19.1 二次根式及其性质
知识点一:二次根式的概念
1.代数式 a(a≥0)叫作二次根式,读作“根号a”,其中a 是被开方数.例如 3,2x x≥0 ,
1
x-3 x>3
都是二次根式.
通常把形如m a a≥0 的式子也叫作二次根式,如32,- 3,a 3,2b a2+1也是二次
根式.
注意:m a a≥0 表示m 与a a≥0 是相乘的关系,当m 是分数时,只能是真分数或假分
数,不能写成带分数或小数的形式.
2.二次根式的特征
(1)必须含有平方根“ ”,“ ”的根指数是2;[根指数2一般省略不写]
(2)被开方数一定是非负数,如 -2和 -a2-1都不是二次根式.
知识点二:二次根式有无意义的条件
1.二次根式有意义:被开方数是非负数,即 a有意义 a≥0;
二次根式无意义:被开方数是负数,即 a无意义 a<0.
2.若式子中含有多个二次根式,则字母的取值必须使各个被开方数同时为非负数;
若式子中含有分母,则字母的取值必须使分母不为零.
知识点三:二次根式的性质
1.二次根式的双重非负性
a(a≥0)具有双重非负性:
(1)被开方数是非负数;
(2)本身也是非负数.
2.二次根式的性质1
一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.反之,一个非负数可以写成它的算术平方根的
平方的形式,即a=(a)2(a≥0).
3.二次根式的性质2
(1)一个非负数的平方的算术平方根等于它本身;
37
(2)对于实数a,一般来说,由a2=a ,得 a2= a 2,其中a ≥0.利用二次根式的性质1,
a(a>0),
可知 a 2=a ,所以 a2=a = 0(a=0),
-a(a<0).
注意:性质 a2=a 表示一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.a2的值不一
定等于a.
(3)(a)2与 a2的区别与联系:
类别 (a)2 a2
表示的意义 表示非负数a的算术平方根的平方 表示数a的平方的算术平方根
运算顺序 先开方,后平方 先平方,后开方
区别
a的取值 a≥0 a为任意实数
化简结果 (a)2=a a2= a
联系 (1)结果都是非负数;(2)当a≥0时,(a)2= a2.
例1 下列式子一定是二次根式的是 ( )
A.x B.x+2 C.x2-2 D.23
解析:A.当x<0时,x不是二次根式,不符合题意;B.当x+2<0时,x+2不是二次根式,不
符合题意;C.当x2-2<0时,x2-2不是二次根式,不符合题意;D.23=8是二次根式,符合
题意;故选D.
答案:D
例2 已知x为实数,当x满足什么条件时,下列各式有意义
(1)2x-1;(2)2-x;(3)1;(x 4
)1+x2
解析:(1)由2x-1≥0,得x≥1 所以,当 1时, 有意义;()由 ,得 所2. x≥2 2x-1 2 2-x≥0 x≤2.
以,当x≤2时,2-x有意义;(3)由1x≥0
以及x≠0,得x>0.所以,当x>0时, 1有意义;x
(4)因为不论x 是什么实数,都有x2≥0,可知1+x2>0.所以当x 是任意实数时,1+x2有
意义.
答案:(1)x≥1;(2)x≤2;()2 3x>0
;(4)任意实数.
38
例3 二次根式 (-2)2的值等于 ( )
A.-2 B.±2 C.2 D.4
解析:原式=|-2|=2.
答案:C
例4 当1
解析:∵1∴a-2<0,a-1>0,
∴ a-2 2+ a-1 2=a-2+a-1=- a-2 +a-1=1.
答案:1
例5 若 3-b 2=3-b,则b满足的条件是 .
解析:∵ 3-b 2=3-b
∴3-b≥0
∴b≤3
答案:b≤3
例6 已知x,y是实数,且y= x-3+ 3-x+9,则-xy 的立方根为 .
解析:由题意知,x-3≥0,3-x≥0,解得x=3,∴y=9,则-xy 的立方根为
3-x =3y -27=
-3.
答案:-3
例7 设实数a,b在数轴上对应的位置如图所示,化简 a2+|a+b|的结果是 ( )
A.-2a+b B.2a+b C.-b D.b
解析:根据数轴上a,b的值得出a,b的符号,a<0,b>0,a+b>0,∴ a2+|a+b|=-a+a+
b=b,故选D.
答案:D
例8 在△ABC 中,a,b,c是三角形的三边长,化简 (a-b+c)2-2c-a-b .
解析:根据三角形三边关系,任意两边之和大于第三边,可知a-b+c>0,c-a-b<0,
原式=a-b+c -2c-a-b = a-b+c +2 c-a-b =a-b+c+2c-2a-2b=3c-
a-3b.
答 案: 3c - a -3b
1.下列式子一定是二次根式的是 ( )
A.a B.- a C.33 D.a2
39
2.下列各式:① y;② a+2;③ x2+5;④ 3a;⑤ y2+6y+9;⑥ 3,其中一定是二次根式
的有 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
3.下列各式成立的是 ( )
A. -2 2=-2 B. -3 2=±3 C.a2=a D. -5 2=5
4.若 (3x-2)2=2-3x,则x的取值范围是 ( )
A.x≥23 B.x>
2
3 C.x≤
2
3 D.x<
2
3
5.若 (1-x)2=x-1,则x的取值范围为 ( )
A.x>1 B.x<1 C.x≥1 D.x≤1
6.已知(1-x)2+ 2-y=0,则x+y的值为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.5
7.实数a,b在数轴上的位置如图所示,那么化简 a2-a+b - a-b 2的结果是 ( )
A.2a+b B.a+2b C.a D.2b
8.已知 13-x是整数,则自然数x的所有取值为 .
9.已知 a-1+b2-4b+4=0,则 ab= .
10.写出使下列式子有意义的x的取值范围.
(1)1+3x; (2)1(x-2); (3)x2+7; (4) 13 x-2.
11.计算下列各式的值.
(1) -5 2; (2)(2025)2; (3) -32 2.
40
12.已知实数x,y,满足(x+y)2与 5x-3y-16互为相反数,求x2+y2的平方根.
13.若a,b,c是△ABC 的三边长,化简: a-b-c 2-b-c-a + c-a-b 2.
14.阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题.
化简: 1-3x 2-1-x
解:由1-3x≥0,解得:x≤1,3
∴1-x>0,
∴原式= 1-3x - 1-x =1-3x-1+x=-2x.
(1)按照上面的解法,试化简 3-x 2- 2-x 2;
(2)实数a,b在数轴上的位置如图所示,化简:a2+ a+b 2-b-a ;
(3)已知a,b,c为△ABC 的三边长,化简: a+b+c 2+ b-c-a 2+ c-b-a 2.
41第一部分 回溯精学 ∠ACE+∠ADB+∠ECD+∠BDC=∠CAD+∠ACD+∠ADC=180°.
第十三章过关测试卷 答:∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E 等于180°,没
有变化;
(三角形) (3)∵∠ECD 是△BCE 的一个外角,
一、1.A 2.B 3.D 4.A 5.B 6.D 7.B ∴∠ECD=∠B+∠E(三角形的一个外角等于它
8.C 9.D 10.C 不相邻的两个内角的和),
二、11.316.6,4或5,5 17.2b-2a 18.5≤y<8 19.15 ∠ACE+ ∠D + ∠ECD =∠CAD + ∠ACD +
或16或17 ∠D=180°.
三、20.解:在△ABD 中,∵DA⊥AB,∴∠A=90°,又 答:∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E 等于
∠1=60°,∴∠ABD=90°-∠1=30°.∵BD 平分 180°,没有变化.
∠ABC,∴∠CBD=∠ABD=30°.在△BDC 中, 第十四章过关测试卷
∠C=180°-(∠BDC+∠CBD)=180°-(80°+
) (全等三角形)30°=70°.
21.解:设此多边形的边数为n,由题意得:72n=360, 一、1.C 2.D 3.D 4.B 5.B 6.C 7.C
解得n=5,故所求多边形是五边形. 8.C 9.C 10.C
22.解:∵∠ADC=∠B+∠BAD,且∠ADC=2∠B, 二、11.角平分线 12.100° 13.乙、丙 14.5
∴∠B=∠BAD. 15.∠C=∠E(答案不唯一,也可以是AB=FD
∵AD 是△ABC的角平分线,∴∠BAC=2∠BAD= 或AD=FB) 16.2 17.7 18.垂直 19.50°
2∠B. 三、20.解:这对全等三角形为:△ABE≌△ADC,
∵∠BAC+∠B+∠C=180°(三角形内角和定 理由如下:
理),∠C=75°,∴∠B=35°,∴∠BAC=70°. ∵∠BAM=∠BND,∠BMA=∠DMN,
23.(1)如图所示; ∴∠ABE =∠ADC(三角形三个内角的和等
于180°).
∵∠BAM=∠EAC,
∴∠BAM+∠DAE=∠EAC+∠DAE,
即∠BAE=∠DAC.
又∵AC=AE,
∴△ABE≌△ADC.
21.如图所示:
(2)证明:
∵∠A=∠B,∠BCD是△ABC的外角,
∴∠BCD=∠A+∠B=2∠B.
∵CE 是外角∠BCD 的平分线,
∴∠BCE=1 1 ,2∠BCD=2×2∠B=∠B
∴CE∥AB(内错角相等,两直线平行).
24.解:(1)连接C,D 两点,得线段CD.BD,EC 交于
O点. 22.证明:(1)∵∠A+∠B=90°,∠A=∠D,
∵∠COD=∠BOE(对顶角相等), ∴∠D+∠B=90°,即AB⊥ED;
∴∠B+∠E=∠ECD+∠BDC(等量代换), (2)若PB=BC,则Rt△ABC≌Rt△DBP.
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠ACE+ ∵∠B=∠B,∠BPD=∠BCA=90°,PB=BC,
∠ADB+ ∠ECD + ∠BDC= ∠A + ∠ACD + ∴Rt△ABC≌Rt△DBP.
∠ADC=180°; 23.解:(1)△AQC≌△PAB.利用等角的余角相等,得出
(2)连接C,D 两点,得线段CD.BD,EC 交于 ∠ACQ=∠PBA,再用“SAS”证明△AQC≌△PAB;
O 点. (2)AQ⊥AP,∵ ∠PAB= ∠AQC,∠AQC+
∵∠COD=∠BOE(对顶角相等), ∠QAB=90°,
∴∠B+∠E=∠ECD+∠BDC(等量代换), ∴∠PAB+∠QAB=90°,
∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠CAD+ 即AQ⊥AP.
1
24.(1)证明:在AB 上截取AE=AC,连接ED. ()原式
∵AD 平分∠BAC,∴∠EAD=∠CAD. 2 =-ab
,当a=1,2b=-
1时,原式
3 =-
1
2×
∵AE=AC,∠EAD=∠CAD,AD=AD, 1
∴△AED≌△ACD,∴∠C=∠AED>∠B; -3 =16.
(2)解:∵△AED≌△ACD,∴ED=CD. 15.解:(1)代数式的值与t的取值没有关系,与s的取
∵BE=AB-AE=AB-AC=2,∴△BED 的周 值有关系.理由如下:
长=BE+BD+ED=BE+BC=5.
∵ s-2t s+2t+1 +4tt+1 =s2+2st+s-
第十五章过关测试卷 2
( ) 2st-4t
2-2t+4t2+2t=s2+s,∴代数式的值与t
轴对称 的取值没有关系,与s的取值有关系;
一、1.D 2.B 3.C 4.D 5.D 6.C 7.B (2) ax-b 2x2-x+2 =2ax3-ax2+2ax-
8.C 9.B 10.D 2bx2+bx-2b=2ax3- a+2b x2+(2a+b)x-
二、11.20 12.18° 13.1:30 2b,∵展开式中不含x 的一次项,且常数项为-4,
14.D 只有图形D有四条对称轴,其余三个图形 ∴2a+b=0,-2b=-4,∴a=-1,b=2.∴ab=1.
只有一条对称轴 16.解:(1)∵a2+b2=8, a+b 2=48,∴ab=
15.①②③⑤ 16.30°或150° 30°、90°或150° a+b 2- a2+b2 48-8
17.12或6 18.12 19.5cm 2 = 2 =20.
故答案为20;
三、20.如图所示. (2)∵a2+b2= a+b 2-2ab,
∴ 25-x 2+ x-10 2
= 25-x + x-10 2-2 25-x x-10
=152-2× -15 =225+30=255;
(3)设AD=AC=a,BE=BC=b,则题图中阴影部
分的面积为 1
2 a+b a+b -
1(a22 +b
2)=
(1) (2) 1[( )2 (2 2)] 1
a+b -a +b = ×2ab=ab=10.
21.(1)证明:在△ABC和△DCB 中, 2 2
∵AB=DC,AC=DB,BC=CB, 第十七章过关测试卷
∴△ABC≌△DCB;
() (因式分解)2等腰三角形
22.(1)O(0,0)、A(-2,1)、B(-3,3)、C(-1,2); 一、1.D 2.A 3.D 4.C 5.D 6.A 7.C 8.C
(2)如图所示: 二、9.9900 10.(x+3y)(x-3y) 11.1
12.4a(a-4) 13.(x+1)(x-6) 14.70 15.16
16.6 1332
三、17.(1)(3y+2)(2y-5) (2)(2x+y)(4x-3y)
18.解:(1)原式=(a2-ab)+(ac-bc)=a(a-b)+
c(a-b)=(a-b)(a+c);
(2)原式=x2- 4y2-4yz+z2 =x2-(2y-z)2=
() x+2y-z
(x-2y+z).
3四边形与原四边形关于y轴对称.
19.解:(1)x2-16x+60=x2-16x+64-4= x-8 2-
23.AD 的长为6cm. 2
(
图略 解:过C 点作 BCD B,交 AB 于 2=x-8-2
)(x-8+2)=(x-10)(x-6);
24. . ∠ =∠
, (2)-x
2
D 点 +14x+10=-
x2-14x +10=-(x2-
∴DB=DC, 14x+7
2-72)+10=- x-7 2+49+10=
∴∠ADC=∠BCD+∠B=40°. - x-7
2+59;∵- x-7 2≤0,∴- x-7 2+
∵∠A=100°,∴∠ACD=40°, 59≤59,∴代数式-x
2+14x+10的最大值为59,
∴△ADC是等腰三角形. 此时x=7;(3)∵a2+2b2+c2=2ab+4b+6c-13,∴a2-2ab+
第十六章过关测试卷 b2+b2-4b+4+c2-6c+9=0,即 a-b 2+
(整式的乘法) b-2 2+ c-3 2=0,∴a-b=0,b-2=0,c-
一、1.B 2.B 3.D 4.D 5.A 6.A 7.D 8.C 3=0,∴a=b=2,c=3,∴△ABC是等腰三角形.
二、9.±6 10.49 11.-15 12.-28 20.解:(1)a
2-2a-3=a2-2a+1-4= a-1 2-4=
三、13.(1)9x6y3 (2)-6a6 (3)a6b3+1 (a-1-2)(a-1+2)=(a-3)(a+1);
(4)x2+4x+4-9 2 (2)∵a2+b2y =4a+12b-40,∴a
2-4a+4+b2-
,即 2 2 , ,
14.解:(1)原式=4x-1,当x=3时, 3 ;
12b+36=0 a-2 + b-6 =0 ∴a=2
原式
2 =4×2-1=5 b=6,∵a,b,c 是△ABC 的三边长,∴42
∵a,b,c都是整数,∴边长c的最小值为5; 故第一批购进这种休闲衫2000件,第二批购进了
(3)∵-x2+2xy-2y2+6y+7=-(x2-2xy+ 4000件;
2y2-6y-7)=-(x2-2xy+y2+y2-6y+9- (2)设这两笔生意共盈利y元,可列方程为:
16)=-[(x-y)2+(y-3)2-16]=-(x-y)2- y=[58×(2000+4000-150)+80%×58×150]-
(y-3)2 +16,∵ (x-y)2 ≥0,(y-3)2 ≥0, (80000+176000),
∴-(x-y)2≤0,-(y-3)2≤0,∴当x=y=3时, 解得y=90260.
代数式有最大值,最大值为16.
21.(1)147 第二部分 融汇跃升
(2)解:设另一个因式为(x+b),得2x2+ax-
( )( ), 专题一 证明三角形全等的基本思路6=2x-3 x+b
∵(2x-3)(x+b)=2x(x+b)-3(x+b)=2x2+ 1.证明:连接AD.
2bx-3x-3b=2x2+(2b-3)x-3b,∴2x2+ax- ∵AB=AC,BD=CD,AD=AD,
6=2x2+(2b-3)x-3b,∴由等式恒等原理可知: ∴△ABD≌△ACD,
①式为:-3b=-6,②式为:a=2b-3,由①②解 ∴∠BAD=∠CAD,
得:b=2,a=1,∴另一个因式为(x+2). ∴AD 是∠EAF 的平分线.
第十八章过关测试卷 又∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF.
(分式) 2.(1)证明:连接AD,
一、1.C 2.C 3.A 4.C 5.B 6.D 7.D 在△BAD 和△CDA 中,
8.D 9.B 10.D AB=DC,
DB=AC,
二、11.≠2 12.答案不唯一,如:a 3-4xb+3 13.x2-x+3 AD=DA,
1 12 ∴△BAD≌△CDA,14.x(x+1) 15.3 16.7 17.1 18.3
(x- ∴∠ABD=∠DCA(全等三角形对应角相等);
1487 1487 (2)作辅助线的意图是构造全等的三角形即两个三3),3(3-x) 19. x -x+70=3 角形的公共边.
、 ()证明: , ,三 20.解:(1)- 2 (2)1 3.1 ∵DE∥AB AF∥DCm+3 2y2 ∴∠B=∠DEC,∠AFB=∠C.
2
21.解:原式=x -4
( )( ) ,
x-2×
1 x+2 x-2 ∵BE=FC
x2+2x= x-2 × ∴BE+EF=FC+EF.即BF=EC.
1 1 ,
( )= ,当x=1时,原式=1.答案不唯一,
∠B=∠DEC
xx+2 x 在△ABF 和△DEC中,BF=EC,
x可以取除0,2,-2以外的数. ∠AFB=∠C,
2 2
22.解:(1)由题意可知A= a -b ·a+2b ∴△ABF≌△DEC
;
a2+4ab+4b2 a+b= (2)解:由(1)△ABF≌△DEC得:AB=DE.
a-b ;() , 四边形 为平行四边形,2当a=4, 时,a+2b b=3 A=
4-3 =1. ∵AB∥DE ∴ ABED4+2×3 10 ∴BE=AD=3.
: ,23.解 由题意得2x+2=4,解得 11
同理 四边形
x= . AFCD
为平行四边形,
3x-5 5 ∴FC=AD=3.
经检验x=11是原方程的解5 .
∵EF=BE=3,
∴BC=9.
∴x的值为11
5. 专题二 照镜子中的数学
24.解:去分母,得3x=a(x-2)+4, C
∴(3-a)x=4-2a,∴x=4-2a,3-a 专题三 以本为本看最短距离
(1)当3-a=0时,无解,此时a=3; 1.解:作点B 关于直线l的对称点B1,连接B1A 交直
(2)因为x=0或2时,分式无意义,所以x=4-2a 线l于点P,则点P 即为所求的点,如图所示.3-a
=0或2,此时a=2.
综上所述,a=2或3.
25.解:(1)设第一批购进x件这种休闲衫,则第二批购
进了2x件,依题意可得:
176000
2x -
80000
x =4
,解得x=2000.
3
2.1 2 1
3.解:
,
图略(提示:要使△ABC 周长最小,我们可作点 ∴x -2+x2=1
A 关于OM 的对称点A1,关于ON 的对称点A2,连 2 1
接A1A2 交OM,ON 于点B,C.这样就把AB,AC ∴x +x2=3.
分别以OM,ON 为轴翻折到了A1B,A2C 的位置,
即有AB=A1B,AC=A2C,由于两点之间线段最 专题六 构造全等三角形 巧解数学题
, 短 故△ABC的周长最小.) 1.证明:延长BC到E,使CE=AC,连接AE,
专题四 整体思想在分式求值中的应用 ∵CE=AC,∴∠E=∠CAE,∴∠ACB=2∠E. ∵ ∠ACB=2∠B,∴∠B=∠E,
1.解:将待求分式取倒数,得 ∴AB=AE.
x4 2
+x +1 2=x2+1+1= x+1 -1=22-1= ∵AC+CE>AE,∴2AC>AE,∴2AC>AB.x2 x2 x 2.证明:延长AD 到G,使DG=AD.连接BG.
3,∴原式=1. ∵AD 是中线,∴BD=DC.3 在△ACD 和△GBD 中,
2
2.解:∵ a ,a2-a+1=7 ∴a≠0
,∴a -a+1=1, CD=BD,a 7 ∠CDA=∠BDG,
∴a+1=8.∴a
4+a2+1=a2+1 AD=GD,a 7 a2 a2+1= a+ ∴△ACD≌△GBD,
1 2-1=15.∴原式=49. ∴AC=GB,∠CAD=∠G.a 49 15 ∵AF=EF,∴∠CAD=∠AEF,
专题五 分式求值有巧法 ∴∠G=∠CAD=∠AEF=∠BEG,
: , ∴BE=BG
,∴BE=AC.
1.解 设a+b=3k ① 3.证明:在AB 上取BE=BC,连接DE,∵BD 平分
2a+3b=8k ②. ∠ABC交AC于点, , D
,∴∠CBD=∠EBD.
且k≠0.①②联立 将其看作关于ab的二元一次
, ∵
在△CBD 和△EBD 中,
方程组 解得a=k,b=2k. BC=BE,
所以3a+4b=3k+4×2k 11k 11 ,2a+b 2k+2k =4k=4. ∠CBD=∠EBD
2.解:由x+y+z=0,xyz≠0得:y+z=-x,
BD=BD,x+z=
∴△CBD≌△EBD,
-y,x+y=-z,∴原式=
-x
x +
-y
y +
-z
z =-3. ∴CD=ED
,∠C=∠BED.
a b c ∵∠C=2∠A, 3.解:设 ,则b =c =a =k a=bk
,b=ck,c=ak. ∴∠BED=2∠A.
∴c=ak=bk·k=ck·k·k=ck3, ∵∠BED=∠A+∠ADE,∴∠A=∠ADE,
∴k3=1,k=1,∴a=b=c, ∴AE=DE,∴AE=CD.∵AB=BE+AE,
a+b-c ∴AB=CD+BC.∴原式=a-b+c=1. 专题七 用多边形的外角和定理解题2 2
4.解:原式=a-ba ÷
a -2ab+b
a 解:由于多边形的最小内角为95°,其他内角依次多
a-b· a 10°
,故其最大外角为85°,其他外角依次减少10°.
= a (a-b)2 85°+75°+65°+55°+45°+35°=360°
1 故这个多边形的边数是= ,
6.
a-b
, , 第三部分 探究先飞当a=2b=2-3时
原式= 1 = 3 第十九章 二次根式
2-2+3 3
.
5.解:(1)∵x2+x-1=0, 19.1 二次根式及其性质
∴x+1-1 ,x=0 1.D 2.B 3.D 4.C 5.C 6.C 7.B
∴x-1=-1; 8.13,12,9,4 9.
2
x 2
(2)由() 1
1
1知x- =-1, 10.(1)x≥-3
(2)x≥2 (3)x为任意实数
x
1 2 (4), x>2∴ x-x =1 11.(1)5 (2)2025 (3)18
4
12.解:由题意得:(x+y)2+ 5x-3y-16=0, 1
x+y=0, :x=2, 4
6+
∴ 解得 =
2=1,∴a※[a※(-2)]=6※1= 4=
5x-3y-16=0, y=-2, 8 8 4 4 6-1
∴± x2+y2=±8=±22. 4
13.解:因为a,b,c为△ABC的三边, 5
∴b+c>a,a+b>c,a+c>b, 2=10
a b c ,b c a ,c a b , 23 23
.
∴ - - <0 - - <0 - - <0 4
∴原式=|a-b-c|-|b-c-a|+|c-a-b|
=-a+b+c+(b-c-a)-(c-a-b) 第四部分 新知测效
=-a+b+c+b-c-a-c+a+b
=-a+3b-c. 假期学情测评(一)
14.(1)解:隐含条件2-x≥0,解得:x≤2, 一、
, , 1.C 2.D 3.B 4.A 5.D 6.C 7.C ∴x-3<0即3-x>0 8.A 9.B 10.A
∴原式=(3-x)-(2-x)=3-x-2+x=1;
(2)解:观察数轴得隐含条件:a<0,b>0,a > 二、11.y(x+1)(x-1) 12.15 13.7 14.-
1
2
b ,∴a+b<0,b-a>0,
1
∴原式=-a-(a+b)-(b-a) 15.45° 16.4 17.a>-1且a≠- 18.6或2 8
=-a-a-b-b+a
=-a-2b; 19.2 20.(1)4 (2)S=
1
2L-1
( 3)解:由三角形三边之间的关系可得隐含条件: 三、21.解:(1)原式=-8x6y3+8x4·x2·y3=
a+b+c>0,b+c>a,a+c>b,a+b>c, -8x6y3+8x6y3=0;
∴b-c-a<0,c-b-a<0, (2)原式=16x4y8·(-6x2y)÷(-12x3y7)=
∴原式=(a+b+c)-(b-c-a)-(c-b-a) -96x6y9÷(-12x3y7)=8x3y2.
=a+b+c-b+c+a-c+b+a : ( )( )解 原式
=3a+b+c. 22. =
x-1· x+2 x-2 x+2,
x-2 (x-1)2 =x-1
19.2 二次根式的乘法与除法 当x=3时,原式=3+2 53-1=2.
1.A 2.A 3.D 4.D 5.A 6.A 7.B 8.C 9.B 10.A 23.(1)EF=BE+CF.证明:∵OB 平分∠ABC,
35 ∴∠ABO= ∠OBC.∵EF∥BC,∴ ∠EOB =11.3 12.2 13.8 14.2 15.2-23 ∠OBC,∴∠ABO=∠EOB,∴EO=BE;同理
() () 2 () 2 () OF=CF
,∴EF=EO+OF=BE+CF;
16.1-453 2- 3-3b b 495 3 (2)EF=BE-CF.
:() 1 , 1 , 24.
证明:连接CD,∵△ACB 为等腰直角三角形,D
17.解 1 ∵x= =2+ 3y= =2-3
2-3 2+3 为AB 的中点,∴CD⊥AB,CD=AD=BD,且
∴x2-2xy+y2=(x-y)2=12; ∠ACD=∠ABC=45°,∠DCE=∠DBF=180°-
(2)xy=(2+3)(2-3)=1, 45°=135°.
又∵DE⊥DF,∴∠CDE=∠BDF=
2 2 90°-∠BDE,∴△DCE≌△DBF,∴DE=DF.(x+y)=[(2+3)+(2-3)]=16, 25.解:(1)设购买一个手电筒需要x元,则购买一个台
∴x2+y2=(x+y)2-2xy=16-2×1=14,
y x y2+x2 14 灯需要(x+20)元,根据题意,得
400 160·1,
∴ + = = =14. x+20
=x 2
x y xy 1 解得x=5,经检验,x=5是原方程的解.∴x+
19.3 二次根式的加法与减法 20=25.所以购买一个台灯需要25元,购买一个手
电筒需要5元;
1.B 2.C 3.D 4.A 5.B 6.A 7.B 8.B 9.C (2)设公司购买台灯的个数为a个,则还需购买手
10.-1 11.63 12.5+3 13.142 14.5+5 电筒的个数为(2a+8-a)个,
15.(1)12 (2)-2+43 由题意得25a+5(2a+8-a)≤670,
16.解:(1)a+b=25;ab=(5+3)(5-3)=2; 解得a≤21.
(2)a2+ab+b2=(a+b)2-ab=18. ∴荣庆公司最多可以购买21个该品牌的台灯.
26.解:(1)作CE⊥y轴于E,如图,
17.解:∵最简二次根式 2a-2与 -a+16是同类 ∵A(-2,0),B(0,4),, , ∴OA=2
,OB=4.
二次根式 ∴2a-2=-a+16∴a=6. ∵∠CBA=90°,∴∠CEB=∠AOB=∠CBA=90°,
(1)∵a=6,∴a的平方根是±6; ∴∠ECB+∠EBC=90°,∠CBE+∠ABO=90°,
() , ( ) ( ) 6+(-2) ∴∠ECB=∠ABO.2∵a=6∴a※ -2=6※ -2= 6-(-2)= 在△CBE 和△BAO 中,
5
∠ECB=∠OBA, 3x2+2x
∠CEB=∠BOA, = xBC=AB, =3x+2,
∴△CBE≌△BAO, 当x=-1时,原式=3×(-1)+2=-1.
∴CE=BO=4,BE=AO=2, 19.(1)证 明:∵∠1=∠2,∴ED=CE,∵∠A=
即OE=2+4=6,∴C(-4,6); ∠B=90°,
在Rt△ADE 和Rt△BEC中,
AE=BC,ED=CE,∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL);
(2)解:△CDE 是直角三角形,理由如下:
证明:由(1)得Rt△ADE≌Rt△BEC,
∴∠AED=∠BCE,∵∠B=90°,∴∠BCE+
∠CEB=90°,
(2)如图,作MF⊥y轴交于点F, ∴ ∠AED + ∠CEB=90°,∴ ∠DEC=180°-
90°=90°,
∴△CDE 为直角三角形.
20.解:(2x2-1)(3x+2)-x(6x2+4x-3)=6x3+
4x2-3x-2-6x3-4x2+3x=-2;则该式的结果
与x的值无关,∴无论x 取何值,结果都为-2,
∴小明的计算结果是正确的.
21.解:设原计划的行驶速度是xkm/h,则实际行驶速
则∠AEM=∠EFM=∠AOE=90°. 度是4
/ ,根据题意:80 15 80,解得:
∵∠AEO+∠MEF=90°, 5
xkmh + = x=
∠MEF+∠EMF= x 60 4x
90°,∴∠AEO=∠EMF. 5
∠AOE=∠EFM, 80,经检验,当x=80是原分式方程的解.答:原计
在△AEO 和△EMF 中, ∠AEO=∠EMF, 划的行驶速度是80km/h.AE=EM, 22.解:图(2)比图(1)的体积更大,理由如下:
∴△AEO≌△EMF,
∴AO=EF=2,EO=MF.
∵MN⊥x轴,MF⊥y轴,
∴∠MFO=∠FON=∠MNO=90°,
∴四边形FONM 是矩形,∴MN=OF, (1) (2)
∴OE-MN=OE-OF=EF=OA=2.
假期学情测评(二) 图(1)中长方体铁盒的长为a-
a=3a,则宽为a,4 4 4
、 a 3a a a 3a
3
一 1.A 2.D 3.A 4.D 5.B 6.B 高为 ,则体积为4 4×4×4=
;
、 64二 7.7 8.a(a-1) 9.-3 10.144 11.45
12.30cm 13.8 14.6 图(2)中长方体铁盒的长为
a,则宽为a,高为a,
、 2 3 3三 15.4 16.无解 3 3 3
: a a a a 3a a 27a
3
17.解 ∵AM=AN,CN=CP, 则体积为2×
;
3×3=18 ∵64-18=576-
∴△AMN,△CNP 都是等腰三角形,
, 32a
3 5a3 5a3 3a3 a3
∴∠ANM=∠AMN ∠CNP=∠CPN, =- ,且a>0,576 576 ∴-576<0
,∴64<
,
18
∴∠ANM=∠AMN=1(2 180°-∠A
),∠CNP= ∴图(2)比图(1)的体积更大.
23.(1)如图所示:
∠CPN=1(180°-∠C),2
∵∠A+∠C=180°-∠ABC=80°,
∴∠ANM+∠CNP=1(2 180°-∠A
)+1(2 180°-
∠C)=180°-1(∠A+∠C)=140°,2
∴∠MNP=180°-∠ANM -∠CNP=180°-
(∠ANM+∠CNP)=40°.
: 2x(x+2)+x(x-2) (x+2)(x-2)18.解 原 式 = (x+2)(x-2) × x (2)由图可知,A1(1,5)、B1(1,0)、C1(4,3);
6
(3)连接A1C与y轴交于点P,则P 点即为所求; 16. 原 式 = x+1 x · x =
(4)
-
S六边形AA1C1B1BC=S +S
( ) ( )2
△ABC △A1B1C1+S矩形AA BB xx-1 x-1 1 1
x21 -1 x
2 -1
=2×5×3+
1
2×5×3+2×5
· ·
x(x-1)2-x(x-1)2 x=x(x-1)2 x=
=15+10 - 1
=25. (x-1)
2
24.解:(1)由图可得:阴影两部分求和为:a2+b2,总面 ∵ x+1 xx2-x-x2-2x+1 ÷1有意义,x
积减去空白部分面积为:(a+b)2-2ab,故答案为: ∴x≠1,x≠0,∴x可以取0和1之外的任何数,
a2+b2,(a+b)2-2ab; 1
(2)由题意可得:a2+b2=(a+b)2-2ab; 当x=2时,原式=-(2-1)2=-1.
(3)由(2)可得:m2+n2=(m+n)2-2mn,∵m+ 17.解:(1)如图①,直线m 即为所求;
, 2 2 , 2 , 5, (2)如图②,直线 即所求n=5m +n =20 ∴20=5-2mn ∴mn= n .2
∴(m-n)2=m2+n2-2mn=20-2×52=15.
25.解:(1)设甲工程队单独完成此项工程需x天,则乙
工程队单独完成需要1.5x 天,由题意: 1x +
图 1 图, : , : ① ②解得 经检验
1.5x ×30=1 x=50 x=50是原方 18.解:(1)设B 型号的冰墩墩钥匙扣的单价为x元,A
程的解,且符合题意.则1.5x=75(天).答:甲队单 型号的冰墩墩手办的单价为(x+30)元,根据题意
独完成此项工程需要50天,乙队单独完成此项工程 得,880
x+30=
290×2,解得,x x=58
,经检验,x=58是
需要75天;
(2)①由(1)知甲队单独完成此项工程需要50天,乙 原方程的解,∴x+30=88,所以,A 型号的冰墩墩
队单独完成此项工程需要75天,∵50<51<75,则 手办的单价为88元,B 型号的冰墩墩钥匙扣的单
暑假共51天,甲队能在计划时间内完成,乙队不能 价为58元;
在计划时间内完成,∴从时间的角度考虑,学校应 (2)设最多能购买m 个A 型号的纪念品,(100-m)
选择甲工程队;②若甲队单独完成,其费用为:50× 个B型号的纪念品,根据题意得,88m+58×(100-
1000=50000(元),若乙队单独完成,
其费用为: m)≤6800,解得,m≤331 ,∵m 是整数,∴最多能
75×600=45000(元),
3
∵45000<50000,∴从资金的 购买33个A 型号的纪念品
角度考虑, .学校应选择乙工程队. 19.(1)证明:∵AC=AD,∴∠ACD=∠ADC,
假期学情测评(三) 又∵∠BCD=∠EDC=90°,
,
∴∠ACB=∠ADE
一、1.A 2.C 3.A 4.B 5.B 6.B 在 和 中,
△ABC △AED
二、7.3 8.-5 9.-1 10.14 11.30 12.55° BC=ED,
或125°
∠ACB=∠ADE,
三、13.解:(1)方程两边同时乘(x+2)(x-1),得 AC=AD,
2(x+2)+mx=x-1,整理得(m+1)x=-5, ∴△ABC≌△AED(SAS);
∵x=1是分式方程的增根,∴m+1=-5,解得: (2)解:当∠B=140°时,∠E=140°,
m=-6; 又∵∠BCD=∠EDC=90°,
(2)∵原分式方程有增根,∴(x+2)(x-1)=0,解 ∴五 边 形 ABCDE 中,∠BAE=540°-140°×
得:x=-2或x=1,当x=-2时,m=1.5;当x= 2-90°×2=80°.
1时,m=-6; 20.解:(1)甲队每天修路的长度 甲队修路400米所需
(3)当m+1=0时,该方程无解,此时m=-1;当 时间(或乙队修路600米所需时间)
m+1≠0时,要使原方程无解,由(2)得:m=-6 (2)由题意,得:冰冰用的等量关系:甲队修路400米
或m=1.5,综上,m 的值为-1或-6或1.5. 所用时间=乙队修路600米所用时间;庆庆用的等
4 6
14.(1) 2 ()ac
量关系:乙队每天修路的长度-甲队每天修路的长
2m-n 24b7 度=20米;
15.(1)x=3 (2)x=4 (3)①选冰冰的方程:400= 600 ,解得 ;经5 x x+20 x=40
7
检验x=40是原分式方程的解.答:甲队每天修路的 (2)证明:如图,过O 作OE⊥AB 于E,OF⊥AC 于
,则
长度为40米.②选庆庆的方程:600-400=20.解得 F ∠OEB=∠OFC=90°.y y ∵点O 到△ABC 的两边AB,AC 所在直线的距离
y=10;经检验y=10是原分式方程的解.所以
400 相等,
y = ∴OE=OF.
400=40.答:甲队每天修路的长度为10 40
米.
21.(1)解:∵(9-x)(x-6)=1,(9-x)+(x-6)=3,
∴[(9-x)+(x-6)]2=9,2(9-x)(x-6)=2,
∴(9-x)2+ (x-6)2 +2(9-x)(x-6)=
[(9-x)+(x-6)]2=9,∴(9-x)2+(x-6)2= 在Rt△OEB 和Rt△OFC中,
9-2=7; OB=OC,
(2)设AC=a,BC=CF=b,∴a+b=6,a2+b2= OE=OF,
16,∴(a+b)2=36,∴a2+b2+2ab=36;∴ab=10, ∴Rt△OEB≌Rt△OFC(HL).
∴S =1ab=1×10=5. ∴∠ABO=∠ACO.△ACF 2 2 ∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.
22.(1)解:x+1=1+1,故①是“和谐分式”;x+2 ∴∠ABC=∠ACB.x x x2
不
∴AB=AC;
能化成一个整式与一个分子为常数的分式,故②不 (3)解:AB=AC不一定成立.
是“和谐分式”;x+2=x+1+1=1+ 1 ,故③是 理由:当∠BAC的平分线所在直线和BC 的垂直平x+1 x+1 x+1 分线重合时,如图①,过O作OE⊥AB交AB的延长
2
“和谐分式”;y +1=1+12 2,故④是“和谐分式”;故 线于E,OF⊥AC 交AC 的延长线于F,则∠OEB=y y ∠OFC=90°.
答案为:①③④;
∵点O 到△ABC 的两边AB,AC 所在直线的距离2
(2)a -2a+3=a
2-2a+1+2 (=a-1
)2+2 相等,
a-1 a-1 a-1 =a-
1+ 2
∴OE=OF.
;故答案为:a-1+ 2 ;a-1 a-1 在Rt△OEB 和Rt△OFC中,
(3)原式=3x+6-x-1· x
(x+2) 3x+6
x+1 x (x+1)(x-1)=x+1
OB=OC,
OE=OF,
-x+2=2x+4;∵2x+4=2x+2+2 2
∴Rt△OEB≌Rt△OFC(HL).
,
x+1 x+1 x+1 x+1 =2+x+1 ∴∠EBO=∠FCO.
∴当x+1=±1,±2时,分式的值为整数, ∵OB=OC,
∴x=0,1,-2,-3,∵x=0,1,-2时,分式无意 ∴∠OBC=∠OCB.
义,∴当x=-3时,分式的值为整数. ∵∠ABC=180°-(∠OBC+∠EBO),
23.(1)证明:如图,过O 作OE⊥AB 于E,OF⊥AC 于 ∠ACB=180°-(∠OCB+∠FCO),
F,则∠OEB=∠OFC=90°. ∴∠ABC=∠ACB.
∴AB=AC.
∵点O 到△ABC 的两边AB,AC 所在直线的距离
相等,∴OE=OF.
在Rt△OEB 和Rt△OFC中, ① ②
OB=OC, 当∠BAC 的平分线所在直线和BC 的垂直平OE=OF, 分线不重合时,如图②,∠ABC 和∠ACB 不相等,
∴Rt△OEB≌Rt△OFC(HL). ∴AB≠AC.
∴∠ABC=∠ACB. 综上,AB=AC不一定成立.
∴AB=AC,即△ABC是等腰三角形;
8
