黑龙江省哈尔滨市第九中学2025-2026学年高一上学期12月月考试题数学（含答案）

哈尔滨市第九中学校2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题
一、单选题
1．弧度的角的终边在第几象限？（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．函数（，且）的图象恒过定点（ ）
A． B． C． D．
3．函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．把函数的图象关于y轴对称后得到的图象，则的图象与函数的图象关于（ ）
A．x轴对称 B．y轴对称 C．原点对称 D．直线对称
5．函数的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．当时，不等式恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．设函数 ，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若函数有四个不同零点从小到大依次为，，，且不等式恒成立，则实数k的最小值（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．已知与120°角的终边关于x轴对称，则是第二或第四象限角
B．若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角弧度时，这个扇形的面积最大
C．点P从位置出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为
D．的值是正数
10．下列各式正确的是（ ）
A．已知，，则
B．已知，则
C．若，，则
D．
11．设函数的定义域为的偶函数，满足是奇函数，若．则下列结论正确的（ ）
A． B．在上单调递减
C． D．
三、填空题
12．已知是奇函数，则 ．
13．已知函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，则不等式的解集为 ．
14．已知函数，则函数的零点个数为 ．
四、解答题
15．（1）求值．
（2）已知，求的值．
16．已知关于x的二次方程.
（1）若方程有两根，其中一根在区间内，另一根在区间内，求m的取值范围；
（2）若方程两根均在区间内，求m的取值范围.
17．已知函数．
(1)若的定义域为，求实数的范围；
(2)若，的最小值为，求实数的值；
(3)若，，解不等式．
18．习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山.”新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向.工业部表示，到年中国的汽车总销量将达到万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一.江苏某新能源公司某年初购入一批新能源汽车充电桩，每台元，到第年年末每台设备的累计维修保养费用为元，每台充电桩每年可给公司收益元.（）
(1)每台充电桩第几年年末开始获利；
(2)每台充电桩在第几年年末时，年平均利润最大.
19．已知定义在上的函数，，．
(1)当时，求的零点；
(2)若对，，不等式总成立，求实数a的取值范围；
(3)若的最大值为，求的解析式．
参考答案
1．D 2．A 3．B 4．D 5．A 6．C 7．A 8．C
9．AC 10．ABD 11．AC
12．
13．
14．3
15．（1）原式.
（2）因为.
16．（1）由题设知抛物线与x轴的交点分别在区间和内，画出二次函数的示意图如图所示.得
，故.
（2）如图1-2所示，抛物线与x轴交点落在区间内，对称轴在区间图内通过（千万不能遗漏），可列出不等式组
，
于是有.
17．（1）对于函数，要使其定义域为，则对恒成立，
令，函数的图象开口向上，若对恒成立，
则，解得，
则实数的范围为.
（2）当时，，
令，
因为在上单调递增，的最小值为3，
则的最小值为，
则，解得，
所以实数的值为.
（3）当，时，，
不等式可化为，即
因为函数在上单调递减，
则，解得或，
所以不等式的解集为.
18．（1）设每台充电桩在第年年末的利润为，
则，
令，解得：，又，，
，每台充电桩从第年年末开始获利；
（2）设为每台充电桩在第年年末的年平均利润，
则；
在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递增，在上单调递减，
又，，，，，
每台充电桩在第年年末时，年平均利润最大.
19．（1）由函数在上单调递增，且，，则.
由，则，令，解得或.
令，即，解得.
所以函数的零点为.
（2）易知不等式等价于，
由函数在上单调递增，且，，则.
由函数在上单调递增，则该函数在上的最大值为.
由的对称轴为直线，则
当，即时，函数在上的最小值为，
令，解得，故；
当，即时，函数在上的最小值为，不合题意；
当，即时，函数在上的最小值为，
令，解得，不合题意.
综上所述，.
（3）令，则.
当，即时，在上的最大值为；
当，即时，在上的最大值为.