参考答案
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1. B 2. C. 3. D. 4. A. 5. B. 6. D 7. C 8. C
二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. ACD 10. BCD 11. AD
三、填空题：本题共3个小题，每题5分，共15分.
12.
13.
14. .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （1）因为是正三角形，是中点，所以，
因为直三棱柱，所以平面，
因为平面，所以，
因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）由题意可知，因为平面，所以，，
取中点，连接，
以为坐标原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系，
因为，，，，
所以，，，
设平面的法向量，
则，解得平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
所以，
即直线与平面所成角的正弦值为.
16. （1）由得，因为，所以，
又，由余弦定理可知，，
即，即，所以；
（2）因为，所以，
又，
所以，
综上，，即，因为，所以，
所以，又因为，所以，所以.
17. （1）因为，
所以，
因为，所以；
（2）因为，
所以，
作差得，，所以，
令，所以，检验成立，所以；
（3）因为，
所以．
18 （1）当时，，
所以，
令，所以或，，，
所以的增区间为，减区间为，
极大值，极小值.
（2）当时，设
所以，
因为，所以，所以，所以在上时增函数，
所以，所以；
（3）当时，恒成立，
即恒成立，
设.
所以，令，
所以.
当时，，所以在上是增函数，
所以，所以在上是增函数，所以成立；
当时，令，
则，所以在上是增函数，
所以.
当时，即，此时，
所以在上是增函数，所以，
所以在上是增函数，所以成立；
当时，即，注意到时，.
则，使，则，.
所以在上是减函数，在上是增函数.
注意到，时，，
又由以上分析可得，则，使.
则，，
所以在上是减函数，在上是增函数，
所以不满足题意，舍去.
综上所述，.
19. （1）由椭圆的定义知的周长为，，又，
，椭圆方程为
（2）当直线的斜率为时，点不可能为的重心，舍去
当直线的斜率不为时，设直线的方程为
，联立得，
由韦达定理得，因为为的重心，
所以点，又，
即
代入椭圆方程得解得，
所以直线的方程为
（3）
由题意可知，，，
所以直线的方程为，即
直线方程为，即
所以
由韦达定理可知，由，
代入上式得
，
所以，即点，
所以，，
所以（定值）哈尔滨市第六中学2023级上学期期末考试
高三数学试题
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知复数，则的值为（ ）
A B. C. D.
3. 平面向量满足，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 设为正项递增等比数列的前项和，，且成等差数列，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 哈六中开展爱国主义教育，决定在2026年1月16日组织高一年级1到5班去“731日本罪证陈列馆”、“哈尔滨烈士陈列馆”两所展馆参观，每个班级去一个展馆，且每个展馆至少去一个班级，若1班和2班必须去同一展馆，则不同的分配方案种数为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知双曲线的右焦点为，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点且与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的方程为（ ）
A B. C. D.
8. 已知函数，则函数的图象与函数的图象的所有交点的横坐标之和为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 小松同学所在学习小组开展社会调查，记录了某快餐连锁店每天骑手的人均业务量．现随机抽取天的数据，将样本数据分为，，，，，，七组，整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）
A. 根据频率分布直方图估计，每天骑手的人均业务量的第百分位数为
B. 根据频率分布直方图估计，每天骑手的人均业务量的平均数为
C. 根据频率分布直方图估计，天中某骑手的业务量在单及以上的天数为天
D. 根据频率分布直方图估计，天中骑手的业务量的极差为单
10. 已知是抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点，交抛物线的准线于点，则下列说法正确的是（ ）
A. 以线段为直径的圆与该抛物线的准线相切
B. 若抛物线上的点到点的距离为，则抛物线的方程为
C. 若，且在之间，则抛物线的方程为
D. 若线段中点到抛物线准线的距离为，则
11. 如图，三棱锥中，平面平面，过点且与平行的平面分别与棱、交于两点，若，则下列结论正确的是（ ）
A. 若为的中点，则为的中点
B. 若，则四棱锥体积为
C. 平面平面
D. 三棱锥的外接球的体积为
三、填空题：本题共3个小题，每题5分，共15分.
12. 已知函数的最小正周期为，若函数图象关于直线对称，则__________．
13. 某工厂为研究某种产品的产量（吨）与所需某种原材料的质量（吨）的相关性，在生产过程中收集组对应数据，如下表所示．（残差观测值预测值）
3 4 5 6
2.5 4 4.5
根据表中数据，得出关于的经验回归方程为，据此计算出在样本处的残差为，则表中的值为__________．
14. 设函数在上存在导函数，对，都有，当时，成立，若，则实数的取值范围为___________．
第Ⅱ卷（非选择题 共77分）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知直三棱柱中，是边长为的正三角形，为的中点，且.
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
16. 已知中，内角所对的边分别是，且.
（1）若，求的面积的值；
（2）若边上高为，求角的大小及的值.
17. 已知数列为正项数列，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的通项公式；
（3）在（2）的条件下，设，求数列的前项和.
18. 已知函数.
（1）当时，求的单调区间和极值；
（2）当时，证明：；
（3）当时，恒成立，求实数的取值范围.
19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，且过点的直线与椭圆交于两点，的周长为8.
（1）求椭圆的方程；
（2）若椭圆上存在点，使原点为的重心，求直线的方程；
（3）设椭圆的上、下顶点分别为，若直线与y轴交于点，直线与交于点Q，求证：为定值，并求出该定值.
