由余弦定理cosC=a+b-C=6十4-(27)2_1
东城区2025一2026学年度第一学期期末统一检测
2ab
2×6×4
2
在△ACD中，由余弦定理AD=AC+CD-2 ACXCDcosC--+3-2X4X3X号-13.
高三数学参考答案及评分标准
2026.1
所以AD=/13。………13分
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
(17)(共14分)
(1)D
(2)C
(3)B
(4)B
(5)A
解：(I)如图，取PB中点F,连接AF,EF
(6)C
(7)A
(8)C
(9)B
(10)D
因为E是PC的中点，
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
(11)60
(12)4
所以EF∥BC,EF=2BC,
(13)2(答案不唯一)
因为M为AD的中点，
(15)①②④
所以AM∥BC.AM=号BC
三、解答题（共6小题，共85分）
所以AM∥EF,AM=EF
(16)(共13分)
所以四边形AMEF是平行四边形.
解：(I)由sin2A=3 cosAsinB,得2 sinAcosA=3 cosAsinB
所以ME∥AF.
因为△ABC为锐角三角形，所以cosA≠0.
因为ME￠平面PAB,AFC平面PAB,
所以2sinA=3sinB.
所以ME∥平面PAB.
…5分
由正弦定理AsmB'
a
(Ⅱ)如图，取BC中点N,连接MN.
因为底面ABCD是正方形，M为AD的中点，所以AD⊥MN
得2a=3b.
因为PA=PD,所以PM⊥AD.
由a=6,得b=4.…6分
因为平面PAD⊥平面ABCD,PMC平面PAD
(Ⅱ)选择条件②：△ABC的面积为6、3.
平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PM⊥平面ABCD.
因为△ABC的面积S=absinC,
因为MNC平面ABCD,所以PM⊥MN
得nC-8放smC-停
如图建立空间直角坐标系M一xy之，
则P(0,0,1),C(-1,2,0)A(1,0,0),B(1,2,0).
因为△ABC为锐角三角形，
因此AB=(0,2,0),PA=(1,0,-1),Cp=(1,-2,1),AC=(-2,2,0).
所以∠C=于
设平面PAB的法向量为m=(x,y,之)，则
m·A克=0，
2y=0,
在△ACD中，由余弦定理AD=AC+CD-2 ACXCDeosC=+32-2×4X3×2-13.
即
m·PA=0,x-之=0
所以AD=113.
…13分
令x=1,则之=1，y=0.
选择条件③：△ABC的周长为10+2√7.
所以平面PAB的法向量为m=(1,0,1).
因为a=6,b=4,△ABC的周长为10+2v7,
设CE=入C产=（入，-2λ，A),A∈[0,1]，
所以c=27.
则AE=(入-2,2-2λ，λ).
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高三数学
2026.1
本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在
试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项。
(1)已知集合A={x|x<1},B={x∈Z引-2≤2x≤4}，则A∩B=
(A){x|-1≤x<1}
(B){x|-1≤x<2}
(C){-1,0,1}
(D){-1,0}
(2)已知复数之=(2十)i,则|z=
(A)√2
(B)3
(C)√5
(D)5
(3)已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1=b=1,a2十b2=5,a3十b3=9,则a4=
(A)4
(B)7
(C)8
(D)15
(4)在中国古代桥梁的建筑中，有不少是世界桥梁
史上的创举.如图所示，某抛物线形拱桥的桥拱
跨度为10m,拱高为4m.以桥拱最高点为原
点，桥拱的对称轴为y轴，建立平面直角坐标
0 m
系，则桥拱所在的抛物线的标准方程为
(A)x2=-
25
(B)x2=-
25
(C)x2=-
25
ev
(D)x2=-25y
高三数学第1页（共6页）
(5)设函数f(x)=|x|十cosx,则
(A)f(x)是偶函数，且在区间(0，+∞)上单调递增
(B)f(x)是奇函数，且在区间(0，十∞)上单调递增
(C)f(x)是偶函数，且在区间(0，十∞)上单调递减
(D)f(x)是奇函数，且在区间(0，十∞)上单调递减
(6)已知圆经过点A(一2,4)，B(2,0),则圆心到原点的距离的最小值为
(A)1
(B)2
(C)√2
(D)22
x+2|,x
(7)设函数f(x)=
若f(x)在区间（一3,3）上的最大值为9，则a=
(x-2)2,x≥a.
(A)-1
(B)0
(C)1
(8)设函数f(x)=asinz+bcosx,则“f(x)的值域为[一1,1]”是“存在实数0，使得
f(x)=sin(x+)”的
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
(9)把物体放在空气中冷却，如果物体初始温度是A,℃，空气的温度是℃，那么tmi
后物体的温度（单位：℃）可由公式0=十(01一)e-:求得，其中冷却系数k是
一个随着物体与空气的接触状况而定的常数.现将一杯初始温度100℃的水置于
20℃的空气中冷却.水杯先在开盖状态下放置右min,随后加上盖子继续放置
t2min,此时水温降至40℃.已知在开盖状态和加盖状态下水杯中水的冷却系数
分别为0.05和0.01.若t1十t2=60,则t1的值约为
(参考数据：ln2≈0.70)
(A)10
(B)20
(C)30
(D)40
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