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2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教版九年级上、下册全部。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．山西，因居太行山之西而得名，简称“晋”．如图，用放大镜将由“晋”字设计的图标放大，则放大前后两个图形之间属于图形的（ ）
A．平移 B．轴对称 C．相似 D．旋转
2．如图是一个空心圆柱，关于它的主视图和俯视图正确的是（ ）
A．B． C． D．
3．如图，一个不可伸拉的梯子与地面所成的夹角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法正确的是（ ）
A．值越大，梯子越陡 B．值越大，梯子越陡
C．值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关
4．把抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，所得函数的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知反比例函数，当时．随的增大而增大、则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，中，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，直线与双曲线交于点．将直线向右平移4个单位长度后，与双曲线交于点，与轴交于点．若，则的值为（ ）
A．6 B．8 C． D．
9．某三棱柱的三视图如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为，已知，，则左视图的面积是（ ）
A． B． C．4 D．2
10．抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断中：①；②方程的两个根是，；③当时，y的值随x增大而增大；④若点，均在抛物线上，则，其中正确的判断是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．在平面直角坐标系中，若点和点关于原点中心对称，则的值为 ．
12．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是 （写出一个即可）．
13．已知，则 ．
14．在中，若，则 度；
15．如图，点A在函数的图象上，作 轴交函数的图象于点C，四边形的面积为 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本题7分）（1）计算：
（2）关于的一元二次方程可以变形为的形式，如下是小雨同学解方程的过程：
解： 原方程可变形为
①上述解方程的方法是通过添项构造______________（填“平方差公式”或“完全平方公式”）
②仿照题中的方法，解方程：
17．（本题8分）如图，这是由5个同样大小的小正方体搭成的几何体，其从正面看到的形状如图所示．
(1)请在网格中画出它的左视图和俯视图．
(2)如果让该几何体变成一个长方体，那么至少需要添加________个同样大小的小正方体．
18．（本题8分）请阅读材料，并完成相应的任务．
战国时期数学家墨子提写的《墨经》一书中就有了圆的记载，与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．
定义：我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（也就是切线与弦所夹的角，切点为弦切角的顶点）．如图1中即为弦切角．
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．
下面是弦切角定理的证明过程：
①如图1.已知：为圆上任意一点，当弦经过圆心，且切于点时．
易证：弦切角．
②如图2.当点是优弧上任意一点，切于点．
求证：弦切角．
证明：连接并延长交于点，连接，如图2所示．
与相切于点，
______，
，
是直径，
（_____），
，
，
又（_______），
．
完成下列任务：
(1)将上述证明过程及依据补充完整；
(2)运用材料中的弦切角定理解决下列问题：
①如图3，的顶点在上，和相交于点，且是的切线，切点为，连接．若，，求的长．
②如图4，，，以为直径的交于点，过点作的切线，交的延长线于点．直接写出与的数量关系：______．
19．（本题9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交，两点，一次函数的图象与y轴交于点C．
(1)求一次函数解析式；
(2)根据函数的图象，直接写出不等式的解集；
(3)点P是x轴上一点，的面积等于面积的2倍，求点P坐标．
20．（本题9分）阅读与思考
阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如，在计算时，可构造如图所示的图形．在中，，，设，延长至点，使得，连接，易知，所以．
任务．
(1)请根据上面的步骤，_________．
(2)请类比这种方法，画出图形，并计算的值．
(3)在中，，，请你直接写出的值．
21．（本题10分）某数学兴趣小组进行项目式学习成果的展示，他们利用“杠杆原理”制作出一种投石机，如图1，为检验投石机的性能，进行如下操作：将石头用投石机从A处投出，石头的运动轨迹是抛物线的一部分，最终石头落在斜坡上的点C处，以水平地面为x轴，为y轴建立平面直角坐标系，如图2．已知米，在石头运动过程中，当石头与y轴的水平距离为4米时，离水平地面的距离最大，为1.8米，斜坡所在直线的函数表达式为．
(1)求出石头的运动轨迹所在抛物线的函数表达式．
(2)如图3，点E是石头运动轨迹上任一点，过点E作轴交坡面于点F．
①求石头运动过程中到坡面的铅直高度的最大值．
②直接写出石头运动过程中到坡面的最大距离．
22．（本题11分）在数学学习和研究中，经常用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法．
【原题呈现】
如图1，在平行四边形中，点M是的中点，点O是线段上一点，的延长线交射线于点N．若，求的值．
【尝试探究】
如图1，过点M作交于点H，则 ， ， ．
【类比延伸】
如图2，在原题的条件下，若，则 （用含有k的代数式表示）．
【拓展迁移】
如图3，四边形中，，点E是的延长线上的一点，和相交于点O．若，，，则 （用含m，n的代数式表示）．
23．（本题13分）如图，抛物线交轴于两点，交轴于点，
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点是第一象限内抛物线上的一个动点，其横坐标为，连接交直线于点，求的最大值，并求出此时的坐标；
(3)若点为抛物线上一动点，是否存在点，使 若存在，请直接写出的坐标；若不存在，请说明理由．
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（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教版九年级上、下册全部。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．山西，因居太行山之西而得名，简称“晋”．如图，用放大镜将由“晋”字设计的图标放大，则放大前后两个图形之间属于图形的（ ）
A．平移 B．轴对称 C．相似 D．旋转
【答案】C
【分析】本题考查了相似、平移、轴对称和旋转的定义及性质，理解相似、平移、轴对称和旋转的定义及性质是解决问题的关键．
根据题意可知，将图标放大，图形大小发生了变化，结合平移、轴对称和旋转不改变图形大小可以确定，这两个图是相似关系，从而得到答案．
【详解】解：根据相似的定义及性质可知，用放大镜将由“晋”字设计的图标放大，两个图形的形状相同，大小不同，因此这两个图形的关系是相似，
故选：C．
2．如图是一个空心圆柱，关于它的主视图和俯视图正确的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【分析】根据从正面看和从上面看得到的图形，进行判断即可．
【详解】解：该几何体的主视图和俯视图为：
故选B．
【点睛】本题考查三视图．熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．注意存在看不见的用虚线表示．
3．如图，一个不可伸拉的梯子与地面所成的夹角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法正确的是（ ）
A．值越大，梯子越陡 B．值越大，梯子越陡
C．值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关
【答案】A
【分析】本题考查锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角度的增大而增大；余弦值是随着角度的增大而减小，根据规律，结合选项逐项判断即可得到答案，熟记锐角三角函数值的变化规律是解决问题的关键．
【详解】解：A、正弦值是随着角度的增大而增大，则值越大，越大，梯子越陡，选项说法正确，符合题意；
B、余弦值是随着角度的增大而减小，则值越大，越小，梯子越缓，选项说法错误，不符合题意；
C、正切值是随着角度的减小而减小，则值越小，越小，梯子越缓，选项说法错误，不符合题意；
D、由锐角三角函数值的变化规律可知，梯子的陡缓程度与的函数值有关，选项说法错误，不符合题意；
故选：A．
4．把抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，所得函数的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．
根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”解题即可．
【详解】解：把抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，所得函数的表达式为：，
故选：D．
5．如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查几何概率的知识，求出小正方形的面积是关键．设，则圆的直径为，求出小正方形的面积，即可求出几何概率．
【详解】解：如图：连接，，设，则圆的直径为，
∵四边形是正方形，
∴，
∴小正方形的面积为：，
则飞镖落在阴影区域的概率为：．
故选：C．
6．已知反比例函数，当时．随的增大而增大、则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数为常数，的增减性与的关系．
根据反比例函数的性质，当反比例函数中时，在每个象限内随的增大而增大，据此列出关于的不等式求解．
【详解】已知反比例函数，当时，随的增大而增大．
得．解得．
故选：B．
7．如图，中，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意；
D、这两个三角形两边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．
故选：C．
8．如图，直线与双曲线交于点．将直线向右平移4个单位长度后，与双曲线交于点，与轴交于点．若，则的值为（ ）
A．6 B．8 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合题，作轴，轴，可证得；设，，根据点在直线上可求出．巧妙设出两点的坐标是解题关键．
【详解】解：作轴，轴，如图所示：
由题意可得：，
∴，
∵，
∴
∴，
∵
∴
设，，
∵点是直线上的点，
∴
由题意得：直线的解析式为：
∵点是直线上的点，
∴
∴，
解得：，
∴
∴
故选：D
9．某三棱柱的三视图如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为，已知，，则左视图的面积是（ ）
A． B． C．4 D．2
【答案】D
【分析】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的形状是正确解答的前提．
根据这个几何体的三视图，得出这个三棱柱，高为，设，由求出的值，进而确定，即可解答．
【详解】解：过点A作，由简图可知，这个几何体是三棱柱，高为，设，
，
∵，，
解得，
∴，
则
∴左视图长方形的长为2，宽为1，所以左视图的面积是2．
故选：D．
10．抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断中：①；②方程的两个根是，；③当时，y的值随x增大而增大；④若点，均在抛物线上，则，其中正确的判断是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④
【答案】B
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用数形结合思想．
根据抛物线的开口方向，对称轴，抛物线与x轴的交点情况，二次函数图象上点的坐标特征逐项判断即可．
【详解】解：图象开口向上，
，
对称轴为直线，
，
，
图象与y轴交点在y轴负半轴，
，
，①错误；
由图象可知，抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线，
抛物线与x轴的另一个交点为，
∴方程的两个根是，；故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∴当时，y的值随x增大而增大；
∴当时，y的值随x增大而增大；
故③正确，
抛物线对称轴为，，，
点比点到对称轴的距离相等，
，故④正确；
综上可知，正确的有②③④．
故选B．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．在平面直角坐标系中，若点和点关于原点中心对称，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了成中心对称的点的特征，求代数式的值，根据成中心对称的点的横纵坐标互为相反数可得，，代入代数式求解即可．
【详解】解：∵点和点关于原点中心对称，
∴，，
∴，
故答案为：．
12．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是 （写出一个即可）．
【答案】0（答案不唯一）
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的二次项系数不等于和有两个不相等的实数根的条件，即，分别列式求解，即可解答．
【详解】解：方程是一元二次方程，则二次项系数不为，
即：，
解得：，
因为该一元二次方程有两个不相等的实数根，则．
即：，
解得：，
综上可得：且．
所以，可取．
故答案为：．
13．已知，则 ．
【答案】4
【分析】本题考查比例的性质，掌握比例的性质是解题关键．根据比例的性质可得出，，，代入中，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，，．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4．
14．在中，若，则 度；
【答案】75
【分析】本题考查了算术平方根、绝对值的非负性及特殊角度的三角函数值，熟练掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0和特殊角度的三角函数值是解题的关键．
根据算术平方根，绝对值的非负性求出、的值，进而求得，的度数，根据三角形的内角和定理求得的度数．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：75．
15．如图，点A在函数的图象上，作 轴交函数的图象于点C，四边形的面积为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，作出辅助线是正确解决本题的关键．延长交y轴于点D，根据，利用比例函数系数k的几何意义，即可解答．
【详解】解：延长交y轴于点D，
轴，
轴，
设，
∵点C在反比例函数的图象上，
，
，
∵，
∴四边形是长方形，
设，
∵点A在反比例函数的图象上，
，
，
∴．
故答案为：5．
三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本题7分）（1）计算：
（2）关于的一元二次方程可以变形为的形式，如下是小雨同学解方程的过程：
解： 原方程可变形为
①上述解方程的方法是通过添项构造______________（填“平方差公式”或“完全平方公式”）
②仿照题中的方法，解方程：
【分析】本题考查实数的混合运算，解一元二次方程、平方差公式，熟悉一元二次方程的解法是解答的关键．
（1）先根据负指数幂性质、零指数幂的性质及特殊角的三角函数化简，再计算即可；
（2）根据题目中给出的思路，先转化为平方差形式，再解方程即可解决．
【详解】解：（1）
；
（2）①平方差公式
②
原方程可变形为
∴
∴，．
17．（本题8分）如图，这是由5个同样大小的小正方体搭成的几何体，其从正面看到的形状如图所示．
(1)请在网格中画出它的左视图和俯视图．
(2)如果让该几何体变成一个长方体，那么至少需要添加________个同样大小的小正方体．
【分析】本题考查了几何体的三视图，
（1）根据从不同方向观察到的几何图形作图即可；
（2）将该几何体变成一个的立方体时，需要添加的小正方体最少，进而求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，该几何体的三视图如下．
（2）解：根据题意得，在原图形基础上，让该几何体变成一个的长方体，
∴至少需要添加个这样的小正方体，
故答案为：7．
18．（本题8分）请阅读材料，并完成相应的任务．
战国时期数学家墨子提写的《墨经》一书中就有了圆的记载，与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．
定义：我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（也就是切线与弦所夹的角，切点为弦切角的顶点）．如图1中即为弦切角．
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．
下面是弦切角定理的证明过程：
①如图1.已知：为圆上任意一点，当弦经过圆心，且切于点时．
易证：弦切角．
②如图2.当点是优弧上任意一点，切于点．
求证：弦切角．
证明：连接并延长交于点，连接，如图2所示．
与相切于点，
______，
，
是直径，
（_____），
，
，
又（_______），
．
完成下列任务：
(1)将上述证明过程及依据补充完整；
(2)运用材料中的弦切角定理解决下列问题：
①如图3，的顶点在上，和相交于点，且是的切线，切点为，连接．若，，求的长．
②如图4，，，以为直径的交于点，过点作的切线，交的延长线于点．直接写出与的数量关系：______．
【分析】（1）根据切线的性质，以及圆周角的性质，即可求解，
（2）①由弦切角定理，可得：，进而得出，由对应边成比例，即可求出的长，
②连接，由是直径，可得，结合，根据等腰三角形三线合一，即可得出是的角平分线，根据弦切角定理，即可求解，
本题考查了切线的性质，圆周角的性质，直径所对的圆周角是，相似三角形的性质与判定，等腰三角形三线合一，解题的关键是：理解并应用弦切角定理，结合已经学会的知识点进行解题．
【详解】（1）解：如图2
是的半径，与相切于点，
，
，
是直径，
直径所对的圆周角是直角，
由同弧所对的圆周角相等，可得：，
故答案为：；直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角相等，
（2）解：①如图，
是的切线，切点为，
，
又，
，
，即： ，
，解得：，
②如图，连接，
是直径，
，，
又，
是的角平分线，即：，
又是的切线，
，
，
故答案为：①；②．
19．（本题9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交，两点，一次函数的图象与y轴交于点C．
(1)求一次函数解析式；
(2)根据函数的图象，直接写出不等式的解集；
(3)点P是x轴上一点，的面积等于面积的2倍，求点P坐标．
【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标，注意数形结合思想的应用．
（1）利用待定系数法求出，的坐标即可解决问题．
（2）观察图象写出一次函数的图象不在反比例函数的图象下方的自变量的取值范围即可解决问题．
（3）根据，求出的面积，设，构建方程即可解决问题．
【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，，
，，
解得，，
，，
把、的坐标代入得，
解得，
一次函数的解析式为．
（2）解：观察图象，不等式的解集为：或．
（3）解：连接，，由题意，
，
设，
由题意，
解得，
或．
20．（本题9分）阅读与思考
阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如，在计算时，可构造如图所示的图形．在中，，，设，延长至点，使得，连接，易知，所以．
任务．
(1)请根据上面的步骤，_________．
(2)请类比这种方法，画出图形，并计算的值．
(3)在中，，，请你直接写出的值．
【分析】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答．
（1）根据题意和题目的数据，可以计算出的值；
（2）根据题意，延长到点D，使得，连接画出图形，然后即可计算出的值；
（3）根据题意，取上的点D，使得，连接，画出图形，根据即可计算出结果．
【详解】（1）解：由题意得：，，
，
故答案为：；
（2）如图所示，
在中，，延长到点D，使得，连接，
则，
，设，则，
故，
；
（3）如图所示，
在中，，取上的点D，使得，连接，
，
，
设，则，
，
则，
．
21．（本题10分）某数学兴趣小组进行项目式学习成果的展示，他们利用“杠杆原理”制作出一种投石机，如图1，为检验投石机的性能，进行如下操作：将石头用投石机从A处投出，石头的运动轨迹是抛物线的一部分，最终石头落在斜坡上的点C处，以水平地面为x轴，为y轴建立平面直角坐标系，如图2．已知米，在石头运动过程中，当石头与y轴的水平距离为4米时，离水平地面的距离最大，为1.8米，斜坡所在直线的函数表达式为．
(1)求出石头的运动轨迹所在抛物线的函数表达式．
(2)如图3，点E是石头运动轨迹上任一点，过点E作轴交坡面于点F．
①求石头运动过程中到坡面的铅直高度的最大值．
②直接写出石头运动过程中到坡面的最大距离．
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，关键是二次函数性质的熟练掌握．
（1）设石块运行的函数关系式为，用待定系数法求得a的值即可求得答案；
（2）①设点，则，求出，根据二次函数的性质可得出结论；
②过点E作于点M，设与轴交于点N，证明，由相似三角形的性质可得结论．
【详解】（1）解：根据题意得，，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
把代入得，，
解得，，
所以，抛物线的解析式为；
（2）解：①，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，为米；
②过点E作于点M，设与轴交于点N，如图，
当最大时，有最大值，
由①知，点，
∴，
∴，，
由勾股定理得，,
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，，
即石头运动过程中到坡面的最大距离为米．
22．（本题11分）在数学学习和研究中，经常用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法．
【原题呈现】
如图1，在平行四边形中，点M是的中点，点O是线段上一点，的延长线交射线于点N．若，求的值．
【尝试探究】
如图1，过点M作交于点H，则 ， ， ．
【类比延伸】
如图2，在原题的条件下，若，则 （用含有k的代数式表示）．
【拓展迁移】
如图3，四边形中，，点E是的延长线上的一点，和相交于点O．若，，，则 （用含m，n的代数式表示）．
【分析】本题是三角形相似的综合题，考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
[尝试探究] 过点M作交于点H，分别证明，，根据相似三角形的性质，结合平行四边形的性质得到，，进而可得；
[类比延伸]如图所示，过点M作交于点H，分别证明，，根据相似三角形的性质，结合平行四边形的性质得到，，进而可得；
[拓展迁移]如图所示，过过点作交的延长线于点，则有．根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】解：尝试探究：过点M作交于点H，如图所示．
则有，
，即，
在 中，，，
∴，
∴，
∴，
又为中点，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：；；；
[类比延伸]：如图所示，过点M作交于点H，如图所示．
则有，
，即，
在 中，，，
∴，
∴，
∴，
又为中点，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：；
[拓展迁移]：如图所示，过点作交的延长线于点，则有．
，
，
，
．
又，
．
，
．
故答案为：．
23．（本题13分）如图，抛物线交轴于两点，交轴于点，
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点是第一象限内抛物线上的一个动点，其横坐标为，连接交直线于点，求的最大值，并求出此时的坐标；
(3)若点为抛物线上一动点，是否存在点，使 若存在，请直接写出的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】该题主要考查了二次函数以及一次函数的图象和性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形等知识点，解题的关键是数形结合；
（1）将代入求解即可；
（2）过D作轴，交于F，过A作轴，交于点H，求出直线的表达式，设，则，证明，列出表达式即可求解；
（3）过点作轴，交x轴于M，设，表示出根据列出方程即可求解；
【详解】（1）将代入，得
，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）过D作轴，交于F，过A作轴，交于点H，
当时，，
，
设直线的表达式为，
将代入，得
，
∴，
∴，
设，则，
，
把代入，得，
，
轴，轴，
，
∴，
∵，
∴当时，，
当时，，
；
（3）过点作轴，交x轴于M，
点为抛物线上一动点，设，
则
解得：或，
故点的坐标为或．
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