出﹣7＜﹣4+q＜2，即﹣3＜q＜6，然后利用图象上点的坐标特征即可求得m的取值．
【解析】解：（1）∵二次函数y＝﹣（x+1）2+h（h为常数）的图象经过点A（﹣2，3）．
∴3＝﹣（﹣2+1）2+h，
解得h＝4，
∴此二次函数的表达式为y＝﹣（x+1）2+4；
（2）将抛物线先向左平移n（n＞0）个单位，再向上平移5个单位，得到y＝﹣（x+1+n）2+4+5，即y＝﹣（x+1+n）2+9，
∵图象恰好经过原点，
∴﹣（0+1+n）2+9＝0，
解得n＝2或n＝﹣4，
∵n＞0，
∴n的值为2．
（3）∵点（p，m），（q，m）在二次函数y＝﹣（x+1）2+4的图象上，
∴p+q＝﹣2，
∴2p+2q＝﹣4，
∵﹣7＜2p+3q＜2，
∴﹣7＜﹣4+q＜2，
∴﹣3＜q＜6，
∵当x＝6时，y＝﹣（x+1）2+4＝﹣45，
当x＝﹣1时，y＝﹣（x+1）2+4＝4，
∴m的取值范围是﹣45＜m≤4．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次和是图象与几何变换，二次函数的性质，掌握平移的规律以及二次函数的对称性是解题的关键．
18．（2023 杭州）设二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … m 1 n 1 p …
（1）若m＝4，
①求二次函数的表达式；
②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小．
（2）若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．
【点拨】（1）①利用待定系数法即可求得；
②利用二次函数的性质得出结论；
（2）根据题意m≤0，由﹣＝1，得出b＝﹣2a，则二次函数为y＝ax2﹣2ax+1，得出m＝a+2a+1≤0，解得a≤﹣．
【解析】解：（1）①由题意得，
解得，
∴二次函数的表达式是y＝x2﹣2x+1；
②∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x≤1时，y随x的增大而减小；
（2）∵x＝0和x＝2时的函数值都是1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴（1，n）是顶点，（﹣1，m）和（3，p）关于对称轴对称，
若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，且m≤0，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴二次函数为y＝ax2﹣2ax+1，
∴m＝a+2a+1≤0，
∴a≤﹣．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，能够明确题意得出m＝a+2a+1＜0是解题的关键．
19．（2024 浙江）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣2，5），对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值；
（3）当﹣2≤x≤n时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．
【点拨】（1）依据题意，由二次函数为y＝x2+bx+c，可得抛物线为直线x＝﹣＝﹣，可得b的值，再由图象经过点A（﹣2，5），求出c的值，进而可以得解；
（2）依据题意，由点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m个单位长度（m＞0），进而可得平移后的点为（1﹣m，9），结合（1﹣m，9）在y＝x2+x+3图象上，可得9＝（1﹣m）2+（1﹣m）+3，进而计算可以得解；
（3）依据题意，由y＝x2+x+3＝（x+）2+，可得当x＝﹣时，y取最小值，最小值为，再根据n＜﹣、﹣≤n≤1和n＞1进行分类讨论，即可计算得解．
【解析】解：（1）由题意，∵二次函数为y＝x2+bx+c，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣．
∴b＝1．
∴抛物线为y＝x2+x+c．
又图象经过点A（﹣2，5），
∴4﹣2+c＝5．
∴c＝3．
∴抛物线为y＝x2+x+3．
（2）由题意，∵点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m个单位长度（m＞0），
∴平移后的点为（1﹣m，9）．
又（1﹣m，9）在y＝x2+x+3，
∴9＝（1﹣m）2+（1﹣m）+3．
∴m＝4或m＝﹣1（舍去）．
∴m＝4．
（3）由题意，当 时，
∴最大值与最小值的差为．
∴，不符合题意，舍去．
当﹣≤n≤1 时，
∴最大值与最小值的差为，符合题意．
当n＞1时，最大值与最小值的差为 ，解得 n1＝1 或 n2＝﹣2，不符合题意．
综上所述，n的取值范围为﹣≤n≤1．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值问题、坐标与图形变化﹣平移，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
20．（2025 丽水一模）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3（a，b为常数，a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若0≤x≤m时，﹣4≤y≤﹣3，求m的取值范围；
（3）若n﹣1≤x≤n时，y的最大值为3﹣2n，求n的值．
【点拨】（1）利用待定系数法求解析式；
（2）通过分析函数图象和不等式确定m的范围；
（3）通过区间位置讨论最大值存在条件，并解方程求n的值．
【解析】解：（1）由题意可得：
，
解得，
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴函数最小值为﹣4，且当x＝0时，y＝﹣3，当x＝2时，y＝﹣3．
∵0≤x≤m时，﹣4≤y≤﹣3，且y≥﹣4恒成立，
∴只需y≤﹣3，即x2﹣2x﹣3≤﹣3，
即x（x﹣2）≤0，
∴0≤x≤2，
∴m≤2，
∵顶点坐标为：（1，﹣4），
∴m≥1，
∴m的取值范围为：1≤m≤2．
（3）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∵n﹣1≤x＜n，
当n≤1时，函数在区间上递减，最大值在x＝n﹣1处，
∴y＝（n﹣1）2﹣2（n﹣1）﹣3＝n2﹣4n，
设最大值为3﹣2n，
∴n2﹣4n＝3﹣2n，
即n2﹣2n﹣3＝0，
解得n＝3或n＝﹣1，
∵n≤1，
∴n＝﹣1；
当时，函数的最大值在x＝n﹣1处，同理解得n＝3或n＝﹣1，不符合题意舍去；
当时，x＝n时，y取最大值3﹣2n，即n2﹣2n﹣3＝3﹣2n，解得n＝±，（负值舍去）．
当n﹣1≥1时，即n≥2，函数在n﹣1≤x＜n递增，函数的最大值不存在，
综上，n＝﹣1或．
【点睛】本题考查二次函数的表达式求解、给定区间下函数值的范围以及区间内最大值问题，正确记忆相关知识点是解题关键．
21．（2025 温州一模）已知抛物线y＝ax2+bx+11（a，b为常数）经过点A（6，11），B（﹣1，4）．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若点B向右平移m（m＞0）个单位长度，再向上平移n（n＞0）个单位长度后，恰好落在抛物线的顶点处，求m，n的值．
（3）点C在抛物线上，且在第一象限，若点C的纵坐标小于16，求点C的横坐标xC的取值范围．
【点拨】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）将y＝﹣x2+6x+11变为顶点式得到y＝﹣（x﹣3）2+20，其顶点坐标为（3，20），点B向右平移m（m＞0）个单位长度，再向上平移n（n＞0）个单位长度后的点的坐标为（﹣1+m，4+n），由题意可知，解得m＝4，n＝16；
（3）求得抛物线与x轴的交点，求得抛物线与直线y＝16的交点，结合图象即可求解．
【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+11（a，b为常数）经过点A（6，11），B（﹣1，4）．
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+6x+11；
（2）∵y＝﹣x2+6x+11＝﹣（x﹣3）2+20，
∴抛物线的顶点为（3，20），
∵点B向右平移m（m＞0）个单位长度，再向上平移n（n＞0）个单位长度后的点的坐标为（﹣1+m，4+n），且落在抛物线的顶点处，
∴，
∴m＝4，n＝16；
（3）∵令y＝16，则y＝﹣x2+6x+11＝16，
整理得x2﹣6x+5＝0，
解得x＝1或x＝5，
令y＝0，则y＝﹣x2+6x+11＝0，
解得x＝3，
∵点C在抛物线上，且在第一象限，
∴0，
∴若点C的纵坐标小于16，则点C的横坐标xC的取值范围是0＜xC＜1或5．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化﹣平移；熟练掌握相关知识是解题的关键．
22．（2025 宁波模拟）二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）的图象经过点（0，﹣3）．
（1）求a的值．
（2）当﹣2≤x≤m时，该函数的最大值减去最小值的差为d1，当﹣2≤x≤m+1时，该函数的最大值减去最小值的差为d2．
①若d1＝9，求m的取值范围；
②是否存在d1＞d2？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
【点拨】（1）利用待定系数法，将（0，﹣3）代入函数解析式即可求出a；
（2）根据二次函数的增减性，求出最大值和最小值，作差即可；
②分类讨论，求出不同m的取值范围对应的d1、d2即可比较即可．
【解析】解：（1）二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）的图象经过点（0，﹣3）．
将x＝0，y＝﹣3代入函数解析式可得：
﹣3＝a（0+1）（0﹣3），
解得a＝1；
（2）①y＝（x+1）（x﹣3）＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）的开口方向向上，对称轴为直线x＝1，根据函数的性质可得：
抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵﹣2≤x≤2，
∴当x＝1时，y最小，y最小＝1﹣2﹣3＝﹣4；
当x＝﹣2时，y最大，y＝4+4﹣3＝5．
∴当m＝1时，﹣2≤x≤1时，函数y＝a（x+1）（x﹣3）的最大值4和最小值﹣5的差为d1＝4﹣（﹣5）＝9．
当x＝4时，y＝42﹣2×4﹣3＝5．
∴当1≤x≤4时，y随x的增大而增大，且﹣4≤y≤5，
此时，d1的值保持不变，始终等于9，
∴m的取值范围是1≤m≤4，
②设x＝m时的函数值为y1，x＝m+1时的函数值为y2，
I．当﹣2≤m≤0时，即﹣2≤m≤m+1≤1，则必有y1＞y2≥﹣4，
对应的最大值都是5．对应的最小值分别为y1，y2，
此时d1＝5﹣y1；d2＝5﹣y2，
∴d1＜d2
II．当0＜m＜1时，m＜1＜m+1，则必有y1＞﹣4，y2＞﹣4，
对应的最大值都是5．当﹣2≤m≤0时的最小值为y1＞﹣4，当﹣2≤x≤m+1时的最小值为﹣4，
此时d1＝5﹣y1；d2＝5﹣（﹣4）＝9，
∴d1＜d2；
III．当1≤m≤3时，必有﹣4≤y1＜y2≤5，
对应的最大值都是5．对应的最小值都是﹣4．
此时d1＝d2＝9；
IV．当3＜m≤4时，必有0＜y1≤5＜y2，
最小值都是﹣4．当﹣2≤m≤0时的最大值为5，当﹣2≤x≤m+1时的最大值为y2，
此时d1＝5﹣（﹣4）＝9；d2＝y2﹣（﹣4）＞9，
∴d1＜d2，
V．当m＞4时，必有y1＜y2，对应的最小值都是﹣4．对应的最大值分别为y1，y2，
此时d1＝y1+4；d2＝y2+4，
∴d1＜d2，
综上所述，不存在d1＞d2．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握和灵活运用相关知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
1．（2025 哈尔滨）抛物线y＝﹣+4的顶点坐标是（ ）
A．（3，4） B．（﹣3，4） C．（﹣3，﹣4） D．（3，﹣4）
【点拨】根据抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）直接写出即可．
【解析】解：抛物线y＝﹣+4的顶点坐标是（3，4），
故选：A．
【点睛】本题考查抛物线的顶点求解方法，掌握抛物线的顶点求解方法是解题的关键．
2．（2025 安庆二模）若y＝（a﹣2）x2﹣3x+2是二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a＞0 C．a＞2 D．a≠2
【点拨】利用二次函数定义进行解答即可．
【解析】解：由题意得：a﹣2≠0，
解得：a≠2，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
3．（2025 嘉峪关一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【点拨】根据各个选项中的图象，可以判断出一次函数y＝ax+b中a、b的正负情况与二次函数y＝ax2+bx中a、b的正负情况，然后即可判断哪个选项符合题意．
【解析】解：A、由二次函数图象可知a＞0，b＜0，由一次函数图象可知a＞0，b＝0，故选项A错误，不符合题意；
B、由二次函数图象可知a＞0，b＜0，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，故选项A错误，不符合题意；
C、由二次函数图象可知，a＜0，b＜0，由一次函数图象可知a＜0，b＝0，故选项A错误，不符合题意；
D、由二次函数图象可知，a＜0，b＜0，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，故选项D正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和二次函数的性质解答．
4．（2025 浙江模拟）已知抛物线C：y＝x2+4x﹣10，将抛物线C平移得到抛物线C′，若两条抛物线关于直线x＝1对称，则平移的方法是（ ）
A．将抛物线C向右平移4个单位 B．将抛物线C向右平移5个单位
C．将抛物线C向右平移6个单位 D．将抛物线C向右平移7个单位
【点拨】找一个点，经过平移后这个点与直线x＝1对称．抛物线C与y轴的交点为A（0，﹣10），与A点以对称轴对称的点是B（﹣4，﹣10）．若将抛物线C平移到C′，就是要将B点平移后以对称轴x＝1与A点对称．则B点平移后坐标应为（2，﹣10）．因此将抛物线C向右平移6个单位．
【解析】解：∵抛物线C：y＝x2+4x﹣10＝（x+2）2﹣14，
∴抛物线对称轴为x＝﹣2．
∴抛物线与y轴的交点为A（0，﹣10）．
则与A点以对称轴x＝﹣2对称的点是B（﹣4，﹣10）．
若将抛物线C平移到C′，并且C，C′关于直线x＝1对称，就是要将B点平移后以对称轴x＝1与A点对称．
则B点平移后坐标应为（2，﹣10）．
因此将抛物线C向右平移6个单位．
故选：C．
【点睛】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
5．（2025 朔州一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，顶点的横坐标为2，点A（x1，y1）和点B（x2，y2）均在该函数的图象上，则下列说法正确的是（ ）
A．b＝4a B．若x1＞x2＞2，则y1＞y2 C．当m≠2时，am2+bm＜4a+2b
D．若函数图象与x轴的一个交点的横坐标为﹣1，则当x＜﹣1或x＞5时，y＞0
【点拨】利用二次函数的性质结合图象判断即可．
【解析】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点的横坐标为2，
∴﹣＝2，
∴b＝﹣4a，故A不正确；
∵函数开口向下，
∴离对称轴越远函数值越小，
∵对称轴为直线x＝2，x1＞x2＞2，
∴y1＜y2，故B不正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，顶点的横坐标为2，
∴x＝2时，函数有最大值4a+2b+c，
∴当m≠2时，am2+bm+c＜4a+2b+c，即当m≠2时，am2+bm＜4a+2b，故C正确；
∵函数图象与x轴的一个交点的横坐标为﹣1，对称轴为直线x＝2，
∴函数图象与x轴的另一个交点的横坐标为5，
由图可知：当x＜﹣1或x＞5时，y＜0，故D不正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，掌握二次函数的性质数形结合是解题的关键．
6．（2024 桐乡市一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax（a≠0）的图象上有两点A（m，y1），B（2m，y2），若y1＞y2＞0，则当m＜x＜2m时，函数（ ）
A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值
C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值
【点拨】由y＝ax2﹣2ax＝ax（x﹣2），可得该二次函数与x轴交点为（0，0），（2，0），因为m＜x＜2m，推断m＞0，因为y1＞y2＞0，可得在第一象限，x越大y越小，可画出该函数的大致图象，判断有无最大值最小值．
【解析】解：y＝ax2﹣2ax＝ax（x﹣2），
令y＝0，则x＝0或x＝2，即该二次函数与x轴交点为（0，0），（2，0），
当m＜x＜2m时，y1＞y2＞0，如图所示，
，
∴该函数有最大值，无最小值，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，关键是根据该二次函数与x轴交点为（0，0），（2，0），当m＜x＜2m时，y1＞y2＞0，可得该函数在第一象限，x越大y越小．
7．（2025 萧山区一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣2，m），B（5，n），若m＜n，则下列可能成立的是（ ）
A．当a＞0时，3a+b＝0 B．当a＞0时，2a+b＝0
C．当a＜0时，a+b＝0 D．当a＜0时，a﹣b＝0
【点拨】依据题意，先把点A、B的坐标分别代入解析式得到m＝4a﹣2b+c，n＝25a+5b+c，然后利用m＜n得到4a﹣2b+c＜25a+5b+c，则3a+b＞0，然后依次对各选项进行判断．
【解析】解：把A（﹣2，m），B（5，n）代入y＝ax2+bx+c中得m＝4a﹣2b+c，n＝25a+5b+c，
∵m＜n，
∴4a﹣2b+c＜25a+5b+c，
∴3a+b＞0，
∴A选项不符合题意；
当a＜0时，b﹣a＞﹣4a＞0，a+b＞﹣2a＞0，
∴C、D选项不符合题意；
当a＞0时，2a+b＞﹣a，
又∵﹣a＜0，
∴2a+b＝0是可能的．
∴B选项符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，正确理解二次函数图象上的点坐标满足二次函数的解析式是关键．
8．（2025 浙江二模）已知二次函数y＝x2﹣2x，当﹣1≤x≤n时，函数的最大值与最小值的和为2，则n的取值范围是（ ）
A．﹣1≤n≤1 B．﹣1≤n≤3 C．1≤n≤3 D．n≥3
【点拨】先求出二次函数的对称轴，得到函数的增减性，再分为n＜1，1≤n≤3和n＞3三种情况，然后分别求出对应的最大值与最小值，结合题意列出方程求解判断．
【解析】解：∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y的值随着x的值增大而减小；当x＞1时，y的值随着x的值增大而增大；
①当n＜1时，当﹣1≤x≤n时，y随的x增大而减小，
那么x＝﹣1时取得最大值，x＝n时取得最小值，
最大值为﹣1，最小值为（n﹣1）2﹣1，
则可列出方程：（n﹣1）2﹣1﹣1＝2，
解得n＝3或n＝﹣1，
但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去；
②当1≤n≤3时，
此时 x＝1时取得最小值，x＝﹣1时取得最大值，
最大值为3，最小值为﹣1，
此时最大值与最小值的和为2，
符合题意；
③当n＞3时，
此时x＝1时取得最小值，x＝n时取得最大值，
最小值为﹣1，最大值为（n﹣1）2﹣1，
则可列出方程：（n﹣1）2﹣1﹣1＝2，
解得n＝3或n＝﹣1，
但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去．
∴综上，得到n的取值范围为：1≤n≤3．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
9．（2025 香坊区三模）抛物线y＝x2﹣6x+5的对称轴为直线 x＝3 ．
【点拨】把解析式化为顶点式可求得答案．
【解析】解：∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4
∴对称轴是直线x＝3，
故答案为：x＝3．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
10．（2025 工业园区校级二模）已知关于x的二次函数y＝2（x﹣1）2+3，当﹣1＜x＜2时，函数y的取值范围为 3≤y＜11 ．
【点拨】直接利用二次函数的性质结合二次函数图象上点的坐标特点，得出y的取值范围．
【解析】解：∵关于x的二次函数y＝2（x﹣1）2+3，图象开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＝1时，函数有最小值3，
当x＝﹣1时，y＝11，
∴当﹣1＜x＜2时，函数y的取值范围为3≤y＜11．
故答案为：3≤y＜11．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特点，正确得出二次函数最小值是解题关键．
11．（2025 淮安）若x2﹣3x+1+y＝0，则2x+y的最大值是 ．
【点拨】根据x2﹣3x+1+y＝0，得到y＝﹣x2+3x﹣1，整体代入代数式，将代数式转化为关于x的二次函数，求最值即可．
【解析】解：由条件可得y＝﹣x2+3x﹣1，
∴；
∴当时，2x+y有最大值为；
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数求最值，熟练掌握该知识点是关键．
12．（2025 邗江区三模）已知二次函数y＝x2﹣mx+3，当x≤2时，y随x的增大而减小，则m的范围是 m≥4 ．
【点拨】先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，再由当x≤2时，函数值y随x的增大而减小可知二次函数的对称轴直线x＝﹣≥2，故可得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解析】解：∵二次函数y＝x2﹣mx+3中，a＝1＞0，
∴此函数开口向上，
∵当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，
∴二次函数的对称轴直线x＝﹣≥2，即﹣≥2
解得m≥4．
故答案为：m≥4．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键．
13．（2025 定远县三模）已知抛物线y＝ax2﹣4x+2的对称轴为直线x＝2．
（1）a的值为 1 ．
（2）若抛物线y＝ax2﹣4x+2向下平移k（k＞0）个单位长度后，在﹣1＜x＜4范围内与x轴只有一个交点，则k的取值范围是 2≤k＜7 ．
【点拨】（1）通过抛物线对称轴为直线x＝﹣求解．
（2）先求出平移后的函数解析式，分别求出抛物线经过（﹣1，0），（4，0）时k的值，进而求解．
【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣4x+2的对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
解得a＝1，
故答案为：1．
（2）将抛物线y＝x2﹣4x+2向下平移k个单位后，解析式为y＝x2﹣4x+2﹣k，
当（﹣1，0）在抛物线上时，0＝1+4+2﹣k，
解得k＝7，
当（4，0）在抛物线上时，0＝16﹣16+2﹣k，
解得k＝2，
∵﹣1＜x＜4，
∴（﹣1，0），（4，0）不在抛物线上，
∴2≤k＜7时，满足题意，
故答案为：2≤k＜7．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
14．（2025 杭州二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，﹣1）在二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m的图象上．
（1）直接写出这个二次函数的解析式；
（2）当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n，求n的值；
（3）将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y＝a（x﹣h）2+k，当x＜2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．
【点拨】（1）将点A（2，﹣1）代入二次函数解析式中即可求解；
（2）找出抛物线的对称轴为x＝，根据二次函数的性质结合“当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n”，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值；
（3）根据平移的性质可得出a＝1，由二次函数的性质可得出h≥2，再将（0，0）代入二次函数解析式中可得出k＝﹣h2，进而即可得出k的取值范围．
【解析】解：（1）∵点A（2，﹣1）在二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m的图象上，
∴﹣1＝4﹣2（2m+1）+m，
解得m＝1，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x+1；
（2）∵y＝x2﹣3x+1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
∴当x＜时，y随x的增大而减小，
当x＝1时，y＝x2﹣3x+1＝﹣1，当x＝n时，y＝x2﹣3x+1＝n2﹣3n+1，
∵当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n，
∴n2﹣3n+1＝4﹣n，
解得n1＝﹣1，n2＝3，
∵n≤x≤1，
∴n的值为﹣1；
（3）根据平移的性质可知，a＝1，
∵当x＜2时，y随x的增大而减小，
∴h≥2．
∵平移后的图象经过原点O，
∴0＝（0﹣h）2+k，即k＝﹣h2，
∴k≤﹣4．
【点睛】本题考查了二次函数与几何变换、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是（1）根据待定系数法找出m的值；（2）根据二次函数的单调性找出关于n的一元二次方程；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征找出k＝﹣h2．
15．（2025 东城区模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2a2x﹣3．
（1）若a＝1，求该抛物线的顶点坐标；
（2）已知点A（2a﹣1，y1），B（a，y2），C（a+2，y3）在抛物线上，若（y1﹣y3）（y3﹣y2）＜0，求a的取值范围．
【点拨】（1）把解析式化成顶点式即可求解；
（2）根据题意可知：B（a，y2）为抛物线的顶点，分两种情况讨论：a＞0时，函数有最小值y2，则y3﹣y2＞0，因为（y1﹣y3）（y3﹣y2）＜0，则y1﹣y3＜0，即y1＜y3，得出|2a﹣1﹣a|＜|a+2﹣a|，解得﹣0＜a＜3，当a＜0时，函数有最大值y2，则y3﹣y2＜0，由（y1﹣y3）（y3﹣y2）＜0，得出y1＞y3，即可得出|2a﹣1﹣a|＜|a+2﹣a|，解得﹣1＜a＜0．
【解析】解：（1）当a＝1时，y＝x2﹣2x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴该抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）∵抛物线y＝ax2﹣2a2x﹣3对称轴为直线x＝﹣＝a，
∴当a＞0时，抛物线开口向上，函数有最小值y2，
∴y3﹣y2＞0，
∵（y1﹣y3）（y3﹣y2）＜0，
∴y1﹣y3＜0，即y1＜y3，
∴|2a﹣1﹣a|＜|a+2﹣a|，
解得﹣1＜a＜3且a≠1，
∴0＜a＜3且a≠1；
当a＜0时，抛物线开口向下，函数有最大值y2，
∴y3﹣y2＜0，
∵（y1﹣y3）（y3﹣y2）＜0，
∴y1﹣y3＞0，即y1＞y3，
∴|2a﹣1﹣a|＜|a+2﹣a|，
解得﹣1＜a＜3，
∴﹣1＜a＜0，
∴a的取值范围是﹣1＜a＜3且a≠0和1．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
16．（2025 威海三模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+4，其中a≠0．
（1）求该二次函数图象的对称轴；
（2）无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过A（x1，y1），B（x2，y2）两个定点，其中x1＜x2，求x1+2x2的值．
（3）若a＝1，当t﹣1≤x≤t时，该二次函数的最大值与最小值的差为2，求t的值．
【点拨】（1）依据题意，由二次函数为y＝ax2﹣2ax+4，从而可得对称轴是直线x＝﹣＝1，进而可以得解；
（2）依据题意得，y＝ax2﹣2ax+4＝a（x2﹣2x）+4，由无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过A（x1，y1），B（x2，y2）两个定点，又令x2﹣2x＝0，即x＝0或x＝2，则y＝4，结合x1＜x2，可得x1＝0，x2＝2，进而代入计算可以得解；
（3）依据题意得，当a＝1时，y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，故当x＝1时，y取最小值为3；当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，故可分①当t≤1时、②当t﹣1＜1＜t时和③当t﹣1≥1时，进而可以判断得解．
【解析】解：（1）由题意，∵二次函数为y＝ax2﹣2ax+4，
∴对称轴是直线x＝﹣＝1．
（2）由题意得，y＝ax2﹣2ax+4＝a（x2﹣2x）+4，
∵无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过A（x1，y1），B（x2，y2）两个定点，
∴令x2﹣2x＝0，即x＝0或x＝2，则y＝4．
又∵x1＜x2，
∴x1＝0，x2＝2．
∴x1+2x2＝0+2×2＝4．
（3）由题意得，当a＝1时，y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3．
∴当x＝1时，y取最小值为3；当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大；抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
①当t≤1时，当x＝t﹣1时，y取最大值，y＝t2﹣4t+7；当x＝t时，y取最小值，y＝t2﹣2t+4，
∴t2﹣4t+7﹣（t2﹣2t+4）＝2．
∴t＝．
②当t﹣1＜1＜t时，即1＜t＜2．
∴当x＝1时，y取最小值为3．
又当x＝t﹣1时，y取最大值，y＝t2﹣4t+7或当x＝t时，y取最大值，y＝t2﹣2t+4，
∴t2﹣4t+7﹣3＝2或t2﹣2t+4﹣3＝2．
∴t＝2±（不合题意，舍去）或t＝1（不合题意，舍去）．
③当t﹣1≥1时，即t≥2时，当x＝t﹣1时，y取最小值，y＝t2﹣4t+7；当x＝t时，y取最大值，y＝t2﹣2t+4，
∴t2﹣2t+4﹣（t2﹣4t+7）＝2．
∴t＝．
综上，t＝或t＝．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活二次函数的性质是关键．
17．（2025 永嘉县三模）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的图象经过点A（2，﹣3）
（1）求二次函数的图象的对称轴；
（2）若y＝ax2+bx﹣3的最小值为﹣4，将该函数的图象向右平移1个单位长度，得到新的二次函数y'，当0＜x＜5时，求y'的取值范围；
（3）若该二次函数图象与x轴分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，若2＜x2﹣x1＜4，求a的取值范围．
【点拨】（1）将点的坐标代入解析式，整理解析式即可得出﹣＝1，即可求出抛物线的对称轴；
（2）根据对称轴和给出点的坐标即可求出抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，然后再利用函数图象平移的性质即可求出新的抛物线的解析式，进一步求得当0＜x＜5时y'的取值范围；
（3）根据对称轴得出x2＝2﹣x1，代入2＜x2﹣x1＜4中即可求出x1的取值范围，将x1代入解析式中得出a＝，令y＝﹣2x1＝（x1﹣1）2﹣1，﹣1＜x1＜0，分析二次函数的函数值即可得出结果．
【解析】解：（1）将 A（2，﹣3）代入y＝ax2+bx﹣3得﹣3＝4a+2b﹣3，
整理得﹣＝1，
∴二次函数图象的对称轴为直线x＝1；
（2）由（1）得﹣＝1，即b＝﹣2a，
将x＝1代入y＝ax2+bx﹣3得，a+b﹣3＝﹣4，
将b＝﹣2a代入a+b﹣3＝﹣4得，a＝1，b＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，即y＝（x﹣1）2﹣4，
又∵该函数的图象向右平移1个单位长度，
∴新的二次函数的解析式为y′＝（x﹣1﹣1）2﹣4＝（x﹣2）2﹣4，
当x＝2时，y′＝﹣4，当x＝5时，y′＝（5﹣2）2﹣4＝5，
∴当0＜x＜5时，求y'的取值范围是﹣4≤y′＜5；
（3）由抛物线的对称轴得，变形可得x2＝2﹣x1，
代入2＜x2﹣x1＜4中，得2＜2﹣x1﹣x1＜4，
解得﹣1＜x1＜0，
∵x2和x1是方程ax2+bx﹣3＝0的两个根，把x1代入方程得+bx1﹣3＝0
又∵b＝﹣2a，则+bx1﹣3＝0，整理可得a＝，
令y＝﹣2x1＝（x1﹣1）2﹣1，﹣1＜x1＜0，
当x1＝﹣1时，y＝（﹣1﹣1）2﹣1＝3，
当x＝0时，y＝（0﹣1）2﹣1＝0，
∵在﹣1＜x1＜0这个范围内，随自变量的增大而减小，
∴0＜﹣2x1＜3，则a＞1．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求抛物线的对称轴，函数图象平移的性质，二次函数和一元一次不等式的结合等内容，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
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