安徽省淮北市2025-2026学年上学期高二年级元月素质检测数学试题(含解析)

2024级高二年级元月素质检测
数学试题
考生注意：
1.试卷分值：150分，考试时间：120分钟。
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
3.所有答案均要答在答题卡上，否则无效。考试结束后只交答题卡。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B.
C. D.
2. 经过点，的直线的两点式方程为（ ）
A. B.
C. D.
3. 在空间直角坐标系中，直线的方向向量，点在直线上，点到直线的距离是（ ）
A. B.
C. D.
4.将直线向上平移1个单位，所得直线与圆相切，则实数的值为（ ）
A.5或.或15
C.3或.或17
5. 已知椭圆的焦距为2，则（ ）
A.2 B.5或7 C.5 D.2或10
6. 等差数列前项的和为，已知，，则（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
7.已知，是双曲线的左、右焦点，点在上，，，则的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
8. 过抛物线焦点的直线与抛物线交于点，两点，过且与抛物线在处的切线平行，交抛物线于另一点，交轴于点，则面积的最小值为（ ）
A.4 B.8 C.16 D.32
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列计算正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
10. 已知正方体的体积为8，线段，的中点分别为，，动点在下底面内（含边界），动点在直线上，且，则（ ）
A. 三棱锥的体积为定值
B. 动点的轨迹长度为
C. 不存在点，使得平面
D. 四面体体积的最大值为
11. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，过点作直线交抛物线于，两点，则（ ）
A. 的最小值为4
B. 以线段为直径的圆与直线相切
C. 当时，则
D.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 已知是的导函数，且，则______.
13. 已知等差数列的公差为，且满足，，则数列的通项公式______.
14. 在平面直角坐标系中，射线，，半圆。现从点向上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线，时会发生镜面反射。设光线在发生反射前所在直线的斜率为，若光线始终与半圆没有交点，则的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本题满分13分）已知圆过三点，，。
（1）求圆的标准方程；
（2）已知直线与圆相交于，两点，且，求的最小值。
16.（本题满分15分）如图，在四棱台中，平面，，，。
（1）若，证明：平面；
（2）若，，，求二面角的正弦值。
17.（本题满分15分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，不过点的直线与椭圆相交于，两点。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若弦的中点的纵坐标为，求面积的最大值；
（3）若，求证：直线过定点。
18.（本题满分17分）已知数列的首项，。
（1）求证：是等比数列；
（2）求数列的前项和；
（3）令，求数列的最大项。
19.（本题满分17分）已知双曲线过点，且到直线的距离为。
（1）求双曲线的标准方程。
（2）的左、右焦点分别为，，若过的直线与交于，两点，直线与交于点。
（i） 证明：直线过定点；
（ii） 当，两点均在的左支上时，直线与交于点，直线与直线交于点，求的面积的最小值。
2024级高二年级元月素质检测
参考答案、提示及评分细则
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C A B D B D A C AC ACD BCD
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。
1.【答案】C
【解答】解：直线的斜率为，由直线的斜率与倾斜角的关系可知，。故选：。
2.【答案】A
【解答】解：因为直线经过点，，所以由方程的两点式可得直线方程为，即。
3.【答案】B
【解答】解：由直线的方向向量为，可得直线的单位方向向量，又，所以点到直线的距离。
4.【答案】D
【解答】解：直线沿轴向上平移1个单位，得，即。
化圆为，得圆心坐标为，半径为。
则，即，得或。
5.【答案】B
【解答】解：因为椭圆的焦距为2，若椭圆的焦点在轴上，则，解得，若椭圆的焦点在轴上，则，解得，综上，或。
6.【答案】D
【解答】解：由等差数列的性质，知，所以或，因为，所以，且。
7.【答案】A
【解答】解：因，且，可得，在直角中，因为，所以，，因，由双曲线的定义，可得，
即，即，所以双曲线的离心率为。
8.【答案】
【解答】解：易知点处的切线方程为，斜率为，所以直线的方程为，
联立，消去并整理得，该方程的解为，，
由韦达定理得，设，因为点在直线上，所以，
因为，所以直线的方程为，
整理得，因为该直线过点，所以，
粗疏直线的方程可化为，
即，则的面积为：
，
当且仅当时，等号成立，所以面积的最小值为。
二、多项选择题：
本题共小题，每小题分，共分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分.
9.【答案】
【解答】解：，则，故正确；
，则，故错误；
，则
，故正确；
，则，故错误.
10.【答案】
【解答】解：对于选项，依题意，，而平面，平面，
故平面，则点到平面的距离为定值，
故三棱锥的体积为定值，故选项正确；
对于选项，因为，故，则，而，
故，
故动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在底面内的部分，即四分之一圆弧，
故所求轨迹长度为，故选项错误；
对于选项，以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，故，，
设为平面的法向量，则，
得，令，故为平面的一个法向量，
设，若平面，可得，故，则，
解得，，但，故选项正确；
对于选项，因为为等腰三角形，故。
面点到平面的距离，
令，则，
则，其中，
则四面体体积的最大值为，故选项正确。
11.【答案】
【解答】解：因为点在抛物线上，所以，解得，
则抛物线的方程为，焦点，设直线的方程为，
联立，消去并整理得，此时，
由韦达定理得，，所以，
当且仅当时，等号成立，故选项错误；由抛物线的定义知，
因为的中点横坐标为，所以的中点与直线的距离为，
即为的一半，所以以线段为直径的圆与直线相切，故选项正确；
若且，此时，因为，所以，，
所以，解得，此时，
则，故选项正确；
因为，故选项正确．
三、填空题：本大题共\（3 \）小题，每小题\（5 \）分，共\（15 \）分。
12．【答案】．
【解答】解：由已知可得．
13．【答案】．
【解答】解：等差数列的公差为，且满足，，
则，，则，解得（负值舍去），
．
14．【答案】
【解答】解：将半圆依次沿着，，作对称，如图所示：
光线在镜面发生反射可以等效处理为：光线进入了镜子后的空间，
因此问题就转化为光线如何与镜子内外的圆没有交点，光线变化的范围如图所示，
当光线与相切时，光线所在直线斜率为，
由对称性可知当光线遇射线时反射光线若与相切，
则入射光线所在直线为与圆相切，
当光线与圆相切但遇射线时反射光线不与相切时，
此时，所以光线斜率为，
当光线与相切时，光线斜率为，
所以由图可知的取值范围是。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.【解答】解：（1）设圆的方程为，
由点，，在圆上，可得，解得 4分
则圆的方程为，即 6分
（2）由（1）可得：圆心，半径，
由，即，则直线过定点 8分
由圆心到定点的距离 10分
则定点在圆内，易知当时，最短， 13分
16.【解答】解：（1）证明：在中，，，，
由正弦定理得，得，故，即 2分
因为平面，平面，所以 4分
又，与有交点，，平面 5分
所以平面，又平面，所以，因此 6分
又平面，平面，所以平面 7分
（2）结合（1）可得，根据，，，
可得。连接，因为，
所以，。由题意知，，两两垂直 8分
故以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则C(2,0,0)，C1(1,0,32)，D(0,3,0)，B(32,-32,0) 10分
所以，，。
设平面的法向量为，则，则，
即{x 32z=012x+32y=0，取x=3，则m=(3,-1,2) 11分
设平面的法向量为，则，则，即，
取a=3，则n=(3,2,2) 12分
设二面角B-CC1-D的大小为θ，则cosθ=|m·n||m|·|n|=|3-2+4|8×11=52244 14分
因此二面角B-CC1-D的正弦值为1-cos2θ=1-(52244)2=315444 15分
17.【解答】解：（1）由题意可得{ca=633a2+1b2=1a2=b2+c2，解得{a=6b=2c=2，∴椭圆方程为x26+y22=1 3分
（2）弦的中点的纵坐标为，直线斜率存在。
设直线，代入，可得，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，由韦达定理可得{x1+x2= 6km1+3k2x1x2=3m2 61+3k2 5分
，
弦的中点的纵坐标为，，即，
∵|MN|=1+k2·Δ1+3k2=231+k2·6k2+2-m21+3k2 7分
由点到直线的距离公式可得到直线的距离，
∴S MON=12|MN|·dO-MN=34m-m22=3-(m-2)2+42 8分
由，，可得，
∴当m=2即k=±1时，S MON取得最大值3 9分
（3）证明：，，
即x1x2-3(x1+x2)+3+y1y2-(y1+y2)+1=0(*) 10分
，，
代入(*)式，得(1+k2)x1x2+(km-k-3)(x1+x2)+m2-2m+4=0 11分
即，化简得，
即(3k+m-1)(3k+2m+1)=0，∴m=1-3k或m=-1-3k2 12分
当时，则直线，此时直线过点，不合题意舍去，
当m=-1-3k2时，则直线l:y=k(x-32)-12，此时直线过定点(32,-12) 13分
当直线斜率不存在时，直线x=32交椭圆于M(32,72)，N(32,-72) 14分
此时，显然成立．
∴直线l过定点(32,-12) 15分
18．【解答】解：（1）证明：数列{an}的首项a1=1，an+an+1=4×3n 2分
可得an+1-3n+1=4×3n-an-3n+1=-(an-3n)，且a1-3=-2 3分
可得{an-3n}是首项为-2，公比为-1的等比数列 4分
（2）由（1）可得，即有，...8分
（3）bn=n3an-2×(-1)n=n33n，则bn+1-bn=(n+1)33n+1-n33n=-2n3+3n2+3n+13n+1 10分
当1≤n≤2时，可得b1当n≥3时，bn+1 bn<0，即有b3>b4>b5> >bn 14分
则数列{bn}的最大项为b3=1 17分
19.【解答】解：（1）由于，并且到直线的距离为，1分
因此，那么，因此，
根据题意可知……………………………………………………………………2分
将代入上式，可得双曲线方程，所以，那么，
因此………………………………………………………………………………4分
（2）（ⅰ）证明：根据第一问可知，，，．
当直线与轴不重合时，设，，，
联立双曲线方程可得，化简得…………………………………………6分
那么结合根的判别式可得，…………………………………………7分
根据韦达定理可得，，易知直线，
当时，轴，与平行，不相交，不符合题意，因此，
令，得到……………………………………………………………………8分
因此直线………………………………………………………9分
令，得到轴与直线的交点横坐标
…………………………………………10分
因此过定点…………………………………………………………………………………11分
当直线与轴重合时，直线与轴重合，因此过定点．
综上所述，过定点………………………………………………………………………………12分
（ⅱ）结合（ⅰ）可知，过定点，
同理可知， 也过定点，
由于与交于点，因此。
由于，两点均在双曲线的左支上，因此或或，因此。…… 14分
所以三角形面积
。
令，那么，………………… 15分
易知在上单调递增，因此当时，此时…16分
因此最小值为………………………………………………… 17分