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2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教版九年级上册+第26章、第27章。
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．科克曲线 D．阿基米德曲线
2．已知点P（m﹣n，1）与点Q（3，m+n）关于原点对称，则mn的值为（ ）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
3．在一个不透明的布袋中，有大小、形状完全相同，颜色不同的15个球，从中摸出红球的概率为，则袋中红球的个数为（ ）
A．2 B．5 C．10 D．12
4．如图，若△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．关于二次函数y＝（x﹣1）2+2的最值，下列说法正确的是（ ）
A．最大值为1 B．最小值为﹣1
C．最大值为2 D．最小值为2
6．《九章算术》是中国古代最重要的数学经典之一，其中记载：“今有衰分，各以差次分之．”“衰分”就是指按照一定比例增加或减少的分配方法，堪称世界上最早的增长率计算理论．根据中国汽车工业协会发布的数据显示，我国新能源汽车市场呈现出蓬勃发展的态势，2025年1月新能源汽车国内月销量达到79.3万辆，2025年第一季度新能源汽车国内总销量达到307.5万辆，若设2025年第一季度新能源汽车国内销量的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程是（ ）
A．79.3×3（1+x）＝307.5
B．79.3（1+x）＝307.5
C．79.3（1+x）2＝307.5
D．79.3+79.3（1+x）+79.3（1+x）2＝307.5
7．如图，菱形ABCD的顶点B，C，D在⊙A上，若AB＝4，∠ABC＝60°，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，过反比例函数上一点A作y轴的垂线，交y轴于点B，点C，D在x轴上，满足四边形ABCD是平行四边形，若 ABCD的面积为4，则k的值是（ ）
A．﹣8 B．8 C．﹣4 D．4
9．刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b．则可以用含c，a，b的式子表示出△ABC的内切圆直径d，下列表达式错误的是（ ）
A．d＝a+b﹣c B．
C． D．d＝|（a﹣b）（c﹣b）|
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的顶点为（2，﹣1），有下列结论：
①abc＞0；
②当x＞2时，y随x的增大而增大；
③抛物线y＝ax2+2是由抛物线y＝ax2+bx+c向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的；
④若关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根为3，则a＝1．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．若，则 4 ．
12．已知某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，其函数关系式为，当水面宽度AB为20m时，水面与桥拱顶的高度CO等于 4m ．
13．若α，β是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，则α2﹣4α﹣β的值为 1 ．
14．如图，在三角形纸片中，∠A＝80°，AB＝6，AC＝8．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有 ①②④ ．（请在横线上填上符合条件的序号）
15．已知点A（2，3）、点B（4，c）、点C（b+2，a）分别是不同象限内的三个点，若其中的两个点是正比例函数y＝k1x（k1≠0）与反比例函数的交点，则a﹣b的值为 1 ．
16．如图，⊙O为△ABC外接圆，AB为直径，延长CA至D，过D作⊙O的切线，E为切点，过B作⊙O的切线交DE于点F，连接AF交⊙O于点G，若DE∥BC，BC＝6，CD＝9，则⊙O的半径为 5 ，AG＝ ． ．
三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设p是方程的一个实数根，且满足（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求m的值．
18．（8分）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系xOy中，其中含30°角的三角板OAB的直角边OA落在y轴上，含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为（2，2），反比例函数y（x＞0）的图象经过点C．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）将三角板OAB绕点O顺时针旋转90°，AB边上的点D恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点D的坐标．
19．（8分）小汤对九年级学生参与“力学”“热学”“光学”“电学”四个类别的物理实验情况进行了抽样调查，每位同学只能选其中一个类别，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图（图1），请根据图表提供的信息，解答下列问题：
类别 频数（人数） 频率
力学 m 0.5
热学 8
光学 20 0.25
电学 12
（1）m＝ 40 ，热学对应的圆心角＝ 36 ．
（2）如图2，当小汤随机闭合A、B、C、D这4个开关中任意2个时，请用树状图或列表法求出灯泡亮的概率．
20．（8分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AD的中点，，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）求△CFG的面积．
21．（10分）在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”．下面是我们在电商平台和实体店了解其销售情况：
（1）统计某电商平台，2024年12月份吉祥物“巳升升”一个月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物“巳升升”一个月的销售量是7.2万件，若从2024年12月到2025年2月这三个月月平均增长率相同，求月平均增长率；
（2）对某实体店“巳升升”的销售情况进行了解，该店吉祥物“巳升升”的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件．通过市场调查发现，售价每降低1元，每天可多售出2件．商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？
22．（10分）如图，AB是⊙O的弦，C为过点B的切线上一点，且BC＝AC，D，E，F分别在AB，BC，AC上，且AD＝BE，AF＝BD，连接EF．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若∠C＝50°，求∠EDF的度数．
23．（10分）已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上的一点（不与点B，C重合），连接AD．
（1）如图1，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE，则BD与CE的关系是BD＝CE，BD⊥CE ；
（2）如图2，点D，F都在线段BC上，且∠DAF＝45°．
①求证：DF2＝BD2+CF2．
②若BD＝4，CF＝3，求△ADF的周长．
24．（10分）在一次篮球比赛中，小明传出了一个球，球从小明的手中飞出，在空中形成了一条优美的抛物线C1，落地点为F．球落地后弹起，向小东所在位置方向飞去，球飞行的轨迹为抛物线C2，篮球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系如图所示．小明传出球时球的起点处高度为2米，当球飞出的水平距离为米时，球行进至最高点，此时高度为米．
（1）求小明传球的抛物线C1的函数解析式．
（2）抛物线C2的函数解析式为yk，求篮球在第一次落地点与第二次落地点之间的飞行距离FG．
（3）在（2）的条件下，小东的身高为1.7米，小东的最佳接球高度大于或等于0.75米，小于或等于1.8米．假设小明、小东、点F，G均在x轴上，小东要想更好地接住球，则小东在线段FG上可移动位置的点的横坐标x的取值范围是多少？
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2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教版九年级上册+第26章、第27章。
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．科克曲线 D．阿基米德曲线
【答案】C
【解答】解：A．图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意，
故选：C．
2．已知点P（m﹣n，1）与点Q（3，m+n）关于原点对称，则mn的值为（ ）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
【答案】C
【解答】解：∵点P（m﹣n，1）与点Q（3，m+n） 关于原点对称，
∴，
∴，
故选：C．
3．在一个不透明的布袋中，有大小、形状完全相同，颜色不同的15个球，从中摸出红球的概率为，则袋中红球的个数为（ ）
A．2 B．5 C．10 D．12
【答案】B
【解答】解：设袋中有红球x个，
由题意得：，
解得：x＝5，
即袋中红球的个数为5，
故选：B．
4．如图，若△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由条件可知，故A正确，符合题意；
∴，故B错误，不符合题意；
∴，故C错误，不符合题意；
∴，故D错误，不符合题意；
故选：A．
5．关于二次函数y＝（x﹣1）2+2的最值，下列说法正确的是（ ）
A．最大值为1 B．最小值为﹣1
C．最大值为2 D．最小值为2
【答案】D
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣1）2+2，
∴其图象开口向上，其顶点为（1，2）．
∴函数的最小值为2．
故选：D．
6．《九章算术》是中国古代最重要的数学经典之一，其中记载：“今有衰分，各以差次分之．”“衰分”就是指按照一定比例增加或减少的分配方法，堪称世界上最早的增长率计算理论．根据中国汽车工业协会发布的数据显示，我国新能源汽车市场呈现出蓬勃发展的态势，2025年1月新能源汽车国内月销量达到79.3万辆，2025年第一季度新能源汽车国内总销量达到307.5万辆，若设2025年第一季度新能源汽车国内销量的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程是（ ）
A．79.3×3（1+x）＝307.5
B．79.3（1+x）＝307.5
C．79.3（1+x）2＝307.5
D．79.3+79.3（1+x）+79.3（1+x）2＝307.5
【答案】D
【解答】解：∵2025年1月新能源汽车国内月销量达到79.3万辆，且设2025年1月至3月新能源汽车销量的月平均增长率为x，
∴2025年2月新能源车国内月销量达到79.3（1+x）万辆，2025年3月新能源车国内月销量达到79.3（1+x）2万辆，
∴根据题意得，79.3+79.3（1+x）+79.3（1+x）2＝307.5．
故选：D．
7．如图，菱形ABCD的顶点B，C，D在⊙A上，若AB＝4，∠ABC＝60°，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：如图，连接AC，BD，相交于点E，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AC＝BC＝AD＝CD＝4，AC⊥BD，
∴△ABC，△ACD是等边三角形，AE＝CE＝2，
∴∠BAD＝120°，BE2，
∴BD＝2BE＝4，
∴阴影部分的面积＝扇形BAD的面积﹣菱形ABCD的面积
44
8．
故选：A．
8．如图，过反比例函数上一点A作y轴的垂线，交y轴于点B，点C，D在x轴上，满足四边形ABCD是平行四边形，若 ABCD的面积为4，则k的值是（ ）
A．﹣8 B．8 C．﹣4 D．4
【答案】C
【解答】解：如图，作AE⊥x轴，垂足为点E，则四边形ABOE是矩形，
由条件可知：
S平行四边形ABCD＝S矩形ABOE＝4，
又∵反比例函数图象在第二象限，
∴k＝﹣4．
故选：C．
9．刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b．则可以用含c，a，b的式子表示出△ABC的内切圆直径d，下列表达式错误的是（ ）
A．d＝a+b﹣c B．
C． D．d＝|（a﹣b）（c﹣b）|
【答案】D
【解答】如图，作OE⊥AC于点E，OD⊥BC于点D，OF⊥AB于点F．
易证四边形OECD是正方形，设OE＝OD＝OF＝r，
则EC＝CD＝r，
∴AE＝AF＝b﹣r，BD＝BF＝a﹣r，
∵AF+BF＝AB，
∴b﹣r+a﹣r＝c，
∴r，
∴d＝a+b﹣c．故选项A正确．
∵S△ABC＝S△AOC+S△BOC+S△AOB，
∴abarbrcr，
∴ab＝r（a+b+c），
∴r，即d．故选项B正确．
∵由前面可知d＝a+b﹣c，
∴d2＝（a+b﹣c）2＝（a+b）2﹣2c（a+b）+c2＝a2+2ab+b2﹣2ac﹣2bc+c2，
∵a2+b2＝c2，
∴上述式子＝2c2+2ab﹣2ac﹣2bc＝2（c2+ab﹣ac﹣bc）＝2[（c2﹣ac）+b（a﹣c）]＝2（c﹣a）（c﹣b），
∴d，故选项C正确．
排除法可知选项D错误．
故答案选：D．
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的顶点为（2，﹣1），有下列结论：
①abc＞0；
②当x＞2时，y随x的增大而增大；
③抛物线y＝ax2+2是由抛物线y＝ax2+bx+c向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的；
④若关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根为3，则a＝1．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】D
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的顶点为（2，﹣1）
∴，
∴b＝﹣4a，
∵a＞0，
∴b＜0，
∵4a+2b+c＝﹣1，即4a﹣8a+c＝﹣1，
∴c＝﹣1+4a，
∴c的符号无法判断，故结论①错误；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大，故结论②正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的顶点为（2，﹣1），
∴y＝a（x﹣2）2﹣1，
∴将抛物线右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到y＝a（x﹣2﹣2）2﹣1﹣3＝a（x﹣4）2﹣4，故结论③错误；
∵b＝﹣4a，c＝﹣1+4a，
∴y＝ax2﹣4ax﹣1+4a，
∵ax2+bx+c＝0的一个根为3，
∴0＝9a﹣12a﹣1+4a，
∴a＝1，故结论④正确；
故选：D．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．若，则 4 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵，
∴a．
∴4．
故答案为：4．
12．已知某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，其函数关系式为，当水面宽度AB为20m时，水面与桥拱顶的高度CO等于 4m ．
【答案】4m．
【解答】解：根据题意可得点B的横坐标为10，
把x＝10代入得y＝﹣4，
∴B（10，﹣4），
∴水面与桥拱顶的高度CO等于4m，
故答案为：4m．
13．若α，β是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，则α2﹣4α﹣β的值为 1 ．
【答案】1．
【解答】解：∵α是方程x2﹣3x﹣4＝0的根，
∴α2﹣3α﹣4＝0，
∴α2＝3α+4，
∴α2﹣4α﹣β＝3α+4﹣4α﹣β＝4﹣（α+β），
∵α，β是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，
∴α+β＝3，
∴α2﹣4α﹣β＝4﹣3＝1．
故答案为：1．
14．如图，在三角形纸片中，∠A＝80°，AB＝6，AC＝8．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有 ①②④ ．（请在横线上填上符合条件的序号）
【答案】①②④．
【解答】解：根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定如下：
①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似；
④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似．
故答案为：①②④．
15．已知点A（2，3）、点B（4，c）、点C（b+2，a）分别是不同象限内的三个点，若其中的两个点是正比例函数y＝k1x（k1≠0）与反比例函数的交点，则a﹣b的值为 1 ．
【答案】1．
【解答】解：∵点A（2，3）、点B（4，c）、点C（b+2，a）分别是不同象限内的三个点，
∴点B（4，c）在第四象限，点C（b+2，a）在第二或第三象限，
∵正比例函数y＝k1x（k1≠0）与反比例函数的交点关于原点对称，
∴另一个交点为C（b+2，a），
∴
解得，
∴a﹣b＝﹣3+4＝1，
故答案为：1．
16．如图，⊙O为△ABC外接圆，AB为直径，延长CA至D，过D作⊙O的切线，E为切点，过B作⊙O的切线交DE于点F，连接AF交⊙O于点G，若DE∥BC，BC＝6，CD＝9，则⊙O的半径为 5 ，AG＝ ． ．
【答案】5，．
【解答】解：连接OE，并延长EO交BC于点M，
∵过D作⊙O 的切线，E为切点，
∴OE⊥DF，
∵DE∥BC，
∴OE⊥BC，
∴，
∵BC＝6，
∴CM＝MB＝3，
∵⊙O为△ABC 外接圆，AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵DE∥BC，
∴∠ACB+∠CDE＝180°，
∴∠CDE＝90°，
∵∠DEM＝90°，
∴四边形DEMC是矩形，
∴DC＝EM＝9，DE＝CM＝3，
连接OC，
设OC＝OE＝R，
∴OM＝EM﹣OE＝9﹣R，
R2＝（9﹣R）2+32，
解得R＝5，
∴AB＝10，
∴，
∴AD＝CD﹣AC＝1，
∵过B作⊙O的切线交DE于点F，过D作⊙O的切线，E为切点，
FE＝FB，
设FE＝FB＝x，
则FD＝DE+FE＝3+x，
1+（3+x）2＝102+x2，
解得x＝15，
∴，
连接BG，
∵⊙O为△ABC 外接圆，AB为直径，
∴∠AGB＝90°，
∴，
∴，
∴，
若DE∥BC，BC＝6，CD＝9，则⊙O的半径为5，AG．
故答案为：5，．
三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设p是方程的一个实数根，且满足（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求m的值．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4×（m﹣1）≥0，（2分）
解得m≤2；（4分）
（2）p是方程的一个实数根，则p2﹣2p+m﹣1＝0，则p2﹣2p+3＝4﹣m，
则（p2﹣2p+3）（m+4）＝7即（4﹣m）（4+m）＝7，（6分）
解得：m＝3（舍去）或﹣3．
故m的值为﹣3．（8分）
18．（8分）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系xOy中，其中含30°角的三角板OAB的直角边OA落在y轴上，含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为（2，2），反比例函数y（x＞0）的图象经过点C．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）将三角板OAB绕点O顺时针旋转90°，AB边上的点D恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点D的坐标．
【解答】解：（1）∵含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为（2，2），反比例函数的图象经过点C，
∴k＝2×2＝4，
∴反比例函数的表达式为：；（4分）
（2）∵C（2，2），
∴CO2＝22+22＝8，
∵含45°角的三角板OAC为等腰直角三角形，∠ACO＝90°，
∴AC＝CO，，（5分）
如图，△OAB旋转到△OEF的位置，D点对应G点，
∴OE＝OA＝4，
∵D的对应点G在的图象上，
∴yG＝1，（6分）
∴EG＝1，
由旋转可得：AD＝GE＝1，（7分）
∴D（﹣1，4）．（8分）
19．（8分）小汤对九年级学生参与“力学”“热学”“光学”“电学”四个类别的物理实验情况进行了抽样调查，每位同学只能选其中一个类别，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图（图1），请根据图表提供的信息，解答下列问题：
类别 频数（人数） 频率
力学 m 0.5
热学 8
光学 20 0.25
电学 12
（1）m＝ 40 ，热学对应的圆心角＝ 36 ．
（2）如图2，当小汤随机闭合A、B、C、D这4个开关中任意2个时，请用树状图或列表法求出灯泡亮的概率．
【解答】解：（1）调查的人数为20÷0.25＝80（人），
∴m＝80×0.5＝40，
热学对应的圆心角为．
故答案为：40；36；（4分）
（2）画树状图如下：
能使灯泡亮的结果有：AD，BD，CD，DA，DB，DC，共6种，
∴灯泡亮的概率为．（8分）
20．（8分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AD的中点，，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）求△CFG的面积．
【解答】（1）证明：∵正方形ABCD的边长为4，点E为AD的中点，
∴∠A＝∠D＝90°，AD＝AB＝DC＝BC＝4，
∵AE＝DE＝2，
∴，（1分）
∵，
∴DF＝1，
∴，（2分）
∴，则，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABE∽△DEF；（4分）
（2）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴ED∥BG，
∴∠D＝∠GCF，∠G＝∠DEF，
∴△DEF∽△CGF，
∴，（2分）
又∵，正方形的边长为4，
∴AD＝AB＝DC＝BC＝4，
∴DF＝1，，
∴CF＝DC﹣DF＝3，，（7分）
∴△CFG的面积．（8分）
21．（10分）在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”．下面是我们在电商平台和实体店了解其销售情况：
（1）统计某电商平台，2024年12月份吉祥物“巳升升”一个月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物“巳升升”一个月的销售量是7.2万件，若从2024年12月到2025年2月这三个月月平均增长率相同，求月平均增长率；
（2）对某实体店“巳升升”的销售情况进行了解，该店吉祥物“巳升升”的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件．通过市场调查发现，售价每降低1元，每天可多售出2件．商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？
【解答】解：（1）设月平均增长率为x，
由题意得：5（1+x）2＝7.2，（3分）
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去），
答：月平均增长率为20%；（5分）
（2）设售价应降低y元，则每天能销售（20+2y）件，
由题意得：（100﹣y﹣60）（20+2y）＝1200，（7分）
整理得：y2﹣30y+200＝0，
解得：y1＝10，y2＝20，
∵尽量减少库存，
∴y＝20，
答：售价应降低20元．（10分）
22．（10分）如图，AB是⊙O的弦，C为过点B的切线上一点，且BC＝AC，D，E，F分别在AB，BC，AC上，且AD＝BE，AF＝BD，连接EF．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若∠C＝50°，求∠EDF的度数．
【解答】（1）证明：连接OA，OB，
∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA，（1分）
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，（2分）
∴∠CAO＝∠CBO，（3分）
∵BC是⊙O的切线，
∴∠CBO＝90°，
∴∠CAO＝90°，（4分）
∵OA是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线；（5分）
（2）解：在△ADF与△BED中，
，
∴△ADF≌△BED（SAS），（6分）
∴∠ADF＝∠BED，（7分）
∵AC，BC是⊙O的切线，
∴AC＝BC，（8分）
∵∠C＝50°，
∴∠CAB＝∠CBA（180°﹣50°）＝65°，（9分）
∴∠ADE+∠FDE+∠BDE＝∠ADE+∠CAB+∠ADF＝180°，
∴∠EDF＝∠CAB＝65°．（10分）
23．（10分）已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上的一点（不与点B，C重合），连接AD．
（1）如图1，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE，则BD与CE的关系是BD＝CE，BD⊥CE ；
（2）如图2，点D，F都在线段BC上，且∠DAF＝45°．
①求证：DF2＝BD2+CF2．
②若BD＝4，CF＝3，求△ADF的周长．
【解答】（1）解：∵∠BAC＝90°，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，
∴∠BAD＝90°﹣∠DAC＝∠CAE，AD＝AE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABD+∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠ACB＝90°，
∴BD⊥CE；
故答案为：BD＝CE，BD⊥CE；（2分）
（2）①证明：将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE，
∵将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，∠DAF＝45°，
∴∠DAF＝∠EAF＝45°，AD＝AE，
又AF＝AF，
∴△ADF≌△AEF（SAS），（4分）
∴DF＝EF，
而BD⊥CE有CE2+CF2＝EF2，且BD＝CE，
∴DF2＝BD2+CF2；（6分）
②解：过A作AH⊥BC于H，
∵BD＝4，CF＝3，DF2＝BD2+CF2，
∴DF＝5，BC＝12，（7分）
∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AH⊥BC，
∴AH＝BH＝CHBC＝6，
∴DH＝BH﹣BD＝2，HF＝CH﹣CF＝3，
Rt△ADH中，AD2，（8分）
Rt△AFH，AF3，（9分）
∴△ADF的周长为DF+AD+AF＝5+23．（10分）
24．（10分）在一次篮球比赛中，小明传出了一个球，球从小明的手中飞出，在空中形成了一条优美的抛物线C1，落地点为F．球落地后弹起，向小东所在位置方向飞去，球飞行的轨迹为抛物线C2，篮球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系如图所示．小明传出球时球的起点处高度为2米，当球飞出的水平距离为米时，球行进至最高点，此时高度为米．
（1）求小明传球的抛物线C1的函数解析式．
（2）抛物线C2的函数解析式为yk，求篮球在第一次落地点与第二次落地点之间的飞行距离FG．
（3）在（2）的条件下，小东的身高为1.7米，小东的最佳接球高度大于或等于0.75米，小于或等于1.8米．假设小明、小东、点F，G均在x轴上，小东要想更好地接住球，则小东在线段FG上可移动位置的点的横坐标x的取值范围是多少？
【解答】解：（1）由条件可知抛物线C1的顶点为，
∴设抛物线C1的解析式为，（1分）
∵小明传出球时球的起点处高度为2米，
∴抛物线C1过点（0，2），（2分）
∴，
解得m＝﹣1，
∴抛物线C1的解析式为．（3分）
（2）对于抛物线C1：令y＝0，则，
解得x1＝2，x2＝﹣1，
∴点F的坐标为（2，0），（4分）
∵抛物线过点F（2，0），
∴，
解得，
∴抛物线C2的解析式为，
令y＝0，则，
解得x1＝7，x2＝2，
∴点G的坐标为（7，0），（5分）
∴FG＝7﹣2＝5，
∴篮球在第一次落地点与第二次落地点之间的飞行距离FG为5米．（6分）
（3）对于抛物线C2顶点坐标为，
∴篮球反弹后的最大高度为米，小于1.8米．
当y＝0.75时，，
解得，（8分）
∴当0.75≤y≤1.8时，，
∴小东在线段FG上可移动位置的点的横坐标x的取值范围是．（10分）
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