黑龙江省五校联盟2025-2026学年上学期期末高二数学试卷(含解析)

黑龙江省五校联盟学年度高二第一学期期末
数学试题
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上；
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效；
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回；
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B.
C. D.
2. 在空间直角坐标系中，点到轴的距离为（ ）
A.2 B.
C.1 D.4
3. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
4. 双曲线的一条渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 若数列满足，，则（ ）
A. -3 B.
C. D.2
6. 某体育场一角看台的座位共有十一排，从第一排到第十一排的座位数成等差数列，且前两排的座位数与后两排的座位数之和为80，则第六排的座位数为（ ）
A.16 B.18 C.20 D.22
7. 已知直线及抛物线上一动点，记到的距离为，则
的最小值为（ ）
A. B.2
C.4 D.
8. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，记载了如图所示的数表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，已知第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前35项和为（ ）
A.996 B.995 C.1014 D.1024
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 如图，直三棱柱的所有棱长均为1，E，F分别为，的中点，则（ ）
A.
B.
C. 在平面上的投影向量的模长为
D. 在上的投影向量为
10. 已知直线，直线，则下列选项正确的是（ ）
A. 直线过定点
B. 直线在轴上的截距为11
C. 若，则
D. 若，则
11. 已知数列的前项和为，，且，则（ ）
A.
B. 是等比数列
C. 数列的前100项和为5050
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 椭圆的短轴长为______。
13. 直线：与圆：相交于点，，则______。过轴上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为______。
14. 在数列和中，，，且不等式对任意恒成立，则的取值范围为______。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 在等差数列中，，。
（1）求的通项公式；
（2）若为正项等比数列，且，，求。
16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，，，，分别为棱，的中点。
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求平面与平面夹角的余弦值。
17. 在数列中，。
（1）求的通项公式。
（2）若数列的前项和为，证明：。
（3）若，求数列的前项和。
18. 在直角坐标系中，点到直线的距离比到点的距离大1，记动点的轨迹为曲线。
（1）求曲线的方程。
（2）已知经过点的直线与交于，两点，且。
（i）求直线的方程；
（ii）若经过点的直线（与不重合）与交于，两点，且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上。
19. 已知椭圆：的离心率为，焦点与短轴端点围成的四边形的面积为。
（1）求椭圆的标准方程。
（2）已知动直线过椭圆的左焦点，且与椭圆分别交于，两点。试问轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定值和点的坐标；若不存在，说明理由。
数学解析
1. 解因为的斜率为，所以的倾斜角为.
故选：A.
2. 解点到轴的距离为.
故选：B
3. 解对于A，因为，所以，，共面，故A错误；
对于B，假设，，共面，则存在实数，，使得，
，矛盾，即假设不成立，所以，，不共面，故B正确；
对于C，因为，所以，，共面，故C错误；
对于D，因为，所以，，共面，故D错误.
故选：B.
4. 解双曲线的实半轴长，虚半轴长，且焦点在轴上，
所以双曲线的渐近线方程为，即，则C正确，ABD错误.
故选：C
5. 解由题可知：，，
，，
所以数列是周期为4的数列，
所以，
故选：D
6. 解假设从第一排到第十一排的座位数成等差数列，则，
所以，得.
故选：C.
7. 解抛物线的焦点为，准线方程为，
根据抛物线的定义，点到焦点的距离等于到准线的距离，即，
所以，因为当时，最小，
所以，故的最小值是.
故选：B.
8. 解杨辉三角第行有个数，且数字之和为，去除两端的1后，第行剩余个数.
第2行去掉1后无数字，第3行去掉1后剩余1个数字，第4行去掉1后剩余2个数字，……，第行
掉1后剩余个数字；
那么，
当时，，即前9行去掉1后有28个数.
所以此数列的前35项应包含第10行前7个数字.
杨辉三角前行和为，
前9行和为，而前9行中两端的1共有（第1行1个，后面8行各2个）.
第10行数字为1，9，36，84，126，126，84，36，9，1，
去除首尾的1后为9，36，84，126，126，84，36，9，
前7个数字和为.
所以此数列的前35项和为.
故选：B.
9. 解，A正
，B错误；
过作，垂足为，易知，
根据直三棱柱的性质可知，
因为，，平面，
所以平面，
过作，垂足为，易知，
同理可得平面，
即在平面上的投影向量为，，C正确；
过作，垂足为，易知，过作，垂足为，
易知，即在上的投影向量为，D错误.
故选：AC
10. 解对于A，直线：，
整理得，
令，解得：，
∴直线过定点，故A正确；
对于B，直线：在轴上的截距，
令代入：得：
，解得，
∴直线在轴上的截距为，故B错误；
对于C，直线：，直线：，
∵，
∴，解得：，故C正确；
对于D ，直线：，直线：，
∵
∴，
解得：，故D错误.
故选：AC
11. 解由，得，则，
所以，所以是首项为，公比为3的等比数列．
由，得，
A选项，，，所以，A正确；
B选项，因为，不是常数，所以不是等比数列，B错误；
C选项，因为，所以是等差数列，
所以的前100项和为，C正确；
D选项，由，得，得，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故
，D正确．
故选：ACD
12. 解化成标准方程为：，
所以，，所以该椭圆的短轴长为；
故答案为：
13. 解：圆的方程为：，
圆心，半径，
圆心，到直线：的距离为：，
．
由切线性质，，
要使最小，需要最小，
点在轴上，设，
，
当时，取最小值3，
.
故答案为：，
14. 解设，
则.
易得函数为增函数．
由，，得，，
所以，故的取值范围为．
故答案为：
15. 解（1）
设的公差为．由得
所以．
（2）设的公比为．由
得（舍去），．
所以．
16. 解（1）
∵侧面底面，侧面底面，，
∴底面，
∵底面，∴，
以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
，，
异面直线与所成角的余弦值为。
（2）由（1）得，。
设平面的法向量为，
则令，则，，
得平面的法向量为。
易得平面的一个法向量为，
平面与平面夹角的余弦值为。
17. 解（1）
当时，，得。
当时，，
，
两式相减得，则。
当时，符合上式，
所以.
（2）证明：由（1）得，
所以，
故.
（3）由（1）得，
则，
，
所以
，
所以.
18. 解（1）
因为直线和之间的距离为1，
所以点到直线的距离与到点的距离相等，
由抛物线的定义可得动点的轨迹是以点为焦点的抛物线，
设曲线的方程为，，得，得，
故曲线的方程为；
（2）（i）设，，的方程为，
由，消去得，
所以，.
因为，
因此点的横坐标恒为，所以点在定直线上.
19. 解（1）
因为椭圆的离心率为，所以.
焦点与短轴端点围成的四边形为菱形，其面积为，即.
又，
联立解得，，，，
所以椭圆的标准方程为.
由（1）知，左焦点.
设直线方程为，，，.
则，.
联立，整理得.
，
所以，.
.
所以，即直线的方程为.
（ii）证明：由抛物线的对称性，不妨令点在轴上方，
由（i）知，，，
设的方程为，，，，
由，消去得，
所以，。
直线的斜率，方程为，
直线的斜率，方程为
由，消去得，
整理得
，
要使为定值，即与无关，
所以，解得，即，
此时。
所以定点，定值为。