安徽省合肥市合肥一中2025-2026学年上学期高三1月月考数学试卷(含解析)

安徽省合肥一中2025－2026年高三1月月考
数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合，，则
A. 　　 B. 　　　
C. 　　　 D.
2. 已知复数满足，其中为虚数单位，则
A.1　　　　　　 B.2　　　　　　
C. 　　　　　 D.
3. 双曲线过点，其两条渐近线的夹角为，则双曲线的方程为
A. 　　 B. 　　
C. 　　 D.
4. 已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则
A. －1　　　　　 B.1　　　　　　 C.3　　　　　　 D.7
5. 已知，，则
A. 　　　　　 B. 　　　　　
C. －2　　　　　　 D.
6. 已知正方形的边长为2，为边的中点，为边上一点，当时，
A. 　　　　　 B. 　　　　　
C. 　　　　　 D.
7. 在体积为的三棱锥中，，，平面平面，，，若点，，，都在球的表面上，则球的表面积为
A. 　　　　　 B. 　　　　　
C. 　　　　　 D.
8. 已知直线：，若曲线：上存在点与关于直线对称，则的取值范围为
A. 　　　　 B. 　　　　
C. 　　　　 D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 已知随机变量 ，若 ，，则
A. B.
C. D.
10. 已知抛物线 的焦点为 ，点 关于原点 的对称点为 ，第一象限内的点 ， 在 上，且 ，则
A. 点 的坐标为
B.
C. 直线 的斜率为
D. 直线 ， 关于 轴对称
11. 在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，，，则下列说法正确的是
A.
B. 若 为等腰三角形，则
C. 当 时，
D. 当 时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 已知等比数列 的各项均为正数，若 ，，则该等比数列 的公比为______。
13. 已知函数 恰有一个极小值点 和一个极大值点 ，设点 ，，则直线 的斜率为______。
14. 现有10个外表相同的袋子，里面均装有10个除颜色外其他无区别的小球，第 个袋中有 个红球， 个白球。现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个球取出后不放回）。则第三次取出白球的概率为______。
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.2025年12月，某校语文教师对学生提出“12月读一本书”的要求，每位学生都选择且只能选择《红楼梦》和《三国演义》中的一本，现随机调查该校男、女生各100人，整理得到 列联表如下。
《红楼梦》 《三国演义》
男生 30 70
女生 60 40
（1） 依据小概率值 的独立性检验，能否认为学生选择《红楼梦》还是《三国演义》与性别有关？
（2） 已知学生选择哪本书是相互独立的，用频率代替概率，从该校选择《红楼梦》的学生中随机抽取3人，抽到的女生人数设为 ，求 的分布列和数学期望。
参考公式：，其中 。
参考数据：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16. 已知函数 .
（1） 求 的单调性；
（2） 若 对任意 恒成立， 求实数 的取值范围.
17. 如图， 在四棱锥 中， ， 为等边三角形， 四边形 为直角梯形， ， ， .
(1) 证明: ;
（2） 若直线 与平面 所成的角为 . 求平面 和平面 所成角的余弦值.
18. 已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上。
（1） 求椭圆的方程；
（2） 过点且斜率不为的直线与椭圆相交于，两点。
（i） 若为原点，求面积的最大值；
（ii） 点，设点是线段上异于，的一点，直线，的斜率分别为，，且，求的值。
19. 已知数列的前项和为，且满足，。
（1） 求的通项公式；
（2） 当时，已知的导函数为。
其中。令。
（i） 设，，证明：；
（ii） 证明：对任意，有。
参考答案
1.B
【解析】因为 ， 解得 ， 所以 ，
因为 ， 解得 ， 所以 ，
所以 .
2.D
【解析】由 ， 得 ， ， ，
故 .
3.C
【解析】由两条渐近线的夹角为 ， 可得渐近线的倾斜角为 或 ，
由 可知双曲线的焦点在 轴上，
当渐近线的倾斜角为 时， 渐近线方程为 ， 点 在直线 的下方， 不可能
在该双曲线上， 不合题意；
当渐近线的倾斜角为 时， 渐近线方程为 ， 点 在直线 的上方， 此时
解得 ， 则双曲线的方程为 .
4.B
【解析】因为 是定义在 上的偶函数， 所以 . 又因为 ，
所以 ， 所以 ， 所以 的周期为 .
因为为 时， ， 所以 .
5.A
【解析】原等式 可化为 ， 即 ，
因为 ， 所以 ， 所以 ，
， ..
6.A
【解析】以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 建立平面直角坐标系如图所
示，
则 、，设 ，则 ，，故 ，。
所以 ，故
此时点 ，此时 。
7.A
【解析】如图，取 的中点 ，连接 ，，因为 ，，
所以 ，因此点 就是球心，又 ，
故 是等腰直角三角形，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
且 平面 ，所以 平面 ，
设球 半径为 ，则 ，，则 ，，
所以三棱锥 的体积 ，
所以 ，所以球 的表面积为 。
8.C
【解析】设点 关于直线 的对称点 ，则线段 的中点 在直线 上，
又 ，直线 的方向向量 ，而 ，
因此 ，即 ，
消去 得 ，
整理得 ，即 ，于是点 在以点 为圆心， 为半径的圆上，
而曲线 是以点 为圆心， 为半径的圆，，
依题意，点 在曲线 上，则曲线 与圆 有公共点，即这两个圆相交或相切，
因此 ，即 ，解得 ，
所以 的取值范围为 。
法二：直线 过定点 。设 的对称点为 ，则 ，故点 的轨迹为以 为圆心，半径为 的圆，方程为 。
9.ABC
【解析】因为随机变量 ，所以 ，故 正确；，故 正确；
因为随机变量 ，所以 ，，则 ，
故C正确；
又 ，故D错误.
10.BD
【解析】对于A，由抛物线的标准方程可知：，所以点E的坐标为 ，故A错误；
对于B，由 ，可得点A为线段EB的中点，点E为C的准线与x轴的交点，所以点A到准线的距离是点B到准线的距离的 ，由抛物线定义可得B正确；
对于C，设 ，，由点A为EB的中点，可得 ，，所以 ，又 ，联立解得 ，，所以 ，，所以 ，故C错误；
对于D，，，，故D正确.
11.BC
【解析】对于A，，即 ，
因为 ，故 ，故 ，故 ，A选项错误；
对于A，由对A选项的分析可知，当 为等腰三角形时， 为等边三角形，故 ，则 ，解得 ，故B选项正确；
对于C，当 时，，结合余弦定理 得 ，即 ，即 ，故C选项正确；
对于D，由 ，
又由对C选项分析可知，当 时，，代入 ，解得 ，
故 ，，代入 ，得 ，
故 ，即 ，故D选项错误.
12.
【解析】设等比数列 的公比为 ，因为 各项均为正数，若 ，，则 ，故该等比数列 的公比为 。
13.
【解析】由题意知 的定义域为 ，且 。
令 ，得 ，
此方程有两个不相等的实数根 ，，其中 ，，，
故直线AB的斜率为 （此处原文档可能未写完，按现有内容呈现）
，
即直线 的斜率为 。
14.
【解析】设选出的是第 个袋子，连续三次取球的方法数为 ，
第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形：
（白， 白， 白）：取法数为 ，
（白， 红， 白）：取法数为 ，
（红， 白， 白）：取法数为 ，
（红， 红， 白）：取法数为 ，
从而第三次取出的是白球的种数为：
，
则在第 个袋子中第三次取出的是白球的概率 ，而选到第 个袋子的概率为 ，
故所求概率为 。
15.（1） 因为 ，
所以依据小概率值 的独立性检验，可以认为学生选择《红楼梦》还是《三国演义》与性别有关。
（2） 由题可知， 的所有可能取值为 ，，，，
选择《红楼梦》的学生是女生的概率为 ，所以 。
所以 ，，
，，
所以 的分布列为
所以 。
16.（1） 函数 的定义域为 ，又 ，
令 ，得 ，当 时，，所以 在 上单调递增；当 时，，所以 在 上单调递减。
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 。
（2） 由 对任意 恒成立，得 对任意 恒成立，即 对任意 恒成立。
令 ，则有 ，显然 为增函数，可得 ，
则 ，所以 。由 （1） 可知 ，
所以 ，故 的取值范围为 。
7.（1） 取 的中点 ，连接 ，，
则 ，，
又 ，， 平面 ， 平面 ，
平面 ，．
故由 ，，， 平面 ，从而 平面 ．因为 平面 ，故 ．
（2）（i） 由 （1） 知 ，又 且 ，， 平面 ，
平面 ， 平面 ，，
又由 （1） 知： 平面 ，而 平面 ，
平面 平面 ，
过点 作 ，垂足为 ．
平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，
所以 与平面 所成的角为 ，即 ，
，，，
故四棱锥 的体积 ．
（ii） 以 为坐标原点，， 所在直线为 ， 轴，在平面 内，与 平行的线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，，，，
设平面 的法向量为 ，则 ，，
又平面 的法向量为 ，，，
所以，二面角 余弦值为 ．
18.（1） 由对称性知 ， 和 在椭圆 上， 所以
所以 ， 的方程为 .
（2） 方法一： 设直线 的方程为 ， 点 ， ，
由 消去 得： ，
则 ， 则 或 . ，
面积
令 ， 则 ， ，
当 ， 即 时， 面积的最大值为 .
方法二： 显然直线 的斜率 存在且非零， 设直线 的方程为 ， 点 ，，
由 消去 得： ，
则 ， ， 则 且 ，
. 点到直线 的距离 ，
所以 面积 .
令 ， 则 ，
当 ， 即 时， 的最大值为 ， 所以 面积的最大值为 .
方法三： 显然直线 的斜率 存在且非零， 设直线 的方程为 ， 点
， ，
由 ， 消去 得： ，
则 ，， 且 ，
。
点到线 的距离 ，所以 面积
。
，即当 时， 有最大值为 。
（ii） 因为 ，所以直线 ， 的倾斜角互补，所以 ，所以点 在线段 的垂直平分线上，所以 。
于是 ，
，。所以 ，
于是 ，因为 ，
所以 。所以 的值为 。
.（1） 由题意可知 。
因此
注意到 ，故 ，从而
化简可得 ，故 。故 为等差数列。
有 解得 ，故 。
（2）（i） 注意到
故对任意 ，，，，，故 在 上存在零点，
因此存在 个不同的零点，即 ，，，，故 ，故 ，。
注意到 ，，故只要证明：。
注意到 ，且 ，故
从而 ，故 。
（ii） 令 ，故 ，，
由 （i） 可知
从而 。
令
容易知道 关于 ， 都是单调递增的，且 。
由于 ，故只要证明：。
根据以上讨论可知，只要证明：当 ，，且 时，。
由
从而 ，不等式成立。
从而，若 ，取 ，使得 ，故
综上，结论成立。