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2025-2026学年八年级数学上学期期末模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教版2024八年级上册全册。
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．国产人工智能模型、豆包等横空出世，迅速吸引了大众的眼球．以下四款人工智能的图标中，其图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、不是轴对称图形，则此项不符合题意；
B、是轴对称图形，则此项符合题意；
C、不是轴对称图形，则此项不符合题意；
D、不是轴对称图形，则此项不符合题意；
故选：B．
2．下列计算正确的（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方运算法则分别计算即可判断求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：、和 不是同类项，不能合并，该选项计算错误，不合题意；
、，该选项计算错误，不合题意；
、，该选项计算错误，不合题意；
、，该选项计算正确，符合题意；
故选：．
3．若分式的值为零，则的取值为（ ）
A． B． C． D．的值不存在
【答案】B
【分析】本题考查分式的值为零的条件．分式的值为零需满足分子为零且分母不为零，据此求解即可．
【详解】解：∵分式的值为零，
∴且，
由得，即或，
又∵，即，
∴，
故选：B．
4．如果多项式是一个完全平方式，则的值是（ ）
A．5 B．1 C．1或 D．1或9
【答案】C
【分析】本题考查了完全平方公式，解题关键是掌握完全平方式的结构特征．
利用完全平方公式的结构特征，常数项为25，可确定平方根为，再根据一次项系数相等求解．
【详解】∵ = ，
又多项式 是完全平方式，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ．
故选：C．
5．在平面直角坐标系中，点和点关于y轴对称，则（ ）
A． B．1 C．7 D．3
【答案】A
【分析】本题考查的是关于轴对称点的坐标特点．
根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数求解a和b，再计算即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点和点关于y轴对称，
，，
解得：，，
．
故选：A．
6．下列条件中，能判断的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，全等三角形的判定方法有：，而都不能判定两三角形全等，根据以上内容判断即可．
【详解】解：如图，
A、根据，不能判断，故本选项错误；
B、根据，利用能判断，故本选项正确；
C、根据，不能判断，故本选项错误；
D、，不能判断，故本选项错误；
故选：B．
7．如图，是外的一点，的延长线于点，于点，的延长线于点，连接，．若，，则的度数为（）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、三角形内角和定理以及三角形外角性质，解题关键是利用角平分线的判定定理得出角平分线，再结合三角形内角和与外角性质进行角度计算．
利用角平分线判定定理得出相关角的平分线，再结合三角形外角性质和角的和差关系求出的度数．
【详解】解：∵，，且，
∴平分．即：，
同理可得：，
又∵，，
∴，
∴
在中，，
∴．
故选为：C．
8．欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着个鸡蛋去市场卖，两人鸡蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找到等量关系，设甲农妇有个鸡蛋，则乙农妇有个鸡蛋，甲单价为，乙单价为，根据卖得钱数相同即可得方程．
【详解】解：设甲农妇有个鸡蛋，则乙农妇有个鸡蛋，
根据题意得，
故选：A．
9．已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【分析】本题考查分式方程的解及解的取值范围，解题的关键是先将分式方程化为整式方程求解，再结合分式有意义的条件（分母不为0）和解的正负性确定参数范围．
先将分式方程化为同分母形式，转化为整式方程求解关于的表达式，再根据＂解为正数＂和＂分母不为0＂列不等式，最终确定的取值范围．
【详解】解：∵方程，
又∵，
∴，
∴原方程化为．
左边合并：，
两边同时乘以得：，
解得．
由，得，即．
又∵解为正数，∴，即，．
综上，且．
故选：D．
10．如图，已知：，点、、……在射线上，点、、……在射线上， 、、……均为等边三角形，若，则的边长为（ ）．
A．6 B．128 C．64 D．32
【答案】D
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的性质、30度角的直角三角形的性质、平行线的判定与性质等知识点，掌握等边三角形的性质是解题的关键．
根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出…以此可得即可解答．
【详解】解：如图所示：
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
以此类推：，即的边长为32．
故选D．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．）
11．某种花粉的直径约为，花粉直径用科学记数法表示为 m．
【答案】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，进行求解即可．
【详解】解：用科学记数法表示为．
故答案为：．
12．已知等腰三角形的两边长分别为4和6，则这个等腰三角形的周长为 ．
【答案】14或16
【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，解题方法是需分情况讨论腰长和底边长，再依据三角形三边的关系验证能否构成三角形．
分两种情况讨论：当腰长为4时和当腰长为6时，利用三角形的三边关系判断能否构成三角形，再求周长即可．
【详解】解：当腰长为4时，三角形的三边分别为4，4，6，
，
能构成三角形，周长为；
当腰长为6时，三角形的三边分别为6，6，4，
∵，
能构成三角形，周长为．
故答案为：14或16．
13．如图，在中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为 ．
【答案】或/12或6
【分析】本题考查了全等三角形的判定，分情况讨论对应顶点的位置关系是解题的关键．
因为两个直角三角形已有一组斜边相等故分两种情况：或即可得出．
【详解】解：∵，，
∴要使和全等，分两种情况：
①当时，，
②当时，．
故答案为或．
14．若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是 ．
【答案】10
【分析】本题主要考查三角形的三边关系，因式分解，将变形得，求得，的值，再分两种情况讨论即可．
【详解】解：将变形，得，可得，．
①若是腰长，则三角形的三边长为：、、，不能组成三角形；
②若是底边长，则三角形的三边长为：、、，能组成三角形；
所以的周长．
故答案为：．
15．如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点、．若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为 ．
【答案】11
【分析】本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质，利用轴对称解决线段和最小问题．连接，的周长为，为定值，要使的周长最小，则的值最小，的垂直平分线为，得到关于对称，得到，当三点共线时，，最小，进行求解即可．
【详解】解：∵的周长为，为定值，
∴当的值最小时，的周长最小，
连接，
∵的垂直平分线为，
∴关于对称，
∴，
∴当三点共线时，，
∵等腰，点为底边的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴的周长的最小值为；
故答案为：．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．（本题7分）先化简，再求值：
(1)，其中，．
(2)，其中，．
【分析】本题考查了整式和分式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；
（1）先根据完全平方公式和平方差公式展开，再去括号、合并同类项，最后代值计算即可；
（2）先根据分式的混合运算法则计算，再代值求解即可．
【详解】（1）解：
，
当，时，
原式．
（2）解：
当，时，
原式．
17．（本题8分）已知关于的分式方程．
(1)若方程的增根为，求的值．
(2)若方程无解，求的值．
【分析】本题主要考查分式方程的增根及无解，关键是将分式方程化为整式方程，结合增根的定义（使分母为的根）分析，易错点是混淆“增根导致无解”与“整式方程本身无解”的情况．
（1）先将分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程求；
（2）分“整式方程无解”和“整式方程的解是增根”两种情况求．
【详解】（1）解：
方程两边同时乘以得：
整理得：
将增根代入整式方程：
解得
（2）分式方程无解分两种情况：
情况 1：整式方程无解
当时，整式方程无实数解，故分式方程无解，此时；
情况 2：整式方程的解是增根
增根为（使分母为的根），由（1）知此时；
所以的值为或．
18．（本题8分）某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价是第一次进价的1.2倍，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完．
(1)该种干果的第一次进价是每千克多少元？
(2)超市销售这种干果共盈利多少元？
【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是分析题意，找到合适的等量关系列出相应的方程求解．
（1）设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克元．根据第二次购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，列出方程，解方程即可求解；
（2）根据利润=售价 进价，可求出结果．
【详解】（1）解：设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：该种干果的第一次进价是每千克5元．
（2）解：第一次购进（千克），
第二次购进（千克）．
总购进量为（千克），
按原价销售量为（千克），
（元）．
答：超市销售这种干果共盈利5820元．
19．（本题9分）（综合与实践）【提出问题】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸上点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？
(1)【数学理解】如图2，小亮作出了点B关于直线l的对称点，连接与直线l（即河岸）交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．
他的思考过程如下，请你横线上填写理由、依据或内容．
如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，．
在△中，（ ）
点与点关于直线对称，直线垂直平分
，（ ）
，
．
(2)【解决问题】如图4，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到点处，试分别在和上各找一点、，使得将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，三角形三边关系，正确画出图形是解题关键．
（1）根据所给推理正确填空即可；
（2）如图所示，分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，根据轴对称的性质可得路线，，即为所求．
【详解】（1）解：如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，．
在中，（三角形任意两边之和大于第三边）
点与点关于直线对称，
直线垂直平分
，（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）
，
．
故答案为：三角形任意两边之和大于第三边；；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
（2）解：如图所示，分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，则路线，，即为所求．
，，则，
根据两点之间线段最短可得路线，，即为所求．
20．（本题9分）数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系．我们把这种思想叫“算两次”．“算两次”也称作富比尼原理，是一种重要的数学思想．由它可以推导出很多重要的公式．某校数学兴趣小组，在学习整式的乘除后，进行了如下的探究：
【问题背景】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
（1）用“算两次”的方法计算图2中阴影部分的面积：第一次列式为_______，第二次列式为_______．因为两次所列算式表示的是同一个图形的面积．所以可以得出等式_______；
（2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若，，求的值；
【知识迁移】
（3）根据图3，写出一个代数恒等式：_______；
【思维创新】
（4）利用（3）中得出的恒等式，解决下面的问题：
若，，则的值是_______
【分析】本题考查的是利用几何图形的面积推导代数公式．
（1）第一次求解阴影部分的边长，再计算面积，第二次利用大的正方形的面积减去四个长方形的面积，从而可建立等式；
（2）将，代入计算即可；
（3）根据大正方形面积等于九个小图形的面积和列等式计算即可；
（4）将，代入计算即可．
【详解】（1）解：因为小正方形的边长为：，
所以第一次计算的面积为：，
第二次计算的面积为：，
所以：；
故答案为：，，；
（2）解：
；
（3）解：由图3可得：；
故答案为：；
（4）解：∵，，
∴，
即．
故答案为：．
21．（本题10分）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似地，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形．我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”．
例如，将分式分解：．
(1)将分式分解的结果为________；
(2)若可以分式分解为（其中是常数）．则________，________；
(3)当时．判断与的大小关系，并证明．
【分析】本题考查新定义下分式的加减及分式的大小比较，理解题中新定义、熟练掌握作差法是解题的关键．
（1）根据题中示例进行变形即可得出答案；
（2）将通分，即可求得m 及关于的方程组，解之即可得答案；
（3）根据做差法求出两个分式的差再判断出差的正负即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，
故答案为：；
（2）解：∵
，
∵，
∴，
，
解得：，
故答案为：1，3；
（3）解：．
证明：
，
，
，
．
22．（本题11分）八年级（2）班同学在数学活动课上，张老师提出了如下问题：
（1）如图1，是的中线，，，写出一个符合条件的的整数值．
【探究方法】
第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：
①延长到E，使得；
②连接．通过三角形全等把转化在中；
③利用三角形的三边关系可得的取值范围为．从而得到的取值范围是______，所以的可能取值为______；
【方法总结】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形．
【问题解决】
（2）如图2，，，，连接，E是的中点，连接，若，求的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系的应用，掌握倍长中线法构造全等三角形是解题的关键．
（1）先证，推出，再利用三角形三边关系得出，即可求解；
（2）延长到F使，连接，先证，推出，，进而可得，，再证，即可得出．
（3）延长到G使，连接，则，由（2）得，推出，，再证，最后根据即可求解．
【详解】解：（1）∵是的中线，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
可得，
即，
∴，的可能取值为2，3，4，
故答案为：，2（或3或4）；
（2）延长到F使，连接，
，，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
又，
，
．
（3）延长到G使，连接，则，
由（2）得，
，，
，，
，
，
，
，
．
23．（本题13分）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足．
(1)如图1，填空：点的坐标为______，点的坐标为_____；若以为斜边构造等腰直角，则点的坐标______；
(2)如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点．
①若是的角平分线，求证：；
②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若不改变，写出这个定值；若改变，请说明理由．
【分析】（1）先根据非负性求出点的坐标为，点的坐标为，①点在第一象限时，过点作轴于点，过点作于点，证明，则，，由得到，求出，即可求解点的坐标；②点在第四象限时，过点作轴于点，过点作于点，同理可求即可；
（2）①延长、，相交于点，证，得，再证，得，则，即可得出结论；②过点作于点，于点，证，得，则是的角平分线，即可解决问题．
【详解】（1）解： ，
，，
解得，，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
分两种情况：①如图1，点在第一象限时，过点作轴于点，过点作于点，
轴，
，，
，
，
，
，
，
又 ，，
，
，，
，
，
，
点；
②如图，点在第四象限时，过点作轴于点，过点作于点，
同①得，
，，
，
，
，
点；
综上所述，点的坐标为或；
故答案为：，；或；
（2）①证明：如图2，延长、，相交于点，
，
，
，，
，
又 ，
，
，
是的角平分线，
，
，，
，
，
，
；
②的大小不变，为定值，理由如下：
如图3，过点作于点，于点，
则，
，
，
由①可知，，
，
，
是的角平分线，
，
即的大小不变，为定值．
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（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教版2024八年级上册全册。
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．国产人工智能模型、豆包等横空出世，迅速吸引了大众的眼球．以下四款人工智能的图标中，其图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．C． D．
2．下列计算正确的（ ）
A． B．C． D．
3．若分式的值为零，则的取值为（ ）
A． B． C． D．的值不存在
4．如果多项式是一个完全平方式，则的值是（ ）
A．5 B．1 C．1或 D．1或9
5．在平面直角坐标系中，点和点关于y轴对称，则（ ）
A． B．1 C．7 D．3
6．下列条件中，能判断的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，是外的一点，的延长线于点，于点，的延长线于点，连接，．若，，则的度数为（）．
A． B． C． D．
8．欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着个鸡蛋去市场卖，两人鸡蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（ ）
A． B．
C． D．
9．已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
10．如图，已知：，点、、……在射线上，点、、……在射线上， 、、……均为等边三角形，若，则的边长为（ ）．
A．6 B．128 C．64 D．32
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．）
11．某种花粉的直径约为，花粉直径用科学记数法表示为 m．
12．已知等腰三角形的两边长分别为4和6，则这个等腰三角形的周长为 ．
13．如图，在中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为 ．
14．若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是 ．
15．如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点、．若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为 ．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．（本题7分）先化简，再求值：
(1)，其中，．
(2)，其中，．
17．（本题8分）已知关于的分式方程．
(1)若方程的增根为，求的值．
(2)若方程无解，求的值．
18．（本题8分）某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价是第一次进价的1.2倍，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完．
(1)该种干果的第一次进价是每千克多少元？
(2)超市销售这种干果共盈利多少元？
19．（本题9分）（综合与实践）【提出问题】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸上点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？
(1)【数学理解】如图2，小亮作出了点B关于直线l的对称点，连接与直线l（即河岸）交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．
他的思考过程如下，请你横线上填写理由、依据或内容．
如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，．
在△中，（ ）
点与点关于直线对称，直线垂直平分
，（ ）
，
．
(2)【解决问题】如图4，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到点处，试分别在和上各找一点、，使得将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）
20．（本题9分）数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系．我们把这种思想叫“算两次”．“算两次”也称作富比尼原理，是一种重要的数学思想．由它可以推导出很多重要的公式．某校数学兴趣小组，在学习整式的乘除后，进行了如下的探究：
【问题背景】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
（1）用“算两次”的方法计算图2中阴影部分的面积：第一次列式为_______，第二次列式为_______．因为两次所列算式表示的是同一个图形的面积．所以可以得出等式_______；
（2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若，，求的值；
【知识迁移】
（3）根据图3，写出一个代数恒等式：_______；
【思维创新】
（4）利用（3）中得出的恒等式，解决下面的问题：
若，，则的值是_______
21．（本题10分）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似地，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形．我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”．
例如，将分式分解：．
(1)将分式分解的结果为________；
(2)若可以分式分解为（其中是常数）．则________，________；
(3)当时．判断与的大小关系，并证明．
22．（本题11分）八年级（2）班同学在数学活动课上，张老师提出了如下问题：
（1）如图1，是的中线，，，写出一个符合条件的的整数值．
【探究方法】
第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：
①延长到E，使得；
②连接．通过三角形全等把转化在中；
③利用三角形的三边关系可得的取值范围为．从而得到的取值范围是______，所以的可能取值为______；
【方法总结】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形．
【问题解决】
（2）如图2，，，，连接，E是的中点，连接，若，求的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积．
23．（本题13分）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足．
(1)如图1，填空：点的坐标为______，点的坐标为_____；若以为斜边构造等腰直角，则点的坐标______；
(2)如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点．
①若是的角平分线，求证：；
②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若不改变，写出这个定值；若改变，请说明理由．
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