专题一 证明三角形全等的基本思路
利用两个三角形全等,能够证明若干线段或角相等有关的几何问题.那么,对于我们所要考
虑的两个三角形,如何证明它们全等呢
一般来讲,应根据题设并结合图形,先确定两个三角形已知相等的边或角,然后按照判定定
理,寻找并证明还缺少的条件.其基本思路:
1.有两边对应相等,找夹角对应相等,或第三边对应相等.前者利用SAS判定,后者利用
SSS判定.
思路1 找已知两边的夹角对应相等,利用“SAS”探索.
例1 已知:如图,AB=AC,AE=AD,点D,E 分别在AB,AC 上.∠B 与∠C 相等吗 为什么
解析:欲知∠B=∠C,应探索△CAD≌△BAE.由于已有AB=AC,AE=AD,找一找是否对应
边的夹角∠CAD=∠BAE.它们是公共角.所以△CAD≌△BAE,故∠B 与∠C 相等.
思路2 找第三边对应相等,利用“SSS”探索.
例2 “三月三,放风筝”.如图是小明制作的风筝.他根据DE=DF,EH=FH,不用度量,就知
道∠E=∠F.请你用所学的知识给予证明.
解析:欲知∠E=∠F,应探索△DEH≌△DFH,为此连接DH.由于已有DE=DF,EH=FH,
找一找是否第三边DH=DH.由于它们是公共边,故成立.
2.有两角对应相等,找夹边对应相等,或任一等角的对边对应相等.前者利用ASA判定,后
者利用AAS判定.
例3 如图,在△ABC 中,∠B=∠C,说明AB=AC.
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解析:作∠BAC 的平分线AD,交BC 于点D,由∠BAD=∠CAD,∠B=∠C,再找出∠B 和
∠C 的对边AD=AD,得△ABD≌△ACD(AAS),所以AB=AC.
另外,当有一边和该边的对角对应相等,找另一角对应相等,利用AAS判定.当有一边和该
边的邻角对应相等,找夹角的另一边对应相等,或另一角对应相等,前者利用SAS判定,后者利
用AAS或ASA判定.
1.已知,如图所示,AB=AC,BD=CD,DE⊥AB 于点E,DF⊥AC 于点F,求证:DE=DF.
2.如图,已知AB=DC,DB=AC.
(1)求证:∠ABD=∠DCA.注:证明过程要求给出每一步结论成立的依据;
(2)在(1)的证明过程中,需要作辅助线,它的意图是什么
3.如图,在四边形ABCD 中,DE∥AB 交BC 于点E,AF∥DC 交BC 于点F(点E 在点F 左
侧),BE=FC.
(1)求证:△ABF≌△DEC;
(2)当BE=EF,AD=3时,求BC 的长.
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专题二 照镜子中的数学
镜子中的物像对物体来说,究竟改变了什么 没有改变什么 下文从镜子在不同位置时对
物体的改变以及镜子中的时钟问题的解决方法给同学们作简单介绍.
题引:小明在镜子中看到的时钟的指针如图甲所示,那么此时是什么时刻
解法一:“反看正读法”,如图甲,从题目纸的背面看图,再采用常规的读数方法,即可读出此
时的时刻是11:35;
解法二:“正看逆读法”,如图乙,按逆时针方向读数,图上的数也按逆时针方向从小到大排
列,也能直接读出11:35;
解法三:“12扣除法”,如图丙,将时钟上的时间按常规读出后,再从12中减去这个时间,即用
常规读得0:25,则实际时间是12:00-0:25=11:35;
解法四:“对称法”,如图丁,平面镜成像的特点之一,像与物体左右颠倒,分别作出时针和分
针以过6点和12点的直线为对称轴的指针,从而得出该时刻的时间为11:35.
点评:当在物体旁放一面镜子时,镜子中的物像和物体到镜面的距离相等,即像物等距;像与物的
大小相同,也就是像物等大.根据轴对称的意义,可知像与物体成轴对称.
平面图形在镜子中的成像原理如图所示,正中间的图形代表原图形,长方
形四边的虚线代表图形上下左右四个方向的镜子,四周的图形表示图形在镜子
中所成的物像.
(1)当镜子与图形垂直,且镜子在图形的正左边(或正右边)时,图形与它所
成的像上下位置不变,左右位置颠倒;
(2)当镜子与图形垂直,且镜子在图形的正上方(或正下方)时,图形与它所
成的像左右位置不变,上下位置颠倒;
(3)当镜子与图形平行,所成的像与镜子在图形左边或右边所成的像完全相同.
著名数学家赫尔曼·外尔说:“对称是一种思想,通过它,人们毕生追求,并创造次序、美丽和完
善……”通过上例可以看出,对称不仅是一种美的思想,还和生活中的一些最优化问题紧密相连.
小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示,实际时间是 ( )
A . 21 :1 0 B . 10 :2 1
C.10:51 D.12:01
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专题三 以本为本看最短距离
同学们都知道“两点之间线段最短”,是解决最短距离问题的依据,在实际问题中,我们常碰
到求不在一条直线上的两条或三条线段和的最小值问题,要解决这类问题,可借助轴对称的性
质,将不在同一直线上的线段和转化为两点之间的距离问题.
题引:如图,点A,B 在直线l的同侧,点B'是点B 关于l的对称点,AB'交l于点P.
(1)AB'与AP+PB 相等吗 为什么
(2)在l上再取一点Q,并连接AQ 与QB,比较AQ+QB 与AP+PB 的大小,并说明理由.
这是一道利用轴对称的知识求得最短距离,在近年的中考中,利用这个性质求最短距离的试
题时有出现,试题虽然花样翻新,但其实质还是一样的,下面举几个例子说明.
例1 如图①,已知牧马营地在点M 处,每天牧马人要赶着马群到河边饮水.
(1)求到河边饮水的最短路线;
(2)如果饮完水后,需再到草地吃草,然后回到营地,试设计出最短的牧马路线图.
解析:这是一道实际问题,从中抽象出数学问题是解题的首要.(1)可抽象为点M 到直线a的最
短距离;(2)可抽象得到这样的数学模型:直线a,b间有一点M,试分别在a,b上求出两点,使点
M 与这两点构成的三角形的周长最短.要求周长最短,即要求三条线段的和最小,结合题意,可
利用轴对称的性质转化为两点之间线段最短的问题.
解:(1)如图②,过点M 作MP⊥a于点P,MP 即为最短路线;
(2)如图③,分别作点M 关于a,b的对称点A,B,连接AB 分别交a,b于点C,D,则最短的牧马
路线为:M→C→D→M.
点评:(1)利用垂线段最短获解;(2)点A,M 关于直线a对称,则可得到CA=CM,同理DM=
DB,所以MC+CD+DM=AC+CD+DB,这实际上将△MCD 的周长,即三条不在同一直线
上的线段和转化成了两点之间的距离问题,由于“两点之间,线段最短”,因此连接AB 与直线a,b
的交点即为所求的两点.
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例2 如图,某住宅小区拟在休闲场地的三条道路上修建三个凉亭A,B,C,且
凉亭与长廊两两连通.如果凉亭A,B 的位置已经选定,那么凉亭C 建在什么
位置,才能使工程造价最低 请用尺规作出图形(不写作法,但保留作图痕迹),
并简要说明理由.
解析:要使工程造价最低,必须使长廊最短,如下图所示.
作法:
1.作点A 关于直线n的对称点A'(如下图);
2.连接A'B 交n于点C;点C 就是所求的点.
理由:在直线n上任意取异于点C的点P,连接CA,PA,PA',PB,AB.由作图可知,直线n是
线段AA'的对称轴.所以PA=PA',CA=CA',在△PBA'中,PB+PA'>BA',即PA+PB>CB+
CA,所以PB+PA+AB>CB+CA+AB,即CB+CA+AB 最小.所以点C即为所求.
点评:换了一种情境的考查是这类试题最常用的考查方式,在不失兴趣的情况下,让学生能够将
所学习的数学知识应用到生活中去,也体现了一种课标理念.
1.已知A,B 两点在直线l的两侧,请你在直线l上求一点P,使|PA-PB|的值最大,并说明
理由.
2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,AC=4,P 是AB 边上的动点
(不与点B重合),将△BCP沿CP所在的直线翻折,得到△B'CP,连接B'A,则
B'A 长度的最小值是 .
3.如图,已知∠MON 内有一点A,求作一个△ABC,使其周长最小,且点B,C 分别在OM,
ON 上.
27
专题四 整体思想在分式求值中的应用
例1 若分式 2 的值为1,则 12 2 的值为 (2 +3 +7 4 4 +6 -1
)
y y y y
A.1 B.-1 C.-17 D.7
解析:由观察可以发现,已知分式中的2y2+3y 与所求式中的4y2+6y 有联系,可以将所给条件
进行适当变形,就可得到4y2+6y,然后整体代入即可求得所求式的值.
由已知 2 =1得2y22 2+3 +7 4 +3y+7=8
,2y2+3y=1,4y2+6y=2,所以
1
y y 4y2+6y-1
=
1
2-1=1
,故选A.
例2 已知1+1=4,则 4a+3ab+4ba b -3a+2ab-3b= .
解析:由已知可得到a+b与ab的关系式,所求式通过分解因式可得到用a+b与ab表示的表达
式,然后将a+b用ab代换即可求出所求式的值.
由已知得a+b , ,4a+3ab+4b 4(a+b)+3ab 4·4ab+3ab
ab =4 ∴a+b=4ab -3a+2ab-3b=-3(a+b)+2ab=-3·4ab+2ab=
-1910.
例3 已知1+1=1,1+1=1,1+1=1,求 abc 的值a b 6b c 9a c 15 ab+ac+bc .
解析:将所求式分子、分母同除以abc可得到 1 ,故只要将已知式变换出11 1 1 a+
1 1即可
+ + b
+c .
a b c
因为1
a+
1
b=
1①,16 b+
1=1②,1+1=1③,将 、 、c 9 a c 15 ① ② ③
左、右分别相加,得2 1+1+1a b c =
1+1+1,所以1+1+1=31,所以 abc 1 1806 9 15 a b c 180 ab+ac+bc=1 1 1=31.
c+b+a
2 2
1.如果x+1=2,则 x4 2 的值是多少 x x +x +1 2.
已知 a2 ,求
a 的值
a -a+1=7 a4+a2+1 .
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专题五 分式求值有巧法
根据所给条件求分式的值,是分式这部分内容中的一个重点.一般的题目可采用先化简、后
求值的方法,但对于一些特殊情况,若采用适当的方法,就会收到事半功倍的效果.
一、巧设k值
例1 已知x=y=z,求x
2-2y2+3z2的值
2 3 4 xy+2yz+3xz .
解析:本题有多元比例关系,可引进辅助未知数(即参数)k,使之转化为一元的问题,最后消掉k
而得解,体现了通过设中间量来达到化简求值的目的.
设x
2=
y
3=
z
4=k
,则x=2k,y=3k,z=4k.
(
原式= 2k
)2-2(3k)2+3(4k)2 34k2 17
(2k)(3k)+2(3k)(4k)+3(2k)(4k)=54k2=27.
点评:在解答有关含有比例式的题目时,设参数(辅助未知数)求解是一种常用的方法.
二、巧用整体思想
例2 已知1a-
1=3,求2a+3ab-2b的值b a-2ab-b .
解析:本题可以将已知条件变形,得到a-b=-3ab,然后代入原式即可.
由1-1=3,可以得到a-b=-3ab,把它们代入2a+3ab-2b,得a b a-2ab-b
原式=2
(a-b)+3ab=-6ab+3ab 3(a-b)-2ab -3ab-2ab=5.
点评:本题也可以将要求的分式的分子与分母根据分式的基本性质都除以ab,然后借助已知条
件求解,请同学们自己完成.
三、巧取倒数
例3 已知 ab 1,bc 1,ac 1,求 abc 的值a+b=3b+c=4a+c=5 ab+ac+bc .
解析:本题把已知条件取倒数,可得1+1,1+1,1+1的值,把所要求值的分式取倒数可以化a b b c a c
成分式1+1+1,从而达到解决问题的目的a b c .
将已知条件的两边分别取倒数,得
29
a+b , =3 1+1ab a b=3①
,
b+c
=4,即 1 +1=4②,bc b c
a+c
ac =5
, 1+1=5③.
a c
(①+②+③)÷2,得1+1+1=6.把求值式取倒数化简为1 1 1a b c c+b+a.
所以 abc 1
ab+ac+bc=6.
点评:在进行某些分式求值时,有时会出现条件或所求分式不易化简变形的问题,但如果把该式
的分子、分母颠倒后,变形就会容易了,此类问题通常采用倒数法来解决.在解题时要注意灵活
掌握.
四、巧消辅助元
例4 已知x+ +z=0,且xz≠0,则 1 + 1 1y y y2+z2-x2 z2+x2-y2
+x2+y2-z2
= .
解析:由已知条件可得x=-(y+z),y=-(x+z),z=-(x+y),代入所求式,得
原式= 1 1 1
y2+z2-(
+ +
y+z)2 z2+x2-(x+z)2 x2+y2-(x+y)2
= 1 1 1
y2+z2-y2-2
+
yz-z2 z2+x2-x2-2xz-z2
+x2+y2-x2-2xy-y2
=- 1 1 12yz+2xz+2xy
=-x+y+z2xyz =0
点评:当题目中所提供的式子有等于0的条件出现时,通过把所求分式进行变形,使之出现相应
的式子是解答此类问题的关键.
1.已知 a+b 3,求3a+4b的值2a+3b=8 2a+b .
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2.已知xyz≠0,x+y+z=0,求y
+z+x+z+x+y的值x y z .
3.已知a=b=c,求a+b-c的值b c a a-b+c .
2
4.先化简,再求值:a-ba ÷ a-
2ab-b
a ,其中a=2,b=2-3.
5.已知x2+x-1=0.
(1)求x-1的值;x
(2)x2+12的值x .
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专题六 构造全等三角形 巧解数学题
全等三角形是中学数学的重要内容之一,在解题中有着极其广泛的应用.然而在许多题目
中,给定的题设条件及图形并不具有明显的全等条件,这就需要我们根据已有的知识经验,认真
分析,仔细观察,依据图形的结构特征,通过添加适当的辅助线,巧妙地构造出全等三角形,迅速
找到解题途径,从而使问题迎刃而解.确实有“山重水复疑无路,柳暗花明又一村”的感觉.现举例
如下,供同学们参考.
一、遇见倍长、倍角用平分
采用平分边(或角)的方法,构造出全等的三角形.然后利用所学的知识来解决问题.
例1 如图,在△ABC 中,∠B=2∠A,AB=2BC.求证:AC⊥BC.
解析:作∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D,
因为∠ABC=2∠A,∠ABC=2∠1=2∠2,所以∠A=∠1=∠2,
即△ABD 为等腰三角形.
再取AB 中点E,连接DE,根据等腰三角形的性质,可以得到DE⊥AB.
在△BDE 和△BDC 中,BE=12AB=BC
,∠1=∠2,BD=BD,
所以△BDE≌△BDC,
由全等三角形的对应角相等,得到∠BED=∠BCD=90°,即AC⊥BC.
点评:本题证明的是垂直关系,虽然题目中不知任何角的度数,但已知条件中有边、角的倍数关
系,可通过平分构造出等腰三角形和全等三角形从而使问题得到解决.
二、遇见角的平分线,构成等腰三角形
有角的平分线又有高,想到可以构成等腰三角形.
例2 如图,等腰Rt△ABC 中,∠A=90°,∠B 的平分线交AC 于点D,过C 作BD 的垂线交BD
的延长线于点E.求证:BD=2CE.
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解析:延长CE,BA 交于点F,因为BE 平分∠CBF,BE⊥CF,所以△BCF 为等腰三角形,因为
∠FBE=∠CBE,BE⊥CF,CE=EF,所以E 是CF 的中点,即CF=2CE.在Rt△ABD 和
Rt△ACF 中,∠BAD=∠CAF=90°,AB=AC,∠ABD=90°-∠F=∠ACF,所以Rt△ABD≌
Rt△ACF,所以BD=CF=2CE.
点评:本题证明的两边存在两倍的关系,由于不在一个三角形中,所以想到通过一个中间量来代
换,有角的平分线又有垂直,所以转化到一个等腰三角形中进行解决.
三、遇见中线,延长中线一倍得到全等三角形
采用倍长是解决有关三角形中线的题型最常用的方法.
例3 如图,在△ABC 中,AD 是BC 边的中线.则 ( )
A.AB+AC<2AD B.AB+AC>2AD
C.AB+AC=2AD D.以上都不对
解析:延长AD 至点E,使DE=AD,连接BE,在△BDE 和△CDA 中,DE=AD,∠BDE=
∠CDA,BD=CD,所以△BDE≌△CDA,所以BE=CA,在△ABE 中,AB+BE>AE,而BE
=AC,AE=2AD,所以AB+AC>2AD.故选B.
点评:本题实际上是把中线的两倍与原三角形的一边转化到一个三角形中,利用三角形的三边关
系定理进行解决.
四、遇见中垂线,连接线段的两端点得三角形全等
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,这一性质在题目中有中垂线的条件时最
常用到.
例4 如图,在△ABC 中,D 为BC 边的中点,DE⊥BC 交∠BAC 的平分线于点E,EF⊥AB 交
AB 于点F,EG⊥AC 交AC 的延长线于点G.求证:BF=CG.
解析:连接EB,EC,因为D 为BC 边的中点,DE⊥BC,所以EB=EC.
又因为AE 为∠BAC 的平分线,且EF⊥AB,EG⊥AC,所以EF=EG,在Rt△EBF 和
Rt△ECG 中,EB=EC,EF=EG,所以Rt△EBF≌Rt△ECG,所以BF=CG.
点评:本题实际上就是构造出以要证相等的两条边为对应边的全等三角形.由中垂线很自然地想
到连接线段的两端点.
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五、利用平移构造全等三角形
例5 如图所示,四边形ABCD 中,AC 平分∠DAB,若AB>AD,DC=BC,求证:∠B+∠D
=180°.
解析:利用角平分线构造三角形,将∠D 转移到∠AEC,而∠AEC 与∠CEB 互补,∠CEB=
∠B,使问题得到解决.在AB 上截取AE=AD,
在△ADC 与△AEC 中,
AD=AE,
∠DAC=∠EAC,
AC=AC,
所以△ADC≌△AEC,所以∠D=∠AEC,DC=EC.
因为DC=BC,所以CE=BC,∠CEB=∠B,
又因为∠CEB+∠AEC=180°,所以∠B+∠D=180°.
点评 当有相等的边不在同一个三角形中时,通常采用平移的方法,把线(或角)转移到一个三角
形中使问题得到解决.
六、利用翻折构造全等三角形
例6 如图,已知△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90°,BD 平分∠ABC.求证:AB=BC+CD.
解析:∵BD 平分∠ABC,将△BCD 沿BD 翻折后,点C 落在AB 上的点E,则有BE=BC,
在△BCD 与△BED 中,
BC=BE,
∠CBD=∠EBD,
BD=BD,
∴△BCD≌△BED,
∴∠DEA=∠DEB=∠ACB=90°,CD=DE.
∵在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90°,∴∠A=45°,∴∠EDA=∠A=45°,
∴DE=EA,
∴AB=BE+EA=BC+CD.
34
点评:在几何解题中若遇到角平分线时,通常利用角的对称性,在角的两边截取相等的两部分构
造全等三角形求解.
1.如图,在△ABC 中,∠ACB=2∠B,求证:2AC>AB.
2.如图,AD 为△ABC 中BC 上的中线.BF 分别交AC,AD 于点F,E,且AF=EF.求证:BE
=AC.
3.如图,△ABC 中,∠C=2∠A,BD 平分∠ABC 交AC 于点D,求证:AB=CD+BC.
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专题七 用多边形的外角和定理解题
多边形的外角和是指在多边形的每个顶点处只取一个外角,它们的和都等于360°.由同一顶
点处的外角与内角的互补关系以及多边形的内角和定理,可以比较容易地得出:任意多边形的外
角和都等于360°.如果能灵活地运用多边形的这一性质,会使许多问题得到巧解.现举例如下:
一、求角的度数(或个数)
例1 如图,一个四边形的三个外角分别为110°,85°,30°.求∠a的度数.
解析:因为∠a的外角为180°-∠a,由外角和定理知:
180°-∠a+110°+85°+30°=360°,所以∠a=45°.
二、求多边形的边数
例2 一个多边形的每个外角都等于45°,求它的边数.
解析:设此多边形的边数为n,由题意得:45°n=360°,解得n=8,故所求多边形是八边形.
三、其他情况
例3 若凸(4n+2)边形A1A2A3…A4n+2(n为正整数)的每一个内角都是30°的整倍数,且∠A1
=∠A2=∠A3=90°,则n的所有可能值是多少
解析:因为外角与相邻内角的互补关系,内角是30°的整倍数,所以外角也是30°的整倍数.
∠A1=∠A2=∠A3=90°,它们的外角也是90°,所以其余(4n-1)个外角的和为360°-
270°=90°,因为外角也是30°的整倍数,所以4n-1≤90°,即30° 4n-1≤3
,n≤1,所以n只能为1.
一个多边形的最小内角为95°,其他内角依次多10°,求这个多边形的边数.
36第一部分 回溯精学 ∠ACE+∠ADB+∠ECD+∠BDC=∠CAD+∠ACD+∠ADC=180°.
第十三章过关测试卷 答:∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E 等于180°,没
有变化;
(三角形) (3)∵∠ECD 是△BCE 的一个外角,
一、1.A 2.B 3.D 4.A 5.B 6.D 7.B ∴∠ECD=∠B+∠E(三角形的一个外角等于它
8.C 9.D 10.C 不相邻的两个内角的和),
二、11.3
16.6,4或5,5 17.2b-2a 18.5≤y<8 19.15 ∠ACE+ ∠D + ∠ECD =∠CAD + ∠ACD +
或16或17 ∠D=180°.
三、20.解:在△ABD 中,∵DA⊥AB,∴∠A=90°,又 答:∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E 等于
∠1=60°,∴∠ABD=90°-∠1=30°.∵BD 平分 180°,没有变化.
∠ABC,∴∠CBD=∠ABD=30°.在△BDC 中, 第十四章过关测试卷
∠C=180°-(∠BDC+∠CBD)=180°-(80°+
) (全等三角形)30°=70°.
21.解:设此多边形的边数为n,由题意得:72n=360, 一、1.C 2.D 3.D 4.B 5.B 6.C 7.C
解得n=5,故所求多边形是五边形. 8.C 9.C 10.C
22.解:∵∠ADC=∠B+∠BAD,且∠ADC=2∠B, 二、11.角平分线 12.100° 13.乙、丙 14.5
∴∠B=∠BAD. 15.∠C=∠E(答案不唯一,也可以是AB=FD
∵AD 是△ABC的角平分线,∴∠BAC=2∠BAD= 或AD=FB) 16.2 17.7 18.垂直 19.50°
2∠B. 三、20.解:这对全等三角形为:△ABE≌△ADC,
∵∠BAC+∠B+∠C=180°(三角形内角和定 理由如下:
理),∠C=75°,∴∠B=35°,∴∠BAC=70°. ∵∠BAM=∠BND,∠BMA=∠DMN,
23.(1)如图所示; ∴∠ABE =∠ADC(三角形三个内角的和等
于180°).
∵∠BAM=∠EAC,
∴∠BAM+∠DAE=∠EAC+∠DAE,
即∠BAE=∠DAC.
又∵AC=AE,
∴△ABE≌△ADC.
21.如图所示:
(2)证明:
∵∠A=∠B,∠BCD是△ABC的外角,
∴∠BCD=∠A+∠B=2∠B.
∵CE 是外角∠BCD 的平分线,
∴∠BCE=1 1 ,2∠BCD=2×2∠B=∠B
∴CE∥AB(内错角相等,两直线平行).
24.解:(1)连接C,D 两点,得线段CD.BD,EC 交于
O点. 22.证明:(1)∵∠A+∠B=90°,∠A=∠D,
∵∠COD=∠BOE(对顶角相等), ∴∠D+∠B=90°,即AB⊥ED;
∴∠B+∠E=∠ECD+∠BDC(等量代换), (2)若PB=BC,则Rt△ABC≌Rt△DBP.
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠ACE+ ∵∠B=∠B,∠BPD=∠BCA=90°,PB=BC,
∠ADB+ ∠ECD + ∠BDC= ∠A + ∠ACD + ∴Rt△ABC≌Rt△DBP.
∠ADC=180°; 23.解:(1)△AQC≌△PAB.利用等角的余角相等,得出
(2)连接C,D 两点,得线段CD.BD,EC 交于 ∠ACQ=∠PBA,再用“SAS”证明△AQC≌△PAB;
O 点. (2)AQ⊥AP,∵ ∠PAB= ∠AQC,∠AQC+
∵∠COD=∠BOE(对顶角相等), ∠QAB=90°,
∴∠B+∠E=∠ECD+∠BDC(等量代换), ∴∠PAB+∠QAB=90°,
∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠CAD+ 即AQ⊥AP.
1
24.(1)证明:在AB 上截取AE=AC,连接ED. ()原式
∵AD 平分∠BAC,∴∠EAD=∠CAD. 2 =-ab
,当a=1,2b=-
1时,原式
3 =-
1
2×
∵AE=AC,∠EAD=∠CAD,AD=AD, 1
∴△AED≌△ACD,∴∠C=∠AED>∠B; -3 =16.
(2)解:∵△AED≌△ACD,∴ED=CD. 15.解:(1)代数式的值与t的取值没有关系,与s的取
∵BE=AB-AE=AB-AC=2,∴△BED 的周 值有关系.理由如下:
长=BE+BD+ED=BE+BC=5.
∵ s-2t s+2t+1 +4tt+1 =s2+2st+s-
第十五章过关测试卷 2
( ) 2st-4t
2-2t+4t2+2t=s2+s,∴代数式的值与t
轴对称 的取值没有关系,与s的取值有关系;
一、1.D 2.B 3.C 4.D 5.D 6.C 7.B (2) ax-b 2x2-x+2 =2ax3-ax2+2ax-
8.C 9.B 10.D 2bx2+bx-2b=2ax3- a+2b x2+(2a+b)x-
二、11.20 12.18° 13.1:30 2b,∵展开式中不含x 的一次项,且常数项为-4,
14.D 只有图形D有四条对称轴,其余三个图形 ∴2a+b=0,-2b=-4,∴a=-1,b=2.∴ab=1.
只有一条对称轴 16.解:(1)∵a2+b2=8, a+b 2=48,∴ab=
15.①②③⑤ 16.30°或150° 30°、90°或150° a+b 2- a2+b2 48-8
17.12或6 18.12 19.5cm 2 = 2 =20.
故答案为20;
三、20.如图所示. (2)∵a2+b2= a+b 2-2ab,
∴ 25-x 2+ x-10 2
= 25-x + x-10 2-2 25-x x-10
=152-2× -15 =225+30=255;
(3)设AD=AC=a,BE=BC=b,则题图中阴影部
分的面积为 1
2 a+b a+b -
1(a22 +b
2)=
(1) (2) 1[( )2 (2 2)] 1
a+b -a +b = ×2ab=ab=10.
21.(1)证明:在△ABC和△DCB 中, 2 2
∵AB=DC,AC=DB,BC=CB, 第十七章过关测试卷
∴△ABC≌△DCB;
() (因式分解)2等腰三角形
22.(1)O(0,0)、A(-2,1)、B(-3,3)、C(-1,2); 一、1.D 2.A 3.D 4.C 5.D 6.A 7.C 8.C
(2)如图所示: 二、9.9900 10.(x+3y)(x-3y) 11.1
12.4a(a-4) 13.(x+1)(x-6) 14.70 15.16
16.6 1332
三、17.(1)(3y+2)(2y-5) (2)(2x+y)(4x-3y)
18.解:(1)原式=(a2-ab)+(ac-bc)=a(a-b)+
c(a-b)=(a-b)(a+c);
(2)原式=x2- 4y2-4yz+z2 =x2-(2y-z)2=
() x+2y-z
(x-2y+z).
3四边形与原四边形关于y轴对称.
19.解:(1)x2-16x+60=x2-16x+64-4= x-8 2-
23.AD 的长为6cm. 2
(
图略 解:过C 点作 BCD B,交 AB 于 2=x-8-2
)(x-8+2)=(x-10)(x-6);
24. . ∠ =∠
, (2)-x
2
D 点 +14x+10=-
x2-14x +10=-(x2-
∴DB=DC, 14x+7
2-72)+10=- x-7 2+49+10=
∴∠ADC=∠BCD+∠B=40°. - x-7
2+59;∵- x-7 2≤0,∴- x-7 2+
∵∠A=100°,∴∠ACD=40°, 59≤59,∴代数式-x
2+14x+10的最大值为59,
∴△ADC是等腰三角形. 此时x=7;(3)∵a2+2b2+c2=2ab+4b+6c-13,∴a2-2ab+
第十六章过关测试卷 b2+b2-4b+4+c2-6c+9=0,即 a-b 2+
(整式的乘法) b-2 2+ c-3 2=0,∴a-b=0,b-2=0,c-
一、1.B 2.B 3.D 4.D 5.A 6.A 7.D 8.C 3=0,∴a=b=2,c=3,∴△ABC是等腰三角形.
二、9.±6 10.49 11.-15 12.-28 20.解:(1)a
2-2a-3=a2-2a+1-4= a-1 2-4=
三、13.(1)9x6y3 (2)-6a6 (3)a6b3+1 (a-1-2)(a-1+2)=(a-3)(a+1);
(4)x2+4x+4-9 2 (2)∵a2+b2y =4a+12b-40,∴a
2-4a+4+b2-
,即 2 2 , ,
14.解:(1)原式=4x-1,当x=3时, 3 ;
12b+36=0 a-2 + b-6 =0 ∴a=2
原式
2 =4×2-1=5 b=6,∵a,b,c 是△ABC 的三边长,∴42
∵a,b,c都是整数,∴边长c的最小值为5; 故第一批购进这种休闲衫2000件,第二批购进了
(3)∵-x2+2xy-2y2+6y+7=-(x2-2xy+ 4000件;
2y2-6y-7)=-(x2-2xy+y2+y2-6y+9- (2)设这两笔生意共盈利y元,可列方程为:
16)=-[(x-y)2+(y-3)2-16]=-(x-y)2- y=[58×(2000+4000-150)+80%×58×150]-
(y-3)2 +16,∵ (x-y)2 ≥0,(y-3)2 ≥0, (80000+176000),
∴-(x-y)2≤0,-(y-3)2≤0,∴当x=y=3时, 解得y=90260.
代数式有最大值,最大值为16.
21.(1)147 第二部分 融汇跃升
(2)解:设另一个因式为(x+b),得2x2+ax-
( )( ), 专题一 证明三角形全等的基本思路6=2x-3 x+b
∵(2x-3)(x+b)=2x(x+b)-3(x+b)=2x2+ 1.证明:连接AD.
2bx-3x-3b=2x2+(2b-3)x-3b,∴2x2+ax- ∵AB=AC,BD=CD,AD=AD,
6=2x2+(2b-3)x-3b,∴由等式恒等原理可知: ∴△ABD≌△ACD,
①式为:-3b=-6,②式为:a=2b-3,由①②解 ∴∠BAD=∠CAD,
得:b=2,a=1,∴另一个因式为(x+2). ∴AD 是∠EAF 的平分线.
第十八章过关测试卷 又∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF.
(分式) 2.(1)证明:连接AD,
一、1.C 2.C 3.A 4.C 5.B 6.D 7.D 在△BAD 和△CDA 中,
8.D 9.B 10.D AB=DC,
DB=AC,
二、11.≠2 12.答案不唯一,如:a 3-4xb+3 13.x2-x+3 AD=DA,
1 12 ∴△BAD≌△CDA,14.x(x+1) 15.3 16.7 17.1 18.3
(x- ∴∠ABD=∠DCA(全等三角形对应角相等);
1487 1487 (2)作辅助线的意图是构造全等的三角形即两个三3),3(3-x) 19. x -x+70=3 角形的公共边.
、 ()证明: , ,三 20.解:(1)- 2 (2)1 3.1 ∵DE∥AB AF∥DCm+3 2y2 ∴∠B=∠DEC,∠AFB=∠C.
2
21.解:原式=x -4
( )( ) ,
x-2×
1 x+2 x-2 ∵BE=FC
x2+2x= x-2 × ∴BE+EF=FC+EF.即BF=EC.
1 1 ,
( )= ,当x=1时,原式=1.答案不唯一,
∠B=∠DEC
xx+2 x 在△ABF 和△DEC中,BF=EC,
x可以取除0,2,-2以外的数. ∠AFB=∠C,
2 2
22.解:(1)由题意可知A= a -b ·a+2b ∴△ABF≌△DEC
;
a2+4ab+4b2 a+b= (2)解:由(1)△ABF≌△DEC得:AB=DE.
a-b ;() , 四边形 为平行四边形,2当a=4, 时,a+2b b=3 A=
4-3 =1. ∵AB∥DE ∴ ABED4+2×3 10 ∴BE=AD=3.
: ,23.解 由题意得2x+2=4,解得 11
同理 四边形
x= . AFCD
为平行四边形,
3x-5 5 ∴FC=AD=3.
经检验x=11是原方程的解5 .
∵EF=BE=3,
∴BC=9.
∴x的值为11
5. 专题二 照镜子中的数学
24.解:去分母,得3x=a(x-2)+4, C
∴(3-a)x=4-2a,∴x=4-2a,3-a 专题三 以本为本看最短距离
(1)当3-a=0时,无解,此时a=3; 1.解:作点B 关于直线l的对称点B1,连接B1A 交直
(2)因为x=0或2时,分式无意义,所以x=4-2a 线l于点P,则点P 即为所求的点,如图所示.3-a
=0或2,此时a=2.
综上所述,a=2或3.
25.解:(1)设第一批购进x件这种休闲衫,则第二批购
进了2x件,依题意可得:
176000
2x -
80000
x =4
,解得x=2000.
3
2.1 2 1
3.解:
,
图略(提示:要使△ABC 周长最小,我们可作点 ∴x -2+x2=1
A 关于OM 的对称点A1,关于ON 的对称点A2,连 2 1
接A1A2 交OM,ON 于点B,C.这样就把AB,AC ∴x +x2=3.
分别以OM,ON 为轴翻折到了A1B,A2C 的位置,
即有AB=A1B,AC=A2C,由于两点之间线段最 专题六 构造全等三角形 巧解数学题
, 短 故△ABC的周长最小.) 1.证明:延长BC到E,使CE=AC,连接AE,
专题四 整体思想在分式求值中的应用 ∵CE=AC,∴∠E=∠CAE,∴∠ACB=2∠E. ∵ ∠ACB=2∠B,∴∠B=∠E,
1.解:将待求分式取倒数,得 ∴AB=AE.
x4 2
+x +1 2=x2+1+1= x+1 -1=22-1= ∵AC+CE>AE,∴2AC>AE,∴2AC>AB.x2 x2 x 2.证明:延长AD 到G,使DG=AD.连接BG.
3,∴原式=1. ∵AD 是中线,∴BD=DC.3 在△ACD 和△GBD 中,
2
2.解:∵ a ,a2-a+1=7 ∴a≠0
,∴a -a+1=1, CD=BD,a 7 ∠CDA=∠BDG,
∴a+1=8.∴a
4+a2+1=a2+1 AD=GD,a 7 a2 a2+1= a+ ∴△ACD≌△GBD,
1 2-1=15.∴原式=49. ∴AC=GB,∠CAD=∠G.a 49 15 ∵AF=EF,∴∠CAD=∠AEF,
专题五 分式求值有巧法 ∴∠G=∠CAD=∠AEF=∠BEG,
: , ∴BE=BG
,∴BE=AC.
1.解 设a+b=3k ① 3.证明:在AB 上取BE=BC,连接DE,∵BD 平分
2a+3b=8k ②. ∠ABC交AC于点, , D
,∴∠CBD=∠EBD.
且k≠0.①②联立 将其看作关于ab的二元一次
, ∵
在△CBD 和△EBD 中,
方程组 解得a=k,b=2k. BC=BE,
所以3a+4b=3k+4×2k 11k 11 ,2a+b 2k+2k =4k=4. ∠CBD=∠EBD
2.解:由x+y+z=0,xyz≠0得:y+z=-x,
BD=BD,x+z=
∴△CBD≌△EBD,
-y,x+y=-z,∴原式=
-x
x +
-y
y +
-z
z =-3. ∴CD=ED
,∠C=∠BED.
a b c ∵∠C=2∠A, 3.解:设 ,则b =c =a =k a=bk
,b=ck,c=ak. ∴∠BED=2∠A.
∴c=ak=bk·k=ck·k·k=ck3, ∵∠BED=∠A+∠ADE,∴∠A=∠ADE,
∴k3=1,k=1,∴a=b=c, ∴AE=DE,∴AE=CD.∵AB=BE+AE,
a+b-c ∴AB=CD+BC.∴原式=a-b+c=1. 专题七 用多边形的外角和定理解题2 2
4.解:原式=a-ba ÷
a -2ab+b
a 解:由于多边形的最小内角为95°,其他内角依次多
a-b· a 10°
,故其最大外角为85°,其他外角依次减少10°.
= a (a-b)2 85°+75°+65°+55°+45°+35°=360°
1 故这个多边形的边数是= ,
6.
a-b
, , 第三部分 探究先飞当a=2b=2-3时
原式= 1 = 3 第十九章 二次根式
2-2+3 3
.
5.解:(1)∵x2+x-1=0, 19.1 二次根式及其性质
∴x+1-1 ,x=0 1.D 2.B 3.D 4.C 5.C 6.C 7.B
∴x-1=-1; 8.13,12,9,4 9.
2
x 2
(2)由() 1
1
1知x- =-1, 10.(1)x≥-3
(2)x≥2 (3)x为任意实数
x
1 2 (4), x>2∴ x-x =1 11.(1)5 (2)2025 (3)18
4
12.解:由题意得:(x+y)2+ 5x-3y-16=0, 1
x+y=0, :x=2, 4
6+
∴ 解得 =
2=1,∴a※[a※(-2)]=6※1= 4=
5x-3y-16=0, y=-2, 8 8 4 4 6-1
∴± x2+y2=±8=±22. 4
13.解:因为a,b,c为△ABC的三边, 5
∴b+c>a,a+b>c,a+c>b, 2=10
a b c ,b c a ,c a b , 23 23
.
∴ - - <0 - - <0 - - <0 4
∴原式=|a-b-c|-|b-c-a|+|c-a-b|
=-a+b+c+(b-c-a)-(c-a-b) 第四部分 新知测效
=-a+b+c+b-c-a-c+a+b
=-a+3b-c. 假期学情测评(一)
14.(1)解:隐含条件2-x≥0,解得:x≤2, 一、
, , 1.C 2.D 3.B 4.A 5.D 6.C 7.C ∴x-3<0即3-x>0 8.A 9.B 10.A
∴原式=(3-x)-(2-x)=3-x-2+x=1;
(2)解:观察数轴得隐含条件:a<0,b>0,a > 二、11.y(x+1)(x-1) 12.15 13.7 14.-
1
2
b ,∴a+b<0,b-a>0,
1
∴原式=-a-(a+b)-(b-a) 15.45° 16.4 17.a>-1且a≠- 18.6或2 8
=-a-a-b-b+a
=-a-2b; 19.2 20.(1)4 (2)S=
1
2L-1
( 3)解:由三角形三边之间的关系可得隐含条件: 三、21.解:(1)原式=-8x6y3+8x4·x2·y3=
a+b+c>0,b+c>a,a+c>b,a+b>c, -8x6y3+8x6y3=0;
∴b-c-a<0,c-b-a<0, (2)原式=16x4y8·(-6x2y)÷(-12x3y7)=
∴原式=(a+b+c)-(b-c-a)-(c-b-a) -96x6y9÷(-12x3y7)=8x3y2.
=a+b+c-b+c+a-c+b+a : ( )( )解 原式
=3a+b+c. 22. =
x-1· x+2 x-2 x+2,
x-2 (x-1)2 =x-1
19.2 二次根式的乘法与除法 当x=3时,原式=3+2 53-1=2.
1.A 2.A 3.D 4.D 5.A 6.A 7.B 8.C 9.B 10.A 23.(1)EF=BE+CF.证明:∵OB 平分∠ABC,
35 ∴∠ABO= ∠OBC.∵EF∥BC,∴ ∠EOB =11.3 12.2 13.8 14.2 15.2-23 ∠OBC,∴∠ABO=∠EOB,∴EO=BE;同理
() () 2 () 2 () OF=CF
,∴EF=EO+OF=BE+CF;
16.1-453 2- 3-3b b 495 3 (2)EF=BE-CF.
:() 1 , 1 , 24.
证明:连接CD,∵△ACB 为等腰直角三角形,D
17.解 1 ∵x= =2+ 3y= =2-3
2-3 2+3 为AB 的中点,∴CD⊥AB,CD=AD=BD,且
∴x2-2xy+y2=(x-y)2=12; ∠ACD=∠ABC=45°,∠DCE=∠DBF=180°-
(2)xy=(2+3)(2-3)=1, 45°=135°.
又∵DE⊥DF,∴∠CDE=∠BDF=
2 2 90°-∠BDE,∴△DCE≌△DBF,∴DE=DF.(x+y)=[(2+3)+(2-3)]=16, 25.解:(1)设购买一个手电筒需要x元,则购买一个台
∴x2+y2=(x+y)2-2xy=16-2×1=14,
y x y2+x2 14 灯需要(x+20)元,根据题意,得
400 160·1,
∴ + = = =14. x+20
=x 2
x y xy 1 解得x=5,经检验,x=5是原方程的解.∴x+
19.3 二次根式的加法与减法 20=25.所以购买一个台灯需要25元,购买一个手
电筒需要5元;
1.B 2.C 3.D 4.A 5.B 6.A 7.B 8.B 9.C (2)设公司购买台灯的个数为a个,则还需购买手
10.-1 11.63 12.5+3 13.142 14.5+5 电筒的个数为(2a+8-a)个,
15.(1)12 (2)-2+43 由题意得25a+5(2a+8-a)≤670,
16.解:(1)a+b=25;ab=(5+3)(5-3)=2; 解得a≤21.
(2)a2+ab+b2=(a+b)2-ab=18. ∴荣庆公司最多可以购买21个该品牌的台灯.
26.解:(1)作CE⊥y轴于E,如图,
17.解:∵最简二次根式 2a-2与 -a+16是同类 ∵A(-2,0),B(0,4),, , ∴OA=2
,OB=4.
二次根式 ∴2a-2=-a+16∴a=6. ∵∠CBA=90°,∴∠CEB=∠AOB=∠CBA=90°,
(1)∵a=6,∴a的平方根是±6; ∴∠ECB+∠EBC=90°,∠CBE+∠ABO=90°,
() , ( ) ( ) 6+(-2) ∴∠ECB=∠ABO.2∵a=6∴a※ -2=6※ -2= 6-(-2)= 在△CBE 和△BAO 中,
5
∠ECB=∠OBA, 3x2+2x
∠CEB=∠BOA, = xBC=AB, =3x+2,
∴△CBE≌△BAO, 当x=-1时,原式=3×(-1)+2=-1.
∴CE=BO=4,BE=AO=2, 19.(1)证 明:∵∠1=∠2,∴ED=CE,∵∠A=
即OE=2+4=6,∴C(-4,6); ∠B=90°,
在Rt△ADE 和Rt△BEC中,
AE=BC,ED=CE,∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL);
(2)解:△CDE 是直角三角形,理由如下:
证明:由(1)得Rt△ADE≌Rt△BEC,
∴∠AED=∠BCE,∵∠B=90°,∴∠BCE+
∠CEB=90°,
(2)如图,作MF⊥y轴交于点F, ∴ ∠AED + ∠CEB=90°,∴ ∠DEC=180°-
90°=90°,
∴△CDE 为直角三角形.
20.解:(2x2-1)(3x+2)-x(6x2+4x-3)=6x3+
4x2-3x-2-6x3-4x2+3x=-2;则该式的结果
与x的值无关,∴无论x 取何值,结果都为-2,
∴小明的计算结果是正确的.
21.解:设原计划的行驶速度是xkm/h,则实际行驶速
则∠AEM=∠EFM=∠AOE=90°. 度是4
/ ,根据题意:80 15 80,解得:
∵∠AEO+∠MEF=90°, 5
xkmh + = x=
∠MEF+∠EMF= x 60 4x
90°,∴∠AEO=∠EMF. 5
∠AOE=∠EFM, 80,经检验,当x=80是原分式方程的解.答:原计
在△AEO 和△EMF 中, ∠AEO=∠EMF, 划的行驶速度是80km/h.AE=EM, 22.解:图(2)比图(1)的体积更大,理由如下:
∴△AEO≌△EMF,
∴AO=EF=2,EO=MF.
∵MN⊥x轴,MF⊥y轴,
∴∠MFO=∠FON=∠MNO=90°,
∴四边形FONM 是矩形,∴MN=OF, (1) (2)
∴OE-MN=OE-OF=EF=OA=2.
假期学情测评(二) 图(1)中长方体铁盒的长为a-
a=3a,则宽为a,4 4 4
、 a 3a a a 3a
3
一 1.A 2.D 3.A 4.D 5.B 6.B 高为 ,则体积为4 4×4×4=
;
、 64二 7.7 8.a(a-1) 9.-3 10.144 11.45
12.30cm 13.8 14.6 图(2)中长方体铁盒的长为
a,则宽为a,高为a,
、 2 3 3三 15.4 16.无解 3 3 3
: a a a a 3a a 27a
3
17.解 ∵AM=AN,CN=CP, 则体积为2×
;
3×3=18 ∵64-18=576-
∴△AMN,△CNP 都是等腰三角形,
, 32a
3 5a3 5a3 3a3 a3
∴∠ANM=∠AMN ∠CNP=∠CPN, =- ,且a>0,576 576 ∴-576<0
,∴64<
,
18
∴∠ANM=∠AMN=1(2 180°-∠A
),∠CNP= ∴图(2)比图(1)的体积更大.
23.(1)如图所示:
∠CPN=1(180°-∠C),2
∵∠A+∠C=180°-∠ABC=80°,
∴∠ANM+∠CNP=1(2 180°-∠A
)+1(2 180°-
∠C)=180°-1(∠A+∠C)=140°,2
∴∠MNP=180°-∠ANM -∠CNP=180°-
(∠ANM+∠CNP)=40°.
: 2x(x+2)+x(x-2) (x+2)(x-2)18.解 原 式 = (x+2)(x-2) × x (2)由图可知,A1(1,5)、B1(1,0)、C1(4,3);
6
(3)连接A1C与y轴交于点P,则P 点即为所求; 16. 原 式 = x+1 x · x =
(4)
-
S六边形AA1C1B1BC=S +S
( ) ( )2
△ABC △A1B1C1+S矩形AA BB xx-1 x-1 1 1
x21 -1 x
2 -1
=2×5×3+
1
2×5×3+2×5
· ·
x(x-1)2-x(x-1)2 x=x(x-1)2 x=
=15+10 - 1
=25. (x-1)
2
24.解:(1)由图可得:阴影两部分求和为:a2+b2,总面 ∵ x+1 xx2-x-x2-2x+1 ÷1有意义,x
积减去空白部分面积为:(a+b)2-2ab,故答案为: ∴x≠1,x≠0,∴x可以取0和1之外的任何数,
a2+b2,(a+b)2-2ab; 1
(2)由题意可得:a2+b2=(a+b)2-2ab; 当x=2时,原式=-(2-1)2=-1.
(3)由(2)可得:m2+n2=(m+n)2-2mn,∵m+ 17.解:(1)如图①,直线m 即为所求;
, 2 2 , 2 , 5, (2)如图②,直线 即所求n=5m +n =20 ∴20=5-2mn ∴mn= n .2
∴(m-n)2=m2+n2-2mn=20-2×52=15.
25.解:(1)设甲工程队单独完成此项工程需x天,则乙
工程队单独完成需要1.5x 天,由题意: 1x +
图 1 图, : , : ① ②解得 经检验
1.5x ×30=1 x=50 x=50是原方 18.解:(1)设B 型号的冰墩墩钥匙扣的单价为x元,A
程的解,且符合题意.则1.5x=75(天).答:甲队单 型号的冰墩墩手办的单价为(x+30)元,根据题意
独完成此项工程需要50天,乙队单独完成此项工程 得,880
x+30=
290×2,解得,x x=58
,经检验,x=58是
需要75天;
(2)①由(1)知甲队单独完成此项工程需要50天,乙 原方程的解,∴x+30=88,所以,A 型号的冰墩墩
队单独完成此项工程需要75天,∵50<51<75,则 手办的单价为88元,B 型号的冰墩墩钥匙扣的单
暑假共51天,甲队能在计划时间内完成,乙队不能 价为58元;
在计划时间内完成,∴从时间的角度考虑,学校应 (2)设最多能购买m 个A 型号的纪念品,(100-m)
选择甲工程队;②若甲队单独完成,其费用为:50× 个B型号的纪念品,根据题意得,88m+58×(100-
1000=50000(元),若乙队单独完成,
其费用为: m)≤6800,解得,m≤331 ,∵m 是整数,∴最多能
75×600=45000(元),
3
∵45000<50000,∴从资金的 购买33个A 型号的纪念品
角度考虑, .学校应选择乙工程队. 19.(1)证明:∵AC=AD,∴∠ACD=∠ADC,
假期学情测评(三) 又∵∠BCD=∠EDC=90°,
,
∴∠ACB=∠ADE
一、1.A 2.C 3.A 4.B 5.B 6.B 在 和 中,
△ABC △AED
二、7.3 8.-5 9.-1 10.14 11.30 12.55° BC=ED,
或125°
∠ACB=∠ADE,
三、13.解:(1)方程两边同时乘(x+2)(x-1),得 AC=AD,
2(x+2)+mx=x-1,整理得(m+1)x=-5, ∴△ABC≌△AED(SAS);
∵x=1是分式方程的增根,∴m+1=-5,解得: (2)解:当∠B=140°时,∠E=140°,
m=-6; 又∵∠BCD=∠EDC=90°,
(2)∵原分式方程有增根,∴(x+2)(x-1)=0,解 ∴五 边 形 ABCDE 中,∠BAE=540°-140°×
得:x=-2或x=1,当x=-2时,m=1.5;当x= 2-90°×2=80°.
1时,m=-6; 20.解:(1)甲队每天修路的长度 甲队修路400米所需
(3)当m+1=0时,该方程无解,此时m=-1;当 时间(或乙队修路600米所需时间)
m+1≠0时,要使原方程无解,由(2)得:m=-6 (2)由题意,得:冰冰用的等量关系:甲队修路400米
或m=1.5,综上,m 的值为-1或-6或1.5. 所用时间=乙队修路600米所用时间;庆庆用的等
4 6
14.(1) 2 ()ac
量关系:乙队每天修路的长度-甲队每天修路的长
2m-n 24b7 度=20米;
15.(1)x=3 (2)x=4 (3)①选冰冰的方程:400= 600 ,解得 ;经5 x x+20 x=40
7
检验x=40是原分式方程的解.答:甲队每天修路的 (2)证明:如图,过O 作OE⊥AB 于E,OF⊥AC 于
,则
长度为40米.②选庆庆的方程:600-400=20.解得 F ∠OEB=∠OFC=90°.y y ∵点O 到△ABC 的两边AB,AC 所在直线的距离
y=10;经检验y=10是原分式方程的解.所以
400 相等,
y = ∴OE=OF.
400=40.答:甲队每天修路的长度为10 40
米.
21.(1)解:∵(9-x)(x-6)=1,(9-x)+(x-6)=3,
∴[(9-x)+(x-6)]2=9,2(9-x)(x-6)=2,
∴(9-x)2+ (x-6)2 +2(9-x)(x-6)=
[(9-x)+(x-6)]2=9,∴(9-x)2+(x-6)2= 在Rt△OEB 和Rt△OFC中,
9-2=7; OB=OC,
(2)设AC=a,BC=CF=b,∴a+b=6,a2+b2= OE=OF,
16,∴(a+b)2=36,∴a2+b2+2ab=36;∴ab=10, ∴Rt△OEB≌Rt△OFC(HL).
∴S =1ab=1×10=5. ∴∠ABO=∠ACO.△ACF 2 2 ∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.
22.(1)解:x+1=1+1,故①是“和谐分式”;x+2 ∴∠ABC=∠ACB.x x x2
不
∴AB=AC;
能化成一个整式与一个分子为常数的分式,故②不 (3)解:AB=AC不一定成立.
是“和谐分式”;x+2=x+1+1=1+ 1 ,故③是 理由:当∠BAC的平分线所在直线和BC 的垂直平x+1 x+1 x+1 分线重合时,如图①,过O作OE⊥AB交AB的延长
2
“和谐分式”;y +1=1+12 2,故④是“和谐分式”;故 线于E,OF⊥AC 交AC 的延长线于F,则∠OEB=y y ∠OFC=90°.
答案为:①③④;
∵点O 到△ABC 的两边AB,AC 所在直线的距离2
(2)a -2a+3=a
2-2a+1+2 (=a-1
)2+2 相等,
a-1 a-1 a-1 =a-
1+ 2
∴OE=OF.
;故答案为:a-1+ 2 ;a-1 a-1 在Rt△OEB 和Rt△OFC中,
(3)原式=3x+6-x-1· x
(x+2) 3x+6
x+1 x (x+1)(x-1)=x+1
OB=OC,
OE=OF,
-x+2=2x+4;∵2x+4=2x+2+2 2
∴Rt△OEB≌Rt△OFC(HL).
,
x+1 x+1 x+1 x+1 =2+x+1 ∴∠EBO=∠FCO.
∴当x+1=±1,±2时,分式的值为整数, ∵OB=OC,
∴x=0,1,-2,-3,∵x=0,1,-2时,分式无意 ∴∠OBC=∠OCB.
义,∴当x=-3时,分式的值为整数. ∵∠ABC=180°-(∠OBC+∠EBO),
23.(1)证明:如图,过O 作OE⊥AB 于E,OF⊥AC 于 ∠ACB=180°-(∠OCB+∠FCO),
F,则∠OEB=∠OFC=90°. ∴∠ABC=∠ACB.
∴AB=AC.
∵点O 到△ABC 的两边AB,AC 所在直线的距离
相等,∴OE=OF.
在Rt△OEB 和Rt△OFC中, ① ②
OB=OC, 当∠BAC 的平分线所在直线和BC 的垂直平OE=OF, 分线不重合时,如图②,∠ABC 和∠ACB 不相等,
∴Rt△OEB≌Rt△OFC(HL). ∴AB≠AC.
∴∠ABC=∠ACB. 综上,AB=AC不一定成立.
∴AB=AC,即△ABC是等腰三角形;
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