(共45张PPT)
综合与实践
第2课时：制作一个尽可能大的无盖长方体形收纳盒
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
新知探究
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
掌握无盖长方体的长、宽、高与原正方形边长及剪去小正方形边长的关系。
01
理解并推导容积公式V=h(a 2h)2，明确h的取值范围，能结合公式计算不同h对应的容积。
02
经历动手制作、数据收集、模型构建、规律分析的全过程，学会用 “逐渐逼近法”探究最大容积，提升空间观念、数据分析能力和数学建模能力。
03
02
新知导入
活动名称：设计制作长方体形状的纸盒。
方法: 观察、讨论、动手制作。
材料: 厚(硬)纸板、直尺、裁纸刀、剪刀、
胶水、彩笔等
准备:收集一些长方体形状的收纳盒，如墨水瓶盒、粉笔盒、饼干盒、牛奶收纳盒、牙膏盒等
02
新知导入
手工课上，同学们需要将一张正方形硬纸板制成无盖的长方体形收纳盒（如图1），并希望所制成的盒子能够收纳尽可能多的物品。你能设计出合理的方案，并制作出实物模型吗？
图1
02
新知导入
动手实践：
取一张边长为20cm的正方形硬纸片，尝试在四角剪去相同的小正方形，折叠成无盖长方体，记录剪去小正方形的边长h（单位：cm）和折叠后盒子的长、宽、高，填入下表：
03
新知讲解
思考问题：
折叠后的盒子是什么形状？它的长、宽、高与原正方形纸片的边长和剪去的小正方形边长有什么关系？
1
1．用一张正方形纸片试一试，怎样裁剪才能折成一个无盖长方体形盒子？
设计方案
03
新知讲解
①观察、讨论：以4人为一组，各组确定所要设计制作的收纳盒的类别，明确分工。
②观察作为参考物的收纳盒。将每一组的纸制长方体沿棱剪开，展开成一个完整的平面展开图，需要剪开多少条棱？
03
新知讲解
展开
03
新知讲解
无盖的盒子没有哪一部分呢？
2．哪些因素会影响所折成的无盖长方体形盒子的容积？
03
新知讲解
主要影响因素是正方形纸片的边长a，以及所剪小正方形的边长（即盒子的高度h）。
03
新知讲解
3．设正方形纸片的边长为 acm ，所折无盖长方体形盒子的高度为 hcm 你能用含 a 与 h 的代数式表示这个无盖长方体形盒子的容积V吗？
盒子的长、宽均为正方形边长减去两倍的高度（），高为，因此容积：
注：的取值范围为，否则盒子的长/宽会非正
03
新知讲解
4.随着 h 的改变， V 的变化有规律吗？分小组进行探究。
合理范围
极端情况
变化规律
如果，长/宽会变成“0或负数
如果，高为0，也不是“盒子”。
特别小（接近0）： “扁盘子”
情况2：特别大（接近）：“细柱子
在之间，肯定存在一个“合适的h”，让盒子既不会太扁、也不会太窄，容积会先变大，达到一个最大值后，再变小。
拓展：判断下列说法是否正确，并说明理由：
1.用边长为a的正方形纸片制作无盖长方体，盒子的长一定等于宽。
正确，正方形对称裁剪后，长和宽均为a-2h。
2.剪去的小正方形边长h越大，盒子的体积越大。
错误，h过大时，盒子的长和宽会变小，体积可能减小。
3.当，能折叠成无盖长方体
错误，此时，无法形成底面，不能构成盒子。
03
新知讲解
1．用一张边长为 20cm 的正方形纸片制作一个无盖长方体形盒子，无盖长方体形盒子的高度 h 按整数值从小到大变化，将相应长方体形盒子的容积填入下表：
实施方案
03
新知讲解
03
新知讲解
根据容积公式 ，计算得：
2.观察表中数据，随着高度 h 的增大，容积 V 有怎样的变化规律？
03
新知讲解
随着高度 的增大，容积 先逐渐增大（ 从1到3时），在 时达到表格内的最大值；之后 随 增大而逐渐减小（ 从4到10时）。
03
新知讲解
3.高度 h 未必都是整数值，你估计 h 在哪个范围内取值时V最大？
我们计算附近的小数（因为表格中时已较大）：
：（比的588大）
：（更大）
：（继续增大）
：（开始减小）
：（进一步减小）
通过计算附近的小数可知：当在3.3左右（或3到3.4之间）时，容积最大。
03
新知讲解
4.改变 h 的值，你能得到比上表中的容积更大的无盖长方体形盒子吗？你是怎么做的？
取 为非整数值（接近 ），例如 ，代入公式得：
，大于表格中最大的 。
03
新知讲解
5.如果正方形纸片的边长不是 20cm 呢？
类比长方体形面积规律，“和一定时，数越接近乘积越大”，
观察变形后的式子：、、这三个数的和是：
03
新知讲解
让三个数相等：
解这个方程（七年级的一元一次方程）：
把代入容积公式：
先算长、宽：
再算容积：
在制作尽可能大的无盖长方体形盒子的过程中，你经历了怎样的探究过程？遇到了什么困难？是如何克服的？
评估反思
制作立体图形步骤：
1．先转化为平面图形（平面展开图）
2．再转化为立体图形（折叠）
03
新知讲解
1．各小组在班级内交流研究过程和研究结果。
2．在交流的基础上，各小组对研究报告进行修改完善，形成最终研究报告。
3．根据实际使用的场合，选择边长合适的正方形硬纸板，制作一个容积尽可能大的无盖长方体形收纳盒。
成果展示
03
新知讲解
03
新知讲解
03
新知讲解
想象：
03
新知讲解
想象：
03
新知讲解
想象：
03
新知讲解
1．将下面四个图形折叠，你能说出这些多面体的名称吗
（1）正方体 （2）长方体 （3）四棱锥 （4）三棱柱
2．如图所示，长方体顶点A处有只小蚂蚁，沿长方体表面爬到B处，小蚂蚁非常聪明，它总是能按照最短的路线爬行，你能找到这条最短的路线吗？最短路线有几条？为什么？
04
新知探究
04
新知探究
底面
前面
A
上面
B
05
课堂小结
制作一个尽可能大的无盖长方体形收纳盒
知识
能力
规律
无盖长方体的长、宽 = 原正方形边长 - 2×剪去小正方形边长，高 = 剪去小正方形边长。
容积公式：（）。
提升动手裁剪、折叠的实践能力，学会收集、分析数据并推导数学公式，掌握用 “逐渐逼近法” 探究极值的基本思路，增强空间想象与数学建模能力。
容积随剪去小正方形边长h的变化呈“先增后减”，最大容积出现在h≈a/6时。
基础练习
1．如图是一无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），则该无盖长方体的容积为（ ）
A．4 B．3 C．8 D．12
06
作业布置
C
2．如图是一个长方体包装盒，则它的平面展开图是( )
A． B． C． D．
06
作业布置
A
06
作业布置
3．如图是一个正方体的表面展开图，这个正方体可能是（ ）
B
A． B． C． D．
06
作业布置
4．把下图形折叠成长方体后，与F、N都重合的点是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
C
能力提升
5．图中各硬纸片，不可以沿虚线折叠成长方体纸盒的是（ ）．
06
作业布置
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
C
06
作业布置
6．如图，将长方体表面展开，下列选项中错误的是（ ）
A． B． C． D．
C
06
作业布置
7．一个立体图形的三视图如图所示，若π取3，请你根据图中给出的数据求出这个立体图形的体积为____________．
9
06
作业布置
拓展练习
8．马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如下图所示拼接图形（实线部分），经折叠后发现还少一个面，请你在下图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子．（添加所有符合要求的正方形，添加的正方形用阴影表示）
06
作业布置
⑴若准备制作一个无盖的正方体形纸盒，如图1，下面的哪个图形经过折叠能围成无盖正方体形纸盒？
答案：C
06
作业布置
⑵如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体形纸盒后与“保”字相对的是哪个字？
答案：“卫”
06
作业布置
⑶如图3，有一张边长为20cm的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体形纸盒.
①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕.
②若四角各剪去了一个边长为xcm的小正方形，用含x的代数式表示这个纸盒的高为 cm，底面积为______________cm2，当小正方形边长为4cm时，纸盒的容积为____________cm3.
（20-2x）2
576
06
作业布置
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综合与实践2：制作一个尽可能大的无盖长方体形收纳盒
学科 数学 年级 七年级 课型 新授课 单元 综合与实践
课题 综合与实践2：制作一个尽可能大的无盖长方体形收纳盒 课时 1课时
课标要求 依据《义务教育数学课程标准（2022 年版）》，本节课属于 “综合与实践” 领域，要求采用项目式学习方式，引导学生综合运用图形的展开与折叠、代数式运算、数据分析等知识解决实际问题，经历 “实际问题 — 数学建模 — 解决问题” 的完整过程，培养数学建模、逻辑推理、数据分析等核心素养，强化应用意识和创新意识，同时重视现代信息技术与课程的整合，助力学生感受数学的实用性与探究价值。
教材分析 本节课是七年级上册综合与实践的核心内容，是对本册 “空间与图形”“数与代数” 知识的综合应用与拓展，承接长方体体积公式、整式运算等前期知识，又为后续函数与极值的学习奠定基础。教材以 “制作无盖长方体收纳盒” 这一真实情境为载体，遵循 “动手操作 — 抽象建模 — 规律探究” 的编排逻辑，通过层层递进的问题设计，打破传统学科知识的线性结构，突出实践性、综合性与探究性，旨在让学生体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想，积累数学活动经验。
学情分析 七年级学生已具备长方体体积公式、正方形性质、代数式表示与求值等知识基础，通过前期 “展开与折叠” 等活动积累了一定的空间观念和动手操作经验，好奇心强，对实践类课题兴趣浓厚，渴望成为 “发现者、研究者”。但学生抽象思维仍处于从形象思维向抽象思维过渡的关键期，对 “变量与容积的关系”“极值探究” 等抽象内容理解存在困难，手工计算复杂数据易出错，且合作探究的效率和深度需教师引导把控。
教学目标 1.掌握无盖长方体的长、宽、高与原正方形边长及剪去小正方形边长的关系。 2.理解并推导容积公式V=h(a 2h)2，明确h的取值范围，能结合公式计算不同h对应的容积。 3.经历动手制作、数据收集、模型构建、规律分析的全过程，学会用 “逐渐逼近法”探究最大容积，提升空间观念、数据分析能力和数学建模能力。
教学重点 理解无盖长方体的尺寸与原正方形纸片、剪去小正方形边长的关联，推导并掌握容积公式V=h(a 2h)2；同时通过数据分析，明确容积随剪去小正方形边长h“先增后减” 的变化规律，为后续极值探究奠定基础。
教学难点 教学难点在于引导学生通过 “逐渐逼近” 的方法探究最大容积的取值，理解极值出现的数学原理，体会从特殊（整数h）到一般（非整数h）的推理过程；同时帮助学生将实际操作经验转化为抽象的数学模型，准确把握公式中h的取值范围及其现实意义。
教法与学法分析 本节课采用 “情境驱动 — 探究导向” 的混合教学法，以真实的 “制作最大收纳盒” 任务为驱动，结合动手操作法、小组合作法和多媒体辅助法展开教学。教师通过精心设计的问题串分层引导，从 “如何制作盒子” 到 “尺寸关系是什么”，再到 “容积如何变化”，逐步推进探究深度；借助数学工具直观展示图形变化和数据规律，降低抽象概念的理解难度，同时通过巡视指导、小组点评等方式，兼顾不同层次学生的学习需求，落实启发式、互动式教学要求。 学生以 “自主实践 — 合作探究 — 反思总结” 为主线开展学习，通过动手裁剪、折叠纸片，直观感知尺寸与形状的关联，积累感性经验；在小组合作中分工完成数据收集、计算、分析等任务，通过交流碰撞完善认知，解决 “独自探究难以突破的极值分析” 等问题；借助计算器、表格工具处理复杂数据，掌握 “逐渐逼近” 的探究方法，同时在反思中梳理 “实践 — 建模 — 规律” 的探究流程，将零散的知识和经验系统化，逐步形成主动探究、乐于合作、用数据说话的学习习惯。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 活动名称：设计制作长方体形状的纸盒。 方法: 观察、讨论、动手制作。 材料: 厚(硬)纸板、直尺、裁纸刀、剪刀、 胶水、彩笔等 准备:收集一些长方体形状的收纳盒，如墨水瓶盒、粉笔盒、饼干盒、牛奶收纳盒、牙膏盒等 手工课上，同学们需要将一张正方形硬纸板制成无盖的长方体形收纳盒（如图1），并希望所制成的盒子能够收纳尽可能多的物品。你能设计出合理的方案，并制作出实物模型吗？ 图1 动手实践：取一张边长为20cm的正方形硬纸片，尝试在四角剪去相同的小正方形，折叠成无盖长方体，记录剪去小正方形的边长h（单位：cm）和折叠后盒子的长、宽、高，填入下表： 思考问题：折叠后的盒子是什么形状？它的长、宽、高与原正方形纸片的边长和剪去的小正方形边长有什么关系？ 布置旧知回顾、动手制作、数据记录任务，提供正方形纸片、表格等材料，明确研学要求。 完成长方体体积公式默写与计算，动手裁剪折叠纸片制作无盖长方体，记录相关数据并思考尺寸关联。 铺垫旧知基础，让学生通过实践直观感知图形关联，培养自主探究与数据记录能力。
环节二：新知讲解 【设计方案】 1．用一张正方形纸片试一试，怎样裁剪才能折成一个无盖长方体形盒子？ ①观察、讨论：以4人为一组，各组确定所要设计制作的收纳盒的类别，明确分工。 ②观察作为参考物的收纳盒。 将每一组的纸制长方体沿棱剪开，展开成一个完整的平面展开图，需要剪开多少条棱？ 2．哪些因素会影响所折成的无盖长方体形盒子的容积？ 主要影响因素是正方形纸片的边长a，以及所剪小正方形的边长（即盒子的高度h）。 3．设正方形纸片的边长为 ，所折无盖长方体形盒子的高度为 你能用含 与 的代数式表示这个无盖长方体形盒子的容积V吗？ 盒子的长、宽均为正方形边长减去两倍的高度（），高为，因此容积： （注：的取值范围为，否则盒子的长/宽会非正） 4.随着 的改变， 的变化有规律吗？分小组进行探究。 合理范围： 如果，长/宽会变成“0或负数 如果，高为0，也不是“盒子”。 极端情况： 特别小（接近0）： “扁盘子” 情况2：特别大（接近）：“细柱子 变化规律： 在之间，肯定存在一个“合适的h”，让盒子既不会太扁、也不会太窄，容积会先变大，达到一个最大值后，再变小。 拓展：判断下列说法是否正确，并说明理由： 1.用边长为a的正方形纸片制作无盖长方体，盒子的长一定等于宽 正确，正方形对称裁剪后，长和宽均为a-2h。 2.剪去的小正方形边长h越大，盒子的体积越大错误，h过大时，盒子的长和宽会变小，体积可能减小。 3.当，能折叠成无盖长方体 错误，此时，无法形成底面，不能构成盒子。 【实施方案】 1．用一张边长为 的正方形纸片制作一个无盖长方体形盒子，无盖长方体形盒子的高度 按整数值从小到大变化，将相应长方体形盒子的容积填入下表： h/cm12345678910V/cm
根据容积公式 （），计算得： 2.观察表中数据，随着高度 的增大，容积 有怎样的变化规律？ 随着高度 的增大，容积 先逐渐增大（ 从1到3时），在 时达到表格内的最大值；之后 随 增大而逐渐减小（ 从4到10时）。 3.高度 未必都是整数值，你估计 在哪个范围内取值时V最大？ 我们计算附近的小数（因为表格中时已较大）： ：（比的588大） ：（更大） ：（继续增大） ：（开始减小） ：（进一步减小） 通过计算 = 附近的小数可知：当 在3.3左右（或3到3.4之间）时，容积 最大。 4.改变 的值，你能得到比上表中的容积更大的无盖长方体形盒子吗？你是怎么做的？ 能。 做法：取 为非整数值（接近 ），例如 ，代入公式得： ，大于表格中最大的 。 5.如果正方形纸片的边长不是 呢？ 类比长方体形面积规律，“和一定时，数越接近乘积越大”， 观察变形后的式子：、、这三个数的和是： 让三个数相等： 解这个方程（七年级的一元一次方程）： 把代入容积公式： 先算长、宽： 再算容积： 各小组根据研究过程和研究结果撰写研究报告。 【评估反思】 在制作尽可能大的无盖长方体形盒子的过程中，你经历了怎样的探究过程？遇到了什么困难？是如何克服的？ 制作立体图形步骤： 1．先转化为平面图形（平面展开图） 2．再转化为立体图形（折叠） 【成果展示】 1．各小组在班级内交流研究过程和研究结果。2．在交流的基础上，各小组对研究报告进行修改完善，形成最终研究报告。 3．根据实际使用的场合，选择边长合适的正方形硬纸板，制作一个容积尽可能大的无盖长方体形收纳盒。 结合学生操作成果与多媒体演示，讲解尺寸关系和容积公式，设计知识点辨析题与拓展题，巡视答疑。 倾听讲解并参与辨析，理解无盖长方体尺寸逻辑与容积公式，完成拓展题巩固知识。 实现从实践到抽象的过渡，突破核心知识点，通过辨析与拓展强化理解与应用。
环节三:延申探究 想象： 引导学生补充非整数h值的容积数据，聚焦极值区间，指导用“逐渐逼近”法探究最大容积。 计算补充数据，观察容积变化规律，小组合作分析极值出现的h值范围。 突破教学难点，让学生体会数据分析方法，培养逻辑推理与合作探究能力。
环节四：巩固拓展 1．将下面四个图形折叠，你能说出这些多面体的名称吗 答案：（1）正方体（2）长方体（3）四棱锥（4）三棱柱 2．如图所示，长方体顶点A处有只小蚂蚁，沿长方体表面爬到B处，小蚂蚁非常聪明，它总是能按照最短的路线爬行，你能找到这条最短的路线吗？最短路线有几条？为什么？ 最短路线找法：将长方体两个相邻的面（含顶点A和B的面）展开成一个平面，连接A、B两点的线段即为最短路线。 最短路线数量：通常有2条（特殊长方体如正方体可能更多，但常规长方体为2条） 设计基础、提高、拓展分层习题，巡视指导学生解题，针对共性问题点评反馈。 独立完成分层习题，小组交流解题思路，运用所学知识解决实际应用问题。 分层巩固知识与技能，兼顾不同学情，提升学生知识应用与问题解决能力。
课堂小结 1. 通过本节课的学习收获 无盖长方体的长、宽 = 原正方形边长 - 2×剪去小正方形边长，高 = 剪去小正方形边长。 容积公式：（）。 关键规律：容积随剪去小正方形边长的变化呈“先增后减”，最大容积出现在时。 提升动手裁剪、折叠的实践能力，学会收集、分析数据并推导数学公式，掌握用 “逐渐逼近法” 探究极值的基本思路，增强空间想象与数学建模能力。 引导学生梳理知识要点、探究方法与数学思想，总结课堂核心内容并升华教学目标。 回顾本节课重点知识与探究过程，分享学习收获，反思探究中的经验与不足。 系统化整合知识，帮助学生积累数学活动经验，强化从具体到抽象的数学思想。
板书设计 一、制作方法 四角剪等大正方形（边长）→ 折叠成无盖长方体 二、核心关系 长 = 宽 = （为原正方形边长） 高 = 取值范围： 三、容积公式 四、关键规律 变化趋势：增大→先增后减 最大容积：当时，最大 简洁梳理本节课核心知识与探究逻辑，突出公式、规律等关键内容，助力学生快速构建系统知识框架，方便课堂小结与课后回顾应用。
作业设计 基础练习 1．如图是一无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），则该无盖长方体的容积为（ ） A．4 B．3 C．8 D．12 2．如图是一个长方体包装盒，则它的平面展开图是 A． B． C． D． 3．如图是一个正方体的表面展开图，这个正方体可能是（ ） A． B． C． D． 4．把下图形折叠成长方体后，与都重合的点是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 能力提升 5．图中各硬纸片，不可以沿虚线折叠成长方体纸盒的是（ ）． A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 6．如图，将长方体表面展开，下列选项中错误的是（ ） B． C． D． 7．一个立体图形的三视图如图所示，若π取3，请你根据图中给出的数据求出这个立体图形的体积为 ． 拓展练习 8．马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如下图所示拼接图形（实线部分），经折叠后发现还少一个面，请你在下图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子．（添加所有符合要求的正方形，添加的正方形用阴影表示） ⑴若准备制作一个无盖的正方体形纸盒，如图1，下面的哪个图形经过折叠能围成无盖正方体形纸盒？ ⑵如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体形纸盒后与“保”字相对的是哪个字？ ⑶如图3，有一张边长为20cm的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体形纸盒. ①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕. ②若四角各剪去了一个边长为xcm的小正方形，用含x的代数式表示这个纸盒的高为 cm，底面积为______________cm2，当小正方形边长为4cm时，纸盒的容积为____________cm3.
教学反思 本节课以“制作尽可能大的无盖长方体收纳盒”为实践载体，紧扣七年级学生“形象思维向抽象思维过渡”的认知特点，通过“动手操作—模型构建—规律探究”的层层递进设计，有效落实了综合与实践的课标要求。教学中，独立研学环节为学生奠定了直观经验基础，新知讲解时结合知识点辨析与拓展题，强化了核心公式与规律的理解，延伸探究环节通过“整数h→非整数h”的梯度探究，助力学生体会“逐渐逼近法”的本质。小组合作探究让学生在数据收集、分析讨论中提升了协作与问题解决能力，整体教学流程完整，情境真实贴近生活，有效激发了学生的学习兴趣。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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分课时学案
课题 制作一个尽可能大的无盖长方体形收纳盒 单元 综合与实践 学科 数学 年级 七年级上册
学习 目标 1.掌握无盖长方体的长、宽、高与原正方形边长及剪去小正方形边长的关系。 2.理解并推导容积公式V=h(a 2h)2，明确h的取值范围，能结合公式计算不同h对应的容积。 3.经历动手制作、数据收集、模型构建、规律分析的全过程，学会用 “逐渐逼近法”探究最大容积，提升空间观念、数据分析能力和数学建模能力。
重点 理解无盖长方体的尺寸与原正方形纸片、剪去小正方形边长的关联，推导并掌握容积公式V=h(a 2h)2；同时通过数据分析，明确容积随剪去小正方形边长h“先增后减” 的变化规律，为后续极值探究奠定基础。
难点 教学难点在于引导学生通过 “逐渐逼近” 的方法探究最大容积的取值，理解极值出现的数学原理，体会从特殊（整数h）到一般（非整数h）的推理过程；同时帮助学生将实际操作经验转化为抽象的数学模型，准确把握公式中h的取值范围及其现实意义。
教学过程
导入新课 活动名称：设计制作长方体形状的纸盒。 方法: 观察、讨论、动手制作。 材料: 厚(硬)纸板、直尺、裁纸刀、剪刀、 胶水、彩笔等 准备:收集一些长方体形状的收纳盒，如墨水瓶盒、粉笔盒、饼干盒、牛奶收纳盒、牙膏盒等 手工课上，同学们需要将一张正方形硬纸板制成无盖的长方体形收纳盒（如图1），并希望所制成的盒子能够收纳尽可能多的物品。你能设计出合理的方案，并制作出实物模型吗？ 图1 动手实践：取一张边长为20cm的正方形硬纸片，尝试在四角剪去相同的小正方形，折叠成无盖长方体，记录剪去小正方形的边长h（单位：cm）和折叠后盒子的长、宽、高，填入下表： 思考问题：折叠后的盒子是什么形状？它的长、宽、高与原正方形纸片的边长和剪去的小正方形边长有什么关系？
新知讲解 【设计方案】 1．用一张正方形纸片试一试，怎样裁剪才能折成一个无盖长方体形盒子？ ①观察、讨论：以4人为一组，各组确定所要设计制作的收纳盒的类别，明确分工。 ②观察作为参考物的收纳盒。 将每一组的纸制长方体沿棱剪开，展开成一个完整的平面展开图，需要剪开多少条棱？ 2．哪些因素会影响所折成的无盖长方体形盒子的容积？ 3．设正方形纸片的边长为 ，所折无盖长方体形盒子的高度为 你能用含 与 的代数式表示这个无盖长方体形盒子的容积V吗？ 4.随着 的改变， 的变化有规律吗？分小组进行探究。 拓展：判断下列说法是否正确，并说明理由： 1.用边长为a的正方形纸片制作无盖长方体，盒子的长一定等于宽 2.剪去的小正方形边长h越大，盒子的体积越大 3.当，能折叠成无盖长方体 【实施方案】 1．用一张边长为 的正方形纸片制作一个无盖长方体形盒子，无盖长方体形盒子的高度 按整数值从小到大变化，将相应长方体形盒子的容积填入下表： h/cm12345678910V/cm
2.观察表中数据，随着高度 的增大，容积 有怎样的变化规律？ 3.高度 未必都是整数值，你估计 在哪个范围内取值时V最大？ 4.改变 的值，你能得到比上表中的容积更大的无盖长方体形盒子吗？你是怎么做的？ 能。 5.如果正方形纸片的边长不是 呢？ 各小组根据研究过程和研究结果撰写研究报告。 【评估反思】 在制作尽可能大的无盖长方体形盒子的过程中，你经历了怎样的探究过程？遇到了什么困难？是如何克服的？ 【制作立体图形步骤：】 1．先转化为平面图形（平面展开图） 2．再转化为立体图形（折叠） 【成果展示】 1．各小组在班级内交流研究过程和研究结果。2．在交流的基础上，各小组对研究报告进行修改完善，形成最终研究报告。 3．根据实际使用的场合，选择边长合适的正方形硬纸板，制作一个容积尽可能大的无盖长方体形收纳盒。 想象：
课堂小结 1.本节课你认为自己解决的最好的问题是什么？ 2.本节课你有哪些收获？有什么体会？请你和同学分享交流。 3.你想进一步探究的问题是什么？
课堂练习 1．将下面四个图形折叠，你能说出这些多面体的名称吗？ 2．如图所示，长方体顶点A处有只小蚂蚁，沿长方体表面爬到B处，小蚂蚁非常聪明，它总是能按照最短的路线爬行，你能找到这条最短的路线吗？最短路线有几条？为什么？
课后作业 基础练习 1．如图是一无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），则该无盖长方体的容积为（ ） A．4 B．3 C．8 D．12 2．如图是一个长方体包装盒，则它的平面展开图是 A． B． C． D． 3．如图是一个正方体的表面展开图，这个正方体可能是（ ） A． B． C． D． 4．把下图形折叠成长方体后，与都重合的点是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 能力提升 5．图中各硬纸片，不可以沿虚线折叠成长方体纸盒的是（ ）． A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 6．如图，将长方体表面展开，下列选项中错误的是（ ） B． C． D． 7．一个立体图形的三视图如图所示，若π取3，请你根据图中给出的数据求出这个立体图形的体积为 ． 拓展练习 8．马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如下图所示拼接图形（实线部分），经折叠后发现还少一个面，请你在下图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子．（添加所有符合要求的正方形，添加的正方形用阴影表示） ⑴若准备制作一个无盖的正方体形纸盒，如图1，下面的哪个图形经过折叠能围成无盖正方体形纸盒？ ⑵如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体形纸盒后与“保”字相对的是哪个字？ ⑶如图3，有一张边长为20cm的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体形纸盒. ①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕. ②若四角各剪去了一个边长为xcm的小正方形，用含x的代数式表示这个纸盒的高为 cm，底面积为______________cm2，当小正方形边长为4cm时，纸盒的容积为____________cm3.
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