第二十六章 反比例函数 章末综合测试题 2025-2026学年下学期初中数学人教版九年级下册期末复习

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第二十六章 反比例函数 章末综合测试题 2025-2026学年
下学期初中数学人教版九年级下册期末复习
一、单选题
1．反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
2．反比例函数的图象如图所示，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知与成反比例，当时，，那么当时，的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知反比例函数，下列结论中，不正确的是（ ）
A．图象必经过点
B．图象在第一、三象限内
C．在图象的每个象限内，随的增大而增大
D．若，则0＜
5．如图，在中，，，若反比例函数的图象经过点A，则k为（ ）
A．2 B． C． D．
6．已知蓄电池的电压为定值，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．这个反比例函数解析式是 B．蓄电池的电压是
C．当时， D．当时，
7．如图，反比例函数的图像经过点，将线段沿轴向右平移至线段，点落在反比例函数的图像上．则线段扫过的面积为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
8．如图，在平面直角坐标系中，的直角边与反比例函数的图象交于点，若点为的中点，的面积为4，则的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于A，B两点，连接AB、若轴，则的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知反比例函数图象过点，若，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C． D．
11．如图，正方形的顶点A，B在y轴上，反比例函数的图象经过点C和的中点E，则正方形的面积是（ ）
A．8 B．16 C． D．12
12．如图，正方形的边长为5，点A的坐标为，点B在y轴上，若反比例函数的图像过点C，则k的值为（ ）
A．4 B． C． D．
二、填空题
13．如果反比例函数的图像经过点、、，且，那么与的大小关系是 ．（填“”，“”或“”）
14．若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数的图象上一点，轴于点，点为轴负半轴上一点，且，连接、，若的面积为9，则的值为 ．
16．如图，点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为 ．
三、解答题
17．如图是海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图所示的平面直角坐标系．其中，为水面，滑梯段可看成是反比例函数图象的一段，矩形为向上攀爬的梯子，梯子的高为6m，宽为1m，出口到的距离为4m．
(1)求段所在的反比例函数的表达式；（不要求写出自变量的取值范围）
(2)出口到轴的距离的长是多少？
18．如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点B，过点作x轴的垂线交双曲线于点C，连接．
(1)求点B的坐标；
(2)求的面积．
19．如图，红十字会的图标是由五个边长相等的小正方形拼接而成的，把它置于一平面直角坐标系中，已知，某反比例函数的图象经过红十字图形上方左侧的端点A．
(1)求该反比例函数的解析式．
(2)该反比例函数的图象经过红十字图形左侧上方的端点 B 吗 并说明理由．
20．如图，，都是等腰直角三角形，点在的图象上，斜边都在x轴上，求点的坐标．
21．如图，学校打算用材料围建一个面积为的矩形的小花园，用来种植一些花卉．其中矩形的一边靠墙，墙长为，设的长为，的长为．
(1)求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
(2)若围成矩形的小花园的材料不超过，且和的长都是整米数，怎样围建材料最省？
22．如图，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与轴交于点，过双曲线上的一点作轴的垂线，垂足为点，交直线于点，且．
(1)求的值；
(2)若将四边形分成两个面积相等的三角形，求点的坐标．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点．
(1)求双曲线的表达式；
(2)已知是双曲线上一点，且到轴的距离是12，直线与直线交于点，与双曲线交于点．如果，求的值．
24．如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于，为线段上一动点（不包含端点），过点作轴交反比例函数（）的图象于点，连接，．
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)当面积最大时，求点的坐标．
25．如图，直线与x轴交于C点，与y轴交于B点，在直线上取点，过点A作反比例函数的图象．
(1)求a的值及反比例函数的表达式；
(2)点P为反比例函数图象上的一点，若，求点P的坐标．
(3)在x轴存在点Q，使得，请求出点Q的坐标．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B C D C C A B A
题号 11 12
答案 B C
1．D
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意将各项的横坐标代入反比例函数即可解答．
【详解】解：A将代入反比例函数得到，故A项不符合题意；
B项将代入反比例函数得到，故B项不符合题意；
C项将代入反比例函数得到，故C项不符合题意；
D项将代入反比例函数得到，故D项符合题意；
故选：D．
2．C
【分析】本题主要考查反比例函数的性质，掌握在中，当时，图象在第一、三象限，当时，图象在第二、四象限是解题的关键．
由反比例函数所在的象限可得到关于k的不等式，可求得答案．
【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴，
∴．
故选：C．
3．B
【分析】本题考查反比例函数的知识，解题的关键是根据题意，设反比例函数的解析式为，把，代入解析式求出，再把代入解析式，即可求出．
【详解】解：设反比例函数的解析式为，
把，代入解析式，
∴，
∴反比例函数的解析式为：，
当时，，
解得：．
故选：B．
4．C
【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．根据反比例函数的性质对选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、，
∴图象必经过点，正确，不符合题意；
B、，
∴图象在第一、三象限内，正确，不符合题意；
C、，
∴图象在第一、三象限内，在每一象限内y随x的增大而减小，原说法错误，符合题意；
D、∵当时，，
，正确，不符合题意，
故选：C．
5．D
【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，含30度角的直角三角形，解直角三角形求出点A的坐标可得结论．
【详解】解：在中，，，
∴，
∴，，
∴，
∵反比例函数的图象经过点A，
∴．
故选：D．
6．C
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式．根据函数图象可设，再将代入即可得出函数关系式，从而解决问题．
【详解】解：设，
∵图象过，
∴，故选项B正确，不符合题意，
∴，故选项A正确，不符合题意；
当时，，选项C错误，符合题意；
根据函数图象可得当时，，选项D正确，不符合题意；
故选：C．
7．C
【分析】本题考查的是反比例函数的图像与性质，图形的平移，设，结合平移的性质可得的纵坐标为，的横坐标为，再利用面积公式计算即可.
【详解】解：∵反比例函数的图像经过点，
∴设，
∵将线段沿轴向右平移至线段，
∴的纵坐标为，
∵点落在反比例函数的图像上．
∴的横坐标为，
∴线段扫过的面积为，
故选：C
8．A
【分析】本题主要考查了根据反比函数k的几何意义求k值，三角形面积的计算，解题的关键是根据中线的性质求得的面积．
根据线段中点定义得，再由可得，根据反比例函数系数k的几何意义得，以此即可求解．
【详解】解：∵C为的中点，
∴，
∴，
∴，即，
∵反比例函数图象在第一象限，
∴．
故选：A．
9．B
【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键．根据反比例函数值的几何意义解答即可．
【详解】解：如图，连接、，
轴，
．
故选：B．
10．A
【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是求出反比例函数解析式．先求出k，令，得出y的范围，即可求解．
【详解】解：∵反比例函数图象过点，
∴，
∴反比例函数解析式为：，
当时，，
当时，，
∴当时，y的取值范围是或．
故选：A．
11．B
【分析】本题考查了反比例函数的应用、正方形的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．设点的坐标为，则，，根据正方形的性质求出点的坐标，从而可得点的坐标，代入反比例函数的解析式可求出，由此即可得．
【详解】解：设点的坐标为，则，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，，，
∵为的中点，
∴，
将点代入反比例函数得：，
整理得：，
∴，
∴正方形的面积是，
故选：B．
12．C
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，过点C作轴于E，根据正方形的性质可得，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明，根据全等三角形对应边相等可得，再求出，然后写出点C的坐标，再把点C的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k的值．
【详解】解：如图，过点C作轴于E，
在正方形中，，
∴，
∵，
∴，
∵点A的坐标为，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴点C的坐标为，
∵反比例函数的图象过点C，
∴，
故选：C．
13．
【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小，根据点的坐标，确定双曲线所过象限，根据反比例函数的增减性，判断函数值大小即可．
【详解】解：∵在第四象限，
∴双曲线过二，四象限，在每一个象限内，随的增大而增大，
∵、在反比例函数的图象上，且，
∴；
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了反比例函数的性质，利用反比例函数的性质求出m，n的值是解题的关键，根据反比例函数的性质，可得函数的最值，根据有理数的乘法，可得答案．
【详解】解：由反比例函数，，且可得的最大值是，的最大值是2，
∴，
∴，
故答案为：．
15．6
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数k值的几何意义，设B点坐标为，则C点坐标为，，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可．
【详解】解：设B点坐标为，则C点坐标为，则，
∵，
∴
∴，
∴，
∴解得，
故答案为：6．
16．6
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 由点、在反比例函数的图象上，可设，，再由轴，表示出点、的坐标，再根据，得到，，再结合与的距离为5，即可求解．
【详解】解：点、在反比例函数的图象上，
设，，
又点、在反比例函数的图象上，轴，
，，
由题意得，，，
，，
与的距离为5，
，
，
解得：．
故答案为：6．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的应用，
（1）先设出函数解析式，然后根据题意可知，点在该函数的图象上，代入函数解析式即可得到k的值，再写出函数解析式即可；
（2）根据题意可以得到点C的横坐标，代入（1）中得解析式即可得到点C的纵坐标，从而可以写出出口C到x轴的距离的长．
【详解】（1）解：设段所在的反比例函数的表达式为，
∵梯子的高为6米，宽为1米，
∴点在该函数图象上，
∴，得，
∴段所在的反比例函数的表达式为．
（2）解：由题意可得，点C的横坐标为，
将代入，得，
即出口C到x轴的距离的长时米
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，等腰三角形的性质，反比例函数与几何图形，
对于（1），过点B作轴，根据等腰直角三角形的性质得，即可得出答案；
对于（2），先求出反比例函数的关系式，再求出点C的坐标，然后根据得出答案．
【详解】（1）如图所示，过点B作轴，交x轴于点D，
∵是等腰直角三角形，，，
∴，
∴点；
（2）将点代入，
得，
∴．
当时，，
∴点，
∴．
∵，
∴．
19．(1)该反比例函数的解析式为
(2)反比例函数的图象经过红十字图形左侧上方的端点B，理由见解析
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征．
（1）根据题意得出点A的坐标，根据待定系数法即可求得；
（2）根据题意得出点B的坐标，把代入，求得函数值，即可判断．
【详解】（1）解：由题意可知红十字图形的每个正方形的边长为1，且，
∴，
设反比例函数的解析式为，则，
∴该反比例函数的解析式为；
（2）解：由题意可得，点B的坐标是，
把代入，得，
∴反比例函数的图象经过红十字图形左侧上方的端点B．
20．点的坐标为．
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质．过点作轴，由于是等腰直角三角形，因而，因而可以设点的坐标是，把代入解析式即可求出，因而求出的坐标是，进一步得到，再根据是等腰直角三角形，设的纵坐标是，因而横坐标是，把的坐标代入解析式，即可求出，然后即可求出点的坐标．
【详解】解：如图，过点作轴于，
是等腰直角三角形，
∴，
，
设点的坐标是，
把代入解析式得到，
的坐标是，
则，
是等腰直角三角形，过点作轴于，
设的纵坐标是，
横坐标是，
把的坐标代入解析式，
，
（负值已舍），
点的横坐标为，
点的横坐标是，
点的坐标是．
21．(1)，自变量的取值范围为
(2)当，时，围建矩形小花园所需材料最省
【分析】（）根据矩形的面积可得与之间的函数表达式，再根据墙长可得自变量的取值范围；
（）根据与的函数表达式及的取值范围且，都为整数，可得可取值为，对应的取值为，进而根据得到有两种情况：，或，，据此解答即可求解；
本题考查了反比例函数的应用，根据题意求出反比例函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意知，，
与之间的函数表达式为，
∵墙长为，
∴自变量的取值范围为；
（2）解：由（）知，，且，都为整数，
可取值为，对应的取值为，
∵，
∴有两种情况：，或，，
当，时，需要材料：；
当，时，需要材料：；
，
∴当，时，围建矩形小花园所需材料最省．
22．(1)，
(2)
【分析】本题主要考查反比例函数的图形和性质，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象和性质及待定系数法求函数解析式 是解题的关键．
（1）根据解析式求出点的坐标，根据点的坐标和点的坐标得出三角形的面积，根据面积比求出三角形的面积，设出点的坐标，根据面积求出的值，再用待定系数法求出即可；
（2）根据点的坐标得出点的坐标，再根据面积相等列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵直线与y轴交点为，
∴，
即 ，
∵点的横坐标为，
，
，
，
设，
，
解得，
∵点在双曲线上，
把点代入得
，；
（2）解：
∵将四边形分成两个面积相等的三角形，
解得 或 (不符合题意，舍去)，
∴点的坐标为．
23．(1)
(2)4
【分析】本题主要考查了反比例函数与正比函数的综合：
（1）把，代入，可求出点A的坐标，再把点A的坐标代入求出k，即可求解；
（2）先求出点B的坐标为，再设点C的坐标为．点D的坐标为，根据求解，即可．
【详解】（1）解：直线经过点，
把，代入，解得．
所以点A的坐标为．
把，代入，得∶
，解得，
∴双曲线的表达式为；
（2）解：点B在第一象限且到y轴距离为12，
点B的横坐标为12．
又点B在双曲线上，
点B的坐标为．
直线与直线交于点C，与双曲线交于点D，
可设点C的坐标为．点D的坐标为，
∵，
∴
解得：（负舍）．
∵，
的值为4．
24．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数综合应用、二次函数的应用等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）首先将点代入直线，解得，易知该直线的解析式为，再将点代入直线，进而确定点，将其代入反比例函数解析式并求解即可；
（2）设与x轴交于点，设，则，，易知，，利用三角形面积公式可得，结合二次函数的性质可得当时，面积取最大值，然后确定点的坐标即可．
【详解】（1）解：将点代入直线，
可得，解得，
∴该直线的解析式为，
∵直线与反比例函数的图像交于点，
∴将点代入直线，
可得，即，
将代入反比例函数，
可得，解得，
∴这个反比例函数的表达式为；
（2）如下图，设与轴交于点，
∵为线段上一动点，且过点作轴交反比例函数的图像于点，
∴可设，则，，
∴，，
∴，
∴当时，面积取最大值，最大值为4，
此时．
25．(1)，
(2)点P坐标为
(3)存在，点Q的坐标为或
【分析】此题考查了反比例函数和一次函数交点问题．
（1）先求出，再利用待定系数法进行解答即可；
（2）先求出，根据，又，解得：，则，即可求出答案；
（3）分两种情况：①当点Q在x轴正半轴上时，②当点Q在x轴负半轴上时，分别进行解答即可．
【详解】（1）解：把代入得，
，
，
把代入，
得，
反比例函数的函数表达式为
（2）解：当时，
，
，
，
，
，
又，
解得：，
，
点P坐标为；
（3）解：①当点Q在x轴正半轴上时，
如图，过点A作轴交x轴于，
则，
点；
②当点Q在x轴负半轴上时，
如图，设与y轴交于点，
∵，
∴，
则，
解得：，
∴，
设直线表达式为，则有
，
解得，
直线的表达式为，
当时，，
即点的坐标为，
综上所述，点Q的坐标为或．
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