甘肃省白银市2025-2026学年上学期期末高二数学试卷(含解析)

高二数学
考生注意：
本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
本卷命题范围：湘教版选择性必修第一册。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.3名同学计划去A，B，C，D四个景点游玩，每人只去1个景点，则不同的选法种数是
A.81 B.64 C.24 D.12
2. 抛物线的焦点坐标为
A.(0,4) B.(4,0) C.(2,0) D.(0,2)
3. 已知3是与的等差中项，1是与的等比中项，则
A.8 B.9 C.16 D.34
4. 圆与圆的位置关系是
A. 内含 B. 内切 C. 外切 D. 相交
5. 已知等差数列的前项和为，若，，则
A.154 B.164 C.186 D.196
6.7个人站成一排，其中甲、乙必须相邻，丙不能站两端，则不同的站法种数为
A.960 B.980 C.1060 D.1260
7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上一点，，，则的离心率为
A. 　　　　 B. 　　　　
C. 　　　　 D.3
8. 某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有
A.110种　　　　　　　　　　　　　　
B.100种
C.90种　　　　　　　　　　　　　　
D.80种
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线，，若，则与间的距离可能为
A. 　　　　 B. 　　　　
C. 　　　　 D.
10. 已知等差数列的公差为，前项和为，若，，则
A.
B. 中最大
C. 使得的的最大值为13
D. 数列是递减数列
11. 已知椭圆的右焦点为，，分别为的左、右顶点，，动点在直线上，直线与交于另一点，过点作轴的垂线与直线交于点，则下列说法正确的是
A. 的离心率　　　　　　
B. 若，则
C. 　　　　　　　　　
D. 直线与相切
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 已知点在圆内，则实数的取值范围为。
13. 已知等比数列的前项和为，若，且，则。
14. 已知点是抛物线上位于第一象限内一点，为上位于第四象限内一点，为坐标原点，，且直线的斜率是直线的斜率的倍，则直线的斜率为。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
已知的展开式的二项式系数和为。
（1）求的值；
（2）求展开式中的常数项。
16.（本小题满分15分）
已知椭圆的焦距为，点在上。
（1）求的方程；
（2）若直线与交于，两点，为线段的中点，为坐标原点，求。
17.（本小题满分15分）
已知各项均为正数的等差数列的前项和为，，。
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和。
18.（本小题满分17分）
已知圆经过点，，且圆心在直线上。
（1）求圆的标准方程；
（2）设，，若圆上存在点，使得，求实数的取值范围；
（3）若为圆上的动点，求的取值范围。
19.（本小题满分17分）
已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上。
（1）求的方程；
（2）设为的右顶点，直线与交于，两点，且。
（ⅰ）证明：直线过定点；
（ⅱ）若，都在的左支上，求面积的最小值。
高二数学参考答案、提示及评分细则
1.B由题意知每位同学均有4个选择，所以不同选法种数是. 故选B.
2.D抛物线的标准方程为，所以，，的焦点坐标为. 故选D.
3.D由题知，，所以. 故选D.
4.C由题知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，所以，所以圆与圆外切. 故选C.
5.C由题知，，成等差数列，，即，解得. 故选C.
6.A甲、乙相邻，有种不同排法，其中丙站两端的站法有种，故甲、乙必须相邻，丙不能站两端的站法有种. 故选A.
7.B设双曲线的焦距为，不妨设点在第一象限，则解得又，所以，即，所以的离心率. 故选B.
8.B若丙校派遣1人，则甲校可以派遣1或2或3人，派遣方案有种；若丙校派遣2人，则甲校必须派遣2人，派遣方案有种，所以满足条件的不同的派遣方案有种. 故选B.
9.BD由，得，解得或1. 当时，，，则与间的距离为；当时，，，则与间的距离为. 故选BD.
10.ABD由，，知，所以，A正确；由，，，知中最大，B正确；由，，知使得的的最大值为14，C错误；由，知数列是递减数列，D正确. 故选ABD.
11.BCD设，其中，由，，得解得，，所以，的方程为，离心率，A错误；当时，点的坐标为. 设直线与轴交于点，则，，即，解得，B正确；设，则. 又，，所以直线的方程为，令，得点的坐标为；直线的方程为（此处内容未完整，按原文呈现）
0，所以点到直线的距离.又点到轴的距离也为，所以，C正确；直线的方程为，令，得点的坐标为，直线的方程为，整理得，联立方程消去后整理得，即，，
所以直线与相切，D正确.故选BCD.
12. 由题知，解得.
13.17设的公比为，则，解得，所以.
14.1设点，的坐标分别为，，则，，.因为，所以，整理得①.又直线的斜率是直线的斜率的2倍，
所以，整理得②.由①②解得，所以直线的斜率为1.
解:(1)由题知,解得.
（2） 展开式的第 项为 。
令 ，得 ，故常数项为第 5 项，且 ，
即展开式中的常数项为 240 ．
16．解：（1）由题知
解得
所以 的方程为 ．
（2）设 的坐标分别为 ，
联立方程 消去 后整理得 ．
则，，。 ………………………………………… 11分
所以，。 ………………………………………………………………………… 13分
所以。 ………………………………………………………………………… 15分
17.解：（1）设的公差为，
由题知解得或（舍去）， ………………………………………… 4分
所以，
即数列的通项公式为。 ………………………………………………………………………… 6分
（2）由（1）知，……………………………………… 9分
。 ………………………………………………………………………… 15分
18.解：（1）设圆心的坐标为， ………………………………………………………………………… 1分
由，得，解得。 ………………………………………… 3分
所以圆心，半径为5，
故圆的标准方程为。 ………………………………………………………………………… 5分
（2）由，知点在以线段为直径的圆上，……………………………………………………………………… 6分
由，，知圆心，圆的半径为1，且圆与圆有交点， ………………………………………… 7分
故，解得或，
所以实数的取值范围为。 ………………………………………………………………………… 10分
（3）设点的坐标为，则，整理得， ………………………………………………………………………… 11分
所以
， ………………………………………………………………………… 13分
令，则直线与圆有公共点，即，解得， ……………………………… 16分
则，所以的取值范围为。 ……… 17分
19.（1）解：由题知解得 ………………………………………………………………………… 2分
所以的方程为。 3分
（2）（ⅰ）证明：由（1）知，设，的坐标分别为，。
当直线的斜率为0时，，，则，，
当时，，解得，则，中一个点与重合，此时不成立，所以直线的斜率不为0； 4分
设直线的方程为。
联立方程消去后整理，得，
则，。 5分
由，知
7分
，
解得或。 10分
当时，直线过点，不合题意；当时，直线的方程为，所以直线过定点。
11分
（ⅱ）解：由（ⅰ）知当时，，，
。
由，得， 12分
的面积为
， 15分
又，所以，，当时，等号成立，
所以面积的最小值为。 17分