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2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教版九上第21~23章（一元二次方程+二次函数+旋转）。
5．难度系数：0.58。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．对称美在生活中处处可见，下列是历届冬奥会的会徽，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A.选项不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B.选项不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C.选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D.选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选C．
2．在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，将点A(4，3)按逆时针方向旋转90°，得到点A′，则点A′的坐标为（ ）
A．(4，-3) B．(-4，1) C．(-3，4) D．(3，-4)
【答案】C
【解析】如图所示，建立平面直角坐标系，点A′的坐标为（-3，4）．
故选C．
3．方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )
A． B． C．2，2，2 D．1，2，2
【答案】A
【解析】方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为．
故选A．
4．关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得：
解得：
故选D.
5．某次足球比赛中，每两支足球队之间要进行一次主场比赛和一次客场比赛，共有20场比赛，则参加这次足球比赛的足球队共有（ ）
A．10支 B．6支 C．5支 D．4支
【答案】C
【解析】设有x个足球队参加，依题意，
，
整理，得，
，
解得：，（舍去）；
即：共有5个足球队参加比赛．
故选C．
6．电流通过导线会产生热量，设电流强度为I(安培)，电阻为R(欧姆)，1秒产生的热量为Q(卡)，则Q=0.24I2R，现在已知电阻为0.5欧姆的导线，1秒间产生1.08卡的热量，则该导线的电流是( )
A．9安培 B．6安培 C．3安培 D．安培
【答案】C
【解析】解:将Q=0.24I2R变形为
I=或I= (舍去）
将Q=1.08,R=0.5代入,
得I==3(安培）
故该导线的电流是3安培,即选C.
7．若，则的个位数字是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，
∴，整理得；
∴，整理得；
∴，整理得.
故选A.
8．如图，△ABC和四边形DEFG分别是直角三角形和矩形，，cm，cm，于点B．若矩形DEFG从点B开始以每秒1cm的速度向右平移至点C，且矩形的边FG扫过的面积为S（），平移的时间为t（秒），则S与t之间的函数图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】在A点之前（），FG扫过的三角形面积为：=
在A点之后（），FG扫过的面积为：
所以它的函数图形应该是： t在0~时，，a＞0，所以图像是开口向上的抛物线；
t在~5时，，所以图像是开口向下的抛物线．
故选A．
9．如图，在正方形中，为中点，连接，延长至点，使得，以为边作正方形，在《几何原本》中按此方法找到线段的黄金分割点．现连接并延长，分别交，于点，，若：的面积与的面积之差为，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接，
设，
为中点，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
的面积的面积，
的面积的面积）的面积的面积），
的面积的面积，
，
，
解得：或（舍去），
，
故选C．
10．已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图像（如图所示），当直线与新图像有3个交点时，m的值是（ ）
A． B． C．或3 D．或
【答案】D
【解析】令，解得：，
抛物线与x轴的交点坐标分别为及，
如图，当直线过时，它与新函数的图象有3个交点，则有，解得：；
当直线与抛物线关于x轴对称的抛物线只有一个公共点时，则，即，
则，即，
此时直线与抛物线恰有3个公共点；
综上，当或时，直线与新图像有3个交点．
故选D．
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．将抛物线y＝﹣2（x+1）2+1先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的新抛物线的的顶点坐标是 ．
【答案】（1，4）．
【解析】抛物线y＝﹣2（x+1）2+1的顶点坐标是: （﹣1，1）．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后的顶点坐标是: （1，4）．
故答案是：（1，4）．
12．二次函数的最小值为 ．
【答案】
【解析】∵，
∴二次函数的最小值为．
故答案为：．
13．根据下列表格中的自变量x与函数值y的部分对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个根x的取值范围是 ．
x 0.4 0.5 0.6 0.7
【答案】
【解析】∵函数的图象与x轴交点的横坐标就是方程的根，x轴上的点的纵坐标为0，由表中数据可知：在与之间，
∴对应的x的值在与之间，
即．
故答案为：．
14．已知，是一元二次方程的两个根，则的值等于 ．
【答案】
【解析】∵，是一元二次方程的两个根，
∴，，
则，
∴
，
故答案为：．
15．已知，函数y＝ax2﹣6ax+9a+1与线段AB有交点，且已知点A（0，1）与点B（2，3）的坐标，则a的取值范围 ．
【答案】0≤a≤2．
【解析】如图：
∵函数y＝ax2﹣6ax+9a+1＝a（x﹣3）2+1
∴顶点C（3，1）
∵函数y＝ax2﹣6ax+9a+1与线段AB有交点
∴当a＜0时函数与线段AB无交点
∴a≥0
①当a＝0时，函数y＝1，此时与线段AB的交点为点A，符合题意；
②当a＞0时：
若函数恰好经过点B，将点B（2，3）代入函数y＝ax2﹣6ax+9a+1＝a（x﹣3）2+1中解得：a＝2，此时a取最大值，
∵A（0，1），C（3，1）
∴直线AC∥x轴
∴当a＞0时，要使函数y＝ax2﹣6ax+9a+1与线段AB有交点，则a的范围是0＜a≤2；
综上所述：a的取值范围为0≤a≤2；
故答案为0≤a≤2．
16．已知二次函数（a为常数，），点是该函数图象上一点．下列结论：①当时，抛物线顶点坐标是；②抛物线与一定有两个不同的交点；③点与点在该函数的图象上，若，则；④当时，，则a的取值范围是或，其中正确的结论是 （填写序号）．
【答案】①②③④
【解析】当时，二次函数解析式为，
化为顶点式有，
抛物线顶点坐标是，即①正确；
联立与，有，
整理得，,即，
解得，，
若，则，即，
，，
，即，
抛物线与一定有两个不同的交点，即②正确；
点与点在该函数的图象上，
，
，
，
，
，
，
，
，即③正确；
二次函数的解析式为（a为常数，），
二次函数的对称轴为，
当时，，即抛物线与交点为，
点是该函数图象上一点，且当时，，
当时，抛物线开口向上，
有时，，即，解得，
当时，抛物线开口向下，
抛物线与交点为，
当时，随的增大而减小，恒成立，
a的取值范围是或，即④正确．
综上所述，正确的有①②③④，
故答案为：①②③④．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）解方程：
(1)
(2)
【解析】（1）解：移项得：，
因式分解得：，
即或，
解得：，．（4分）
（2）整理得：，
因式分解得：，
即或，
解得：，．（8分）
18．（8分）已知于的元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若，且为整数，求的值．
【解析】（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，即，
解得；（2分）
（2）由根与系数的关系知：，（4分）
满足，
，
，（6分）
为整数，
的值为．（8分）
19．（8分）抛物线的图象过点和两点．
(1)求抛物线的解析式与顶点坐标；
(2)方程的解集是______；
(3)若方程无解，则m的范围是______；
【解析】（1）解：将点和代入，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为：，（2分）
∴顶点坐标为．（4分）
（2）；（6分）
解：令
解得：，，
∴点，,
∴根据函数图象可知，当时，；
故答案为：；
（3）．（8分）
解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴函数的最小值为，
∴当时，方程无解；
故答案为：．
20．（8分）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、．
(1)求、满足的关系式及的值．
(2)当时，若的函数值随的增大而增大，求的取值范围．
(3)如图，当时，在抛物线上是否存在点，使的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)，令，则，令，则，
故点、的坐标分别为、，则，
则函数表达式为：，
将点坐标代入上式并整理得：；（3分）
(2)当时，若的函数值随的增大而增大，
则函数图象对称轴，而，
即：，解得：，
故：的取值范围为：；（5分）
(3)当时，二次函数表达式为：，
过点作直线，作轴交于点，作于点，
∵，∴，
，
则，（6分）
在直线下方作直线，使直线和与直线等距离，
则直线与抛物线两个交点坐标，分别与点组成的三角形的面积也为1，
故：，
设点，则点，
即：，（7分）
解得：或，
故点或 或.（8分）
21．（8分）某超市销售一种商品，成本价为元/千克，经市场调查，每天销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于元，且不高于元．
(1)直接写出与之间的函数关系式；
(2)设每天的总利润为元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？
【解析】（1）解：设一次函数的解析式为，将点、代入得：
，解得：，（2分）
故函数的表达式为：；（6、4分）
（2）由题意得：，（6分）
∵，故当时，w随x的增大而增大，
∵，
∴当时，w取最大值，此时，．（8分）
故销售单价定为元时，该超市每天的利润最大，最大利润元．
22．（10分）榛子是世界四大坚果之一，铁岭野生小榛子非常有名.榛子一上市，某干果店老板就以40元/的价格购进一批榛子，规定销售单价不低于成本价，且获利不高于.试销期间发现，当销售单价定为45元时，每天可售出；销售单价定为48元时，每天可售出.设每天的销售量为，销售单价为元（与之间满足一次函数关系）.
（1）求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（2）当榛子销售单价定为多少时，干果店每天获利2000元？
（3）当榛子销售单价定为多少时，干果店每天销售榛子获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？
【解析】（1）设与之间的函数关系式为，
将，分别代入，得，解得，
∴与之间的函数关系式为；
∵，（2分）
∴自变量的取值范围是.（3分）
（2）根据题意，得，
解得，（舍去）.
答：当榛子销售单价定为50元时，干果店每天获利2000元；（5分）
（3）由题意得，
∴，（7分）
∵，
∴抛物线开口向下，
又∵对称轴为直线，，（8分）
∴在对称轴左侧，随的增大而增大，
∴当时，（元），（10分）
答：当榛子销售单价定为52元时，干果店每天销售棒子获得的利润最大，最大利润是2160元.
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2＋bx＋c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），点D的坐标为（0，2），点P为二次函数图象上的动点．
（1）求二次函数的解析式和直线AD的解析式；
（2）当点P位于第二象限内二次函数的图象上时，连接AD，AP，以AD，AP为邻边作平行四边形APED，设平行四边形APED的面积为S，求S的最大值．
【解析】（1）将B（1，0），C（0，4）代入y＝－x2＋bx＋c中，得，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝－x2－3x＋4（2分）
在y＝－x2－3x＋4中，
令y＝0，即，解得x1＝－4，x2＝1，
∴A（－4，0）．
设直线AD的解析式为y＝kx＋b'．
∵D（0，2），
∴，
解得：
∴直线AD的解析式为．（5分）
（2）连接PD，作PGy轴交AD于点G，如图所示．
设P（t，－t2－3t＋4）（－4＜t＜0），则G（t，），（6分）
∴，（7分）
∴，
．（9分）
∵－4＜0，－4＜t＜0，
∴当时，S有最大值．（10分）
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，抛物线恰好经过这两点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点C的坐标是，将线段绕着点C逆时针旋转得到线段．
①若点E在此抛物线上，求出m的值；
②若点P是y轴上的任一点，当取最小值时，求点P的坐标．
【解析】（1）∵直线分别与，轴交于点，，
∴当时，；当时，，
∴，，
∵抛物线恰好经过这两点．
∴，
解得，
∴；（3分）
（2）∵，，
∴，，
当点在轴上方时，如图，过点作轴于，，
由旋转可知：，，
则，
∴，
∴，
∴，，
则，（5分）
∴点的坐标为，
如图，当点在轴上及其下方时，，
同理可得：∴，
∴，，
则，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴点的坐标为，
综上，点的坐标为，（7分）
可知，点在直线上；
①∵点在此抛物线上，
∴点为直线与抛物线的交点，
即：，
解得：，，
当时，，当时，，
∴点的坐标为或；（10分）
②∵，
∴点在直线上，
又∵点是轴上的任一点，点在直线上，
∴，，
当点，点，与点重合时，取等号，
∴当取最小值时，点，点，与点重合，
即：当取最小值时，点的坐标为．（12分）
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（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教版九上第21~23章（一元二次方程+二次函数+旋转）。
5．难度系数：0.58。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．对称美在生活中处处可见，下列是历届冬奥会的会徽，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，将点A(4，3)按逆时针方向旋转90°，得到点A′，则点A′的坐标为（ ）
A．(4，-3) B．(-4，1) C．(-3，4) D．(3，-4)
3．方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )
A． B． C．2，2，2 D．1，2，2
4．关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．某次足球比赛中，每两支足球队之间要进行一次主场比赛和一次客场比赛，共有20场比赛，则参加这次足球比赛的足球队共有（ ）
A．10支 B．6支 C．5支 D．4支
6．电流通过导线会产生热量，设电流强度为I(安培)，电阻为R(欧姆)，1秒产生的热量为Q(卡)，则Q=0.24I2R，现在已知电阻为0.5欧姆的导线，1秒间产生1.08卡的热量，则该导线的电流是( )
A．9安培 B．6安培 C．3安培 D．安培
7．若，则的个位数字是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，△ABC和四边形DEFG分别是直角三角形和矩形，，cm，cm，于点B．若矩形DEFG从点B开始以每秒1cm的速度向右平移至点C，且矩形的边FG扫过的面积为S（），平移的时间为t（秒），则S与t之间的函数图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在正方形中，为中点，连接，延长至点，使得，以为边作正方形，在《几何原本》中按此方法找到线段的黄金分割点．现连接并延长，分别交，于点，，若：的面积与的面积之差为，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
10．已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图像（如图所示），当直线与新图像有3个交点时，m的值是（ ）
A． B． C．或3 D．或
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．将抛物线y＝﹣2（x+1）2+1先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的新抛物线的的顶点坐标是 ．
12．二次函数的最小值为 ．
13．根据下列表格中的自变量x与函数值y的部分对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个根x的取值范围是 ．
x 0.4 0.5 0.6 0.7
14．已知，是一元二次方程的两个根，则的值等于 ．
15．已知，函数y＝ax2﹣6ax+9a+1与线段AB有交点，且已知点A（0，1）与点B（2，3）的坐标，则a的取值范围 ．
16．已知二次函数（a为常数，），点是该函数图象上一点．下列结论：①当时，抛物线顶点坐标是；②抛物线与一定有两个不同的交点；③点与点在该函数的图象上，若，则；④当时，，则a的取值范围是或，其中正确的结论是 （填写序号）．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）解方程：
(1)
(2)
18．（8分）已知于的元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若，且为整数，求的值．
19．（8分）抛物线的图象过点和两点．
(1)求抛物线的解析式与顶点坐标；
(2)方程的解集是______；
(3)若方程无解，则m的范围是______；
20．（8分）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、．
(1)求、满足的关系式及的值．
(2)当时，若的函数值随的增大而增大，求的取值范围．
(3)如图，当时，在抛物线上是否存在点，使的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（8分）某超市销售一种商品，成本价为元/千克，经市场调查，每天销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于元，且不高于元．
(1)直接写出与之间的函数关系式；
(2)设每天的总利润为元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？
22．（10分）榛子是世界四大坚果之一，铁岭野生小榛子非常有名.榛子一上市，某干果店老板就以40元/的价格购进一批榛子，规定销售单价不低于成本价，且获利不高于.试销期间发现，当销售单价定为45元时，每天可售出；销售单价定为48元时，每天可售出.设每天的销售量为，销售单价为元（与之间满足一次函数关系）.
（1）求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（2）当榛子销售单价定为多少时，干果店每天获利2000元？
（3）当榛子销售单价定为多少时，干果店每天销售榛子获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2＋bx＋c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），点D的坐标为（0，2），点P为二次函数图象上的动点．
（1）求二次函数的解析式和直线AD的解析式；
（2）当点P位于第二象限内二次函数的图象上时，连接AD，AP，以AD，AP为邻边作平行四边形APED，设平行四边形APED的面积为S，求S的最大值．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，抛物线恰好经过这两点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点C的坐标是，将线段绕着点C逆时针旋转得到线段．
①若点E在此抛物线上，求出m的值；
②若点P是y轴上的任一点，当取最小值时，求点P的坐标．
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