湖北省黄冈市2025-2026学年上学期高三期末数学试卷（含答案）

2025年秋季高三年级期末考试
数 学
本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.
祝考试顺利
注意事项：
答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
考试结束后，请将答题卡上交.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数 ，则
A. 　　　 B. 　　　
C. 　　　 D.
2.设 ，则“”是“”的
A.充分不必要条件　　　　　 B.必要不充分条件
C.充要条件　　　　　　　　 D.既不充分也不必要条件
3.有一散点图如右图，在5个数据中去掉后，下列说法正确的是
A.解释变量 与响应变量 的线性相关性变弱
B.数据 的方差变大
C.决定系数 变小
D.残差平方和变小
4.若 ，，则
A. 　　 B. 　　
C. 　　 D.
5.设函数 是定义在 上的奇函数，当 时，，则
A. 　　　 B. 　　　
C. 　　　 D.
6.已知双曲线 的左右焦点分别为 ，，过 且垂直于 轴的直线与该双曲线右支交于 ， 两点，直线 ， 分别交 轴于 ， 两点，若 的周长为24，则 的最大值为
A.12　　　 B.16　　　
C. 　　　 D.
7.直线 与 ， 轴分别交于 ， 两点，点 在圆 上，当 面积最大时，
A. 　　　 B. 　　　
C. 　　　 D.
8.当 时，关于 的不等式 仅有两个正整数解，则实数 的取值范围是
A. 　　　 B. 　　　
C. 　　　 D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.直三棱柱 中，，点 ， 分别为 ， 的中点，则
A. 　　　　　　　
B. 平面
C. 平面 　　　
D.
10.已知函数 在 处有极大值，则
A.
B.
C.若 时， 的值域为 ，则 的取值范围为
D.曲线 在点 处的切线与曲线 有两个不同的公共点
11.已知函数 ，， 且 ，则
A.函数 在 上单调递减
B.函数 的最小正周期为
C.函数 的图像关于 对称
D.函数 的值域为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 记为等差数列的前项和，若，，则 。
13.2025的正因数的个数为 个。（用数字作答）
14. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积为，满足，若，则的最小值为 。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本题满分13分）
已知函数（且）的图象经过点，记数列的前项和为，且。
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：。
16.（本题满分15分）
如图，在三棱台中，平面，为中点，。
（1）证明：；
（2）若，，求直线与平面所成角的正弦值。
17.（本题满分15分）
有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元。某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各取100人。设事件“学生愿意报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计，。
（1）根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关？
性别 男生 女生 合计
不愿报名参加答题活动
愿意报名参加答题活动
合计 200
（2）网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为.
（Ⅰ）若答题活动设置且）道题，甲仅答对其中10道题的概率最大，求的值.
（Ⅱ）若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到4道题答完.已知甲同学报名参加答题活动，用表示在本次答题的题目数量，求的分布列和期望.
参考公式与数据：，其中.
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18.（本题满分17分）
如图，在平面直角坐标系中，椭圆的上顶点为，左焦点为，焦距为，的面积为6，点为椭圆上一点，圆的面积为.
（1）求椭圆的离心率；
（2）过原点作圆的两条切线，分别交椭圆于，.
（Ⅰ）若直线，的斜率都存在，分别记为，，求的值；
（Ⅱ）求的最大值.
19.（本题满分17分）
已知函数，.
（1）求函数的最值；
（2）讨论函数在上极值点的个数；
（3）设函数，若在定义域内有三个不同的极值点，，，且满足，求实数的取值范围.
2025年高三秋季期末考试
数学参考答案
一、单选题
1.A 2.C 3.D 4.B 5.B 6.D 7.A 8.C
8.【详解】（课本选择性必修二P104.17改编）
时不等式等价于：
设，，时，恒成立，
所以有两个正整数解2和3，则，解得。故选C
二、多选题
9.AC 10.BC 11.ABD
三、填空题
12.330 13.15 14.
14.【详解】整理得，，
所以，所以，
因为，所以，
即，解得或（舍去），
因为，所以，
在锐角中，有，，则，
所以，
因为
，
因为，所以，所以，
所以，所以。
因为.
所以
.
设，则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
四、解答题
15.【详解】（1） 由题意 ………………… 1分
所以数列，其前项和为 …………………………………………………… 2分
当时，；
当时， ………………………………………… 5分
时，上式亦成立.
所以， ………………………………………………… 6分
（2） ， ………………… 9分
…………………………………… 12分
…………………………………………… 13分
16.【详解】（I）证明：平面，，平面，，
又，平面，平面，
平面 ………………… 3分
平面，，又
平面，平面，，
平面平面
6分
（2）由（1）知直线 ，， 两两垂直．
分别以 CA，CB，CC1 为x，y，z 轴建立空间直角坐标系 C-xyz，如图所示 7分
，，，
依题意得A(4,0,0)，B(0,3,0)，E(0,0,1)，B1(0,32,2) 9分
，，设平面 的法向量，则
{m→ EA→=0m→ EB→=0∴{4x z=03y z=0取m→=(3,4,12)，EB1→=(0,32,1)． 12分
设与平面所成角为
∴sinθ=cos EB1→，m→ =m→·EB1→|m→||EB1→|=6+129+16+144·94+1=3613169 14分
∴EB1与平面ABE所成角的正弦值为3613169． 15分
17.【详解】（1）因为，所以愿意报名参加答题活动人数为，
又因为，所以愿意报名参加答题活动的男生人数为，愿意报名参加答题活
动的女生人数为，则可得到列联表为：
性别 男生 女生 合计
不愿报名参加答题活动 20 60 80
愿意报名参加答题活动 80 40 120
合计 100 100 200
2分
零假设为：学生报名参加答题活动与性别无关，
则．
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立．
即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001； 4分
（2）（i）设随机变量Y为甲答对题目的个数，则Y Bn,23． 5分
假设最有可能答对题目的数量是10次，则，即
，
7分
解得14（ii） 的所有可能取值为：，，，，
，，，
所以分布列为
12分
E(X)=1×23+2×29+3×227+4×127=4027 15分
18. 【详解】（1）依题意得，，
∴c=23，b=23，∴a2=b2+c2=24，e=ca=22 4分
（2）（i）依题意得圆，椭圆，点为椭圆上一点
，
直线OM:y=k1x，ON:y=k2x与圆D相切，∴|k1m-n|1+k12=22，|k2m-n|1+k22=22 6分
平方整理得k1，k2为方程(m2-8)k2-2mnk+(n2-8)=0的两根 8分
∴k1k2=n2-8m2-8=121-m224-8m2-8=-12 10分
（ii）解法一 设M(x1,y1)，N(x2,y2)由（i）知k1k2=y1y2x1x2=-12，所以y12y22=14x12x22， 12分
，，
整理得x12+x22=24， y12+y22=12(1-x1224)+12(1-x2224)=12. 14分
|OM|2+|ON|2=x12+y12+x22+y22=36 15分
由基本不等式，得，当且仅当时等号成立.
∴|OM|·|ON|的最大值为18 17分
解法二：设，，直线，代入得：
∴x12=241+2k12， y12=(k1x1)2=24k121+2k12， x12+y12=24(1+k12)1+2k12， 12分
同理直线ON:y=k2x，代入x2+2y2=24得x22+y22=24(1+k22)1+2k22，由（1）k1k2=-12 13分
x22+y22=24(1+14k12)14k12+2=24(4k12+1)8k12+1=12(4k12+1)2k12+1 14分
∴|OM|2+|ON|2=x12+y12+x22+y22=24(1+k12)1+2k12+12(4k12+1)2k12+1=36 15分
由基本不等式，得，当且仅当时，
此时，或，等号成立.
∴|OM|·|ON|的最大值为18 17分
（其它方法酌情给分）
19.【详解】 f'(x)=lnx+x·1x=lnx+1 1分
令，，，所以在上单调递增；
令f'(x)<0，lnx+1<0，0所以f(x)的最小值为f(1e)=1eln1e=-1e，无最大值 4分
（2）由题意知，即讨论在上变号零点个数
g'(x)=a·ex-2x=ex·(a-2xex)，令r(x)=2xex(x>0)，则r'(x)=2(1-x)ex， 5分
当时，，单调递增；
当x∈(1,+∞)时，r'(x)<0，φ(x)单调递减， 6分
又当时，，且，可以作出的大致图象
所以当时，，单调递增，无极值点
当时，，单调递减，无极值点
当0综上，当或时，无极值点
当0（3）整理得，其定义域为，
则，
令，得或。设，则，
当时，，单调递增；
当x∈(1,+∞)时，φ'(x)<0，φ(x)单调递减， 11分
又当时，；又当时，，且，
因此的大致图象如图所示，
因为在定义域内有三个不同的极值点，，，
所以φ(x)与y=a有两个不同的交点，所以0不妨设，则，
所以，所以，
所以
。
令p(a)=(ae-1)(1+lna)20因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，所以，
又，所以，所以在上单调递增.
因为，因此当时，，………… 16分
即当时，恒成立，
所以实数的取值范围是 ………………… 17分