26.1.2 反比例函数的图象和性质 巩固练 2025-2026学年下学期初中数学人教版九年级下册期末复习

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26.1.2 反比例函数的图象和性质 巩固练 2025-2026学年
下学期初中数学人教版九年级下册期末复习
一、单选题
1．如图，点P在反比例函数的图象上，轴于点A，的面积为4，则k的值为（ ）

A．2 B．4 C．8 D．16
2．若反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中．已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．已知在同一平面直角坐标系中，二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象所经过的象限是（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
5．若点A，B，C都在反比例函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
6．下列关于反比例函数的描述中，不正确的是（ ）
A．其图象经过点
B．其图象分别位于第一、三象限
C．y随x的增大而减小
D．当时，
7．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知关于x的方程，它的实数解的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图象与反比例函数
的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
10．已知y是x的函数，若存在实数，当时，y的取值范围是．我们将称为这个函数的“t级关联范围”．例如：函数，存在，当时，，即，所以是函数的“2级关联范围”．下列结论正确的是（ ）
①是函数的“1级关联范围”；
②不是函数的“2级关联范围”；
③函数总存在“3级关联范围”．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题
11．已知点，在反比例函数的图象上．若，写出一个满足条件的的值： ．
12．如图，是等腰直角三角形且面积是8，点B在反比例函数的图象上，若点M是该反比例函数图象上位于点B左侧的一点，且点M的横坐标为，则的面积为 ．
13．反比例函数的图象位于第 象限．
14．反比例函数中，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ．
15．已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数的图象与交于点，与交于点，若，且四边形的面积为，则的值为 ．

三、解答题
17．在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点．
(1)求，的值；
(2)点在反比例函数的图象上，且点的横坐标为1．若在直线上存在一点（点不与点重合），使得，结合图象直接写出点的横坐标的取值范围．
18．如图，点在双曲线上，点在双曲线之上，且轴，，在轴上，若四边形为矩形，求它的面积．
19．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求两个函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)根据图象回答：当取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．
20．如图，已知一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点，过点A作轴的垂线，垂足为点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)请结合函数图象，直接写出不等式的解集；
(4)在轴上求一点，使的值最小．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B B A C B B C B
1．C
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的系数的几何意义是解题的关键．根据反比例函数系数的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系，即，再根据图象所在象限求出的值即可．
【详解】解：根据反比例函数系数的几何意义可知，
，
∴，
∴
∵函数图象位于第一、三象限，
∴，
∴
故选C．
2．D
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象在第二、四象限，得到求解，即可解题．
【详解】解： 反比例函数的图象在第二、四象限，
，
解得，
故选：D．
3．B
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，先判断出反比例函数图象在第二、四象限，再根据反比例函数的性质，在每一个象限内，y随x的增大而增大判断．
【详解】解：∵，
∴反比例函数的图象在第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
∵，
∴A，B在第二象限．
∵，
∴；
∵在第四象限，
∴．
综上，．
故选：B．
4．B
【分析】本题主要考查了一次函数图象，反比例函数图象，二次函数图象的综合．根据反比例函数的函数图象在一、三象限，得到，根二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，得到，，则，由此即可得到答案．
【详解】解：∵反比例函数的函数图象在二、四象限，
∴，
∵二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴，，
∴，
∴，
∴一次函数经过二、三、四象限，
故选：B．
5．A
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的增减性解答即可．
【详解】解：对于，
，
当时， 随的增大而减小，
点A，B，C都在反比例函数的图象上，，
∴；
故选：A．
6．C
【分析】本题考查反比例函数的性质，根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确．
【详解】解：∵反比例函数，
∴其图象经过点，故选项A正确，不符合题意；
其图象分别位于第一、三象限，故选项B正确，不符合题意；
在每个象限内，y随x的增大而减小，故选项C错误，符合题意；
当时，，故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
7．B
【分析】本题考查了反比例函数的图象以及性质;由反比例函数的图象位于第二、四象限，得出，即可得出结果．
【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴，
∴，
故选：B．
8．B
【分析】本题考查二次函数与反比例函数的交点问题，把方程的解的情况转化为二次函数，以及的交点个数问题，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
令，，
则：的解的个数，即为两个函数的交点的个数，
画出函数图象如图：
由图象可知，两个图象只有一个交点，
∴关于x的方程，只有1个实数解．
故选：B．
9．C
【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的综合判断，根据一次函数图象所在象限判断a，b的正负，进而判断的正负，得出反比例函数图象应该所在的象限，逐项判断可得答案．
【详解】解：A，由一次函数图象在第一、三、四象限，可得，，进而可得，则的图象应该在第二、四象限，而不是第一、三象限，不合题意；
B，由一次函数图象在第二、三、四象限，可得，，进而可得，则的图象应该在第一、三象限，而不是第二、四象限，不合题意；
C，由一次函数图象在第一、三、四象限，可得，，进而可得，则的图象应该在第二、四象限，符合题意；
D，由一次函数图象在第一、二、四象限，可得，，进而可得，则的图象应该在第二、四象限，而不是第一、三象限，不合题意；
故选C．
10．B
【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质．
推出在时，，即，即可判断①；推出在时，，即，即可判断②；③设当，则，
当函数存在“3级关联范围”时，整理得，即可判断③．
【详解】解：①当时，，当时，，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴在时，，即，
∴是函数的“1级关联范围”；故①正确，符合题意；
②当时，，当时，，
∵对称轴为y轴，，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴在时，，即，
∴是函数的“2级关联范围”，故②不正确，不符合题意；
③∵，
∴该反比例函数图象位于第一象限，且在第一象限内，y随x的增大而减小．
设当，则，
当函数存在“3级关联范围”时，
整理得：，
∵，，
∴总存在，
∴函数总存在“3级关联范围”；故③正确，符合题意；
综上：正确的有①③，
故选：B．
11．（答案不唯一）
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．根据题意得在每个象限内，随的增大而增大，即可求解．
【详解】解：反比例函数，
∵，
∴在每个象限内y随x的增大而增大，
∵，，，
∴或，
∴满足条件的m的值可以为4，
故答案为：4（答案不唯一）．
12．12
【分析】本题考查反比例函数与几何综合，作轴于点N，连接，，先求出k的值，再根据求解．
【详解】解：如图，作轴于点N，连接，，
是等腰直角三角形且面积是8，
，
，
点B在反比例函数的图象上，
，，
点M是该反比例函数图象上位于点B左侧的一点，且点M的横坐标为，
点M的纵坐标为，
，，
，
，
，
故答案为：12．
13．二、四
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，属于基本题型，熟练掌握当时，反比例函数的图象在第一、三象限，当时，反比例函数的图象在第二、四象限是解题关键．
根据反比例函数的性质解答即可．
【详解】解：∵，
∴反比例函数的图象位于第二、四象限，
故答案为：二、四．
14．
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数中，当时，y随x的增大而增大，得出，解得，即可作答．
【详解】解：∵反比例函数中，当时，y随x的增大而增大，
∴，
解得，
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质．根据题意易得反比例函数在每个象限内，y随x的增大而减小，由此问题可求解．
【详解】解：由反比例函数可知该函数在第一、第三象限，则有在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点，，都在反比例函数的图象上，，
∴．
故答案为：．
16．6
【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的关系，掌握反比例系数与几何图形面积的关系是解题的关键．
如图所示，连接，设，则，，由此得到，，由得到，，，再根据，且，得到，由此即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，边分别在轴、轴的正半轴上，
∴，
如图所示，连接，设，

∴，，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
解得，，
故答案为：6 ．
17．(1)，
(2)且
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象与性质，解决本题的关键就是利用两点间距离公式求出相等的时候的临界值，然后进步确定的取值范围．
（1）把代入到反比例函数关系式中求出m，得到点坐标，把点坐标代入到中求出b的值即可；
（2）以为圆心，以的长为半径画弧，与l交于点，求出的横坐标即可，注意：点P不与点A重合．
【详解】（1）解：∵反比例函数图象经过点
∴
∴，
∵直线经过点
∴，；
（2）解：由（1）可得直线表达式为：
∵点B在反比例函数的图象上，且点B的横坐标为1，
∴，
∴点B的坐标为：，
由（1）知：，
∴，
以为圆心，以的长为半径画弧，与l交于点，如图：
设，由题意可知：
，
当时，即
解得：，
即：的横坐标为1，的横坐标为9，
∵满足的是，
∴，
∵点P不与点A重合，
∴，
综上所述：P的横坐标的取值范围：且．
18．2
【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，根据双曲线上的点向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积与的关系：即可判断，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．
【详解】解：延长交轴于，
轴，
垂直于轴，即，
四边形为矩形，
∴，
，
四边形为矩形，
点在双曲线上，
四边形的面积为1，
，
四边形为矩形，
点在双曲线上，
四边形的面积为3，
矩形的面积为．
19．(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，坐标系内图形的面积的计算，反比例函数与一次函数交点问题．
（1）由反比例函数的图象过、两点，易求其解析式和点坐标；根据直线过、两点可求一次函数的解析式；
（2）求直线与一条坐标轴的交点坐标，将分割成两个三角形求解；
（3）由反比例函数的值大于一次函数的值，则反比例函数图像在的相同的取值范围内，其图像在一次函数的图像上方，结合图像可得答案．
【详解】（1）解：∵点，在双曲线上，
，
反比例函数的解析式为，点的坐标为，
把，代入一次函数得，
，
一次函数的解析式为；
（2）设直线与轴交于点
在中，当时，，
直线与的交点为，
（3）根据图象：当或时，反比例函数的值大于一次函数的值．
20．(1)，
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象和性质是解题关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）首先确定点坐标，然后利用三角形面积公式求解即可；
（3）结合函数图象即可获得答案；
（4）作点关于x轴的对称点，连接与轴交于点，点即为所求；利用待定系数法求得直线的解析式，然后确定点坐标即可．
【详解】（1）解：由题意，得：，，
∴反比例函数的解析式为，，
∴一次函数的解析式为：；
（2）把代入，可得，
∴，
∴，
∴的面积；
（3）由函数图像可知，
不等式的解集为；
（4）如下图，作点关于x轴的对称点，连接与轴交于点，点即为所求，
则，
设直线的解析式为，
将点，代入，
可得，，
∴直线的解析式为，
当时，可有，
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